Processamento de Sinais - Sistemas Discretos Amostragem e Reconstrucao

Processamento de Sinais CP801 Teoria Topico 2 Sistemas discretos amostragem e reconstrucao Prof Fellipe Garcia Marques fellipemarquesfacensbr 1 de outubro de 2024 Centro Universitario FACENS 170 Bem vindos Anúncios Facens 270 Agenda i 1 Sinais 2 Sistemas 3 Calculando a resposta de um sistema 4 Equacao de Diferencas 5 Amostragem 6 Conversao AD 370 Agenda ii 7 Conversao DA 8 Teorema da amostragem 470 Sinais Sinais Sinais carregam a informacao de como uma variavel se comporta por exemplo ao longo do tempo das amostras ou do espaco Exemplos Temperatura media da sala Intensidade do pixel em uma foto preto e branco Temperatura espacial em uma sala Tensao em um resistor Amostras de uma funcao senoidal 570 Sinais Nesta disciplina iremos nos ater a como os sinais se comportam ao longo de amostras Este caso e extremamente nos dias atuais onde temos recursos computacionais para adquirir analisar e processar sinais 670 Sinais Como representamos matematicamente um sinal Como uma sequencia Um sinal e uma funcao de uma ou mais variaveis e que carrega informacao de algum fenomeno Para uma funcao f na expressao f n1 n2 nk cada uma das variaveis dentro do parentesis e chamada de variavel independente enquanto a funcao o resultado e chamada de variavel dependente 770 Sinais Como representamos matematicamente um sinal Como uma sequencia Um sinal e uma funcao de uma ou mais variaveis e que carrega informacao de algum fenomeno Para uma funcao f na expressao f n1 n2 nk cada uma das variaveis dentro do parentesis e chamada de variavel independente enquanto a funcao o resultado e chamada de variavel dependente 770 Sinais Como representamos matematicamente um sinal Como uma sequencia Um sinal e uma funcao de uma ou mais variaveis e que carrega informacao de algum fenomeno Para uma funcao f na expressao f n1 n2 nk cada uma das variaveis dentro do parentesis e chamada de variavel independente enquanto a funcao o resultado e chamada de variavel dependente 770 Sinais contınuos vs discretos Variavel independente contınua vs discreta Fig 1 Sinal de tempo contınuo e discreto 870 Sinais contınuos vs discretos Processo de amostragem e reconstrucao 970 Sinais contınuos vs discretos Em geral quando o sinal e dito analogico apenas podese assumir que tambem e de tempo contınuo Da mesma forma quando o sinal e dito digital apenas podese assumir que tambem e de tempo discreto 1070 Sinais contınuos vs discretos Como e classificado um sinal em um vetor no computador Sinal Digital Como e classificado um sinal de saıda de um amplificador operacional Sinal Analogico 1170 Sinais contınuos vs discretos Como e classificado um sinal em um vetor no computador Sinal Digital Como e classificado um sinal de saıda de um amplificador operacional Sinal Analogico 1170 Sinais contınuos vs discretos Como e classificado um sinal em um vetor no computador Sinal Digital Como e classificado um sinal de saıda de um amplificador operacional Sinal Analogico 1170 Quais os sinais que estudamos na disciplina Em geral temos uma boa precisao para a amplitude dos sinais de forma que podemos aproximar os sinais digitais em um sinal de variavel independente discreta com variavel dependente contınua Na disciplina vamos considerar que apenas as variaveis independentes sao discretas 1270 Sinais basicos discretos Definimos alguns sinais basicos que sao utilizados na teoria para compreender o funcionamento de sinais e sistemas Vamos estudar alguns deles O sinal pulso unitario discreto e definido como 𝛿n 0 n 0 1 n 0 1370 Sinais basicos discretos O sinal degrau unitario discreto e definido como un 0 n 0 1 n 0 un k0 𝛿n k 1470 Sinais basicos discretos Sinal exponencial discreto xn Czn ou xn Ce𝛽n Sendo C e z numeros complexos 1570 Sinais exponenciais Para o caso com parametros reais apenas e C 1 a z 1 b 0 z 1 c 1 z 0 d z 1 1670 Sinais exponenciais Para o caso especıfico em que z ej𝜔0 xn Cej𝜔0n pela relacao de Euler temos que Cej𝜔0n C cos 𝜔0n jC sen 𝜔0n Lembrese que podemos escrever a funcao cos por exemplo usando exponenciais complexas A cos 𝜔0n 𝜑 A 2 ej𝜑ej𝜔0n A 2 ej𝜑ej𝜔0n 1770 Sinais exponenciais Para o caso com constantes complexas z zej𝜔0 C Cej𝜃 C 𝜃 Czn Czn cos 𝜔0n 𝜃 jCzn sen 𝜔0n 𝜃 a z 1 b z 1 1870 Sinais