Lista de Exercícios 3 - EDO e Transformada de Laplace para Engenharia

Métodos Aplicados à Engenharia Lista de Exercícios 3 Equações Diferenciais Ordinárias EDO e Transformada de Laplace 1 Identifique a função 𝐹𝑠 a partir de 𝑓𝑡 a 𝑓𝑡 2𝑒4𝑡 b 𝑓𝑡 3𝑒2𝑡 c 𝑓𝑡 5𝑡 3 d 𝑓𝑡 2𝑡2 𝑒𝑡 e 𝑓𝑡 3cos5𝑡 f 𝑓𝑡 10𝑠𝑒𝑛6𝑡 g 𝑓𝑡 4𝑒5𝑡 h 𝑓𝑡 6𝑡3 i 𝑓𝑡 3𝑠𝑒𝑛4𝑡 j 𝑓𝑡 2cos2𝑡 2 Identifique a função 𝐹𝑠 a partir de 𝑓𝑡 a 𝑓𝑡 6𝑠𝑒𝑛2𝑡 5cos2𝑡 b 𝑓𝑡 4𝑒5𝑡 6𝑡3 3𝑠𝑒𝑛4𝑡 2 cos2𝑡 c 𝑓𝑡 3𝑡4 2𝑡3 4𝑒3𝑡 2𝑠𝑒𝑛5𝑡 3cos2𝑡 3 Identifique a função 𝑓𝑡 a partir da inversa da transformada de Laplace da função 𝐹𝑠 a 𝐹𝑠 1 𝑠3 b 𝐹𝑠 1 𝑠2 c 𝐹𝑠 3 𝑠 5 𝑠2 1 𝑠2 d 𝐹𝑠 1 𝑠24 e 𝐹𝑠 1 𝑠21 f 𝐹𝑠 2𝑠1 𝑠𝑠1 g 𝐹𝑠 𝑠3 𝑠2𝑠1 h 𝐹𝑠 1 𝑠26𝑠8 i 𝐹𝑠 1 𝑠𝑠24 j 𝐹𝑠 26 𝑠3𝑠24 4 Identifique a solução particular para as condiçãoões inicialis da equação diferencial a 𝑦 3𝑦 𝑒2𝑡 𝑦0 1 b 𝑦 5𝑦 6𝑦 0 𝑦0 2 e 𝑦0 3 c 𝑦 𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑦0 2 e 𝑦0 1 5 Adaptado FADESP 2017 A transformada de Laplace da função temporal abaixo é 𝑓𝑡 𝑒𝑡cos10𝑡 A 𝐹𝑠 𝑠 𝑠12100 B 𝐹𝑠 𝑠1 𝑠2100 C 𝐹𝑠 𝑠1 𝑠12100 D 𝐹𝑠 1 𝑠12 E 𝐹𝑠 𝑠2 𝑠2100 6 Adaptado CESGRANRIO 2011 A função 𝑓 0 ℜ é definida por 𝑓𝑡 𝑒3𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡 Se 𝐹𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑓𝑡𝑑𝑡 0 é a transformada de Laplace da função 𝑓 então para 𝑠 2 𝐹𝑠 é igual a A 𝑒3𝑠 𝑠24 B 𝑒3𝑠 𝑠26𝑠13 C 𝑠𝑒𝑛2𝑠 𝑠3 D 2 𝑠26𝑠13 E 𝑠𝑒𝑛2𝑠 4 7 CESGRANRIO 2010 Um ensaio de resposta impulsional foi realizado com um sistema linear invariante no tempo a tempo contínuo causal e monovariável A resposta impulsional calculada a partir da saída é ℎ𝑡 10𝑒𝑡 20𝑒2𝑡 𝑡 0 Qual é a função de transferência do sistema A 𝐻𝑠 10𝑠 𝑠23𝑠2 B 𝐻𝑠 10𝑠 𝑠23𝑠2 C 𝐻𝑠 10𝑠 𝑠23𝑠2 D 𝐻𝑠 10𝑠 𝑠23𝑠2 E 𝐻𝑠 10𝑠 𝑠23𝑠2 8 FCC 2013 A transformada de Laplace da função 3𝑒𝑡 𝑒2𝑡 é A 1 3𝑠1 B 𝑒2𝑠 3𝑠1 C 2𝑠5 𝑠23𝑠2 D 3𝑒3𝑠 E 𝑠2 𝑠24𝑠5 9 FADESP 2017 Quando se deseja analisar sistemas de controle em relação aos seus aspectos temporais a transformada inversa de Laplace se faz necessária Neste sentido