Serie de Fourier Discreta - Teoria e Propriedades - CP801 FACENS

Processamento de Sinais CP801 Teoria Topico 3 Serie de Fourier discreta Prof Fellipe Garcia Marques fellipemarquesfacensbr 4 de outubro de 2024 Centro Universitario FACENS 118 Bem vindos Anúncios Facens 218 Agenda i 1 Introducao 2 Serie de Fourier 3 Propriedades importantes 4 Exercıcios 318 Introdução Perspectiva historica A serie de Fourier foi desenvolvida pelo matematico Jean Baptiste Joseph Fourier no seculo 19 1807 Ele foi muito criticado por afirmar que qualquer sinal periodico poderia ser representado por uma serie trigonometrica Imagine a situacao vocˆe diz que qualquer sinal periodico pode ser representado por uma soma de senos e cossenos e ninguem acredita em vocˆe 418 Perspectiva historica No seculo XIX 1872 Sir William Thomson desenvolveu uma maquina mecˆanica que resolvia a serie de Fourier Conseguia descrever o nıvel do mar utilizando uma serie trigonometrica e era vendida aos portos para predizer o nıvel do mar Atualmente as series trigonometricas Serie de Fourier sao primordiais para varias areas da ciˆencia e engenharia 518 Resumo Em resumo o que Fourier afirma e que qualquer sinal periodico pode ser escrito como uma soma de senos e cossenos com frequˆencias e amplitudes distintas N e o perıodo do sinal e e medido em quantidade de amostras 618 Série de Fourier Definicao Considere um sinal periodico discreto com perıodo N xn xn N A frequˆencia fundamental deste sinal e dada por 𝜔0 2𝜋 N Este sinal consegue ser representado pela equacao serie de Fourier xn k akejk𝜔0n k akejk 2𝜋 N n Vamos considerar ak um numero complexo e expandir a exponencial complexa para entender o que esta acontecendo 718 Limites de k Quais seriam os limites de k para a somatoria da serie de Fourier Note que o sinal 𝜑kn ejk 2𝜋 N n tem perıodo N ou seja 𝜑kn 𝜑krNn sendo r um numero inteiro Portanto a serie de Fourier e definida para uma sequˆencia de k variando em um intervalo de N inteiros consecutivos Por exemplo k 0 1 2 N 1 Indicamos esta caracterıstica atraves do sımbolo N ou seja xn kN akejk𝜔0n O que isto significa Que para representar um sinal periodico discreto basta que eu some N termos na serie trigonometrica 818 Como encontrar ak Muito bem sabemos que xn periodico pode ser representado por uma serie de Fourier Mas para definirmos a serie de Fourier precisamos saber qual 𝜔0 e quais os termos ak 𝜔0 nos vamos assumir que conseguimos identificar atraves da analise do sinal ak e obtido atraves de manipulacoes da serie de Fourier resultando em ak 1 N nN xnejk𝜔0n 1 N nN xnejk2𝜋Nn Ou seja tenho que multiplicar o meu sinal original pela exponencial complexa na frequˆencia k𝜔0 para encontrar o termo ak da serie de Fourier 918 Resumo da serie de Fourier Serie de Fourier Discreta xn kN akejk𝜔0n kN akejk2𝜋Nn ak 1 N nN xnejk𝜔0n 1 N nN xnejk2𝜋Nn Ou seja com a serie de Fourier consigo transformar um sinal periodico definido no domınio do tempo para o domınio da frequˆencia e viceversa Os termos ak sao periodicos 1018 Propriedades importantes Algumas propriedades da SFD Para xn e yn periodicos com perıodo N e frequˆencia fundamental 𝜔0 2𝜋N gerando os coeficientes da SFD ai e bk com perıodo N Linearidade Axn Byn Aak Bbk Multiplicacao xnyn lN albkl Relacao de Parseval para sinais periodicos energia do sinal 1 N nN xn2 kN ak2 1118 Exercícios Exercıcio 1 Encontre os coeficientes da serie de Fourier para o sinal xn sen 𝜔0n 0 5 para N 5 e esboce o grafico dos valores de ak 1218 Exercıcio 2 Encontre os coeficientes da serie de Fourier para o sinal xn 2 sen 𝜔0n 0 5 para N 6 e esboce o grafico dos valores de ak 1318 Exercıcio 3 Encontre os coeficientes da serie de Fourier para o sinal xn 1 sen 2𝜋 N n 3 cos 2𝜋 N n cos 4𝜋 N n 𝜋 2 e esboce o grafico dos valores de ak 1418 Exercıcio 4 Encontre os termos da serie de Fourier do sinal abaixo e esboce o grafico dos valores de ak para N 5 e N1 1 a0 2N1 1 N ak 1 N senk𝜔0N1 12 senk𝜔02 1518 Conclusao 1 Para sinais reais sempre sera o caso nesta disciplina ak a k ak ak ak ak Ou seja como exemplo a1 2 j3 entao a1 2 j3 1618 Conclusao 2 Os valores de ak sao numeros complexos Em geral os graficos de ak que verificamos sao o modulo de ak ou seja ak e a fase de ak ou seja ak 1718 Conclusao 3 Os valores de ak sao periodicos de forma que ak akrN para um r inteiro 1818