Derivadas-Conceitos-e-Calculos-Exemplos

3 de 9 Trocando h por Δx podemos escrever a definição de derivada como fx lim Δx0 fx Δx fx Δx Se fizermos x x h então h x x h 0 x x e a definição de derivada fica fx lim xx fx fx x x Usamse várias notações para indicar a derivada a fx Lagrange b ddx fx notação de Leibnitz c Se estamos calculando o valor da derivada num ponto x específico então escrevemos fxo ou ddx xo ou ddx fx d Dx f também indica fx e Dx fxo indica ddx xo Se escrevemos y fx então podemos trocar f por y nas notações acima y ou y x no lugar de fx dydx no lugar de dfdx etc Exemplo 5 Calcular a derivada da função fx k com k constante fx lim h0 x h fx h lim h0 k k h 0 lim h0 0 0 Assim escrevemos k 0 dkdx 0 Em particular 2 0 x 0 etc Se fx 5 então fx 0 ou ddx 5 0 Exemplo 6 Calcular fx sendo fx x fx lim h0 x h fx h lim h0 x h x h lim h0 h h 1 Portanto x 1 ou dxdx 1 ou ddx x 1 Assim por exemplo ddx 2x 1 ddx 4 1 Se fx t então ft 1 ou dtdt 1 Exemplo 7 Calcular fx sendo fx x² fx lim h0 x h² fx h lim h0 x h² x² h lim h0 x² 2xh h² x² h lim h0 2xh h² h lim h0 2x h 2x Portanto x² 2x ou ddx x² 2x ou ddx x² 2x Assim por exemplo ddx x² 2 ddx x² 4 Se ft t² então ft 2t ou dt²dt 2t Exemplo 8 Vamos generalizar o exemplo acima isto é vamos calcular a derivada de fx xn sendo n inteiro positivo Vamos lembrar que lim xa xn an nan1 veja a aula sobre limite e continuidade E usaremos a definição de derivada no formato fx lim h0 fx fx dx Assim fx lim h0 fx fx dx Logo xn nxn1 ou nxn1 Exemplo 9 Calcular a derivada de fx x fx lim h0 x h fx h lim h0 x h x h Aqui usaremos o seguinte produto notável a ba b a² b² com a x h e b x O termo a b é chamado de conjugado de a b e viceversa Não confunda com conjugado complexo Multiplicando numerador e denominador do último limite por x h x temos fx lim h0 x h xx h x hx h x lim h0 x h² x² hx h x lim h0 x h x hx h x lim h0 h hx h x lim h0 1 x h x 1 2x se x 0 Portanto para x 0 x 1 2x ou ddx x 1 2x Note que x x12 e aplicando a derivada da potência obteremos x12 12 x12 1 12 x12 1 2x O que mostra que a fórmula para a derivada da potência está correta para n 12 além dos inteiros positivos A derivada da potência xn nxn 1 vale para todo n R e não apenas para os números inteiros positivos como mostramos acima Mostraremos esse fato depois de estudarmos a regra da cadeia mas vamos usálo desde já Alguns exemplos de aplicação da regra da potência x² 2x x8 8x⁷ x¹ x² x¹⁴ 14x¹³ x37 37 x47 Calcular ³x Inicialmente reescreveremos ³x como x34 e aplicamos a derivada da potência Exemplo 12 Derivadas das funções trigonométricas inversas ou arcos Mostrase que arcsen x 1 1 x² arccos x 1 1 x² arctg x 1 1 x² arcctg x 1 1 x² arcsec x 1 x x² 1 arccosec x 1 x x² 1