Aula: A Distribuição Normal - 1ª Parte

i i i i i i i i Aula A DISTRIBUIC AO NORMAL 1a PARTE 15 O b j e t i v o s Nesta aula vocˆe estudara a distribuicao normal que e uma das mais importantes distribuicoes contı nuas Vocˆe vera a definicao geral desta distribuicao mas nos concentraremos nesse primeiro momento na distribuicao normal padrao com ˆenfase no calculo de probabilidades associadas a essa variavel Assim vocˆe vera os seguintes topicos nesta aula 1 definicao da distribuicao normal 2 media e variˆancia da distribuicao normal 3 a distribuicao normal padrao 4 tabela da distribuicao normal padrao Probabilidade e Estatistica A Distribuigo Normal 14 Parte FUNCAO DE DENSIDADE DE PROBABILI DADE Uma va continua X tem distribuigaéo normal se sua fungao de densidade de probabilidade é dada por I xp x exp woxo 151 Analisando essa expressa0 podemos ver que ela esta definida para todo x R e depende de dois parametros e o Outras caracteristicas importantes dessa fungao sao as seguintes 1 ela é simétrica em torno do ponto x UU 2 o grafico da fungao tem forma de sino 3 quando x e0 fx 0 4 0 ponto x é 0 ponto de maximo e nesse ponto 1 fx V2n02 5 os pontos x UO exUL 0 sao pontos de inflexao ou Seja nesses pontos a curva muda de concavidade Para xUoO oux U0 a funcao é céncava para cima e para UO xU0 a funcao é concava para baixo Na Figura 151 ilustramse essas caracteristicas da densi dade normal 1 Vato 3 ponto de inflexao a ponto de inflexao us ato Figura 151 ustragao das principais caracteristicas da densidade normal 8 CEDERJ Podese mostrar usando técnicas de calculo integral que Q a area sob a curva de densidade normal é igual a 1 e como a 2 fungao exponencial é sempre nao negativa resulta que a funcao g fx dada na equagao 151 realmente define uma fungao de den sidade de probabilidade ESPERANCA E VARIANCIA 2 Os parametros tl e o da densidade normal definem a média e 0 desvio padrao da distribuiao respectivamente EXu X Np07 4 VarX 0 DPXo0 Vamos usar a seguinte notagdo indicaremos o fato de a va X ter distribuicio normal com média pl e varidncia o7 pela notagao X N u307 Na Figura 152 temos os graficos das seguintes distribuigdes normais N01 e N21 ou seja duas distribuigdes normais com médias diferentes e variancias iguais Note que o efeito de mudar a média é simplesmente deslocar o grafico mudando o seu eixo de simetria NO1 og N21 7 6 5 4 3 2 1 y 1 2 3 4 5 6 7 Figura 152 Distribuigdes normais com mesma variancia e médias dife rentes Na Figura 153 temos duas distribuigdes normais com a mesma média mas com variancias diferentes Note que a dis tribuigdo continua em forma de sino mas a dispersao muda lembrese de que variancia e desvio padrao sao medidas de dis so 2 1 persao Como 0 maximo da funcgdo é Taaat quanto maior a variancia mais baixa é a curva para compensar esse fato e continuar com 4rea sob a curva igual a 1 a curva fica mais es palhada ou seja mais dispersa CEDERI 9 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica A Distribuicao Normal 1a Parte Figura 153 Distribuicoes normais com mesma media e variˆancias dife rentes FUNC AO DE DISTRIBUIC AO ACUMULADA Como antes a funcao de distribuicao acumulada e Fx PrX x Na Figura 154 temos as respectivas fda para as densidades N01 N21 e N04 Note que pela simetria da curva em torno da media qualquer que seja a densidade nor mal Fµ 05 ou seja o eixo de simetria divide a area em duas partes iguais No grafico da fda podemos ver que para as densidades N01 e N04 F0 05 e para a densidade N21 F2 05 Figura 154 Funcao de distribuicao acumulada de algumas densidades normais 10 C E D E R J LL A DENSIDADE NORMAL PADRAO 5 Quando up 0 e o 1 temos a densidade normal padrio cuja fdp é usualmente representada pela letra grega fi 1 i oe eer 3 co Z o Z E comum também representar uma varidvel aleatéria com dis tribuicaéo normal