Transformada de Fourier de Tempo Discreto - Teoria e Exercícios

Processamento de Sinais CP801 Teoria Topico 4 Transformada de Fourier de Tempo Discreto Prof Fellipe Garcia Marques fellipemarquesfacensbr 29 de novembro de 2024 Centro Universitario FACENS 132 Bem vindos Anúncios Agenda i 1 Introducao 2 A Transformada de Fourier de Tempo Discreto 3 Exercıcios 4 Sinais periodicos 5 Propriedades 6 Convolucao 332 Agenda ii 7 Tabelas de propriedades e transformadas 8 Exercıcios 432 Introdução Serie de Fourier Discreta A SFD e capaz de decompor um sinal periodico em senos e cossenos E uma ferramenta excelente que consegue nos transformar do domınio das amostras n para o domınio dos coeficientes da Serie de Fourier Discreta ak Assim conseguimos analisar um determinado sinal sob uma nova perspectiva o da frequˆencia No entanto temos um potencial problema A maioria dos sinais nao sao periodicos Sera que a SFD pode ser estendida para sinais nao periodicos 532 Transformada de Fourier de Tempo Discreto A TFTD e a aplicacao da SFD para sinais nao periodicos Ou seja a TFTD e uma generalizacao para obter a decomposicao de sinais que nao sao periodicos em uma somatoria de senos e cossenos A TFTD nao vai funcionar para sinais divergentes Teremos uma generalizacao da TFTD mais a frente que e a Transformada z que funciona inclusive para sinais divergentes Vamos entender e aplicar a TFTD para compreender a decomposicao de sinais e sistemas em um somatorio de senos e cossenos 632 A Transformada de Fourier de Tempo Discreto Obtendo a TFTD Uma forma de entender a TFTD e tentar aproximar um sinal que nao e periodico xn por um outro sinal que e periodico xn Assumimos que fora da faixa em que xn e definido seu valor e zero 732 Obtendo a TFTD Quanto maior o perıodo do meu sinal N mais xn se aproxima de xn A aproximacao so e perfeita quando N Considerando que 𝜔0 2𝜋 N entao os coeficientes da Serie de Fourier se tornam xn 1 2𝜋 kN n xnejk𝜔0n ejk𝜔0n𝜔0 Para xn limN xn portanto N 𝜔0 0 Desta forma o sinal xn e reconstruıdo atraves de uma integral e os coeficientes ak sao tao proximos que se tornam contınuos Como a somatoria e sobre N a integral e sobre 2𝜋 832 Obtendo a TFTD Em resumo temos o seguinte par de equacoes TFTD xn 1 2𝜋 2𝜋 Xej𝜔ej𝜔nd𝜔 Xej𝜔 n xnej𝜔n A TFTD so existe para quando xn So funciona para sinais convergentes A TFTD e uma funcao contınua e periodica Um sinal naoperiodico e transformado em uma integral somatoria de infinitas senoides 932 Interpretacao grafica xn 1 2𝜋 2𝜋 Xej𝜔ej𝜔nd𝜔 1032 Exercícios Exemplo 1 Vamos calcular a TFTD do sinal xn anun a 1 1132 Exemplo 1 a 08 Amostra n xn a 08 Xejω Xejω graus ω rads Facens 1232 Exemplo 1 a 08 Amostra n xn a 08 Xejω Xejω graus ω rads Facens 1332 Exemplo 2 Calcule a TFTD do sinal xn 𝛿n 1432 Sinais periódicos Sinais periodicos e a TFTD A TFTD tem alguma relacao com a SFD Ambas possuem equacoes bastante similares e a TFTD foi obtida atraves de uma generalizacao da SFD Portanto esperase que os sinais periodicos tambem possam ser representados utilizando a TFTD 1532 Sinais periodicos e a TFTD Os sinais periodicos sao representados como um trem de impulsos de forma similar ao que temos na SFD A relacao entre os coeficientes da SFD e TFTD e X ej𝜔 k 2𝜋ak𝛿 𝜔 k 2𝜋 N Isto significa que temos uma relacao direta entre a TFTD e a SFD para sinais periodicos Ainda bem pois estendemos a SFD para obter a TFTD Vamos calcular a TFTD do sinal xn cos 𝜔0n 1632 Exercıcio Calcule a TFTD do sinal abaixo com N 5 xn 2 cos 𝜔0n 