Resolução de Exercicios Fft e Dft

Engenharia Mecatrˆonica Prof Fellipe Marques CA906 Processamento Digital de Sinais Lista de Exercıcios 1 Qual a diferenca entre FFT e DFT 2 A FFT de um sinal e igual a sua TFTD Qual a principal diferenca entre a FFT e a TFTD 3 Para realizar a convolucao utilizando a FFT de dois sinais e necessario executar um procedimento chamado de zero padding Suponha que vocˆe deseja calcular a convolucao de dois sinais 𝑥𝑛 e ℎ𝑛 a partir de sua FFT 𝑋𝑘 e 𝐻𝑘 Considerando que o sinal 𝑥𝑛 possui 10 amostras e ℎ𝑛 possui 5 amostras qual sera o tamanho dos vetores 𝑥 e ℎ apos o procedimento de zero padding 4 Responda as perguntas apresentadas abaixo a Qual a maxima frequˆencia em radianos por amostra do lado direito da FFT de um sinal discreto b Para um sinal amostrado com 𝑇𝑠 0 1 s qual a maxima frequˆencia em Hz e radianos por segundo do lado direito de sua FFT 5 Considere que vocˆe deseja analisar a FFT de um sinal da rede eletrica para determinar se ha existˆencia de harmˆonicas na rede A PSD obtida foi conforme apresentada na Figura 1 E possıvel determinar se ha presenca de harmˆonicas no sinal Quais sao as possıveis harmˆonicas presentes no sinal Figura 1 PSD de um sinal de rede eletrica 1 Engenharia Mecatrˆonica Prof Fellipe Marques 6 Considere que vocˆe deseja determinar qual o intervalo de tempo que ocorre a incidˆencia de uma frequˆencia de 500 Hz em um sinal Para tanto vocˆe utilizou o espectrograma para realizar esta analise obtendo o grafico conforme apresentado na Figura 2 Analisando o grafico qual o intervalo de tempo que ocorre a incidˆencia de uma componente de 500 Hz Figura 2 Espectrograma de um sinal 7 Qual a funcao de transferˆencia utilizando a Transformada z dos sistemas representa dos atraves de equacoes de diferencas conforme abaixo Estes sistemas sao estaveis ou instaveis Possuem TFTD Sao de resposta impulsiva FIR ou IIR Se possuırem TFTD obtenha as equacoes de magnitude e fase dos sistemas Esboce os mapas de polos e zeros dos sistemas a 𝑦𝑛 𝑥𝑛 𝑥𝑛 1 01𝑦𝑛 1 b 𝑦𝑛 𝑥𝑛 𝑥𝑛 3 07𝑦𝑛 1 02𝑦𝑛 2 c 𝑦𝑛 𝑥𝑛 13𝑦𝑛 1 8 Qual a funcao de transferˆencia utilizando a Transformada z das seguintes sequˆencias obtidas da resposta impulsiva do sistema conforme abaixo Estes sistemas sao estaveis ou instaveis Possuem TFTD Sao de resposta impulsiva FIR ou IIR Se possuırem TFTD obtenha as equacoes de magnitude e fase dos sistemas Esboce os mapas de polos e zeros dos sistemas a ℎ 0 25 0 25 2 Engenharia Mecatrˆonica Prof Fellipe Marques b ℎ 1 1 9 Para um sistema que apresenta as respostas em frequˆencia conforme apresentado nas Figuras 3 e 4 determine a Para uma entrada senoidal de amplitude 5 e frequˆencia de 1 kHz qual a amplitude e fase do sinal de saıda b Para uma entrada senoidal de amplitude 1 qual o atraso na saıda para um sinal com frequˆencia de 2 kHz Considere que o sistema e amostrado com frequˆencia de 𝑓𝑠 10 kHz Figura 3 Resposta em frequˆencia do sistema do Ex 9 3 Engenharia Mecatrˆonica Prof Fellipe Marques Figura 4 Group delay do sistema do Ex 9 10 Para um sistema que apresenta as respostas em frequˆencia conforme apresentado nas Figuras 5 e 6 determine a Para uma entrada senoidal de amplitude 1 e frequˆencia de 125 kHz qual a amplitude e fase do sinal de saıda b Para uma entrada senoidal de amplitude 1 qual o atraso na saıda para um sinal com frequˆencia de 1 kHz Considere que o sistema e amostrado com frequˆencia de 𝑓𝑠 10 kHz 4 Engenharia Mecatrˆonica Prof Fellipe Marques Figura 5 Resposta em frequˆencia do sistema do Ex 10 Figura 6 Group delay do sistema do Ex 10 5 Engenharia Mecatrˆonica Prof Fellipe Marques 11 Um dos metodos de se projetar um filtro FIR e atraves do janelamento de uma resposta impulsiva do filtro ideal Se desejamos um filtro