Exercícios Resolvidos Funções Exponenciais e Logarítmicas - Meia-Vida do Carbono-14

2316 funcoesexplog2s201936179b2 OK Exemplo 8 Vamos inverter o exemplo 1 isto é vamos expressar t 4 de 5 Exemplo 10 Nos processos radioativos meiavida ou período de semi desintegração de um radioisótopo é o tempo necessário para que metade da massa deste isótopo desintegrese o que pode levar segundos ou bilhões de anos Assim como a meiavida do titânio44 Ti44 é de 60 anos se tivermos 10 kg deste material depois de 60 anos teremos 5 kg de Ti44 Mais 60 anos e restarão 25 kg de Ti44 e assim sucessivamente A meiavida de um radioisótopo não varia com a pressão e nem com a temperatura pois é um processo que envolve apenas o núcleo atômico e tampouco depende da quantidade inicial da amostra Assim tal grandeza pode ser usada para determinar a idade de fósseis vegetais e animais de rochas e até da própria Terra Nos organismos vivos o carbono14 C14 está presente em uma concentração constante de 10 ppb isto é em cada bilhão de átomos existem 10 átomos de carbono14 Os animais pessoas e vegetais absorvem esse radioisótopo ao longo de suas vidas parando de absorvêlo somente quando morrem Como a meiavida de C14 é de 5730 anos é possível medir a concentração de carbono14 no fóssil e determinar a sua idade Como exemplo suponha que num fóssil animal o teor de carbono 14 é igual a 125 ppb o que corresponde a 125 do teor de carbono encontrado nos seres vivos Temos 10 ppb 5730 anos 5 ppb 5730 anos 25 ppb 5730 anos 125 ppb Portanto o fóssil tem 17190 anos Determine uma expressão para calcular em fósseis vegetais e animais o teor de carbono14 em ppb em função de t tempo Determine a idade de um fóssil cujo teor de carbono14 é de 347 ppb Ao morrer o animal ou vegetal tem uma concentração de 10 ppb de C14 que cai pela metade a cada período de 5730 anos Assim a concentração em ppb é C 10 12 t5730 com t em anos Se o teor de carbono14 em ppb de um fóssil é igual a 347 então C 347 10 12 5730 347 10 12 5730 34710 ln 12 t5730 ln 0347 5730 ln 12 ln0347 t 5730 ln 0347 ln 12 t 8749 66 Portanto o fóssil tem aproximadamente 8750 anos Gráfico de f x logax Considere a função f x lnx Aqui a base é e portanto a função é crescente e 1 Note que lim lnx e que lim lnx Você pode per x x 0 ceber isso fazendo uma tabela de ln x para algum valores bem grandes de x e para valores positivos de x mas próximos de zero x fx x fx 1 1 e1 1 e10 10 e10 10 e100 100 e100 100 e1000 1000 e1000 1000 Conhecendo o comportamento da função basta fazer uma tabela em alguns poucos pontos 1e e1 1 1 0 e e1 0 1 Todas as funções logarítmicas de base maior que 1 tem gráfico seme lhante ao gráfico acima Considere agora a função f x log12 x Aqui a base é 12 portanto a função é crescente 0 12 1 Note que lim log12 x e que lim log12 x Você x x 0 pode perceber isso fazendo uma tabela de log12 x para algum valores bem grandes de x e para valores positivos de x mas próximos de zero x fx x fx 12 1 121 1 1210 10 1210 10 12100 100 12100 100 121000 1000 121000 1000 Conhecendo o comportamento da função basta tabela a função em alguns poucos pontos x fx 12 121 1 1 120 0 2 121 1 Todas as funções logarítmicas de base entre 0 e 1 tem gráfico seme lhante ao gráfico acima 6 Determinar x em cada caso a log216 x b log0008 3 d log100 x e log3 x 3 g logx 3 h ln x 2 j log16 k ln 3x 1 m log6 n log4 x2 c 7 Exprimir y como função de x a lny 3 ln x ln 5 b lny mx hc c 2 log y 3 log x 4 log 5 d log2 y 2x log2 7 EXERCÍCIOS DE REVISÃO