Função Logarítmica - Definição, Propriedades e Exemplos

2316 funcoesexplog2s201936179b2 OK FUNÇÃO LOGARÍTMICA A função fx ax tem inversa pois é crescente ou decrescente conforme a base a Assim fica definida a função f1 0 R que associa a cada número real positivo x um número real y desde que fy x isto é f1x y ay x A função f 1 é a função logarítmica de base a f 1 x loga x Note que loga x y ay x O domínio da função loga é 0 e sua imagem é R O logaritmo de n na base a é o expoente ao qual devemos elevar a para obter z Se a 1 então a função loga é crescente se 0 a 1 então a função fx loga x é decrescente O logaritmo natural ou neperiano de z z 0 é loge z que é denotado por ln z Isto é ln z loge z Assim ln z y ey z Exemplo 4 log2 1 0 pois 20 1 log5 1 0 pois 50 1 log4 2 12 pois 412 4 2 log8 2 13 pois 813 38 2 log2 05 1 pois 21 12 log3 9 pois 132 32 9 log2 2 pois 21 2 loga ax b pois ab x Propriedades Seja a número real positivo e diferente de 1 Então loga 1a 1 loga 1 0 loga a 1 loga xy loga x loga y loga xy loga x loga y loga xr r loga x Mudança de base loga x logx alogx a Em particular logx z ln zloga x loga qr r loga q Em particular lnex x eln x x Não existe loga 0 qualquer que seja a base a Se x é negativo então loga x não é número real ln e 1 Exemplo 5 A função y ln x é crescente pois sua base é o número e que é maior que 1 A função fx log05 x é decrescente pois sua base é 05 que é um número entre 0 e 1 A função y 3 log2 x é decrescente log2 é crescente pois sua base é 10 que é maior que 1 Mas ao multiplicarmos por número negativo obtemos uma função decrescente função fx 2 ln x é crescente ln x é crescente pois a base é e que é maior que 1 Portanto ao multiplicarmos por um número positivo a função obtida continua sendo crescente Exemplo 6 Determine x em cada caso log8 8 2 Começamos invertendo a tabela N 017 07 15 45 135 fN 2 0 2 4 6 De N 05 3t2 aplicando logaritmo em ambos os lados log8 N log8 05 3t2 log8 N log8 05 log8 3t2 log8 N log8 05 t2 log8 N05 t2 t2 log8 N05 t 2 log8 6N O gráfico de t em função de N é dado pela figura abaixo Note que é o gráfico da figura 1 com os eixos trocados