FIR causal e necessario adicionar um atraso na resposta impulsiva do filtro ideal Explique o que significa o processo de janelamento 12 Como o janelamento altera a TFTD do filtro ideal Analise com base na frequˆencia de corte e oscilacoes nas bandas de passagem e de corte 13 Considere que vocˆe deseja projetar um filtro FIR passabaixa com as seguintes caracterısticas a Ganho unitario na banda de passagem b Erro maximo na banda de passagem de 0001 c Erro maximo na banda de corte de 001 d Frequˆencia de passagem ate 0 3𝜋 radamostra e Frequˆencia de corte de 0 35𝜋 radamostra Calcule os coeficientes 𝛼 e 𝛽 da janela de Kaiser que atendas as especificacoes do filtro 6 A Transformada Discreta de Fourier DFT e a Transformada Rápida de Fourier FFT são ambas ferramentas matemáticas usadas para analisar sinais no domínio da frequência A principal diferença entre as duas reside na eficiência computacional Em resumo DFT É a definição matemática da transformação mas é lenta para grandes conjuntos de dados FFT É um algoritmo rápido para calcular a DFT ideal para grandes conjuntos de dados e aplicações em tempo real Analogia Imagine que você precisa analisar um livro extenso para encontrar palavras específicas A DFT seria como ler cada página do livro uma a uma enquanto a FFT seria como usar um índice para localizar rapidamente as palavras desejadas Não a FFT Fast Fourier Transform de um sinal não é igual à sua TFTD TimeFrequency Distribution Ambas são ferramentas utilizadas para análise de sinais mas possuem diferenças significativas A confusão pode surgir porque a FFT é de fato uma implementação eficiente da Transformada de Fourier Discreta DFT mas não é a mesma coisa que uma distribuição tempofrequência TFTD Vamos esclarecer essas diferenças Diferenças entre FFT e TFTD 1 Objetivo e Resolução FFT Fast Fourier Transform Objetivo Transforma um sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência Resolução Oferece alta resolução em frequência mas baixa resolução em tempo A FFT fornece uma visão detalhada das componentes de frequência presentes no sinal mas não informa precisamente quando cada componente de frequência aparece TFTD TimeFrequency Distribution Objetivo Proporciona uma representação conjunta do tempo e da frequência permitindo analisar como as componentes de frequência de um sinal variam ao longo do tempo Resolução Oferece uma resolução equilibrada tanto em tempo quanto em frequência Isso é útil para analisar sinais não estacionários e fenômenos transientes onde a frequência das componentes pode mudar com o tempo 2 Interpretação dos Resultados FFT Magnitude Representa a amplitude de cada frequência no sinal Fase A fase também é calculada mas sua interpretação direta em relação ao sinal original pode ser complexa TFTD Magnitude Indica a importância de cada componente no domínio tempofrequência Fase A fase pode ser usada para analisar a relação entre diferentes componentes ao longo do tempo proporcionando uma visão mais intuitiva da evolução do sinal 3 Cálculo e Complexidade Computacional FFT Eficiência A FFT é computacionalmente eficiente especialmente para sinais longos com uma complexidade de 𝑂𝑁log 𝑁 ONlogN Isso a torna prática para aplicações em tempo real ou com recursos computacionais limitados TFTD Complexidade O cálculo da TFTD pode ser mais complexo e computacionalmente intensivo principalmente quando se busca alta resolução em tempo e frequência Métodos como a Transformada de Fourier de Janela STFT a Transformada de Wavelet e a Distribuição de WignerVille são exemplos de técnicas para obter distribuições tempofrequência Conclusão A FFT e a TFTD são ferramentas complementares usadas para análise de sinais mas servem a propósitos diferentes A FFT é ideal