periodicos Os sinais periodicos sao aqueles que se repetem Para sistemas discretos o sinal se repete apos N amostras O perıodo do sinal N e definido como o menor valor de N tal que a igualdade abaixo seja verdadeira xn xn N 1970 Transformacoes da variavel independente Para transformar a variavel independente de um sinal aplicamos a transformacao na variavel e em seguida observamos o sinal original Estas transformacoes sao imprescindıveis para compreender o funcionamento de sistemas Vamos esbocar os seguintes sinais 𝛿n 2 𝛿n 1 un u2 n 2070 Operacoes algebricas Para operacoes algebricas entre dois sinais realizamos a operacao graficamente ponto a ponto Vamos calcular a 𝛿n 𝛿n 1 b un un 5 c 𝛿nun d 𝛿n 1un O que acontece quando multiplico qualquer sinal por un O que acontece quando multiplico qualquer sinal por 𝛿n 2170 Decomposicao de sinal discreto I Um sinal discreto pode ser decomposto usando uma serie xn k xk𝛿n k 2270 Decomposicao de sinal discreto II 2370 Sistemas Definicao de sistema Um sistema transforma um sinal de entrada e gera um sinal de saıda processa o sinal de entrada xn yn Matematicamente podemos expressar um sistema da seguinte forma yn f x que significa que a saıda do sistema y e funcao de um sinal de entrada x 2470 Definicao de sistema Iremos estudar os sistemas pois sao eles que processam os sinais de interesse Como exemplo considere um equalizador de som O som original e a entrada do sistema xn e a saıda do sistema yn e o som processado com uma enfase nas baixas frequencias sons graves 2570 Propriedades de sistemas Algumas propriedades importantes dos sistemas sao Linearidade Causalidade Estabilidade Com e sem memoria Invariancia no tempo Estas propriedades vao definir quais ferramentas matematicas poderemos utilizar para analisar e projetar sistemas 2670 Linearidade Um sistema e dito linear se e possıvel aplicar os conceitos de homogeneidade e aditividade no sistema Um sistema yn f x e linear se f a x1 b x2 a f x1 b f x2 Ou seja consigo aplicar o princıpio da superposicao de efeitos 2770 Linearidade Se o sistema é linear ydn yen Se o sistema é não linear ydn yen Facens 2870 Linearidade A importancia de se determinar se um sistema e linear ou nao e devido ao fato de que temos ferramentas matematicas bem desenvolvidas para manipular os sistemas lineares Ja para sistemas nao lineares ha uma dificuldade muito maior para predizer o comportamento do sistema apenas observando as equacoes 2970 Exercıcios Linearidade Verifique se os sistemas abaixo sao lineares a yn f x xn 2 b yn f x xn 3yn 1 c yn f x xn 2 d yn f x n xn 1 0 5yn 1 3070 Causalidade Um sistema e dito causal se ele depende apenas do valor da entrada atual e passada e de sua propria saıda passada Para o processamento de sinais em tempo real ao vivo so podemos trabalhar com sistemas causais Exemplo de processamento de sinais em tempo real ao vivo telefonia celular O seu celular recebe um sinal da operadora que deve ser processado ao vivopara que a funcionalidade de comunicacao por voz funcione 3170 Causalidade Determine se os sistemas abaixo sao causais a yn 12 xn 12 xn 1 yn 1 b yn 12 xn 12 xn 2 c yn 12 xn 12 yn 12 3270 Estabilidade Um sistema e dito estavel se para uma entrada limitada menor que infinito a sua saıda tambem e limitada menor que infinito E importante sabermos se o sistema e instavel pois devemos tomar mais cuidado com eles Um sistema instavel esta mais propıcio a gerar valores indefinidos overflow ou underflow 3370 Estabilidade Determine se os sistemas abaixo sao estaveis a yn n k xk Este e um sistema acumulador ou totalizador Ele acumula soma qualquer coisa que colocamos na entrada O totalizador de vazao ou energia eletrica da sua casa usa um sistema deste tipo b yn xn xn 1 Este e um sistema diferenciador Ele faz a diferenca temporal do sinal que colocamos na sua entrada 3470 Com e sem memoria Sistemas com memoria dependem das entradas e saıdas passadas ou futuras para que seja possıvel calcular sua saıda atual Os sistemas sem memoria dependem apenas do valor da entrada e saıda atuais Saber se um sistema possui memoria ou nao vai ajudar a entendermos como este sistema pode ser implementado Se o sistema possuir memoria precisaremos implementar algum tipo de memoria persistente para que o sistema funcione 3570 Com