𝜋 4 Dica obtenha primeiro a SFD e depois a TFTD 1732 Propriedades Propriedades da TFTD A TFTD e periodica Xej𝜔2𝜋 Xej𝜔 A TFTD e linear Se x1n F X1 ej𝜔 x2n ℱ X2 ej𝜔 Entao ax1n bx2n F aX1 ej𝜔 bX2 ej𝜔 1832 Propriedades da TFTD Deslocamento no tempo xn ℱ X ej𝜔 x n n0 ℱ ej𝜔n0X ej𝜔 1932 Propriedades da TFTD Diferenciacao xn xn 1 F 1 ej𝜔 X ej𝜔 Acumulacao n m xm ℱ 1 1 ej𝜔 X ej𝜔 𝜋X ej0 k 𝛿𝜔 2𝜋k 2032 Propriedades da TFTD Relacao de Parseval energia de um sinal n xn2 1 2𝜋 2𝜋 X ej𝜔 2 d𝜔 2132 Convolução A propriedade da Convolucao Ja vimos que conseguimos calcular a saıda de um sistema atraves da somatoria de convolucao entre o sinal de entrada e a resposta impulsiva do sistema Se yn xn hn Entao Y ej𝜔 X ej𝜔 H ej𝜔 2232 A propriedade da Convolucao Podemos usar a propriedade da Convolucao para diversos objetivos Obtencao da resposta impulsiva de um filtro com determinada resposta em frequˆencia Calculo da convolucao a partir da TFTD as vezes e mais simples que no domınio do tempo afinal e so uma multiplicacao Analise da resposta de um sistema para entradas senoidais diagrama de Bode 2332 Aplicacao Filtragem ideal Vamos considerar que desejamos projetar um filtro passa baixa ideal Este filtro tem a seguinte resposta em frequˆencia TFTD da sua resposta impulsiva Vamos entender como isto funciona E se colocarmos uma entrada neste sistema com uma determinada caracterıstica de frequˆencias 2432 Aplicacao Filtragem ideal A filtragem significa alterar determinadas caracterısticas do sinal Neste caso eliminamos qualquer frequˆencia do sinal de entrada que seja superior a frequˆencia de corte do filtro 𝜔c Vamos agora calcular a resposta impulsiva deste filtro ideal E FIR Finite Impulse Response ou IIR Infinite Impulse Response 2532 Aplicacao Filtragem ideal E possıvel implementar o filtro ideal para uma filtragem em tempo real ao vivo E possıvel implementar o filtro ideal para uma filtragem offline Filtragem em tempo real ao vivo Filtro o sinal assim que recebo novas amostras Filtragem offline Adquiro todo o sinal e depois faco a sua filtragem 2632 Tabelas de propriedades e transformadas Propriedades Propriedade Sinal aperiodico Transformada de Fourier xn X ej𝜔 yn Y ej𝜔 Linearidade axn byn aX ej𝜔 bY ej𝜔 Deslocamento no tempo x n n0 ej𝜔n0X ej𝜔 Convolucao xn yn X ej𝜔 Y ej𝜔 Diferenciacao no tempo xn xn 1 1 ej𝜔 X ej𝜔 2732 Transformadas Sinal Transformada de Fourier Coeficientes da serie de Fourier se periodica cos 𝜔0n 𝜋 ℓ 𝛿 𝜔 𝜔0 2𝜋ℓ 𝛿 𝜔 𝜔0 2𝜋ℓ a 𝜔0 2𝜋m N ak 1 2 k m m N m 2N 0 caso contrario b 𝜔0 2𝜋 irracional 0 sinal e aperiodico sen 𝜔0n 𝜋 j ℓ 𝛿 𝜔 𝜔0 2𝜋ℓ 𝛿 𝜔 𝜔0 2𝜋ℓ a 𝜔0 2𝜋m N ak 1 2j k r r N r 2N 1 2j k r r N r 2N 0 caso contrario b 𝜔0 2𝜋 irracional 0 sinal e aperiodico 2832 Transformadas Sinal Transformada de Fourier Coeficientes da serie de Fourier se periodica xn 1 2𝜋 ℓ 𝛿𝜔 2𝜋ℓ ak 1 k 0 N 2N 0 caso contrario Onda quadrada periodica xn 1 n N1 0 N1 n N2 e xn N xn 2𝜋 k ak𝛿 𝜔 2𝜋k N ak sen 2𝜋kN N1 1 2 N sen2𝜋k2N k 0 N 2N ak 2N1 1 N k 0 N 2N k 𝛿n kN 2𝜋 N k 𝛿 𝜔 2𝜋k N ak 1 N para todo k anun a 1 1 1aej𝜔 xn 1 n N1 0 n N1 sen 𝜔N1 1 2 sen𝜔2 2932 Transformadas Sinal Transformada de Fourier Coeficientes da serie de Fourier se periodica sen Wn 𝜋n W 𝜋 sinc Wn 𝜋 0 W 𝜋 X𝜔 1 0 𝜔 W 0 W 𝜔 𝜋 X𝜔 periodico com perıodo 2𝜋 𝛿n 1 un 1 1ej𝜔 𝛿 n n0 ej𝜔0n n 1anun a 1 1 1aej𝜔 2 nr1 nr1 anun a 1 1 1aej𝜔 r 3032 Exercícios Exercıcio 1 Calcule a TFTD do seguinte sinal xn 2 0 5nun 0 1 n 102nun 3132 Exercıcio 2 Esboce o grafico da magnitude e fase da TFTD do sinal abaixo xn 𝛿n 2 3232