para obter uma análise precisa das componentes de frequência de um sinal estacionário enquanto a TFTD é mais adequada para sinais não estacionários onde a frequência das componentes varia ao longo do tempo Cada uma tem suas próprias vantagens e limitações em termos de resolução interpretação e complexidade computacional A FFT de um sinal limitado em frequência é a amostragem da TFTD Entretanto quando o sinal não for limitado em frequência haverá um erro entre a FFT e a TFTD A convolução de dois sinais é uma operação fundamental no processamento de sinal digital A FFT Transformada Rápida de Fourier é uma ferramenta poderosa para realizar essa operação de forma eficiente No entanto para utilizar a FFT na convolução é necessário realizar um passo prévio chamado zero padding Objetivo do Zero Padding O zero padding tem dois objetivos principais 1 Evitar sobreposição dos sinais convoluídos Durante a convolução os sinais são deslocados e multiplicados gerando um sinal de tamanho maior que os sinais originais O zero padding insere zeros nas bordas dos sinais garantindo que a convolução completa possa ser realizada sem que os sinais se sobreponham indevidamente 2 Eficiência computacional da FFT As implementações da FFT são mais eficientes quando o tamanho da entrada é uma potência de 2 O zero padding garante que o tamanho final dos sinais seja igual ou maior à próxima potência de 2 após a convolução Cálculo do Tamanho após Zero Padding No caso em questão os sinais originais xn e hn possuem comprimentos Nx 10 e Nh 5 respectivamente A convolução desses sinais resulta em um sinal de tamanho Para utilizar a FFT os sinais xn e hn precisam ser zero padded até um tamanho que seja pelo menos Ny O próximo número que é uma potência de 2 e maior ou igual a Ny é 16 Aplicação do Zero Padding Portanto os sinais xn e hn serão zero padded com zeros nas posições que não possuem dados originais até que alcancem o tamanho final de 16 amostras A máxima frequência em radianos por amostra no lado direito da FFT Transformada Rápida de Fourier de um sinal discreto é igual a π radianos por amostra Isso ocorre porque a FFT de um sinal discreto geralmente é simétrica em relação a π radianos por amostra representando metade do espectro de frequência com as frequências positivas de 0 a π radianos por amostra refletidas simetricamente nas frequências negativas de π a 0 radianos por amostraporem A frequência máxima em radianos por amostra do lado direito da FFT de um sinal discreto depende da taxa de amostragem do sinal A máxima frequência que pode ser representada na FFT é metade da taxa de amostragem também conhecida como frequência de Nyquist Para entender melhor as harmônicas são múltiplos inteiros da frequência fundamental do sinal de energia elétrica geralmente 50Hz ou 60Hz dependendo da região Esses múltiplos são conhecidos como a segunda harmônica 2x a frequência fundamental a terceira harmônica 3x a frequência fundamental e assim por diante Portanto ao observar a PSD se forem identificados picos em 170Hz primeira harmônica 300Hz segunda harmônica e 420Hzterceira harmônica e assim é possível concluir que existem harmônicas presentes no sinal da rede elétrica A presença de harmônicas é uma preocupação em sistemas elétricos pois podem causar distorções na forma de onda da corrente e da tensão o que pode levar a problemas como aumento de perdas de energia superaquecimento de equipamentos e mau funcionamento de dispositivos sensíveis Conforme o espectrograma apresentado na Figura 2 a componente de 500 Hz está presente no sinal em um intervalo de tempo que se estende de aproximadamente 3 a 5 segundos totalizando 2s presente no sinal Análise do Espectrograma O espectrograma mostra a distribuição da