Velocidade e Aceleração Instantânea: Definições, Cálculo e Taxa de Variação

2316 derivada2s202090c9653b7f626 OK 2 de 9 Se conforme t aproximase de zero as velocidades médias correspondentes aproximamse de algum valor definido então é razoável definir como velocidade instantânea esse valor final das velocidades médias Assim a velocidade instantânea do móvel num instante t0 vt0 é o limite das velocidades médias quando t tende a zero Isto é vt0 lim t0 vm lim t0 S t lim t0 ST0 t ST0 t Exemplo 2 A equação horária de um móvel é dada por St 80 3t 10t2 com t em segundos s e S em metros m Determine a velocidade instantânea desse móvel nos instantes t 0 t 2 e t 5 Vamos inicialmente calcular a velocidade num instante t qualquer e depois fazemos t 0 t 2 e t 5 vt lim t0 ST t ST t lim t0 80 3t t 10t t2 80 3t 10t2 t lim t0 80 3t 3t 10t2 2tt t2 80 3t 10t2 t lim t0 3t 10t2 20tt 10t2 10t2 t lim t0 t 3 20 t 10t t 3 20t Assim a velocidade do móvel em qualquer instante t é vt 3 20t ms Logo t 0 s v0 3 ms t 2 s v2 37ms t 5 s v5 97ms ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA O mesmo processo que levou da equação horária para a velocidade instantânea nos fornece a aceleração instantânea quando aplicado à velocidade de um móvel Se um móvel tem velocidade instantânea dada por vt então a aceleração instantânea desse móvel no instante t0 é at0 lim t 0 v t lim t 0 vt0 t vt0 t Exemplo 3 Determine a aceleração instantânea num instante qualquer de um móvel cuja equação da velocidade é dada por vt 3t2 t Temos at lim t 0 3t t2 t t 3t2 t t lim t 0 3t2 2tt t2 t t 3t2 t t lim t 0 3t2 6tt 3t2 t 3t2 t lim t 0 3t2 6tt 3t2 t 3t2 t lim t 0 6tt 3t2 t t lim t 0 6t 3t 1 6t 1 Portanto a aceleração do móvel é at 6t 1 ms2 TAXA DE VARIAÇÃO Se y fx então a taxa média de variação de y em relação a x quando x varia de x0 até x0 x é y x fx0 x fx0 x A taxa instantânea de variação ou simplesmente taxa de variação de y em relação a x quando x x0 é o limite lim x 0 y x lim x 0 fx0 x fx0 x Assim velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo e a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo Exemplo 4 A quantidade de água Q em litros num reservatório pode variar em relação ao tempo t em minutos A água pode estar saindo do reservatório ou nele entrando Se Q varia de uma quantidade Q num intervalo de tempo que vai de um instante t0 até o instante t0 t então taxa média de variação de Q será Q t lmin e a taxa instantânea de variação de Q em relação a t no instante to será lim t 0 Q t lim t 0 Qt0 t Qto t Estas taxas são a vazão média e a vazão instântanea respectivamente DEFINIÇÃO DE DERIVADA O processo de determinar o coeficiente angular da reta tangente repetese desejamos calcular a velocidade instantânea de um móvel em dado instante ou sua aceleração instantânea ou ainda de modo geral se desejamos a taxa de variação instantânea de uma quantidade em relação a uma outra Tal processo é chamado de derivada A derivada de uma função f num ponto x0 indicada por fx é definida por fx lim h 0 fx h fx h desde que tal limite exista e seja finito Note que x é um ponto do domínio de f e que f deve estar definida pelo menos numa pequena vizinhança ponto x intervalo aberto contendo o ponto x para que faça sentido calcularmos fx h para valores pequenos de h e para tomarmos limite Se existe a derivada de f em x então dizemos que f é derivável ou diferenciável em x Dizemos que f é derivável ou diferenciável num intervalo I se f possuir derivada em todo ponto de I Trocando h por x podemos escrever a definição de derivada como fx lim x 0 fx x fx x Se fizermos x x h então h x x h 0 x x e a definição de derivada fica fx lim xx fx fx x x Usamse várias notações para indicar a derivada fx lim h 0 fx h fx h lim h 0 x h2 x2 h lim h 0 x2 2xh h2 x2 h lim h 0 2xh h2 h lim h 0 h2x h h lim h 0 2x h 2x Portanto x2 2x ou ddx x2 2x ou ddx x2 2x Assim por exemplo d2dx2 x2 2 d2dx2 x4 4