na função de transferência abaixo no domínio da frequência a fórmula que representa a equação no domínio do tempo é 𝐹𝑠 𝑠 𝑠 1𝑠 2 A 𝑓𝑡 𝑒𝑡 𝑒2𝑡 B 𝑓𝑡 2𝑒2𝑡 𝑒𝑡 C 𝑓𝑡 2𝑒2𝑡 𝑒𝑡 D 𝑓𝑡 2𝑒2𝑡 𝑒𝑡 10 CESGRANRIO 2012 Considere o diagrama em blocos da figura acima formado por dois sistemas lineares de 1ª ordem ligados em cascata As equações diferenciais que representam a dinâmica desses sistemas são 𝑑𝑣 𝑑𝑡 5𝑣𝑡 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 e 3 𝑑𝑦 𝑑𝑡 4𝑦𝑡 𝑣𝑡 A expressão da função de transferência que liga a entrada 𝑋𝑠 à saída 𝑌𝑠 dada por 𝐺𝑠 𝑌𝑠 𝑋𝑠 é A 𝐺𝑠 2𝑠 𝑠25𝑠10 B 𝐺𝑠 2𝑠 3𝑠219𝑠20 C 𝐺𝑠 20 3𝑠25𝑠10 D 𝐺𝑠 20 𝑠25𝑠10 E 𝐺𝑠 20 3𝑠219𝑠20 Para fazer a questão 11 indicada abaixo considere um zero no numerador e os polos no denominador da função 𝐻𝑠no domínio de 𝑠 11 CESGRANRIO 2018 Um sistema elétrico linear tem como sinal de entrada uma tensão vt e como saída um sinal de corrente it Sua dinâmica é modelada pela seguinte equação diferencial 𝑑2𝑖 𝑑𝑡2 4 𝑑𝑖 𝑑𝑡 29𝑖𝑡 10 𝑑𝑣 𝑑𝑡 5𝑣𝑡 A função de transferência desse sistema no domínio de Laplace é obtida pela relação 𝐻𝑠 𝐼𝑠 𝑉𝑠 onde 𝐼𝑠 e 𝑉𝑠 são as transformadas de Laplace aplicadas respectivamente sobre os sinais 𝑖𝑡 e 𝑣𝑡 A função de transferência desse sistema apresenta no plano S de Laplace um zero real em A 𝑠 2 e dois polos reais 𝑠 4 e 𝑠 29 B 𝑠 05 e dois polos reais 𝑠 2 e 𝑠 8 C 𝑠 2 e dois polos complexos conjugados 𝑠 2 𝑗5 D 𝑠 05 e dois polos complexos conjugados 𝑠 2 𝑗5 E 𝑠 05 e dois polos complexos conjugados 𝑠 2 𝑗5 Gabarito 1 a 𝑓𝑡 2 𝑠4 b 𝑓𝑡 3 𝑠2 c 𝑓𝑡 53𝑠 𝑠2 d 𝑓𝑡 44𝑠𝑠3 𝑠3𝑠1 e 𝑓𝑡 3𝑠 𝑠225 f 𝑓𝑡 60 𝑠236 g 𝑓𝑡 4 𝑠5 h 𝑓𝑡 36 𝑠4 i 𝑓𝑡 12 𝑠216 j 𝑓𝑡 2𝑠 𝑠24 2 a 𝐹𝑠 125𝑠 𝑠24 b 𝐹𝑠 4 𝑠5 36 𝑠4 12 𝑠216 2𝑠 𝑠24 c 𝐹𝑠 72 𝑠2 12 𝑠4 4 𝑠3 10 𝑠225 3𝑠 𝑠24 3 a 𝑓𝑡 1 2 𝑡2 b 𝑓𝑡 𝑒2𝑡 c 𝑓𝑡 3 5𝑡 𝑒2𝑡 d 𝑓𝑡 1 2 𝑠𝑒𝑛2𝑡 e 𝑓𝑡 1 2 𝑒𝑥 1 2 𝑒𝑥 f 𝑓𝑡 1 𝑒𝑡 g 𝑓𝑡 5 3 𝑒2𝑡 2 3 𝑒𝑡 h 𝑓𝑡 1 2 𝑒4𝑡 1 2 𝑒2𝑡 i 𝑓𝑡 1 4 1 4 cos2𝑡 j 𝑓𝑡 2𝑒3𝑡 2 cos2𝑡 3𝑠𝑒𝑛2𝑡 4 a 𝑦𝑡 𝑒2𝑡 2𝑒3𝑡 b 𝑦𝑡 9𝑒2𝑡 7𝑒3𝑡 c 𝑦𝑡 1 3 𝑠𝑒𝑛2𝑡 5 3 𝑠𝑒𝑛𝑡 2cos𝑡 5 C 6 D 7 C 8 C 9 D 10 A 11 E