Introdução à Análise: Sequências de Números Reais - Aula 04

Introdução à Análise Aula 04 Sequências de Números Reais Tópico 01 Sequências Numéricas Nesta aula faremos uma introdução ao estudo de sequências de números reais Veremos como calcular e fazer operações com limites de sequências Uma sequência de números reais é uma função que associa a cada número natural um número real chamado o nésimo termo da sequência Escrevese ou ou simplesmente para indicar a sequência cujo ésimo termo é Não deve ser confundida a sequência com o conjunto dos seus termos Por exemplo a sequência não é o mesmo que o conjunto Ou então as sequências e são diferentes mas o conjunto dos seus termos é o mesmo igual a Uma sequência dizse limitada superiormente respectivamente inferiormente quando existe tal que respectivamente para todo Dizse que a sequência é limitada quando ela é limitada superior e inferiormente Isto equivale a dizer que existe tal que para todo Exemplo 1Se então a sequência é limitada inferiormente porém não superiormente SOLUÇÃO Com efeito multiplicando ambos os membros da desigualdade po r obtemos Seguese que para todo logo é limitada inferiormente por Por outro lado temos com Pela desigualdade de Bernoulli para todo vale Portando dado qualquer podemos obter desde que tomemos isto é Uma sequência chamase crescente quando isto é quando para todo Se vale para todo a sequência dizse não decrescente Analogamente quando ou seja para todo a sequência dizse decrescente Ela é chamada não crescente quando para todo As sequências crescentes não decrescentes decrescentes e não decrescentes são chamadas sequências monótonas Exemplo 2 A sequência é evidentemente limitada não decrescente e nãocrescente Exemplo 3 A sequência é limitada inferiormente ilimitada superiormente monótona crescente Exemplo 4 Dado com seja para todo Verifique que é uma sequência crescente e limitada SOLUÇÃO Com efeito a sequência é crescente pois para todo Além disso ela é limitada pois para todo Exemplo 5 Mostre que a sequência é crescente e limitada SOLUÇÃO Com efeito a sequência é crescente pois para todo Esta sequência é limitada pois para todo Observe que na desigualdade acima usam os a estimativa para todo que é obtida do Exemplo 4 para Exemplo 6 Mostre que a sequência é crescente e limitada SOLUÇÃO Com efeito a fórmula do binômio de Newton nos dá ou seja Vemos assim que cada é uma soma de parcelas positivas Cada uma dessas parcelas cresce com Além disso o número de parcelas também cresce com Logo a sequência é crescente Observamos ainda pela última igualdade que para todo onde é a sequência apresentada no Exemplo 5 Logo é uma sequência limitada com para arbitrário Exemplo 7 Analise se a sequência é monótona SOLUÇÃO Inicialmente observemos que o que de fato ocorre para todo conforme provado no Exemplo 6 acima Assim concluímos que a sequência é decrescente a partir do seu terceiro termo Como seguese que esta sequência cresce em seus três primeiros termos e depois começa a decrescer Em particular é limitada Dada uma sequência uma subsequência de é a restrição da função a um subconjunto infinito de Escrevese ou ou para indicar a subsequência A notação mostra como uma subsequência pode ser considerada com uma sequência isto é uma função cujo domínio é Lembrese que é infinito se e somente se é ilimitado isto é para todo existe com Exemplo 8 Considere a sequência ou seja As sequências constantes e podem ser vistas respectivamente como as subsequências e No próximo tópico estudaremos o conceito de limite de uma sequência Introdução à Análise Aula 04 Sequências de Números Reais Tópico 02 Limite de uma Sequência VERSÃO TEXTUAL Dizse que o número real é limite da sequência quando para todo número real dado arbitrariamente podese obter tal que para todos os termos com índice cumprem a condição Escrevese então Dizse que o número real é limite da sequência quando para todo número real dado arbitrariamente podese obter tal que para todos os termos com índice cumprem a condição Escrevese então Esta importante definição significa que para valores muito grandes de os termos tornamse tão próximos de quanto se deseje Mais precisamente estipulandose uma margem de erro existe um índice tal que todos os termos da sequência com índice são valores aproximados de com erro menor do que Simbolicamente escrevese Acima o símbolo significa que o que vem depois é a definição do que vem antes significa para todo ou qualquer que seja significa existe O pontoe vírgula quer dizer tal que e a seta significa implica Convém lembrar que é o mesmo que isto é pertence ao intervalo aberto Em vez de escrevese também ou Esta última expressão lêse tende para ou converge para Uma sequência que possui limite dizse convergente Caso contrário ela se chama divergente Exemplo 1 Verifique a veracidade dos limites a b c d SOLUÇÃO a Para cada escolhemos tal que e obtemos b Seja dado Fixemos tal que Para cada vale c Usando a desigualdade de Bernoulli obtemos para todo a estimativa donde Daí para cada dado escolhemos tal que e obtemos d Para cada dado escolhemos tal que e obtemos Teorema 1 Unicidade do limite Se e então DEMONSTRAÇÃO Seja dado Sendo existe tal que Por outro lado como existe tal que Escolhendo obtemos para Isto significa que para cada ou seja Teorema 2 Se então toda subsequência de converge para o limite DEMONSTRAÇÃO Seja uma