Introdução à Análise: Aula 01 - Conjuntos Finitos e Infinitos

Introdução à Análise Aula 01 Conjuntos Finitos e Infinitos Orientações Antes de iniciar as aulas conheça os recursos e ferramentas que disponibilizamos para melhor interação usuárioaula Barra de navegação da aula Na barra superior cabeçalho você terá à disposição as opções de navegação entre os tópicos da aula os botões para aumentar e diminuir a fonte modo de contraste versão impressa do conteúdo e botão de áudio do tópico da aula Veja as instruções de como entender cada recurso e ferramenta de navegação da barra superior VERSÃO TEXTUAL Tópicos Você pode acessar diretamente qualquer página da aula Botões de navegação Para alternar entre os tópicos da aula Botões de fonte Para aumentar ou reduzir o tamanho do texto da aula Inverter Cores Habilitar modo de visualização em alto contraste Versão impressa Abre uma versão em PDF da aula Áudio da aula Ativa a leitura do conteúdo do tópico Minhas anotações Abre janela de comentários Na barra inferior rodapé você terá à disposição as opções de 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tópico de aula portanto as anotações feitas em um tópico da aula não ficarão disponíveis ao acessar outro tópico Ícones de interação utilizadas nas aulas Em cada aula do curso você encontrará ícones que servem para lhe orientar ao longo do conteúdo abordado Os ícones facilitam a compreensão do estudante haja vista que ativam sua atenção Veja os principais ícones utilizados e os significados correspondentes VERSÃO TEXTUAL Tópico Indica o tópico no qual você encontrase Exercitando Propõe questões que devem ser resolvidas pelos alunos Dicas Apresenta comentário relacionado ao tópico que pode ajudar o aluno a compreender melhor certos pontos da matéria Observação Apresenta observações que dizem respeito ao assunto tratado Desafio Propõe uma questão interessante ou desafiadora aos alunos para ajudar na fixação do assunto tratado Fórum Indica que existem discussões que podem ou devem ser realizadas pelos alunos no fórum do ambiente Solar no qual você deve interagir com seus colegas de forma assíncrona Chat Indica que existem datas específicas para o uso do chat em conjunto com os alunos O chat é uma ferramenta de comunicação síncrona também conhecida como batepapo no qual você deve interagir com seus colegas em tempo real Olhando de perto Aprofundamento em um detalhe ou questão específica do tópico apresentado Referência Lista todos os autores citados no corpo do texto por meio de um efeito retrátil Ajuda Reportar o aluno a um texto tema tópico já mencionado Curiosidade Apresenta situações curiosas que ilustram o conteúdo abordado na aula Reflexão Apresenta materiais que possibilitam a reflexão sobre um determinado assunto de forma mais complexa Atividades de portfólio Propõe tarefas que deverão ser realizadas e posteriormente postadas no portfólio do aluno ou do grupo Parada obrigatória Destaca um comentário link ou conteúdo relacionado ao tema que merece destaque especial Multimídia Exibe materiais midiáticos tais como imagens áudio e vídeo que devem ser acessados pelos alunos Leitura complementar Apresenta material que pode ser lido como adendo à matéria apresentada Exemplo Propõe exemplos que ilustram a matéria discutida Dúvida Aplicase quando o assunto abordado requer um questionamento Caso Indica uma situaçãoproblema referente ao conteúdo trabalhado Atalhos para acessibilidade Para utilizar as teclas de atalho existem comandos específicos de cada navegador Atalhos para Google Chrome Mozilla Firefox Ir para o Conteúdo Alt 1 Alt Shift 1 Ir para o menu Alt 2 Alt Shift 2 Ir para o Rodapé Alt 4 Alt Shift 4 Modo alto contraste Alt 8 Alt Shift 8 Ir para o Menu de Acessibilidade Alt 5 Alt Shift 5 Introdução à Análise Aula 01 Conjuntos Finitos e Infinitos Tópico 01 Conjuntos Finitos e Infinitos Neste tópico será estabelecido com precisão o conceito de conjunto finito e conjunto infinito O ponto de partida é o conjunto dos números naturais O conjunto N dos números naturais é caracterizado pelos seguintes fatos 1º Fato Existe uma função injetiva A imagem sn de cada número natural chamase o sucessor de n 2º Fato Existe um único número natural tal que 1 sn para todo 3º Fato Se um conjunto é tal que 1 X e sX X isto é n X sn X então Essas afirmações podem ser reformuladas assim I Todo número natural tem um sucessor que ainda é um número natural números diferentes têm sucessores diferentes II Existe um único número natural 1 que não