Lista de Exercícios Resolvidos: Python, Modelagem Matemática e Métodos Numéricos

Quest 1 Em Python 3 qual é o processo executado dentro da função e não na chamada Quest 2 A velocidade v de um foguete Saturno V em voo vertical perto da superfície da Terra pode ser medida por onde Determine o tempo em que o foguete atinge a velocidade do som Utilize para aproximação inicial o intervalo 1 Contador Pacote Parâmetro From Import 2 738999999 80000000 74345781 70000000 73281758 v uln M Mmt u 2510ms velocidade de exaustão em relação ao foguete M 2 8 106kg massa do foguete na decolagem m 13 3 103kgs taxa de consumo de combustível g 9 81ms2 aceleração gravitacional t tempo medido a partir da decolagem 355ms 70 80 Modelagem Matemática Aritmética computacional em Python Sistemas de Equações Lineares e Ajuste de Curvas em Python Integração Numérica em Python Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem em Python Bases de Otimização Com MS Excel Temas de aprendizagem 1 erros e aritmética computacional 11 representação numérica de ponto flutuante 12 erros nos processos numéricos 13 convergência nos processos numéricos 2 zeros de funções 21 método da bisseção 22 método da posição falsa 23 métod o de NewtonRaphson 3 resolução de sistemas lineares métodos diretos e indiretos 31 método da elimina ção de Gauss 32 fatoração LU 33 método GaussJacobi 34 método GaussSeidel 4 interpolação 41 interpolação polinomial 42 forma de Lagrange 43 forma de Newton 5 integração numérica e resolução de equações diferenciais ordinárias 51 fórmu las de NewtonCotes 52 problemas de valor inicial 53 métodos de passos Quest 3 Dado o sistema Calcule a soma x1x2x3x4 usando o método GaussJordan Quest 4 Durante um experimento físico em um laboratório foram obtidos os seguintes dados Determine a função fxm01 e m1xque melhor se ajuste aos dados e calcule f31 Quest 5 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de cosx no intervalo de 0 a 1 Divida o intervalo de integração em 10 partes Utilize o método dos Retângulos Quest 6 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de sen2x no intervalo de 0 a 1 Utilize o método de Romberg com aproximação até n 2 3 13 10 11 9 12 4 204 104 304 504 404 5 0542 0942 0742 0642 0842 6 021268 027268 023268 025268 2 2 4 2 1 3 2 1 3 1 3 1 1 3 4 2 x1 x2 x3 x4 10 17 18 27 Quest 7 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y04 em face da resolução da EDO de 1ª ordem y 2seny sendo y0 3 Considere h 01 Utilize o método de Euler Quest 8 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y1 em face da resolução da EDO de 1ª ordem y 2y sendo y0 3 Considere h 010 Utilize o método de RungeKutta Quest 9 Adaptado de Cesgranrio Concurso Petrobrás2012 cargo Analista de Pesquisa Operacional Júnior Considere o seguinte problema de programação linear Maximize Z 2x1 3x2 4x3 Sujeito a x1 x2 3x3 15 x1 2x2 x3 20 x1 0 x2 0 x3 0 O valor ótimo da função objetivo é Quest 10 Cesgranrio Concurso Petrobrás2012 cargo Analista de Pesquisa Operacional Júnior Determinada fábrica de móveis produz mesas escrivaninhas e cadeiras de madeira Esses três produtos passam pelo setor de carpintaria Se o setor de carpintaria se dedicasse apenas à fabricação de mesas 1000 unidades seriam produzidas por dia caso o setor se dedicasse apenas à fabricação de escrivaninhas 500 unidades seriam produzidas por dia se o setor de carpintaria se dedicasse à fabricação de apenas cadeiras seriam produzidas 1500 cadeiras por dia Cada cadeira contribui em R10000 para o lucro da empresa cada 029268 7 3184 3484 3384 3284 3084 8 22567 22957 22167 22757 22367 9 35 15 25 5 45 10 escrivaninha contribui em R40000 e cada mesa contribui em R50000 Considere as seguintes variáveis inteiras como variáveis de decisão X1 quantidade de mesas produzidas X2 quantidade de cadeiras produzidas X3 quantidade de escrivaninhas produzidas As inequaçãoões que representam