e sem memoria Determine se os sistemas abaixo possuem memoria ou nao a yn xn 2 b yn yn 1 3670 Invariˆancia no tempo Um sistema e invariante no tempo se uma mesma entrada produz uma mesma saıda no sistema tenha passado qualquer perıodo de tempo Caso contrario o sistema e dito variante no tempo Matematicamente para um sistema ser invariante no tempo temos que yn f x f xn k yn k Um sistema invariante no tempo tem a mesma resposta independentemente de quando o sistema e utilizado 3770 Invariância no Tempo Se o sistema é invariante no tempo ydn yen Se o sistema é variante no tempo ydn yen Facens 3870 Invariˆancia no Tempo Exemplo Invariante no tempo 1 float sistemafloat x 2 static yant 0 3 y x2 yant 4 yant y 5 return y 6 7 3970 Variˆancia no tempo Exemplo Variante no tempo 1 float sistemafloat x 2 static float yant 0 3 float wt wtime tempo de utilizacao da cpu 4 y x2 wtyant 5 yant y 6 return y 7 8 4070 Calculando a resposta de um sistema Resposta de um sistema Sabemos o que e um sistema e quais sao suas propriedades Sabemos que podemos representalos atraves de funcoes matematicas que sao chamadas de equacoes de diferencas Ha ainda outra forma de calcular a resposta de um sistema que e bastante util para o processamento digital de sinais e para o desenvolvimento da teoria 4170 Resposta impulsiva de um sistema discreto Ao excitar um sistema discreto por um sinal pulso unitario e anotarmos suas saıdas temos a resposta impulsiva deste sistema hn Por exemplo 4270 Resposta de um sistema para qualquer sinal Para sistemas lineares invariantes no tempo e causais LIT a resposta de um sistema discreto e a soma ponderada da contribuicao de cada impulso de entrada yn k xkhn k Uma forma de interpretar a convolucao e que a saıda do sistema no instante atual e composto pela contribuicao da resposta ao impulso de cada uma das entradas nos instantes passados 4370 Exercıcio de convolucao Calcule a saıda do sistema com a resposta impulsiva e entrada conforme apresentado abaixo 4470 Exemplo visual Outra forma de interpretar a convolucao e atraves da visualizacao dos sinais Exemplo para hn 12 en10un e xn un Exemplo visual 4570 Equação de Diferenças Representacao de sistemas discretos Sistemas lineares e invariantes no tempo possuem uma forma que e denominada de equacao de diferencas N k0 akyn k M k0 bkxn k yn 1 a0 M k0 bkxn k N k1 akyn k 4670 Representacao de sistemas discretos Uma classe particular de sistemas sao aqueles que nao sao recursivos ou seja nao dependem do valor de sua saıda nos instantes passados yn 1 a0 M k0 bkxn k 4770 Classificacao de sistemas discretos Os sistemas discretos sao classificados em IIR Infinite Impulse Response recursivos e FIR Finite Impulse Response nao recursivos Exercıcio calcule a resposta ao impulso dos sistemas a yn xn 12yn 1 b yn xn xn 1 4870 Estabilidade Um sistema e dito estavel se k0 hn 𝜌 para um 𝜌 limitado que nao e infinito Ou seja os sistemas sao estaveis se ao somarmos todos os termos da sequencia da sua resposta impulsiva obtivermos um numero real ou complexo Exercıcio Verifique se os sistemas do slide anterior sao estaveis 4970 Amostragem O que significa amostrar um sinal Amostrar significa coletar amostras de um sinal contınuo Transformamos um sinal de tempo contınuo em tempo discreto Hoje em dia a amostragem e extremamente comum Mesmo em dispositivos digitais de baixo custo conseguimos realizar a amostragem de sinais contınuos utilizando o conversor AD exemplo ESP32 Quando amostramos um sinal xt escolhemos uma frequencia de amostragem Ts tal que o sinal e amostrado resultando em xn xn Ts 5070 Amostragem xt xn tempo t amostras n Tipos de sinais a Sinal de analógico de tempo contínuo b Sinal de analógico de tempo discreto c Sinal digital de tempo contínuo d Sinal digital de tempo discreto Facens 5270 Tipos de sinais Quando se diz que um sinal e analogico subentendese que o sinal e de tempo contınuo Quando se diz que um sinal e digital subentendese que o sinal e de tempo discreto 5370 Esquema de PDS Em um esquema generico de Processamento Digital de Sinais um sinal e amostrado processado e entao reconstruıdo 5470 Conversão AD O processo de conversao AD i A primeira etapa na conversao e segurar o valor de tensao na entrada atraves de um capacitor Sample and Hold Zero Order Hold 