é sucessor de nenhum outro III Se um conjunto de números naturais contém o número 1 e contém o sucessor de cada um dos seus elementos então esse conjunto contém todos os números naturais As propriedades 1 2 e 3 acima chamase os axiomas de Peano O axioma 3 é conhecido como o princípio da indução No conjunto N dos números naturais são definidas duas operações fundamentais a adição que associa a cada par de números m n sua soma mn e a multiplicação que faz corresponder ao par m n seu produto mn Essas operações são caracterizadas pelas seguintes igualdades que lhes servem de definição m 1 sm m sn sm n isto é m n 1 m n 1 m 1 m m n 1 m n m A demonstração da existência das operações e com as propriedades acima bem como sua unicidade se faz por indução As seguintes propriedades da adição e da multiplicação são bem conhecidas Associatividade mn p m np m n p m n p Distributividade m np m n m p Comutatividade mn nm m n n m Lei do Corte mn mp n p m n m p n p Dados os números naturais mn escrevese m n quando existe tal que nmp Dizse então que m é menor do que n A notação m n significa m n ou mn Provase que transitividade e que dados quaisquer vale uma e somente uma das seguintes três alternativas m n m n ou n m tricotomia Uma das mais importantes propriedades da relação de ordem m x n entre os números naturais é o chamado princípio da boaordenação abaixo enunciado Todo subconjunto não vazio possui um menor elemento isto é um elemento n0 A tal que n0 n para todo n A Com esses conceitos em mente podemos introduzir e apresentar algumas propriedades básicas dos conjuntos finitos e dos conjuntos infinitos Indiquemos pelo símbolo In o conjunto1 n dos números naturais desde 1 até n Mais precisamente dado temos Um conjunto X dizse finito quando é vazio ou então existem e uma bijeção Escrevendo temos então A bijeção chamase uma contagem dos elementos de X e o número natural n chamase o número de elementos ou número cardinal do conjunto X Uma pergunta natural é a seguinte DÚVIDA O número de elementos de um conjunto finito é uma noção ambígua Em outras palavras se e são bijeções então necessariamente Para responder à pergunta acima consideremos os seguintes resultados Teorema 1 Se é um subconjunto próprio de não pode existir uma bijeção DEMONSTRAÇÃO Considere o conjunto X n N existe um subconjunto próprio A In e uma bijeção f A In Demonstrar o teorema é mostrar que X conjunto vazio Suponha por absurdo que X e considere n0 N o menor elemento de X Isto significa que existe um subconjunto próprio A Ino e uma bijeção f A Ino Se n A então tomamos a A com fa n0 e a restrição fAa A a In 1 será uma bijeção do subconjunto próprio A a In 1 sobre o que contradiz a minimalidade de n0 Por outro lado se tivermos n0 A então escrevemos fn0 a e consideramos a bijeção g A In dada por e consequentemente a restrição será uma bijeção do subconjunto próprio sobre o que novamente vai contrariar a minimalidade de Corolário 1 Se e são bijeções então Com efeito se fosse então Im seria um subconjunto próprio de In o que violaria o Teorema 1 pois é uma bijeção Analogamente se mostra que não é possível Logo mn Corolário 2 Não pode existir uma bijeção entre um conjunto finito e sua parte própria O corolário 2 é uma mera reformulação do Teorema 1 Exemplo 1 Prove que se X é um conjunto finito e é finito SOLUÇÃO Com efeito existe uma bijeção tal que então é finito Se a restrição é uma bijeção logo é finito e tem elementos Teorema 2 Todo subconjunto de um conjunto finito é finito DEMONSTRAÇÃO Sabemos veja o exemplo 1 acima que se X é um conjunto finito e a X então X a é finito O caso geral se mostra por indução sobre o número de elementos de Ele é evidente quando X ou n 1 Supondo o Teorema verdadeiro para conjuntos com n elementos sejam X um conjunto com n 1 elementos e Y um subconjunto de X Se Y X nada há o que provar Caso contrário existe a X com a Y Então na realidade Y X a Como X a tem n elementos seguese que Y é finito Corolário 1 Dada se é finito e é injetiva então é finito se é finito e é sobrejetiva então é finito Com efeito se f é injetiva então ela é uma bijeção de X sobre um subconjunto fx do conjunto finito Y Por outro lado sef é sobrejetiva então existe uma função injetiva Pelo que acabamos de provar se X for finito então Y também será finito Um subconjunto dizse limitado quando existe Corolário 2 Um subconjunto é finito se e somente se é limitado Com efeito se é finito pondo vemos que logo X é limitado Reciprocamente se é limitado então para algum Daí X é