a restrição de capacidade do setor de carpintaria ésão 3X1 6X2 2X3 3000 500 X1 1000 100 X2 1500 400 X3 500 3X1 2X2 6X3 3000 X1 1000 X2 1500 X3 500 X1 X2 X3 3000 Modelagem Matemática Aritmética computacional em Python Sistemas de Equações Lineares e Ajuste de Curvas em Python Integração Numérica em Python Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem em Python Bases de Otimização Com MS Excel Temas de aprendizagem 1 erros e aritmética computacional 11 representação numérica de ponto flutuante 12 erros nos processos numéricos 13 convergência nos processos numéricos 2 zeros de funções 21 método da bisseção 22 método da posição falsa 23 método de NewtonRaphson 3 resolução de sistemas lineares métodos diretos e indiretos 31 método da eliminação de Gauss 32 fatoração LU 33 método GaussJacobi 34 método GaussSeidel 4 interpolação 41 interpolação polinomial 42 forma de Lagrange 43 forma de Newton 5 integração numérica e resolução de equações diferenciais ordinárias 51 fórmulas de NewtonCotes 52 problemas de valor inicial 53 métodos de passos Quest 1 1 Transpetro 2011 Seja N uma base de numeração e os números A 100N B 243N1 C 30N D F16 e E 1102 Sabendose que a igualdade B D A EC é válida o produto de valores válidos para a base N é 42 36 24 35 45 Quest 2 2 Sabendose que a3 b5 e c3 assinale a alternativa que possui uma expressão em cujo resultado o compilador Python será True ac a c ab bc ab Quest 3 3 A interpolação de Lagrange utiliza os seguintes polinômios básicos pelas propriedades desses polinômios podemos afirmar que Lnmxk é igual a xk 0 1 xm ym Quest 4 O método de GaussSeidel e Jacobi são conhecidos como Quest 5 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de cosx no intervalo de 0 a 1 Divida o intervalo de integração em 10 partes Utilize o método dos Trapézios Quest 6 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de ex no intervalo de 0 a 1 Divida o intervalo de integração em 10 partes Utilize o método de Simpson Quest 7 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y3 em face da resolução da EDO de 1ª ordem y sen2y sendo y0 02 Considere h 030 Utilize o método de RungeKutta Quest 8 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y04 em face da resolução da EDO de 1ª ordem y y2 sendo y0 3 Considere h 01 Utilize o método de Euler 4 Métodos de Newton Métodos de Fatoração Métodos Diretos Métodos dos Gradientes Métodos Iterativos 5 0741 0941 0841 0641 0541 6 0432 0732 0532 0632 0332 7 0877 0577 0677 0777 0477 8 15348 15648 15748 15548 15448 Quest 9 9 Adaptado de Cesgranrio Concurso Petrobrás2012 cargo Analista de Pesquisa Operacional Júnior Determinada fábrica de móveis produz mesas escrivaninhas e cadeiras de madeira Esses três produtos passam pelo setor de carpintaria Se o setor de carpintaria se dedicasse apenas à fabricação de mesas 1000 unidades seriam produzidas por dia caso o setor se dedicasse apenas à fabricação de escrivaninhas 500 unidades seriam produzidas por dia se o setor de carpintaria se dedicasse à fabricação de apenas cadeiras seriam produzidas 1500 cadeiras por dia Cada cadeira contribui em R10000 para o lucro da empresa cada escrivaninha contribui em R40000 e cada mesa contribui em R50000 Considere as seguintes variáveis inteiras como variáveis de decisão X1 quantidade de mesas produzidas X2 quantidade de cadeiras produzidas X3 quantidade de escrivaninhas produzidas O número de mesas produzidas é 0 3000 100 1000 2000 Quest 10 10 Uma das formas de se resolver problemas de programação linear é pelo uso do método gráfico Assinale a primeira etapa para se utilizar o método gráfico Calcular o menor isocusto Desenhar o vetor Z Desenhar as linhas de isocusto Calcular o maior isocusto Desenhar as retas das restrições Um parâmetro é uma variável usada para receber um valor quando uma função é chamada Os parâmetros permitem que você passe informações para a