Cálculo de Carbono-14 em Fósseis e Funções Logarítmicas - Exercícios Resolvidos

Determine uma expressão para calcular em fósseis vegetais e animais o teor de carbono14 em ppb em função de t tempo cujo teor de carbono14 é de 347 5 de 5 C14 que cai pela metade a cada período de 5730 anos tanos C concentração em ppb 0 x 5730 0 10 10 120 1 x 5730 5730 5 10 12 10 12¹ 2 x 5730 11460 25 5 12 12 10 12² 3 x 5730 17190 125 25 12 10 12³ Assim a concentração em ppb é C 10 ½ 5730 com t em anos Se o teor de carbono14 em ppb de um fóssil é igual a 347 então Todas as funções logarítmicas de base maior que 1 tem gráfico semelhante ao gráfico acima Considere agora a função fx log12 x Aqui a base é 12 portanto a função é crescente 0 12 1 Note que lim log12 oo e que lim log12 oo Você pode perceber isso fazendo uma tabela de log12 x para algum valores bem grandes de x e para valores positivos de x mas pequenos de zero 12 x fx 12 1 12¹⁰ 10 12¹⁰ 10 12¹⁰⁰ 100 12¹⁰⁰ 100 12¹⁰⁰⁰ 1000 12¹⁰⁰⁰ 1000 Conhecendo o comportamento da função basta tabela a função em alguns poucos pontos fx 12 121 1 1 12 0 2 121 1 Todas as funções logarítmicas de base entre 0 e 1 tem gráfico semelhante ao gráfico acima EXERCÍCIOS DE REVISÃO 1 Decidir em cada caso se a função é crescente ou decrescente Justifique as respostas a fx 104x b fx 08x c fx ex d fx ln x e fx log 07 x f fx log x 2 A meia vida do fósforo32 é de aproximadamente 14 dias Para uma amostra inicial de 12 g determine a Uma expressão para a massa mt restante após t dias b A massa remanescente após 8 dias c O gráfico de mt d Quanto tempo é necessário para que a amostra fique reduzida a 05g 3 Um capital C0 é investido a uma taxa de 15 ao mês Determine a A expressão do capital C no mês t b O tempo necessário para que um investimento inicial de R 200000 duplique 4 O número N de bactérias numa dada colônia era de 800 em t 2h e de 32500 em t 6h Sabese que o crescimento do número de bactérias é exponencial e dado por Nt Noekt Determine a A expressão para calcular a quantidade N de bactérias b O número inicial de bactérias c A partir do instante inicial em quanto tempo o número de bactérias dobrou 5 Um paciente recebe uma dose de cocaína A quantidade Q em miligramas na corrente sanguínea t horas após ter recebido a droga é dada por Qt 40006t a Esboce o gráfico de Qt b Calcule a quantidade da droga que permanece na corrente sanguínea após 4 horas Qual a quantidade eliminada em 4 horas c Se a quantidade da droga na corrente sanguínea estiver abaixo de 10mg ela não é mais detectada Quanto tempo levará para isso ocorrer 6 Determinar x em cada caso a log2 16 x b log5 0008 3 d log 100 x e log12 x 12 g log x 3 h ln x 2 j log14 16 12 k ln 3x 1 m log6 6 1 n logx x e 7 Exprimir y como função de x a ln y 3 ln x ln 5 b ln y mx ln c c 2 log y 3 log x 4 log 5 d log2 y 2x log2 7 e ln y k ln x ln c f 5 log3 y 3 log3 x log3 2 RESPOSTAS 1 a c d e f são crescentes pois têm bases maiores que 1 Já b e e são decrescentes pois suas bases são menores que 1 mas positivas 2 a mt 1205 t14 b 808g d 642 dias 3 a Ct C0 1015t b 466 anos 4 a Nt 126 e09261t b 126 c 07485 h ou 44 min e 54 s 5 b Ao término de 4h ainda haverá na corrente sanguínea 5184 mg Quantidade eliminada em 4h 400 5184 34816 mg c 722h ou 7h13min a 4 e 29 i 32 m 36 b 5 f e73 j 8 n e c 2 h 132 o 47 d 2 g y 5x³ e y 25xe y y cxx b y cemx d y 74x f y x32 Exercício 2c Exercício 5a