Interpretações da Derivada - Aplicações em Geometria e Física

2316 derivada2s202090c9653b7f626 OK 6 de 9 INTERPRETAÇÕES PARA DERIVADA a Do que vimos sobre declividade de uma curva concluímos que fx0 é a declividade da curva y fx no ponto P x0 fx0 isto é fx0 é o coeficiente angular da reta tangente à curva y fx no ponto P x0 fx0 Portanto a equação da reta tangente em P é y fx0 fx0x x0 A reta normal ao gráfico de uma função f num ponto P x0 fx0 é a reta que passa por P e faz ângulo reto com a reta tangente ao gráfico de f em P Assim o produto dos coeficientes angulares das duas retas vale 1 ou a reta tangente é horizontal tem coeficiente angular nulo e portanto a reta normal é vertical não tem coeficiente angular Portanto mn 1mt 1fx0 se mt fx0 0 b Se St é a equação horária de um móvel então a velocidade deste móvel num instante t qualquer é vt St e a aceleração deste mesmo móvel no instante t é at vt c Generalizando o item anterior se y fx então fx0 é a taxa instantânea de variação de f em relação a x em x0 Do que vimos sobre reta tangente e derivada podemos concluir que Exemplo 31 Determinar a velocidade e a aceleração no instante t 2s de um móvel cuja equação horária é dada por St t3 3t2 5t 1 com S em metros Temos a velocidade vt num instante qualquer é vt St 3t2 6t 5 e a aceleração at vt 6t 6 Assim v2 5 ms2 a e a2 6 ms2 Exemplo 32 Vamos determinar as equações das retas tangente e normal á curva fx x3 x 1 em P 2 7 Temos fx 2x1 e portanto coeficiente angular da reta tangente em P é mt f2 5 e o coeficiente angular da reta normal é mn mn 1mt 1 5 15 5 A equação da reta tangente e y 7 5x 2 isto é y 5x 12 3 e a equação da reta normal é y 7 15x 2 isto é y x5 375 ou y 5x 37 0 Exemplo 33 Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de fx x3 x2 x em que a reta tangente é paralela à reta r 6x 3y 1 0 6x 3y 1 0 y 2x 1 mr 2 Queremos ass retas t tangentes ao gráfico de f que é são paralelas à reta r portanto mt 2 Mas mt fx0 sendo x0 y0 o ponto de tangência no gráfico de f Portanto devemos resolver a equação fx 2 para encontrar os possíveis valores de x0 fx 2 3x2 2x 1 2 3x2 3x2 2x 1 0 As raízes desta última equação são x 1 e x 1 Para x0 13 temos y0 fx0 f13 1327 Portanto o ponto de tangência procurado é P 13 1327 e a equação da reta tangente ao gráfico de f neste ponto é y 1327 2x 13 isto é y 27x 527 Para x0 1 temos y0 fx0 f1 1 e portanto o ponto de tangência é P 1 1 e a equação da reta tangente é y 1 2x 1 isto é y 2x 1 Exemplo 34 Determine a reta tangente ao gráfico de f x2 1 que contém o ponto A 0 3 Seja P x0y0 um ponto arbitrário no gráfico de f Então y0 fx0 x02 1 A derivada de f é fx 2x Portanto o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em P é mt fx0 2x0 e a equação da reta tangente neste ponto é y x02 1 2x0x x0 Para que o ponto A 0 3 esteja na reta tangente por P suas coordenadas devem satisfazer a equação Substituindo x 0 e y 3 em obtemos 3 x02 1 2x00 x0 Isto é 3 x02 1 2x02 Assim x02 2 e portanto x0 2 Vemos que há duas retas tangentes t1 e t2 no gráfico de f que contém o ponto A 0 3 Usando a equação para x0 2 obtemos y 22 1 22x 2 y 1 22x 2 Portanto t1 y 22x 3 Usando a equação para x0 2 obtemos y 22 1 22x 2 y 1 22x 2 Portanto t2 y 22x 5 Exemplo 35 Considere a função fx x Qual é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f na origem Devemos calcular f0 f0 lim h0 f0 h f0h lim h0 fh f0h lim h0 hh lim h0 h se h 0 1 se h 0 1 Assim não existe lim h0 hh Portanto não existe f0 e por conseguinte não existe reta tangente ao gráfico de fx x na origem Note que fx 1 para x 0 e fx 1 para x 0 lim fx fx0 0 lim fx lim fx0 0 xx0 xx0 O que mostra que f é contínua em x0 Assim toda função derivável é contínua Exemplo 37 Verificar se é derivável em x 2 a função fx x2 x 2 se x 2 x 1 se x 2 FIGURA 6 fx x não é derivável em x 0 1 1 h y Δyh