Cálculo Diferencial - Análise de Concavidade e Pontos de Inflexão

5 de 5 Mas é é sempre positivo Assim os sinais de fʺ são os sinais de x 2 fʺ é concavidades de f Portanto f tem concavidade para cima em 2 e tem concavidade para baixo em 2 O ponto x 2 é um ponto de inflexão de f Exemplo 6 Determinar os intervalos de crescimentodecrescimento os pontos de máxmin local as concavidades e os pontos de inflexão de fx lnx2 1 Temos Domf R fʹx 1 x2 12 2x lx2 1 Assim os sinais de fʹ são a divisão dos sinais de 2x e de x2 12 Pelo é positivo para x R Portanto os sinais de fʹ são os sinais de 2x Vemos que f é decrescente em 0 e é crescente em 0 O ponto x 0 é ponto de mínimo local e global Para a determinação das concavidades devemos olhar os sinais da derivada segunda fʺx 2xx2 1 2xx2 12 2x2 1 2x2 x2 13 x2 12 2x2 12 Assim os sinais de fʺ são os sinais de seu numerador 2 2x2 pois seu denominador é sempre positivo Suponha que fʺ é contínua num intervalo aberto I contendo o ponto xo Então fʹxo 0 e fʺxo 0 xo é ponto de mínimo local de f fʹxo 0 e fʺxo 0 xo é ponto de máximo local de f fʺxo 0 fʺʺxo 0 fʺxo 0 fʺʺxo 0 Figura 18 Teste da derivada segunda Exemplo 7 Seja fx x4 3x3 x2 Temos fʹx 4 x3 3x2 x e fʺx 12x2 6x 1 2 x 0 fʺx 0 x 0 ou 4x2 3x 1 0 ou As raízes de 4x2 3x 1 são 14 e 1 Assim os pontos críticos de f isto é os pontos onde fʹ se anula são x 14 x 0 e x 1 fʺ14 0 e fʺʺ14 0 14 é ponto de mínimo local de f fʺ0 0 e fʺʺ0 1 0 0 é ponto de máximo local de f fʹ1 0 e fʺʺ1 5 0 1 é ponto de mínimo local de f O gráfico de f é mostrado abaixo Exemplo 8 Seja fx x4 x3 Figura 19 Exemplo para o teste da derivada segunda Temos fʹx 4x3 3x2 e fʺx 12x2 6x fʺx 0 x24x 3 0 x 0 34 Assim os pontos críticos de f isto é os pontos onde fʹ se anula são x 0 e x 34 e f0 0 mas fʺʺʺ0 Portanto o teste não se aplica ao ponto x 0 fʺ34 0 e f34 94 0 34 é ponto de mínimo local de f Obs Para descobrir a natureza do ponto x 0 podemos analisar os sinais de fʺ e encontrar os intervalos de crescimentodecrescimento de f portanto seus pontos de máximomínimo local O gráfico de f é mostrado abaixo Figura 20 O teste da derivada segunda não se aplica ao ponto x 0 Exercícios de revisão 1 Determine o valor máximo e o valor mínimo de fx x33 x22 2x no intervalo 2 1 2 Para cada item abaixo podese i o domínio de f ii os intervalos de crescimentodecrescimento os pontos de máximomínimo local as concavidades e os pontos de inflexão de f a fx x2 2x2 x 1 b fx x4 16x2 c fx d fx xe x e fx ln4 x2 f fx xrespostas 1 x 1 é ponto de mínimo de f e min f 76 x 1 é ponto de máximo de f e max f 136 2 a Domf R f é crescente em 13 1 e é decrescente em 13 1 x 13 é ponto de máximo local de f e x 1 é ponto de mínimo local de f A concavidade de f para baixo em 23 e para cima em 23 Ponto de inflexão x 23 b Domf R f é crescente em 8 e é decrescente em 8 x 8 é ponto de mínimo local de f A concavidade de f é para baixo em 83 83 e é para cima em 83 83 São pontos de inflexão de f x 83 e x 83 c Domf R 1 1 f é crescente em 1 1 1 1 Não há pontos de máximo ou de mínimos f tem concavidade para baixo em 1 1 10 e tem concavidade para cima em 1 1 Ponto de inflexão x 0 d Domf R f é decrescente em 1 e é crescente em 1 x 1 é ponto de máximo local de f A concavidade de f é para baixo em 2 e para cima em 2 x 2 é ponto de inflexão de f e Domf R f é decrescente em 0 e é crescente em 0 x 0 é ponto de mínimo local de f A concavidade de f para cima em 2 2 e de para baixo em 2 2 Pontos de inflexão de f x 2 e x 2 f Domf 0 f é crescente em 13 e é decrescente em 0 13 x 13 é ponto de mínimo local de f A concavidade de f é para cima em 0 Não há pontos de inflexão