função que podem ser usadas em seu corpo Dentro da função você pode manipular e usar esses parâmetros para realizar operações específicas Resposta Parâmetro Feito em python Aplicando o método da bisseção import math from numpy import sign def bissf x1 x2 switch1 tol10e9 f1 fx1 if f1 00 return x1 f2 fx2 if f2 00 return x2 if signf1 signf2 printRaiz não existe nesse intervalo n intmathceilmathlogabsx2 x1 tol mathlog20 for i in rangen x3 05 x1 x2 f3 fx3 if switch 1 and absf3 absf1 and absf3 absf2 return None if f3 00 return x3 if signf2 signf3 x1 x3 f1 f3 else x2 x3 f2 f3 return x1 x2 20 def fx return 2510 mathlog28e6 28e6 133e3 x 981 x 355 x bissf 70 80 printx 66fformatx Resposta 73281758 No Python usando método Gauss Jordan Resposta 10 4 Durante um experimento físico em um laboratório foram obtidos os seguintes dados x 1 09 08 0 1 2 Y 601 539 480 201 065 021 Determine a função fxm01e m1xque melhor se ajuste aos dados e calcule f31 import numpy as np import numpypolynomialpolynomial as poly def SubRetUbs nbssize xsnpzerosn for i in reversedrangen xsi bsi Uii1xsi1Uii return xs def ElimGaussinA inbs A npcopyinA bs npcopyinbs n bssize for j in rangen1 for i in rangej1n m AijAjj Aij mAjj bsi mbsj xs SubRetAbs return xs dados do problema xnparray10908012 ynparray601539480201065021 construção da matriz A nlenx ylinha nplogy Anponesn2 A1x m1ElimGaussATAATylinha converte m0 em1 m10npexpm10 yajustelambda xnovo m101 npexpm11xnovo printnparoundyajuste312 Resposta 204 import math def fx return mathcosx def integralretangulosa b n h b a n Tamanho de cada subintervalo integral 0 for i in rangen x a i h Ponto médio de cada subintervalo integral fx integral h Multiplica pela largura do subintervalo return integral Intervalo de integração a 0 b 1 Número de subintervalos n 10 resultado integralretangulosa b n printresultado Resposta 0842 import numpy as np from scipyintegrate import romberg from math import sin Função a ser integrada def fx return sinx2 Intervalo de integração a 0 b 1 Realiza a integração utilizando o método de Romberg integral rombergf a b divmax2 Imprime o resultado printO valor da integral de sen2x no intervalo de 0 a 1 é integral Resposta 027268 import math def eulerh y0 y y0 valor inicial t 0 tempo inicial while t 04 valor desejado de t y y h 2 mathsiny fórmula do método de Euler t h return y resultado euler01 3 printresultado Resposta 3084 Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y1 em face da resolução da EDO de 1ª ordem y 2y sendo y0 3 Considere h 010 Utilize o método de RungeKutta from future import division import numpy as np from numpy import linalg import matplotlibpyplot as plt Programa em Python para implementar o método de Runge Kutta Definição da equação diferencial ordinária de primeira ordem def dydxx y return 2y Encontra o valor de y dado x utilizando um intervalo h Considera os valores iniciais como x0 e y0 def rungeKuttax0 y0 x h Contagem do número de iterações utilizando o tamanho do passo Representado pelo parâmetro h n intx x0h Realização da iteração para um determinado número prédeterminado y y0 for i in range1 n 1 Aplicação das formulas de Runge Kutta para encontrar o valor seguinte de y k1 h dydxx0 y k2 h dydxx0 05 h y 05 k1 k3 h dydxx0 05 h y 05 k2 k4 h dydxx0 h y k3 Atualização do valor seguinte de y y y 10 60k1 2 k2 2 k3 k4 Atualização do valor seguinte de x x0 x0 h return y Programa principal x0 0 y 3 x 1 h 01 print rungeKuttax0 y x h Resposta 22167 A solução ótima é Z 35 X1 10 X2 5 X3 0 Resposta 35 Essa inequação representa a restrição de capacidade do setor de carpintaria onde a soma do tempo de produção de mesas 3X1 cadeiras 6X2 e escrivaninhas 2X3 não pode exceder 3000 unidades por dia conforme mencionado no enunciado Resposta Transpetro 2011 Seja N uma base de numeração e os números A 100N B 243N1 C 30N D F16 e E 1102 Sabendose que a igualdade B D A EC é válida