Analise de Funcoes Concavidade Pontos Inflexao Maximos e Minimos - Calculo

Aqui devemos considerar apenas o intervalo 14 fx3x2 6x Assim fx0 3x2 6x0 3xx20x0 ou x2 Portanto x 1 ou x 2 será ponto de mínimo globa de f no intervalo considerado e x0 ou x1 será ponto de máximo global de valuando os valores de f nesses pontos 2 x2 417 Portanto x o que significa que os ângulos formados por tais retas e o eixo x ficam mais próximos de 90 mas como são ângulos do segundo quadrante suas tangentes decrescem Como os coeficientes angulares das retas tangentes são dados pela derivada f vemos que f é decrescente no intervalo a b Assim se a função f possuir derivada segunda essa deverá ser negativa em a b se fx0 em a b então f será crescente nesse intervalo o que não ocorre Podemos concluir que se fx0 para todo x a b então f terá concavidade para cima nesse intervalo 4 Uma análise análoga mostra que se f x0 num intervalo I então f será côncava para cima nesse intervalo Concavidades e pontos de inflexão Seja f função duas vezes derivável no íntervalo a b Se fx for positiva em todo ponto do intervalo a b então f terá concavidade para cima nesse intervalo Se fx for negativa em todo ponto do intervalo a b então f terá concavidade para baixo nesse intervalo Um ponto de inflexão é um ponto do domínio de f que corresponde a uma mudança de concavidade Exemplo 5 Determinar as concavidades e pontos de inflexão da função fx xex Temos Domf R Do exemplo 3b temos fx x1ex Então fx x1ex x1ex ex x1ex x2ex Portanto os sinais de f são os produtos dos sinais de x2 e ex Mas ex é sempre positivo Assim os sinais de f são os sinais de x2 Figura 15 Sinais de f e concavidades de f Portanto f tem concavidade para cima em 2 e tem concavidade para baixo em 2 O ponto x 2 é um ponto de inflexão de f Exemplo 6 Determinar os intervalos de crescimentodecrescimento os pontos de máxmín local as concavidades e os pontos de inflexão de fx lnx2 1 Temos Domf R fx 1 x2 1 2x 2x x21 Assím os sinais de f são a divisão dos sinais de 2x e de x212 Porém x212 é positivo para to R Portanto os sinais de f são os sinais de 2x Vemos que f é decrescente em 0 e é crescente em 0 O ponto x 0 é ponto de mínimo local e global Para a determinação das concavidades devemos olhar os sinais da derivada segunda fx 2xx2 1 2xx2 1 x2 12 2x2 1 2x2x x2 12 2x2 2 4x2 x2 12 2 2x2 x2 12 Assím os sinais de f são os sinais de seu numerador 2 2x2 pois seu denominador é sempre positivo Suponha que f é contínua num intervalo aberto I contendo o ponto x0 Então fx0 0 e fx 0 x0 é ponto de mínimo local de f fx0 0 e fx 0 x0 é ponto de máximo local de f Figura 18 Teste da derivada segunda Exemplo 7 Seja fx x4 x3 x2 2 Temos fx 4x3 3x2 x e fx 12x2 6x 1 fx 0 x4x2 3x 1 0 x0 ou 4x2 3x 1 0 As raízes de 4x2 3x 1 são 14 e 1 Assim os pontos críticos de f isto é os pontos onde f se anula são x 14 x 0 e x 1 f14 0 e f14 54 0 14 é ponto de mínimo local de f f0 0 e f0 1 0 0 é ponto de máximo local de f f1 0 e f1 5 0 1 é ponto de mínimo local de f O gráfico de f é mostrado abaixo Exemplo 8 Seja fx x4 x3 Figura 19 Exemplo para o teste da derivada segunda Temos fx 4x3 3x2 e fx 12x2 6x fx 0 x24x 3 0 x0 ou x34 Assím os pontos críticos de f isto é os pontos onde f se anula são x 0 e x 34 f0 0 mas f0 Portanto o teste não se aplica ao ponto x 0 f34 0 e f34 94 0 34 é ponto de mínimo local Exercicios de revisao 1 Determine o valor maximo e o valor minimo de fx x3 3 x2 2 2x no intervalo 2 1 2 Para cada item abaixo pedese i o domínio de f ii os intervalos de crescimentodecrescimento os pontos de maximominimo local as concavidades e os pontos de inflexao de f a fx x3 2x2 x 1 b fx x4 16x2 c fx x x2 1 d fx xex e fx ln4 x2 f fx xx Respostas 1 x 1 e ponto de mínimo de f e min f 76 x 1 é ponto de máximo de f e max f 136 2 a Domf R f é crescente em 13 1 e é decrescente em 13 1 x 13 é ponto de máximo local de f e x 1 é ponto de mínimo local de f A concavidade de f é para baixo em 23 e é para cima em 23 Ponto de inflexão x 23 b Domf R f é crescente em 8 e é decrescente em 8 x 8 é ponto de mínimo local de f A concavidade de f é para baixo em 83 83 e é para cima em 83 83 São pontos de inflexão de f x 83 e 83