potência do sinal em função da frequência e do tempo No eixo vertical frequência podemos observar a faixa de frequências analisadas que se estende de 0 a 5 kHz No eixo horizontal tempo podemos observar o intervalo de tempo analisado que se estende de 0 a 10 segundos A componente de 500 Hz está representada por uma faixa vertical na região central do espectrograma com uma potência de aproximadamente 50 dBHz Essa faixa vertical indica que a componente de 500 Hz está presente no sinal em todo o intervalo de tempo analisado Interpretação dos Resultados A análise do espectrograma nos permite concluir que a componente de 500 Hz está presente no sinal em um intervalo de tempo que se estende de aproximadamente 3 a 5 segundos Essa informação é importante para diversos tipos de aplicações como análise de sinais de voz música e comunicação Para determinar a função de transferência de um sistema descrito por uma equação de diferenças utilizando a Transformada z podemos seguir um procedimento passo a passo Vamos analisar a equação fornecida Análise FIRIIR Um sistema é FIR Finite Impulse Response se a resposta ao impulso tem uma duração finita ou seja se a função de transferência não possui polos Caso contrário é IIR Infinite Impulse Response Neste caso temos um polo em z 01 o que significa que o sistema é IIR Transformada de Fourier Discreta TFTD A Transformada de Fourier Discreta DFT de uma função de transferência Hz pode ser obtida avaliando Hz na circunferência unitária z ejω Hejω 1 ejω 1 01ejω Podemos separar em magnitude e fase Magnitude Hejω 1 ejω 1 01ejω Fase Hejω 1 ejω 1 01ejω Agora vamos esboçar os mapas de polos e zeros Mapas de Polos e Zeros No plano z temos Zero em z 1 Polo em z 01 Esboçando isso no plano z O zero é um ponto no círculo unitário no ponto z 1 O polo é um ponto dentro do círculo unitário no ponto z 01 b yn xn xn 3 07yn 1 02yn 2 1 Função de Transferência usando a Transformada z Primeiro aplicamos a Transformada z à equação de diferenças Lembrando que a Transformada z de uma sequência yn é dada por Yz e similarly para xn é Xz Aplicando a Transformada z à equação yn Yz yn 1 z1Yz yn 2 z2Yz xn Xz xn 3 z3Xz Substituindo esses termos na equação original temos Yz Xz z3Xz 07z1Yz 02z2Yz Rearranjando para isolar Yz Yz 07z1Yz 02z2Yz Xz z3Xz Fatorando Yz no lado esquerdo Yz 1 07z1 02z2 Xz 1 z3 A função de transferência Hz é dada por Hz YzXz 1 z3 1 07z1 02z2 2 Estabilidade do Sistema Para determinar a estabilidade do sistema precisamos analisar os pólos da função de transferência Os pólos são as raízes do denominador da função de transferência Denominador 1 07z1 02z2 0 Multiplicando por z² para facilitar a solução z² 07z 02 0 Usamos a fórmula quadrática para resolver essa equação z b b² 4ac 2a onde a 1 b 07 e c 02 z 07 049 08 2 z 07 129 2 z 07 1136 2 Os pólos são z₁ 07 1136 2 0918 z₂ 07 1136 2 0218 Ambos os pólos estão dentro do círculo unitário z₁ 1 e z₂ 1 então o sistema é estável 3 Resposta Impulsiva FIR ou IIR Como o denominador da função de transferência tem termos que dependem de yn 1 e yn 2 o sistema possui uma resposta impulsiva infinita IIR 4 Transformada de Fourier Discreta TFTD Para determinar a magnitude e fase substituímos z por ejω Hejω 1 ej3ω 1 07ejω 02ej2ω Magnitude Hejω 1 ej3ω 1 07ejω 02ej2ω Fase Hejω arg 1 ej3ω 1 07ejω 02ej2ω 5 Mapa de Pólos e Zeros Para o numerador 1 z3 0 z³ 1 Os zeros são z ej0 z ej2π3 z ej2π3 Os pólos foram calculados anteriormente como z₁ 0918 e z₂ 0218 c yn xn 13yn1 1 Transformada Z Aplicamos a Transformada Z na equação de diferenças Yz Xz 13Yzz1 Isolamos Yz Yz 13Yzz1 Xz Yz1 13z1 Xz Yz Xz 113z1 A função de transferência Hz é dada por Hz Yz Xz 1 113z1 Reescrevendo Hz 1 1 13z z z 13 2 Estabilidade Para que o sistema seja