Funções Exponenciais e Logarítmicas - Aplicações e Propriedades

2316 funcoesexplog2s201936179b2 OK 1 de 5 AL dos da rede social Juntos pratica Suponha que em determinado ano t 0 o serviço contasse com meio milhão de usuários Sendo o tempo t medido em anos e o número de usuários N medido em milhões temos Tabela com alguns dados t 2 0 2 4 6 Nt 017 05 15 45 135 Vamos obter uma fórmula para N em função de t anos Nmilhões 2 017 053 05 31 05 322 0 05 05 50 05 302 2 15 05 31 05 322 4 45 05 3 05 305 322 6 135 05 05 3 05 362 Portanto Nt 05 3t2 Exemplo 2 Enquanto a rede Juntos faz sucesso na rede Tchau o número de usuários de cada ano é a metade da quantidade do ano anterior Suponha que no ano correspondente a t 0 o serviço contasse com 6 milhões de usuários Medindo o tempo em anos e o número de usuários N em milhões temos Tabela com alguns dados t 1 0 1 2 3 N t 12 6 3 15 075 2316 Vamos agora expressar N em função de t anos Nmilhões 1 12 605 6 12 1 0 6 6 120 1 3 6 121 2 15 3 12 6 122 3 075 15 12 6 123 Portanto Nt 6 12t A função f x a é chamada de função exponencial de base a sendo a um número real positivo e diferente de 1 O domínio de uma função exponencial é R e a imagem é 0 Se a 1 então fx a é crescente e se 0 a 1 então fx a é decrescente Um caso particular mas muito importante ocorre quando a base é o chamado número de Duler que é denotado por e O número e é irra cional e vale aproximadamente 271828 A função f x et também é denotada por expx Exemplo 3 A função fx 063 é decrescente pois tem base 063 entre 0 e 1 A função fx V2 é crescente pois sua base é maior que 1 A função y 5x é decrescente pois sua base é 15 5x 15x A função y 3 2 é decrescente a função y 2 é crescente pois a base é maior que 1 assim ao multiplicarmos por um número negativo 3 obtemos uma função decrescente Propriedades Sejam a b números reais positivos x e y números reais quaisquer Então 2 FUNÇÃO LOGARÍTMICA A função f x a tem inversa pois é crescente ou decrescente conforme a base a Assim fica definida a função f1 0 R que associa a cada número real positivo x um número real y desde que f y x isto é f1 x y a x A função f1 é a função logarítmica de base a f1 x loga x Note que loga x y a x O domínio da função loga é 0 e sua imagem é R O logaritmo de x na base a é o expoente ao qual devemos elevar a para obter x Se a 1 então a função loga x é crescente se 0 a 1 então a função fx loga x é decrescente O logaritmo natural ou neperiano de x x 0 é loge x que é denotado por Inr Isto é Inr loge x Assim lnx y ey x a1 1a a 1 a1 a aa aa ax ax ax a y ax 1a x y C ab ab a b ad a b Note que a0 1 22 26 64 mas 22 29 512 23 1 2 Grafico de fx a Considere a função f x cx Sabemos que f é crescente nunca é negativa ou zero e que quanto e pode ser tão grande quanto queira mos bastando tomar r suficientemente grande isto é lim x Também vemos que podemos tornar e tão próximo de zero quanto queiramos basta tornar x negativo mas com módulo grande isto e lim x 0 A tabela abaixo apresenta alguns valores para o gráfico da função y x y e 10 1e