Exercícios Resolvidos de Derivadas e Continuidade - Cálculo Diferencial

2316 derivada2s202090c9653b7f626 OK 7 de 9 Queremos as retas f tangentes ao gráfico de f que é são para o ponto de tangência no gráfico de quação fx 2 para encontrar os Assim não existe limh Portanto não existe f0 e por conse guinte não existe reta tangente ao gráfico de fx x na origem Note que fx 1 para x 0 e fx 1 para x 0 y y h h 1 1 FIGURA 6 fx x não é derivável em x 0 Exemplo 36 Determine a derivada da função fx x2 2x 1 se x 1 3x 3 se x 1 z 1 fx x2 2x 1 fx 2x 2 z 1 fx 3x 3 fx 3 a função não tem derivada em x 1 Veja o gráfico de f abaixo Portanto fx 2x2 se x1 3 se x 1 FIGURA 7 f não é derivável em x 1 CONTINUIDADE E DIFERENCIABILIDADE O seguinte resultado facilita a verificação da continuidade de uma função Se f é derivável em xo então f é contínua nesse ponto fx fxo lim fx fx0 xx0 xxo lim fx fxo xxo lim xx0 fxo 0 0 Portanto lim fx fx0 0 lim fx lim fxo 0 lim fx fxo 0 lim fx fxo O que mostra que f é contínua em x0 Assim toda função derivável é contínua Exemplo 37 Verificar se é derivável em x 2 a função fx x2 x2 x se x 2 x 1 se x 2 Vemos do gráfico de f abaixo que a função não é contínua em x 2 Portanto não é derivável em x 2 FIGURA 8 f não é derivável em x 2 Obs Note que não vale a recíproca do resultado acima como mostra o exemplo 39 EXERCÍCIOS DE REVISÃO 1 Derivar e simplificar ao máximo 1 fx x3 2 gx 6x53 3 hx x23 4 y 4 3x 2x3 5 y 25 77 6 y 22 2 cos x 7 y 52 x6 8 fx 3x2 V2x 9 gx 2 3 10 hx x23 23 11 y x3 13 x2 12 y x3 72x2 3 13 y 4t 5 3t 2 14 gt t3 1 t3 1 15 ht 5t 42 16 wz 3z 1 z2 17 zx ax bx cx2 18 ft V2 2 72 19 yz ax x ax x 20 hx a2 x2 a2 x2 21 y Vx2 1 22 y 1 2xV2 23 z x2 1 x2 1 24 w x2 V2 x 25 y Vx 1 Vx 26 fx Vx 1 x 27 gx 1 1 Vx 28 hx 2 V2 x V2 29 yt 2 3t V3t 30 zt 1 2x2 V2 9 Determine a reta tangente ao gráfico da função no ponto P in dicado a fx x se x 1 2 2 se x 1 P 2 6 b fx x2 1 se x 0 3x 1 se x 0 P 1 4 c fx x2 1 se x 0 3x 2 se x 0 P 0 0