estável todos os polos devem estar dentro do círculo unitário no plano z O polo do sistema está em z 13 Como 13 1 o sistema é instável 3 Resposta impulsiva FIR ou IIR O sistema é IIR Infinite Impulse Response pois tem um denominador com um polo não nulo indicando que a resposta impulsiva é infinita 4 Existência de TFTD A TFTD existe se todos os polos do sistema estiverem dentro do círculo unitário Como o polo z 13 está fora do círculo unitário o sistema não possui TFTD 5 Equações de magnitude e fase A função de transferência pode ser escrita em termos da frequência ω como Hejω ejω ejω 13 Magnitude Hejω ejω ejω 13 Hejω 1 sqrt1 13 cos ω2 13 sin ω2 Fase Hejω arg ejω ejω 13 Hejω ω argejω 13 Hejω ω tan1 13 sin ω 1 13 cos ω 6 Mapa de polos e zeros A função de transferência Hz z z 13 tem Um zero em z 0 Um polo em z 13 O mapa de polos e zeros é Um zero no ponto z 0 Um polo no ponto z 13 Graph showing poles and zeros 8 Qual a função de transferência utilizando a Transformada z das seguintes sequências obtidas da resposta impulsiva do sistema conforme abaixo Estes sistemas são estáveis ou instáveis Possuem TFTD São de resposta impulsiva FIR ou IIR Se possuírem TFTD obtenha as equações de magnitude e fase dos sistemas Esboce os mapas de polos e zeros dos sistemas a h 025 025 A função de transferência utilizando a Transformada Z pode ser encontrada a partir da resposta ao impulso hn da seguinte maneira Hz n0N hn zn onde hn é a resposta ao impulso N é o comprimento da resposta ao impulso o número de termos não nulos menos um e z é a variável de transformada Z Vamos calcular a função de transferência para a sequência h 025 025 Hz 025z0 025z1 Hz 025 025z1 O sistema é FIR Finito em Resposta ao Impulso pois a resposta ao impulso é de comprimento finito Para determinar a estabilidade do sistema podemos analisar o mapa de polos e zeros No entanto como este sistema é FIR ele sempre será estável já que todos os polos estão localizados no ponto zero do plano Z Para encontrar a Transformada de Fourier da resposta ao impulso TFTD podemos substituir z ejω na função de transferência Hz e então calcular a magnitude e a fase Hejω 025 025 ejω Agora podemos calcular a magnitude e a fase Magnitude Hejω sqrt0252 0252 025 sqrt2 Fase Hejω arctan025 sinω 025 cosω 025 O sistema não possui polos ou zeros no plano Z portanto seu mapa de polos e zeros consiste apenas no ponto z 0 que é um ponto estável no plano Z Portanto resumindo O sistema é FIR O sistema é estável O sistema não possui TFTD Graph showing poles and zeros b h 1 1 Para a sequência hn 1 1 a Transformada Z seria Hz 1 z0 1 z1 Hz 1 1z Para determinar se o sistema é estável ou instável precisamos analisar o comportamento dos polos da função de transferência Um sistema é estável se todos os polos estiverem dentro do círculo unitário no plano z Um sistema é instável se pelo menos um polo estiver fora do círculo unitário No caso da função Hz 1 1z o polo está em z 0 que está dentro do círculo unitário Portanto o sistema é estável Um sistema FIR Resposta ao Impulso Finita é aquele cuja resposta ao impulso é de duração finita Um sistema IIR Resposta ao Impulso Infinita é aquele cuja resposta ao impulso é de duração infinita No caso da sequência hn 1 1 a resposta ao impulso é finita então o sistema é FIR Para obter a resposta em frequência do sistema podemos substituir z por ejω onde ω é a frequência angular Hejω 1 1ejω Para encontrar a magnitude e a fase podemos representar Hejω na forma polar Hejω Hejω ejφω Onde Hejω é a magnitude e φω é a fase Hejω 1 1ejω φω arg1 1ejω Os mapas de polos e zeros dos sistemas podem ser esboçados plotando os zeros e polos de Hz no plano z No caso de Hz 1 1z há um zero em z 0 Como discutido anteriormente este é um