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Engenharia Mecânica ·
Cálculo 2
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etc Exemplo 1 Determinar todas as derivadas de y x³ Temos y dy dx 3x² y d²y dx² 3x² y 6x Vemos que para n 4 yⁿx dⁿy dxⁿ 0 Exemplo 2 Determinar todas as derivadas de y 1x Note que y 1x x¹ Assim y x² y x² 2x³ y 2 3x⁴ y⁴ 2 3 4x⁵ y⁵ 2 3 4 5x⁶ Lembrando que n nn 1n 2 2 1 0 1 1 e que 1ⁿ 1 se n é par 1 se n é impar podemos escrever yⁿx 1ⁿ n xⁿ¹ fx 2xe²x 2e²x 2x e²x 2 e²x fx 2e²x 2x e²x 2 e²x 2x e²x 2 e²x f⁴x 2²e²x y 2² e²x 2²x e²x 2⁴ e²x Assim fⁿx 1ⁿ 2ⁿ e²x Exemplo 5 Determinar todas as derivadas de y ln x Temos y 1x x¹ y x¹ x² y x² 2 x³ y⁴ 2 x³ 2 3 x⁴ y⁵ 2 3 4 x⁴ 2 3 4 5 x⁵ Assim yⁿx 1ⁿ¹ n 1 xⁿ Exemplo 6 Sendo y eⁿ 3 cos 2x 5 sen 2x mostre que yⁿ 2 y 5y 0 Temos y eⁿ 3 cos 2x 5 sen 2x eⁿ 3 cos 2x 5 sen 2x eⁿ 3 cos 2x 5 sen 2x eⁿ 6 sen 2x 10 cos 2x eⁿ 7 cos 2x 11 sen 2x 2 y eⁿ7 cos 2x 11 sen 2x eⁿ 7 cos 2x 11 sen 2x eⁿ 7 cos 2x 11 sen 2x eⁿ 14 sen 2x 22 cos 2x eⁿ 29 cos 2x 3 sen 2x Assim yⁿ 2 y 5 y eⁿ 29 cos 2x 3 sen 2x 2 eⁿ 7 cos 2x 11 sen 2x 5 eⁿ 3 cos 2x 5 sen 2x eⁿ 3 cos 2x 5 sen 2x eⁿ 15 cos 2x 25 sen 2x eⁿ 29 cos 2x 14 cos 2x 15 cos 2x 3 sen 2x 22 sen 2x 25 sen 2x eⁿ 0 0 EXERCÍCIOS DE REVISÃO 1 Sendo y eⁿ calcular yⁿ 2 Sendo y xx² 1 calcular y 3 Sendo fx x eⁿ calcular fⁿx 4 Sendo y eⁿ 5 cos 3x 7 sen 3x mostre que yⁿ 2 y 10y 0 5 Sendo y 3xx² 1 calcule E yy 6 Sendo y x⁴ x² x 2 mostre que yⁿ 2 y 3y 3x 4 7 Determine todas as derivadas de fx 12x 1 RESPOSTAS 1 yⁿ eⁿ sen² x cos x 2 y 2xx² 3x² 1³ 3 fⁿx x n eⁿ 5 E 3xx² 1 7 fⁿx 2 1ⁿ n2x 1ⁿ¹
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