Derivadas e Cinemática - Velocidade e Aceleração Instantânea

2316 derivada2s202090c9653b7f626 OK 2 de 9 Se conforme Δt aproximase de zero as velocidades médias correspondentes aproximamse de algum valor definido então é razoável definir como velocidade instantânea esse valor final das velocidades médias Assim a velocidade instantânea do móvel num instante to vto é o limite das velocidades médias quando ΔT tende a zero Isto é Exemplo 2 A equação horária de um móvel é dada por St 80 3t 10t2 com t em segundos s e S em metros m Determine a velocidade instantânea desse móvel nos instantes t 0 t 2 e t 5 Vamos inicialmente calcular a velocidade num instante t qualquer e depois fazemos t 0 t 2 e t 5 Assim a velocidade do móvel em qualquer instante t é Logo t 0 v0 3 ms t 2 v2 37ms t 5 v5 97ms ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA O mesmo processo que levou da equação horária para a velocidade instantânea nos fornece a aceleração instantânea quando aplicado à velocidade de um móvel Seja um móvel tem velocidade instantânea dada por vt então a aceleração instantânea desse móvel no instante t0 é Exemplo 3 Determine a aceleração instantânea num instante qualquer de um móvel cuja equação da velocidade é dada por vt 3t2 t Portanto a aceleração do móvel é at 6t 1 ms² TAXA DE VARIAÇÃO Se y fx então a taxa média de variação de y em relação a x quando x varia de x0 até x0 Δx é A taxa instantânea de variação ou simplesmente taxa de variação de y em relação a x quando x x0 é o limite Assim velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo e a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo Exemplo 4 A quantidade de água Q em litros num reservatório pode variar em relação ao tempo t em minutos A água pode estar saindo do reservatório ou nele entrando Se Q varia de uma quantidade AQ num intervalo de tempo que vai de um instante t0 até o instante t0 Δt então taxa média de variação de Q será ΔQΔt litro e taxa instantânea de variação de Q em relação a t no instante t0 será Estas taxas são a vazão média e a vazão instantânea respectivamente DEFINIÇÃO DE DERIVADA O processo de determinar o coeficiente angular da reta tangente repetese desejamos calcular a velocidade instantânea de um móvel em dado instante ou sua aceleração instantânea ou ainda de modo geral se desejamos a taxa de variação instantânea de uma quantidade em relação a uma outra Tal processo é chamado de derivada A derivada de uma função f num ponto x0 indicada por fx é definida por desde que tal limite exista e seja finito Note que x é um ponto do domínio de f e que f deve estar definida pelo menos numa pequena vizinhança ponto x intervalo aberto contendo o ponto x0 para que faça sentido calcularmos fx h para valores pequenos de h e para tomarmos limite Se existe a derivada de f em x então dizemos que f é derivável ou diferenciável em x Dizemos que f é derivável ou diferenciável num intervalo I se f possuir derivada em todo ponto de I Trocando h por Δx podemos escrever a definição de derivada como Se fizermos x x h então h x x h 0 x x e a definição de derivada fica Usamse várias notações para indicar a derivada fx fx x h fx x h² x² 22 2xh h² x² h h 2xh h² 22 2hh h2 2x h 2x h 2x Portanto 2x 2x ou ou Assim por exemplo 2 4 3