Funções Exponenciais e Logarítmicas: Meia-Vida do Carbono-14 e Datação de Fósseis

2316 funcoesexplog2s201936179b2 OK Exemplo 8 Vamos inverter o exemplo 1 isto é vamos expressar f 4 de 5 C 347 1012 347 57 30 1012 34710 57 30 ln 12 ln0347 57 30 ln12 ln0347 57 30 t 5730 ln0347 ln 12 t874966 Portanto o fóssil tem aproximadamente 8750 anos Exemplo 10 Nos processos radioativos meiavida ou período de semi desintegração de um radioisótopo é o tempo necessário para que metade da massa deste isótopo desintegrese o que pode levar segundos ou bilhões de anos Assim como a meiavida do títanio44 Ti44 é de 60 anos se tivermos 10 kg deste material depois de 60 anos teremos 5kg de Ti44 Mais 60 anos e restarão 25 kg de Ti44 e assim sucessivamente A meiavida de um radioisótopo não varia com a pressão e nem com a temperatura pois é um processo que envolve apenas o núcleo atômico e tampouco depende da quantidade inicial da amostra Assim tal grandeza pode ser usada para determinar a idade de fósseis vegetais e animais de rochas e até da própria Terra Nos organismos vivos o carbono14 C14 está presente em uma concentração constante de 10 ppb isto é em cada bilhão de átomos existem 10 átomos de carbono14 Os animais pessoas e vegetais absorvem esse radioisótopo ao longo de suas vidas parando de absorvêlo somente quando morrem Como a meiavida de C14 é de 5730 anos é possível medir a concentração de carbono14 no fóssil e determinar a sua idade Como exemplo suponha que num fóssil animal o teor de carbono14 é igual a 125 ppb o que corresponderia a 125 do teor de carbono encontrado nos seres vivos Temos 10ppb 5730 anos 5 ppb 5730 anos 25 ppb 5730 anos 125 ppb Portanto o fóssil tem 17190 anos Determine uma expressão para calcular em fósseis vegetais e animais o teor de carbono14 em ppb em função de t tempo Determine a idade de um fóssil cujo teor de carbono14 é de 347 ppb Ao morrer o animal ou vegetal tem uma concentração de 10 ppb de C14 que cai pela metade a cada período de 5730 anos t anos C concentração em ppb 0 x 57300 1010121 1 x 57305730 5 1012 10121 2 x 573011460 25 5 12 12 10 122 3 x 5730 17190 125 25 12 10 123 Assim a concentração em ppb é C 10 125730 com t em anos Se o teor de carbono14 em ppb de um fóssil é igual a 347 então Gráfico de fx log a x Considere a função fx ln x Aqui a base é e portanto a função é crescente e 1 Note que lim x e que lim ln x Você pode perceber isso fazendo uma tabela de ln x para algum valores bem grandes de x e para valores positivos de x mas próximos de zero x fx x fx 1 e1 1 e10 10 e10 10 e100 100 e100 100 e1000 1000 e1000 1000 Conhecendo o comportamento da função basta fazer uma tabela em alguns poucos pontos 1xe 1 1 0 1 Todas as funções logarítmicas de base maior que 1 tem gráfico semelhan te ao gráfico acima Considere agora a função fx log12 x Aqui a base é 12 portanto a função é crescente 0 12 1 Note que lim log12 e que lim log12 x ao 0 Você pode perceber isso fazendo uma tabela de log12 x para algum valores bem grandes de x e para valores positivos de x mas próximos de zero x fx x fx 12 1 121 1 1210 10 1210 10 12100 100 12100 100 121000 1000 121000 1000 Conhecendo o comportamento da função basta tabela a função em algumas poucos pontos x ƒx 12 121 1 1 120 0 2 121 1 Todas as funções logarítmicas de base entre 0 e 1 tem gráfico semelhan te ao gráfico acima 6 Determinar x em cada caso a log16 x b log0008 3 d log 100 x e logx g logx 3 h ln x 2 j log16 k ln3x 1 m log6 7 n logx x2c 7 Exprimir y como função de x a lng 3hr ln5 b lng mz hc c 2 log y 3 log x 4 log 5 d log y 2x log 7 EXERCÍCIOS DE REVISÃO