Processamento de Sinais - Métodos Numéricos para Cálculo da DTFT

Processamento de Sinais CP801 Teoria Topico 5 Metodos numericos para o calculo da DTFT Prof Fellipe Garcia Marques fellipemarquesfacensbr 16 de outubro de 2024 Centro Universitario FACENS 153 Bem vindos Anúncios Facens 253 Agenda i 1 Introducao 2 DFT 3 Relacoes para Sinais Amostrados 4 Transformada Rapida de Fourier 5 Transformada de Gabor e Espectrograma 353 Introdução Revisao Estudamos a SFD que e uma transformacao do domınio das amostras para o domınio da frequˆencia de sinais periodicos Um sinal periodico pode ser representado por uma soma finita de exponenciais complexas Estudamos a DTFT que e a extensao da SFD para sinais naoperiodicos Um sinal naoperiodico pode ser representado por uma soma de infinitas exponenciais complexas A DTFT resulta em uma funcao contınua muito embora o sinal seja discreto 453 Introducao O problema da DTFT e a dificuldade de implementacao em sistemas computacionais Na pratica so conseguimos obter amostras da DTFT quando utilizamos um computador para realizar os calculos A implementacao computacional da DTFT e chamada de Transformada de Fourier Discreta DFT A implementacao do calculo da DFT e baseada na SFD em que obteremos apenas algumas amostras da DTFT Quanto mais dados temos melhor e a resolucao das amostras da DTFT 553 DFT DFT e comparacao com SFD A DFT e definida de forma muito similar a SFD DFT xn 1 N kN Xkejk2𝜋Nn Xk nN xnejk2𝜋Nn akN SFD xn kN akejk2𝜋Nn ak 1 N nN xnejk2𝜋Nn 653 DFT e comparacao com TFTD A DFT e tambem bastante similar a TFTD DFT xn 1 N kN Xkejk2𝜋Nn Xk nN xnejk2𝜋Nn TFTD xn 1 2𝜋 2𝜋 Xej𝜔ej𝜔nd𝜔 Xej𝜔 n xnej𝜔n 753 DFT e TFTD Vamos considerar que temos um sinal com N amostras A DFT considera que este sinal se repete a cada N amostras ou seja que ele e periodico Quando consideramos que o sinal e periodico podemos assumir que ele pode ser representado pela SFD Na pratica isto significa que estamos amostrando a DTFT para as frequˆencias de 2𝜋k N k 0 1 N 1 Quanto maior N melhor e a resolucao das amostras da DTFT 853 Exemplo Vamos calcular a DFT do seguinte sinal Dependendo do numero de amostras a DFT sera baseada no seguinte sinal modificado 953 Exemplo Cont 1 TFTD 0 05 1 xn 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Amostra n 3 2 1 0 1 2 3 w 0 2 4 Xej 3 2 1 0 1 2 3 amostrass 2 0 2 Xej 1053 Exemplo Cont 2 DFT para N 9 0 05 1 xn N 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Amostra n 0 05 1 15 2 25 3 w 0 2 4 Xej DTFT DFT 0 05 1 15 2 25 3 amostrass 2 0 2 Xej DTFT DFT 1153 Exemplo Cont 3 DFT para N 11 0 05 1 xn N 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Amostra n 0 05 1 15 2 25 3 w 0 2 4 Xej DTFT DFT 0 05 1 15 2 25 3 amostrass 2 0 2 Xej DTFT DFT 1253 Exemplo Cont 4 DFT para N 13 0 05 1 xn N 13 0 2 4 6 8 10 12 Amostra n 0 05 1 15 2 25 3 w 0 2 4 Xej DTFT DFT 0 05 1 15 2 25 3 amostrass 2 0 2 Xej DTFT DFT 1353 Exemplo Cont 5 DFT para N 15 0 05 1 xn N 15 0 2 4 6 8 10 12 14 Amostra n 0 05 1 15 2 25 3 w 0 2 4 Xej DTFT DFT 0 05 1 15 2 25 3 amostrass 2 0 2 Xej DTFT DFT 1453 Exemplo Cont 6 DFT para N 17 0 05 1 xn N 17 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Amostra n 0 05 1 15 2 25 3 w 0 2 4 Xej DTFT DFT 0 05 1 15 2 25 3 amostrass 2 0 2 Xej DTFT DFT 1553 Exemplo Cont 7 DFT para N 19 0 05 1 xn N 19 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Amostra n 0 05 1 15 2 25 3 w 0 2 4 Xej DTFT DFT 0 05 1 15 2 25 3 amostrass 2 0 2 Xej DTFT DFT 1653 Exemplo Cont 8 Reconstrucao N 9 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 x reconstruído N 9 20 15 10 5 0 5 10 15 20 Amostra n 1753 Exemplo Cont 9 Reconstrucao N 11 02 0 02 04 06 08 1 x reconstruído N 11 20 15 10 5 0 5 10 15 20 Amostra n 1853 Exemplo Cont 10 Reconstrucao N 13 02 0 02 04 06 08 1 x reconstruído N 13 20 15 10 5 0 5 10 15 20 Amostra n 1953 Exemplo Cont 11 Reconstrucao N 15 02 