finito em virtude do Teorema 2 Dizse que um conjunto é infinito quando não é finito Assim X é infinito quando não é vazio nem existe seja qual for uma bijeção Exemplo 2 Verifique que os seguintes conjuntos são infinitos i ii Ρ246 conjunto dos números pares iii Ι135 conjunto dos números ímpares iv 21012 conjunto dos números inteiros v mnmn n 0conjunto dos números racionais vi conjunto dos números reais vii a bi a b i2 1 SOLUÇÃO i Sendo um conjunto ilimitado seguese do Corolário 2 do Teorema 2 que é infinito ii Visto que a função é bijetora e é infinito seguese que P é infinito iii Basta observar que a função é bijetora Os conjuntos e são infinitos pois ambos contêm o conjunto infinito Note que de acordo com o Teorema 2 todo conjunto que contém um conjunto infinito deve ser infinito Introdução à Análise Aula 01 Conjuntos Finitos e Infinitos Tópico 02 Conjuntos Enumeráveis Neste tópico estudaremos o conceito de conjunto enumerável Um conjunto X dizse enumerável quando é finito ou quando existe uma bijeção Neste caso chamase uma enumeração dos elementos de X Escrevendo Exemplo 1 Prove que se é enumerável SOLUÇÃO Com efeito uma bijeção pode ser definida pondo para ímpar e para par Teorema 1 Todo subconjunto é enumerável DEMONSTRAÇÃO Se X é finito nada há para demonstrar Caso contrário enumeremos os elementos de X pondo x1 menor elemento de X e supondo definidos x1 x2 xn escrevemos An X x1 x2xn Observando que An pois X é infinito definimos Xn1 menor elemento de An Então X x1 x2xn Com efeito se existisse algum elemento x X diferente de todos os xn teríamos x An para todo n N logo seria um número natural maior do que todos os elementos do conjunto infinito x1 x2xn contrariando o Corolário 2 do Teorema 2 visto no Tópico 1 desta aula Exemplo 2 Prove que se é uma função injetiva então X é enumerável SOLUÇÃO Com efeito o Teorema 1 nos garante que é um conjunto enumerável Como é injetiva seguese que é uma bijeção Portanto é enumerável Corolário 1 Seja injetiva Se Y é enumerável então X também é Em particular todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável Com efeito existe uma bijeção e consequentemente é injetiva Assim o resultado segue do Exemplo 2 acima Corolário 2 Seja sobrejetiva Se X é enumerável então Y também é Com efeito existe uma aplicação injetiva e consequentemente este corolário é uma consequência direta do Corolário 1 Exemplo 3 Prove que é enumerável SOLUÇÃO Com efeito considere a função dada por Como seguese que é injetiva e consequentemente é enumerável em virtude do Corolário 2 Corolário 3 O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável Com efeito se X e Y são enumeráveis então existem bijeções e logo a função dada por é sobrejetiva Visto que é enumerável veja o Exemplo 3 acima seguese que XxY é enumerável em virtude do Corolário 2 Exemplo 4 Prove que o conjunto dos números racionais é enumerável SOLUÇÃO Ora vimos no Exemplo 1 que é enumerável e em particular também é enumerável O Corolário 3 nos garante que é enumerável Como a função dada por é sobrejetiva seguese que é enumerável em virtude do Corolário 2 Corolário 4 A reunião de uma família enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável Com efeito dados enumeráveis existem bijeções Considerando a função sobrejetora dada por concluise que é enumerável O caso de uma reunião finita reduz se ao anterior tendo em vista a identidade Exemplo 5 Um conjunto não enumerável Seja o conjunto das partes de N Mostre que não existe função sobrejetiva Conclua que é um conjunto não enumerável SOLUÇÃO Com efeito suponha por absurdo que existe uma função sobrejetiva Considere o conjunto Visto que é sobrejetiva existe tal que Ora se valer então pela definição do conjunto devese ter o que é uma contradição Por outro lado se ocorrer então devese ter o que também é uma contradição Portanto não pode existir uma função sobrejetiva Em particular nenhuma função é bijetora e consequentemente é um conjunto não enumerável Na próxima aula mostraremos que o conjunto dos números reais não é enumerável ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo lista1analisedoc ou clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo para abrir a Lista de Exercícios desta aula Resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 3 6 7 10 11 correspondem ao trabalho dessa aula que deve ser postado no Portfólio Individual no período marcado na Agenda do ambiente SOLAR num único documento de texto doc docx ou pdf ou manuscrito e escaneado Fontes das Imagens