subsequência de Dado existe tal que Como os índices da subsequência formam um subconjunto infinito existe entre eles um Então Logo Exemplo 2 A sequência é divergente pois possui subsequências e convergindo para limites distintos Teorema 3 Toda sequência convergente é limitada DEMONSTRAÇÃO Seja Para obtemos tal que Consideremos o conjunto finito Sejam o menor e o maior elemento de Então todos os termos da sequência estão contidos no intervalo logo a sequência é limitada Exemplo 3 A sequência é divergente pois não é limitada A recíproca do Teorema 3 é falsa em geral Com efeito no Exemplo 2 temos uma sequência limitada que é divergente Teorema 4 Toda sequência monótona e limitada é convergente DEMONSTRAÇÃO Para fixar as ideias seja uma sequência não decrescente limitada Tomemos Afirmamos que Com efeito dado qualquer como o número não é cota inferior do conjunto dos Xn Logo existe algum tal que Como a sequência é não crescente Assim concluímos que OBSERVAÇÃO Se fosse nãocrescente teríamos Exemplo 4 Vimos no Exemplo 5 do tópico anterior que a sequência é crescente e limitada O Teorema 4 acima garante que esta sequência é convergente Escrevese número de Euler No Exemplo 6 daquele tópico vimos também que a sequência é crescente e limitada Veremos mais adiante que ou seja Corolário 1 Teorema de BolzanoWeierstrass Toda sequência limitada possui uma subsequência convergente Com efeito basta mostrar que toda sequência possui uma subsequência monótona Digamos que um termo é destacado quando para todo Seja o conjunto dos índices tais que é um termo destacado Se for um conjunto infinito então a subsequência será monótona não crescente Se entretanto for finito seja maior do que todos os Então não é destacado logo existe com Por sua vez não é destacado logo existe com Prosseguindo obtemos uma subsequência crescente No próximo tópico veremos algumas propriedades básicas dos limites Essas propriedades nos permitirão fazer operações com limites Introdução à Análise Aula 04 Sequências de Números Reais Tópico 03 Operações com Limites Veremos agora como se comportam os limites de sequências relativamente às operações soma multiplicação divisão etc e às desigualdades Teorema 1 Se e é uma sequência limitada então mesmo que não exista DEMONSTRAÇÃO Existe tal que para todo Dado como podemos encontrar tal que Logo Isto mostra que Exemplo 1 Temse que para qualquer Com efeito com e Exemplo 2 Mostre que se então salvo um número finito de índices temse que SOLUÇÃO Ora escolhendo obtemos tal que Como o resultado está provado Tendo em vista o Exemplo 2 acima no Item 3 do teorema abaixo para formar a sequência limitamo nos aos índices suficientemente grandes de modo que Teorema 2 Se e então 1 2 3 se DEMONSTRAÇÃO 1 Dado existem e em tais que e Seja Então implica Isto prova que O caso da diferença se trata do mesmo modo 2 Temos Ora é uma sequência limitada Teorema 3 do Tópico 2 e Logo pelo Teorema 1 acima Por motivo semelhante Assim pela parte 1 já demonstrada temos donde 3 Inicialmente observemos que e pela partes 1 e 2 já demonstradas Portanto é suficiente mostrar que a sequência é limitada Ora como para obtemos tal que donde ou seja Logo é limitada e o resultado está provado Exemplo 3 Para cada considere a sequência Verifique que SOLUÇÃO Ora sabemos que é decrescente se e crescente se sendo limitada em qualquer hipótese Existe portanto É claro que pois se então e se for então Para provar que consideramos a subsequência Como esta subsequência converge para temos em virtude do Item 3 do Teorema 2 Exemplo 4 Mostre que SOLUÇÃO Ora sabemos que existe pois a sequência é monótona decrescente a partir do seu terceiro termo É claro que Considerando a subsequência temos Como de concluímos que Teorema 3 Conservação do sinal Se existe tal que Se uma sequência tem limite positivo a partir de uma certa ordem todos os seus termos são positivos DEMONSTRAÇÃO Seja Então existe tal que Assim Da mesma forma provase que se então a partir de uma certa ordem todos os termos são negativos Corolário 1 Sejam e sequências convergentes Se para todo então Com efeito se fosse então teríamos e daí teríamos para todo suficientemente grande Teorema 4 Teorema do Confronto Sejam para todo Se então DEMONSTRAÇÃO Dado arbitrariamente existem e em tais que e Pondo vemos que implica donde Exemplo 5 Considere as sequências e Mostre que SOLUÇÃO Ora já vimos que para todo O Corolário 1 acima nos garante que Por outro lado fixando arbitrariamente temos para todo Fazendo e mantendo fixo na desigualdade acima o segundo membro tende para o limite Usando o Corolário 1 novamente obtemos para todo Novamente a mesma proposição nos permite concluir que Enfim obtemos Dada uma sequência dizse que o limite de é mais infinito e escrevese para significar que dado arbitrariamente existe tal que implica Analogamente significa que para todo existe tal que implica Exemplo 6 É fácil ver que e ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo lista4analisedoc ou clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo para abrir a Lista de Exercícios desta aula Resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 2 7a 9 12a 15 correspondem ao trabalho dessa aula que deve ser postado no Portfólio Individual no período marcado na Agenda do ambiente SOLAR num único documento de texto doc docx ou pdf ou manuscrito e escaneado Fontes das Imagens