0 02 04 06 08 1 x reconstruído N 15 20 15 10 5 0 5 10 15 20 Amostra n 2053 Exemplo Cont 12 Reconstrucao N 17 02 0 02 04 06 08 1 x reconstruído N 17 20 15 10 5 0 5 10 15 20 Amostra n 2153 Exemplo Cont 13 Reconstrucao N 19 02 0 02 04 06 08 1 x reconstruído N 19 20 15 10 5 0 5 10 15 20 Amostra n 2253 Resumo A DFT e a forma computacional de termos amostras da DTFT A DFT e utilizada nos computadores para analisar e processar dados no domınio do tempo ou do espaco Temos que tomar cuidado pois a DFT assume que o sinal e periodico em N Para reconstruir o sinal so podemos considerar as amostras de n 0 1 N 1 2353 Propriedades Linearidade Assumindo que a DFT nao e exatamente igual a DTFT vale estudarmos quais sao as suas propriedades Linearidade Para um sinal x3 x3n ax1n bx2n A sua DFT e X3k aX1k bX2k 2453 Propriedades Deslocamento no tempo Como a DFT se baseia em considerar o sinal periodico entao o deslocamento no tempo e circular x n m resto N 0 n N 1 𝒟ℱ𝒯 ej2𝜋kNmXk Vamos considerar um xn 1 05 com N 2 O que seria xn resto N xnN xn 2553 Propriedades Deslocamento no tempo 2653 Propriedades Dualidade xn 𝒟ℱ𝒯 Xk Xn 𝒟ℱ𝒯 Nx kN 0 k N 1 2753 Propriedades Dualidade Convolucao circular Como a DFT aproxima um sinal aperiodico por um sinal periodico a tendˆencia e que quando a convolucao e realizada o sinal atrasado sofra a interferˆencia do atraso no tempo circular que foi observado nos slides anteriores 2953 Convolucao circular A convolucao da DFT e uma convolucao circular No entanto a convolucao da DTFT e linear Como no computador so temos como implementar a DFT seria interessante se conseguıssemos aproximar a convolucao linear atraves da convolucao circular A boa notıcia e que e possıvel basta adicionar zeros no final das sequˆencias para realizar a convolucao circular Sejam os sinais x1 com L pontos e x2 com P pontos A convolucao dos dois sinais resulta em um sinal x3 e tem tamanho maximo de N L P 1 Portanto para aproximar a convolucao linear pela convolucao circular basta adicionar zeros no final de x1 e x2 de forma que ambos os sinais possuam tamanho N 3053 Convolucao circular x3n x2n N x1n x3n N1 m0 x2mx1 n mN X3k X1kX2k 3153 Exercıcio Considere que vocˆe deseja implementar a convolucao circular dos sinais apresentados abaixo utilizando a DFT Qual deve ser o tamanho dos sinais para que a convolucao utilizando DFT seja equivalente a convolucao linear 3253 Relacao de Parseval para DFT Para DFT a relacao de Parseval e N1 r0 Xr2 N N1 k0 xk2 Isto significa que a energia do sinal representado no domınio das amostras possui uma relacao com a energia do sinal representado no domınio da frequˆencia DFT 3353 Relacoes de simetria A DFT assim como a DTFT e SFD e simetrica para um sinal real Xk X kN ℛeXk ℛe X kN ℐmXk ℐm X kN Xk X kN Xk X kN 3453 Exercıcio Utilizando a relacao de simetria esboce a parte negativa da DFT do sinal apresentado abaixo 3553 Relações para Sinais Amostrados Sinais Amostrados Muitas vezes desejamos amostrar um sinal contınuo e entao aplicar a DFT para analisar este sinal no domınio da frequˆencia A maioria dos osciloscopios digitais possuem a funcao para o calculo da DFT de um sinal contınuo amostrado A DFT de sinais amostrados pode ser utilizada para analisar a composicao de um determinado sinal Por exemplo podemos verificar a existˆencia de um componente harmˆonico em uma fonte conversora ACDC 3653 Sinais Amostrados Vamos relembrar que o perıodo de amostragem do sinal e dado por Ts A frequˆencia de amostragem e fs 1 Ts A frequˆencia angular ou velocidade angular da amostragem e 𝜔s 2𝜋fs 2𝜋 Ts 3753 Relacoes de Sinal Amostrado vs DFT Para termos uma relacao do sinal amostrado com a DFT vamos relembrar que a DFT possui perıodo maximo de N amostras Portanto o perıodo maximo do sinal amostrado e de T N Ts As frequˆencias da DFT do sinal amostrado sao Ω k 2𝜋 NTs k N 𝜔s rads k 0 1 2 N 1 