Cálculo de Derivadas - Regras, Potência, Trigonométricas e Inversas

2316 derivada2s202090c9653b7f626 OK 4 de 9 A derivada da potencia xn nxn1 vale para todo n ℝ e não apenas para os números inteiros positivos como mostramos acima Mostraremos esse fato depois de estudarmos a regra da cadeia mas vamos usálo desde já Alguns exemplos de aplicação da regra da potencia x2 2x x7 8x7 x1 x2 x14 14x15 x37 37x47 Calcular x3 Inicialmente reescrevemos x3 como x34 e aplicamos a derivada da potencia x3 x34 34x14 34x4x14 34x Exemplo 10 Calcular a derivada de fx sen x Usaremos os seguintes fatos Primeiro limite fundamental lim senaxx a Lembrando que a função cosseno é contínua lim cosgx coslim gx desde que exista lim gx Vale o mesmo para a função seno Identidade trigonométrica sen A sen B 2 sen AB2 cos AB2 Temos sen x lim senx h sen xh lim 2 senxh2 cos2xh2h lim 2 senxh2 cos2xh2h 2 lim senh2h cos x h2 2 12 cos x cos x Logo sen x cos x ou ddx sen x cos x ou ddx sen x cos x Exemplo 11 Calcular derivada de fx ax Aqui vamos precisar do seguinte limite lim ax1 axx lna Temos fx ax lim axh axh lim axah 1h ax lim ah 1h ax lna Logo ax ax lna ou ddx ax ax lna ou ddx ex lna ex lna lna Caso particular muito importante ex ex lne mas lne loge e 1 Assim ex ex Exemplo 12 Derivadas das funções trigonométricas inversas ou arcos Mostrase que arcsen x 1 1x2 arccos x 1 1x2 arctg x 1 1x2 arcctg x 1 1x2 arcsec x 1 xx2 1 arccosec x 1 xx2 1 REGRAS DE DERIVAÇÃO As regras de derivação ou propriedades algébricas das derivadas dizem como a derivada se comporta em relação à soma subtração multiplicação e divisão de funções Sejam w e v funções deriváveis num intervalo I Então as funções u v kv k constante vu são deriváveis em I e a função uv é derivável nos pontos de I onde vx 0 Além disso valem i u v u v ii kv kv k constante iii uv uv uv iv uv uv uvv2 onde vx 0 TABELA DE DERIVADAS Antes de começarmos a aplicar as regras de derivação reunimos as derivadas já obtidas num tabela para facilitar a consulta 1 k 0 k constante 2 xn nxn1 3 x 12x 4 ax ax lna 5 ex ex 6 loga x 1 x lna 7 ln x 1x 8 sen x cos x 9 cos x sen x 10 tg x sec2 x 11 cotg x cosec2 x 12 sec x sec tg x 13 cosec x cosec x cotg x 14 arcsen x 11x2 15 arcctg x 11x2 16 arctg x 11x2 17 arccotg x 11x2 18 arcsec x 1xx2 1 19 arccosec x 1xx2 1 Agora faremos vários exemplos usando as regras de derivação e as derivadas já conhecidas Exemplo 13 2x7 27x6 621 Exemplo 22 x cos x x cos x x cos x 1 cos x x sen x cos x x sen x Exemplo 14 3x45 35x4 35 x4 34x35 34x35 12x35 Note que kx 1k x 1k xk k constante Exemplo 23 xex xex xex ex xex 1 xex Exemplo 15 x38 x28 3x28 Exemplo 24 ex sen x ex sen x ex sen x ex sen x ex cos x sen x cos xex Exemplo 16 5x4 5x4 5 x2 Exemplo 25 x ln x x ln x x ln x ln x x 1x ln x 1 Exemplo 26 x2 ln x x2 ln x x2 ln x 2x ln x x2 1x 2x ln x x x2 ln x 1 Exemplo 27