sistema FIR então não há polos Portanto o mapa de polos e zeros terá um zero na origem do plano z Análise 1 Resposta em Frequência De acordo com a Figura 3 a resposta em frequência do sistema para a frequência de entrada de 1 kHz f 1 kHz é de aproximadamente 098 Isso significa que a amplitude do sinal de saída será aproximadamente 098 5 V 49 V Para determinar a fase do sinal de saída podemos consultar a Figura 3 novamente Na frequência de 1 kHz a fase do sinal de saída é de aproximadamente 60 graus 2 Atraso de Grupo O atraso de grupo do sistema para a frequência de entrada de 1 kHz f 1 kHz pode ser obtido a partir da Figura 4 Na frequência de 1 kHz o atraso de grupo é de aproximadamente 098 amostras Conclusão Para uma entrada senoidal de amplitude 5 V e frequência de 1 kHz o sistema apresentará uma saída senoidal com amplitude de aproximadamente 49 V e fase de aproximadamente 60 graus O atraso de grupo do sinal de saída será de aproximadamente 098 amostras O atraso na saída de um sistema para um sinal de entrada específico pode ser determinado pelo gráfico de atraso de grupo do sistema O atraso de grupo representa o tempo que leva para que a amplitude máxima de um sinal de entrada passe pelo sistema No caso apresentado o gráfico de atraso de grupo do sistema é mostrado na Figura 4 Para encontrar o atraso na saída para um sinal com frequência de 2 kHz podemos seguir os seguintes passos 1 Localizar a frequência de 2 kHz no eixo horizontal do gráfico de atraso de grupo Na Figura 4 a frequência de 2 kHz corresponde a um valor normalizado de frequência de aproximadamente 02 2 Ler o valor do atraso de grupo no eixo vertical correspondente à frequência de 2 kHz Na Figura 4 o valor do atraso de grupo para uma frequência normalizada de 02 é de aproximadamente 01 amostras 3 Converter o valor do atraso de grupo de amostras para tempo Considerando que o sistema é amostrado com uma frequência de 10 kHz uma amostra corresponde a um período de 110 kHz 100 µs Portanto um atraso de grupo de 01 amostras corresponde a um atraso no tempo de 01 amostras 100 µsamostra 10 µs Conclusão O atraso na saída para um sinal com frequência de 2 kHz é de aproximadamente 10 µs Amplitude do sinal de saída A amplitude do sinal de saída pode ser determinada pela magnitude da resposta em frequência do sistema no ponto de 125 kHz No gráfico da Figura 5 a magnitude da resposta em frequência no ponto de 125 kHz é aproximadamente 08 Portanto a amplitude do sinal de saída é de 08 vezes a amplitude do sinal de entrada ou seja 08 Fase do sinal de saída A fase do sinal de saída pode ser determinada pelo ângulo de fase da resposta em frequência do sistema no ponto de 125 kHz No gráfico da Figura 5 o ângulo de fase da resposta em frequência no ponto de 125 kHz é aproximadamente 120 graus Portanto a fase do sinal de saída é de 120 graus Conclusão Para uma entrada senoidal de amplitude 1 e frequência de 125 kHz a amplitude do sinal de saída é de 08 e a fase do sinal de saída é de 120 graus O atraso na saída para um sinal com frequência de 1 kHz em um sistema amostrado com frequência de 𝑓𝑠 10 kHz é de 10 ms Análise do gráfico O gráfico da Figura 6 mostra o atraso de grupo do sistema em função da frequência normalizada O atraso de grupo é definido como a derivada da fase em relação à frequência No gráfico a curva do atraso de grupo apresenta um valor constante de aproximadamente 001 para frequências abaixo de 5 kHz Isso significa que o sistema introduz um atraso constante de 001 amostras para frequências nessa faixa Como a frequência de amostragem é de 10 kHz um atraso de 001 amostras corresponde a 100 µs No entanto é importante notar que o atraso de grupo é medido em amostras e não em unidades de tempo Para converter