Portanto a resolucao em frequˆencia da DFT e RDFT 2𝜋 NTs rads 3853 Exercıcio Considere que vocˆe obteve a DFT de um sinal com 10 amostras e obtido com um perıodo de amostragem de 0 1 s conforme apresentado abaixo Calcule as frequˆencias correspondentes ao sinal amostrado Hz e rads e discreto 𝜔0 e a resolucao em frequˆencia da DFT Hz 3953 Representacao da DFT de sinais reais Na engenharia e muito mais comum trabalharmos com sinais reais Afinal quando utilizamos o osciloscopio para medir um sinal de tensao de um circuito esta e uma variavel real Neste caso podemos omitir parte da DFT pois sabemos que esta e simetrica Na maioria dos casos tambem nao estamos interessados em saber a fase da DFT do sinal Calculamos a DFT de apenas um lado 𝜔0 k2𝜋N 0 1 𝜋 pois sabemos que o outro lado da DFT e simetrico Precisamos coletar ate k floorN2 para definir a DFT de um sinal real com N amostras OBS floorN2 e uma funcao que aproxima N2 para o menor numero inteiro Exemplo N 9 floorN2 floor4 5 4 4053 Exercıcio 1 Obtenha a DFT de um lado da DFT abaixo que possui N 10 4153 Exercıcio 2 Obtenha a DFT de um lado da DFT abaixo que possui N 13 4253 Densidade Espectral de Potˆencia PSD E muito comum apresentar o eixo y como potˆencia ao inves do valor absoluto da DFT Assim sabemos quanto de energia cada componente de frequˆencia possui Para o calculo da PSD de um lado da DFT temos que calcular utilizando a relacao de Parseval PX0 1 N X02 PXk 2 N Xk2 k 1 2 floorN2 4353 Exercıcio Obtenha a PSD de um lado da DFT abaixo que possui N 10 4453 Transformada Rápida de Fourier Transformada Rapida de Fourier FFT A Transformada Rapida de Fourier Fast Fourier Transform FFT e um metodo numerico para o calculo da DFT de forma eficiente Aplicar os calculos de DFT diretamente resulta em uma quantidade de calculos muito grande tendo uma complexidade quadratica em relacao ao numero de amostras 𝒪n2 Por exemplo um sinal sonoro e amostrado a uma frequˆencia de 441 kHz Em 10 segundos de som sao coletadas 4 4 105 amostras Aplicando a DFT a quantidade de multiplicacoes e aproximadamente igual a 2 1011 200 bilhoes de multiplicacoes 4553 Transformada Rapida de Fourier FFT Com as otimizacoes do algoritmo FFT e possıvel chegar a uma complexidade de 𝒪n log2n Portanto os mesmos 10 segundos de som utilizando a FFT correspondem a 825 milhoes de multiplicacoes A reducao e de um fator de aproximadamente 24000 vezes o que e bastante consideravel 4653 Transformada Rapida de Fourier FFT A FFT utiliza diversas condicoes de simetria para aumentar a eficiˆencia dos calculos Nao iremos nos adentrar nas especificidades mas basta lembrar que a DFT e simetrica para sinais reais e que o termo ejk2𝜋Nn e periodico em N e portanto pode ter alguns calculos simplificados pois se repetem frequentemente A licao que devemos obter do FFT e que este e um metodo numerico eficiente para o calculo da DFT reduzindo a complexidade do algoritmo de 𝒪N2 para 𝒪n logn 4753 Transformada de Gabor e Espectrograma Problema com DFT Qual seria um problema associado ao DFT Pensem bem conseguimos decompor um sinal no domınio do tempo e descobrimos todas as suas componentes de frequˆencia No entanto perdemos a informacao do tempo Nao sabemos se uma determinada frequˆencia ocorre apenas em um pequeno intervalo de tempo A Transformada de Gabor gera um espectrograma tentando evidenciar quais as componentes de frequˆencia de intervalos do sinal analisado 4853 Como e realizada a Transformada de Gabor Tenho uma janela que seleciona apenas uma parte do sinal para aplicar a FFT Esta janela se move ao longo do sinal que desejamos amostrar 4953 Conceito de resolucao e incerteza da analise de sinais 5053 Exemplo Sinal Chirp no tempo f t cos2𝜋t𝜔t onde 𝜔t 𝜔0 𝜔1 𝜔0 t23t2 1 5153 Exemplo Sinal Chirp FFT PSD Frequency Hz Facens 5253 Exemplo Sinal Chirp Gabor Espectrograma Lembrando dBk 20 logPSDk 5353