Velocidade e Aceleração Instantânea Calculo e Exemplos Práticos

Se conforme Δt aproximase de zero as velocidades médias correspondentes aproximamse de algum valor definido então é razoável definir como velocidade instantânea esse valor final das velocidades médias Assim a velocidade instantânea do móvel num instante t0 vt0 é o limite das velocidades médias quando Δt tende a zero Isto é vt0 lim Δt0 vm lim Δt0 ΔS Δt lim Δt0 St0 Δt St0 Δt Exemplo 2 A equação horária de um móvel é dada por St 80 3t 10t2 com t em segundos s e S em metros m Determine a velocidade instantânea desse móvel nos instantes t 0 t 2 e t 5 Vamos inicialmente calcular a velocidade num instante t qualquer e depois fazemos t 0 t 2 e t 5 vt lim Δt0 St Δt St Δt lim Δt0 80 3t Δt 10t Δt² 80 3t 10t² Δt lim Δt0 80 3t 3Δt 10t² 2tΔt Δt² 80 3t 10t² Δt lim Δt0 3Δt 10t² 20tΔt 10Δt² 10t² Δt lim Δt0 Δt3 20t 10Δt Δt lim Δt0 3 20t 10Δt 3 20t Assim a velocidade do móvel em qualquer instante t é vt 3 20t ms Logo t 0 v0 3 ms t 2 s v2 37ms t 5 s v5 97ms ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA O mesmo processo que levou da equação horária para a velocidade instantânea nos fornece a aceleração instantânea quando aplicado à velocidade de um móvel Se um móvel tem velocidade instantânea dada por vt então a aceleração instantânea desse móvel no instante t0 é at0 lim Δt0 Δv Δt lim Δt0 vt0 Δt vt0 Δt Exemplo 3 Determine a aceleração instantânea num instante qualquer de um móvel cuja equação da velocidade é dada por vt 3t2 t Temos at lim Δt0 Δv Δt lim Δt0 vt Δt vt Δt lim Δt0 3t Δt² t Δt 3t² t Δt lim Δt0 3t² 2tΔt Δt² t Δt 3t² t Δt lim Δt0 3t² 6tΔt 3Δt² Δt 3t² Δt lim Δt0 3t² 6tΔt 3Δt² Δt 3t² Δt lim Δt0 Δt6t 3Δt 1 Δt lim Δt0 6t 3Δt 1 6t 1 Portanto a aceleração do móvel é at 6t 1 ms² TAXA DE VARIAÇÃO Se y fx então a taxa média de variação de y em relação a x quando x varia de x0 até x0 Δx é Δy Δx fx0 Δx fx0 Δx A taxa instantânea de variação ou simplesmente taxa de variação de y em relação a x quando x x0 é o limite lim Δx0 Δy Δx lim Δx0 fx0 Δx fx0 Δx Assim velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo e a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo Exemplo 4 A quantidade de água Q em litros num reservatório pode variar em relação ao tempo t em minutos A água pode estar saindo do reservatório ou nele entrando Se Q varia de uma quantidade ΔQ num intervalo de tempo que vai de um instante t0 até o instante t0 Δt então taxa média de variação de Q será ΔQ Δt e num e a taxa instantânea de variação de Q em relação a t no instante t0 será lim Δt0 ΔQ Δt lim Δt0 Qt0 Δt Qt0 Δt Estas taxas são a vazão média e a vazão instantânea respectivamente DEFINIÇÃO DE DERIVADA O processo de determinar o coeficiente angular da reta tangente repetese desejamos calcular a velocidade instantânea de um móvel em dado instante ou sua aceleração instantânea ou ainda de modo geral se desejamos a taxa de variação instantânea de uma quantidade em relação a uma outra Tal processo é chamado de derivada A derivada de uma função ƒ num ponto x0 indicada por fx é definíde por fx lim h0 fx h fx h desde que tal limite exista e seja finito Note que x é um ponto do domínio de ƒ e que ƒ deve estar definida pelo menos numa pequena vizinhança ponto x intervalo aberto contendo o ponto x para que faça sentido calcularmos fx h para valores pequenos de h e para tomarmos limite Se existe a derivada de ƒ em x então dizemos que ƒ é derivável ou diferenciável em x Dizemos que ƒ é derivável ou diferenciável num intervalo I se ƒ possuir derivada em todo ponto de I Trocando h por Δx podemos escrever a definição de derivada como fx lim Δx0 fx Δx fx Δx Se fizermos x x h então h x x h 0 x x e a definição de derivada fica fx lim xx fa fx x x Usamse várias notações para indicar a derivada fx lim h0 fx h fx h lim h0 x h x² h lim h0 x² 2xh h² x² h lim h0 2xh h² h lim h0 h2x h h lim h0 2x h 2x Portanto x² 2x ou d x² d x 2x ou d x² d x 2x Assim por exemplo d x² d x 1 2 d 4 d x 2 d d x 4