o produto de valores válidos para a base N é A 100N N² B 243N1 2 x N1² 4 x N1 3 B 2 x N² 2N 1 4N 4 3 B 2N² 4N 2 4N 7 B 2N² 8N 9 C 30N 3 x N 3N D F16 15 E 1102 4 2 6 B D A EC 2N² 8N 9 15 N² 6 x 3N 2N² 8N 24 N² 18N N² 10N 24 0 N b b² 4ac 2a N 10 10² 4 x 24 2 N 10 100 96 2 N 10 4 2 N 10 2 2 N1 10 2 2 12 2 6 N2 10 2 2 8 2 4 N1 N2 6 4 24 Resposta 24 As variáveis a e b são números inteiros e c é uma string pois encontrase entre aspas simples logo embora a representação numérica seja a mesma a e c são de tipos diferentes Resposta a c Para determinar o valor de Lnmxk onde xk é um dos pontos dados temos que considerar as propriedades desses polinômios Os polinômios de Lagrange são construídos de forma que Lnmxk seja igual a 1 quando k m e igual a 0 quando k m Portanto a resposta correta para a pergunta Lnmxk é igual a é a opção 1 ou seja Lnmxk 1 Resposta 1 Resposta Métodos Iterativos O método de GaussSeidel e o método de Jacobi são ambos métodos iterativos utilizados para resolver sistemas de equações lineares Esses métodos são conhecidos como métodos iterativos de relaxação uma vez que eles iterativamente aproximam a solução do sistema Feito pelo python import numpy as np import math f lambda x npcosx a 0 b 1 N 10 x nplinspaceabN1 yfx ymaior1 ymenor1 dx baN somatrapezio dx2 npsumymaior ymenor printIntegralsomatrapezio Resposta 0841 Para calcular a integral de ex no intervalo de 0 a 1 usando o método de Simpson precisamos dividir o intervalo em um número par de partes iguais Nesse caso dividiremos em 10 partes O método de Simpson envolve o uso de uma fórmula específica para aproximar a integral A fórmula é a seguinte a b fx dx h3 fa 4fx1 2fx2 4fx3 2fxn2 4fxn1 fb onde h é o tamanho do subintervalo h b a n x1 x2 xn1 são os pontos dentro de cada subintervalo No nosso caso a 0 b 1 e n 10 Vamos calcular a integral usando essa fórmula h 1 0 10 01 Agora calcularemos os valores dos pontos dentro de cada subintervalo e aplicaremos a fórmula de Simpson x0 00 x1 01 x2 02 x3 03 x4 04 x5 05 x6 06 x7 07 x8 08 x9 09 x10 10 Agora vamos calcular a integral 0 1 ex dx 013 e00 4e01 2e02 4e03 2e04 4e05 2e06 4e07 2e08 4e09 e10 Simplificando a expressão 0 1 ex dx 013 1 4e01 2e02 4e03 2e04 4e05 2e06 4e07 2e08 4e09 e10 Calculando o valor numérico da integral usando a calculadora 0 1 ex dx 06321205588 Resposta 0632 Resolvido pelo python import math def rungekuttah y0 t0 tn n inttn t0 h t t0 y y0 for i in rangen k1 h mathsiny2 k2 h mathsiny k122 k3 h mathsiny k222 k4 h mathsiny k32 y k1 2k2 2k3 k4 6 t h return y Parâmetros h 030 y0 02 t0 0 tn 3 Chamada da função RungeKutta y3 rungekuttah y0 t0 tn printfO valor de y3 é y3 Resposta 0477 def eulermetodof x0 y0 h x Implementação do método de Euler para resolver EDOs de primeira ordem Args f Função que representa a EDO dydx x0 Valor inicial de x y0 Valor inicial de y h Tamanho do passo x Valor de x para o qual queremos encontrar y Returns O valor de y no ponto x xn x0 yn y0 while xn x yn yn h fxn yn xn xn h return yn Definindo a função da EDO dydx y2 def fx y return y2 Parâmetros iniciais x0 0 y0 3 h 01 x 04 Chamando a função para encontrar o valor de y04 resultado eulermetodof x0 y0 h x Imprimindo o resultado printO valor de y04 é resultado Resposta 15348 O número de mesas produzidas é representado pela variável de decisão X1 No texto é mencionado que se o setor de carpintaria se dedicasse apenas à fabricação de mesas seriam produzidas 1000 unidades por dia Portanto o valor de X1 é igual a 1000 Resposta 1000 A primeira etapa para utilizar o método gráfico na resolução de problemas de programação linear é desenhar as retas das restrições Essas retas representam as restrições do problema no plano cartesiano Após desenhar as retas das restrições é possível determinar a região viável que é a área do plano que satisfaz todas as restrições simultaneamente Resposta Desenhar as retas das restrições