5570 O processo de conversao AD ii 5670 Conversor AD tipo Flash Codificador de Prioridade produz código binário correspondente à entrada de mais alta ordem acionada Facens 5770 Definicoes sobre o AD O erro de quantizacao e o desvio entre o resultado da conversao e uma reta ideal Em geral o erro vai de 0 ate Q2 sendo Q a resolucao do conversor em Volts O erro no final da escala e de Q Tempo de aquisicao e o tempo necessario para que o circuito sample and hold SH atinja a tensao de entrada Depois da aquisicao comeca a fase de conversao O tempo de conversao e o tempo necessario para se obter um valor digital na saıda do AD O tempo de amostragem do AD depende do tempo de aquisicao e tempo de conversao 5870 Exemplo de Codificação Saída Codificada Entrada Analógica Facens 5970 Conversao AD O conversor AD recebe um sinal analogico e codifica em uma sequencia de bits A resolucao do conversor quando expressa em bits e o numero de bits N do conversor AD A resolucao do conversor expressa em tensao e Q 1LSB VREF VREF 2N 6070 Conversao AD Exercıcio Calcule o valor de Q para VREF 0V e VREF 5V e N 10 bits Resultado 48 mV 6170 Conversao AD Exercıcio Calcule o valor de Q para VREF 0V e VREF 5V e N 10 bits Resultado 48 mV 6170 E o calculo inverso Como calcular a tensao analogica a partir do valor codificado Somase a contribuicao de cada um dos bits e dividese pelo valor maximo que pode ser representado pelo numero de bits VIN VREF VREFVdec 2N VREF Em que Vdec e o valor do sinal convertido para decimal Exercıcio Calcule o valor de VIN para VREF 0V VREF 5V N 4 bits e o valor da conversao em binario seja 1101 VIN 5 0 1 23 1 22 0 21 1 20 2N Resposta VIN 40625V 6270 E o calculo inverso Como calcular a tensao analogica a partir do valor codificado Somase a contribuicao de cada um dos bits e dividese pelo valor maximo que pode ser representado pelo numero de bits VIN VREF VREFVdec 2N VREF Em que Vdec e o valor do sinal convertido para decimal Exercıcio Calcule o valor de VIN para VREF 0V VREF 5V N 4 bits e o valor da conversao em binario seja 1101 VIN 5 0 1 23 1 22 0 21 1 20 2N Resposta VIN 40625V 6270 E o calculo inverso Como calcular a tensao analogica a partir do valor codificado Somase a contribuicao de cada um dos bits e dividese pelo valor maximo que pode ser representado pelo numero de bits VIN VREF VREFVdec 2N VREF Em que Vdec e o valor do sinal convertido para decimal Exercıcio Calcule o valor de VIN para VREF 0V VREF 5V N 4 bits e o valor da conversao em binario seja 1101 VIN 5 0 1 23 1 22 0 21 1 20 2N Resposta VIN 40625V 6270 E o calculo inverso Exercıcio 2 Calcule o valor de VIN para VREF 0V VREF 5V N 4 bits e o valor da conversao em binario seja 1111 Resposta VIN 46875V 6370 E o calculo inverso Exercıcio 2 Calcule o valor de VIN para VREF 0V VREF 5V N 4 bits e o valor da conversao em binario seja 1111 Resposta VIN 46875V 6370 Conversão DA Como e feita a conversao DA Eu tenho um valor expresso em binario e desejo passar para um sinal analogico 6470 Forma alternativa PWM Podese utilizar um filtro passabaixa com frequencia de corte pelo menos 10 vezes menor que a frequencia do PWM 6570 Como eu ligo os pontos no conversor DA Posfiltro Segurador de ordem zero ou de maior ordem 6670 Teorema da amostragem Teorema da amostragem Teorema da Amostragem de Nyquist Seja xt um sinal com frequencia maxima igual a 𝜔M Este sinal e determinado unicamente por suas amostras xn Ts se 𝜔s 2𝜔M sendo 𝜔s 2𝜋 Ts Se atendermos ao teorema da amostragem de Nyquist podemos reconstruir o sinal contınuo utilizando um filtro passabaixa ideal bloco posfiltro no slide 54 O filtro passabaixa ideal nao e causal portanto nao pode ser implementado em aplicacoes ao vivo Quanto menor Ts em geral melhor e a aproximacao DA 6770 Aliasing Quando nao seguimos o teorema da amostragem ocorre o Aliasing As frequencias de um sinal amostrado xt que sao superiores a 𝜔s2 sao interpretadas pelo sistema digital como se tivessem uma frequencia inferior Esta caracterıstica e chamada de Aliasing O prefiltro do slide 54 e utilizado para impedir que frequencias superiores a 𝜔s2 entrem no sistema digital 6870 Amostragem sem Aliasing Sinal original Amostras Sinal reconstruido Amostras a ω0 ωsg6 ω0 2ωsg6 Facens 6970 Amostragem com Aliasing ω0 4ωsg6 ω0 5ωsg6 Facens 7070