Derivadas Implícitas: Exercícios Resolvidos e Lista de Revisão

Exemplo 4 Supondo a função implícita de z dada pela equação x xy z³y³ 0 obter a derivada y dydx Derivando ambos os lados em relação à variável z obtemos xy 2z²y³ 0 x² z²y³ x²y³ z²y³ 0 1 y xy 2zxy 3xz²y 0 xy 3x²y²y 2xy³ y 1 x 3z²y³y 2xy³ y 1 y 2xy³ y 1 x 3z²y³ Exemplo 5 Determinar a equação da reta tangente à curva x² y² 1³ 0 no ponto P 1 1 sendo y função implícita de x Derivando ambos os lados da equação em relação a x temos x² y² 1³ x²y³ 0 3x² y² 1²2x 2yy 2x y³ 3x²y²y 0 3x² y² 1²2x 2yy 2xy³ 3x²y²y 0 6xx² y² 1² 6yx² y² 1²y 2xy³ 3x²y²y 0 6yx² y² 1² 3x²y² y 2xy³ 6xx² y² 1² 6yx² y² 1² 3x²y² Portanto y dy dx 2xy³ 6xx² y² 1² 6yx² y² 1² 3x²y² Assim dy dx 4 3 e a equação da reta tangente à curva nesse ponto é y 1 43 x 1 isto é y 43 x 7 3 1 y³ x²y xy y² 0 y xy xy y² 0 xy y xy y² 0 xy y xy 0 y³ y xy 0 y³ xy y y xy y y y y x y y y x Assim m0 yP 0 0 1 e a equação da reta tangente em P 0 e é y e 1 x 0 isto é y x e EXERCÍCIOS DE REVISÃO 1 Em cada equação abaixo y é dada implicitamente como função de x Determine a derivada y dydx e a equação da reta tangente à curva no ponto P indicado a x² xy y² 1 P 2 3 b x² y² 25 P 3 4 c x²y² 9 P 1 3 d x y 2 P 3 1 e y x² 2x 4 P 6 2 f x²y xy² 2xy 2 0 P 1 2 2 Determine y dydx em cada caso abaixo a y ln x x ln y 2x 0 b y²ex x²1 y 1 0 c ln y x y d xy arctg xy e ex y 0 RESPOSTAS 1 a y 2x y 2y x t 7x 4y 2 0 b y y x t 3x 4y 25 0 c y y x t 3x y 6 0 d y 2y xy x x² y t 11x 3y 30 0 e y 1 y x y x t 3x 4y 10 0 f y yy² 32 2 xx² 2y 2 t 6x y 4 0 2 a y x y x ln y x² y ln x b y y² ex 3x² 1 y 2x y ex x² y ex x² c y 1 x x² y² y 1 x² y² d y y1 x² y² 1 x² y² e y y x y