Derivação Implícita - Conceitos e Exemplos Resolvidos

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA Até o momento estudamos funções de forma explícita y fx Mas frequentemente ocorrem equações como por exemplo x² y² 1 zy 1 x² y³ 10 z cos y sen z 1 Tais equações não fornecem y explicitamente como função de x Mesmo assim cada uma das equações fornece um ou mais valores para y quando substituímos z por algum número de um conjunto conveniente Escolhendo um dentre esses valores obtemos y como função de z Dizemos que a equação determina y como uma ou mais funções implícitas de z Nos exemplos x² y² 1 e zy 1 as equações podem ser resolvidas de modo a fornecer y explicitamente como função de z o que não ocorre nos outros dois exemplos Vamos olhar um pouco mais de perto a equação z cos y sen z 1 marcamos num plano cartesiano os pares z y que satisfaçam à equação obtendo deste modo o lugar geométrico da equação A figura abaixo mostra uma parte do lugar geométrico dessa equação FIGURA 1 O lugar geométrico da equação z cos y sen z 1 É fácil ver que tal figura não é o gráfico de nenhuma função y fx Mas existem pedaços das linhas que compõem o lugar geométrico da equação que são gráficos de funções da forma y fx Na figura abaixo estão destacados alguns desses tais pedaços FIGURA 2 Um trecho do lugar geométrico que é gráfico de função y fx Mesmo não sendo possível obter y explicitamente podemos obter a derivada dy a partir da equação original envolvendo x e y Tal técnica é chamada de derivação ou diferenciação implícita Consideramos y como uma função desconhecida de x e derivamos os dois lados da equação em relação à variável x Para facilitar a compreensão dos exemplos abaixo reescrevemos a tabela de derivadas com a regra da cadeia Aqui y é função de x e a derivada é em relação a x Obs Escrevemos por exemplo sen y cos y y no lugar de sen y cos y y para maior clareza Exemplo 1 Se y é função implícita dada pela equação x² y² 1 obter a derivada y dydx Vamos derivar os dois lados da equação em relação à variável x Para tanto aplicamos as regras de derivação e onde necessário a regra da cadeia Temos x² y² 1 2x 2yy 0 2yy 2x y xy Note que a derivada y depende tanto de x quanto de y Exemplo 2 Determine a equação da reta tangente à curva x² y² 1 no ponto P 12 32 Do exemplo anterior sabemos que y xy Logo mₜ y P 12 32 13 Assim a equação da reta tangente no ponto P dado é y 32 33 x 12 Isto é y 33 x 233 FIGURA 3 Reta tangente à curva x² y² 1 em P 12 32 Exemplo 3 Sendo y fx dada implicitamente pela equação xey y² 1 obter a equação da reta tangente à curva no ponto P 0 1 Derivando os dois lados da equação em relação a x e lembrando que a derivando ey em relação a x obtemos xey y² 1 xey y² 0 xey xey 2yy 0 xey 2y ey y xey 2y Portanto mₜ yP y0 1 0e1 21 1 e equação da reta tangente à curva por P 0 1 é y 1 12 x 0 isto é y 12 x 1 Exemplo 4 Supondo y função implícita de x dada pela equação x xy x² y³ 0 obter the derivada y dydx Derivando ambos os lados em relação à variável x obtemos x xy 2x³ y³ 0 x z xy x² y³ x² y³ 0 1 y xy 2xy³ 3x² y² y 0 xy 3x² y² y 2xy³ y 1 x 32 y³ y 2xy³ y 1 y 2xy³ y 1 A figura abaixo mostra o lugar geométrico da equação x² y² 1³ x² y³ 0 e a reta tangente em P 1 1 FIGURA 4 Uma curva coração Exemplo 6 Sendo y função de x dada pela equação ln y xy 1 determine y dydx e a equação da reta tangente à curva em P 0 e Derivando ambos os lados da equação em relação à variável x temos ln y xy 1 1y y y xy y² yy y xy y² 0 yyy y xyy² 0 yy y xy 0 yy xy y