o atraso de amostras para unidades de tempo é necessário multiplicar o valor por T onde T é o período de amostragem No caso em questão o período de amostragem é de T 1𝑓𝑠 110 kHz 100 µs Portanto o atraso na saída para um sinal com frequência de 1 kHz é de 001 amostras 100 µsamostra 1000 µs 1 ms Conclusão O atraso na saída para um sinal com frequência de 1 kHz em um sistema amostrado com frequência de 𝑓𝑠 10 kHz é de 10 ms Esse valor pode ser obtido diretamente do gráfico do atraso de grupo ou através do cálculo do atraso em amostras e da conversão para unidades de tempo O processo de janelamento é uma técnica utilizada na concepção de filtros FIR Finite Impulse Response para controlar a transição entre a resposta de passagem e a resposta de rejeição do filtro Em termos simples o janelamento envolve multiplicar a resposta impulsiva de um filtro ideal por uma função janela geralmente uma função suave que vai de 0 a 1 de forma a atenuar as oscilações indesejadas na resposta do filtro A ideia básica é que a função janela suavize a transição entre a banda de passagem e a banda de rejeição do filtro reduzindo o efeito de ripple oscilações na resposta em frequência Isso é importante para garantir que o filtro tenha uma boa resposta em frequência com uma transição suave entre as regiões de passagem e rejeição Ao projetar um filtro FIR causal é necessário adicionar um atraso na resposta impulsiva do filtro ideal para tornálo causal Isso significa que a saída do filtro só depende de entradas presentes e passadas não de entradas futuras Esse atraso é necessário para garantir que o filtro possa ser implementado em tempo real sem causar adivinhação ou retroalimentação de dados futuros o que é impossível em sistemas em tempo real O atraso introduzido na resposta impulsiva garante que o filtro opere de forma causal O janelamento é uma técnica comum utilizada no projeto de filtros digitais para atenuar as oscilações nas bandas de transição e minimizar o efeito de vazamento espectral Quando aplicado a um filtro ideal o janelamento pode alterar a resposta em frequência especialmente em termos de largura de banda de transição e atenuação nas bandas de passagem e corte Para entender como o janelamento afeta a resposta em frequência da transformada discreta de Fourier TFTD de um filtro ideal é útil considerar que o janelamento introduz uma multiplicação entre o sinal original e uma janela específica no domínio do tempo A escolha da janela influencia diretamente as características da resposta em frequência resultante 1 Frequência de Corte O janelamento pode afetar a nitidez da transição entre a banda de passagem e a banda de corte do filtro Dependendo do tipo de janela utilizada a transição pode ser mais suave ou mais acentuada Janelas que resultam em transições mais suaves geralmente têm uma frequência de corte menos nítida estendendose para além da frequência desejada 2 Oscilações nas Bandas de Passagem e de Corte O janelamento pode mitigar as oscilações indesejadas nas bandas de passagem e corte do filtro ideal Certos tipos de janelas como a janela de Hamming ou a janela de Blackman são projetadas para reduzir o vazamento espectral minimizando as oscilações indesejadas No entanto o uso de algumas janelas pode introduzir um compromisso entre a largura da lóbula principal e a amplitude das lóbulas secundárias Em resumo o janelamento tem um papel crucial no projeto de filtros digitais pois pode ajustar as características da resposta em frequência para atender aos requisitos específicos do projeto A escolha da janela ideal geralmente envolve um equilíbrio entre a largura de banda de transição desejada a atenuação nas bandas de passagem e corte e a minimização de oscilações indesejadas