padronizada pela letra Z Além de ser um caso especial a densidade normal padrao tem papel importante no calculo de probabilidades associadas as densidades normais co mo veremos na pr6xima aula A TABELA DA NORMAL PADRAO Na tltima aula vocé aprendeu que o calculo de probabilida des associadas a varidveis aleatérias continuas envolve calculo de areas sob a curva de densidade mais precisamente calculo de integral da fdp Isso obviamente continua valendo para a densidade normal A diferenga esta no fato de que o calculo de areas sob a curva normal envolve métodos numéricos mais com plexos e para facilitar esses calculos podemos usar uma tabela em que alguns valores ja se encontram calculados Este curso tera como base a Tabela 151 apresentada no final desta aula embora muitos livros utilizem a tabela da distribuigao acumulada dada na Tabela 152 que discutiremos no final desta aula A Tabela 151 sera usada para calcular probabilidades as sociadas a uma variavel aleatéria normal padrao Z Assim com essa tabela poderemos calcular probabilidades do tipo PrZ 1 PrZ 3 Pr1 Z 2 ete Vamos analisar cuidadosamente esta tabela A partir do ca becalho e do grafico na tabela podemos ver que as entradas no corpo da tabela fornecem probabilidades do tipo Pr0 Z z ou seja probabilidades de valores de Z pertencerem ao intervalo 0 z Com relacao a abscissa z seus valores sdo apresentados na tabela ao longo da coluna lateral 4 esquerda em conjunto com a linha superior ambas sombreadas de cinza Na coluna a es querda temos a casa inteira e a primeira casa decimal na linha superior temos a segunda casa decimal CEDERJ 1 Probabilidade e Estatistica A Distribuigo Normal 14 Parte Por exemplo ao longo da primeira linha da tabela temos probabilidades associadas as abscissas 000 001 002 009 na segunda linha da tabela temos probabilidades associadas as abscissas 010 011 012 019 na Ultima linha da tabela temos probabilidades associadas as abscissas 400 401 402 5409 A entrada 000000 no canto superior esquerdo da tabela cor responde a seguinte probabilidade PrO Z 000 ou seja PrZ 0 e como visto essa probabilidade é nula uma vez que para qualquer varidvel aleatoria continua X PrX x9 0 A segunda entrada na primeira linha 000399 corresponde a Pr0 Z 001 que é a drea sob a curva de densidade nor mal padronizada compreendida entre os valores 0 e 001 vejao grafico na tabela Note que esta tabela apresenta probabilidades corresponden tes a abscissas positivas ou seja esta tabela trata de area sob a curva no lado positivo do eixo Para calcular areas no lado negativo teremos de usar o fato de a curva da densidade nor mal ser simétrica E interessante que no cdlculo de probabili dades associadas a variaveis aleat6rias normais vocé faga um esboco da curva de densidade sombreando a area correspon dente a probabilidade desejada Vamos terminar esta aula apre sentando varios exemplos de calculos de probabilidades de uma va Z com distribuicgao normal padrao ou seja no que segue Z N031 Exemplo 151 Calcule Pr0 Z 122 Solucao Veja a Figura 155 queremos calcular a area probabilidade da parte sombreada Essa probabilidade é dada diretamente na Tabela 151 utilizando a entrada correspondente 4 linha 12 e a coluna com o valor 2 veja a Figura 156 O resultado é Pr0 Z 122 038877 12 CEDERJ hs Qa Oo 5 2 Figura 155 Célculo de Pr0 Z 122 Casa inteira 2 decimal I decimal 0 1 Z 3 00 000000 000399 000798 001197 01 003983 004380 004776 005172 09 031594 031859 032121 032381 10 034134 034375 034614 034849 11 036433 036650 036864 037076 12 038493 038686 038877 039065 13 040320 040490 040658 040824 Figura 156 Uso da Tabela 151 no célculo de Pr0 Z 122 Exemplo 152 Calcule Pr1 Z 2 Solucao Essa probabilidade corresponde a area sombreada na Figura 157 Note que essa area pode ser obtida subtraindo se a area que abrange o intervalo 01 da area que abrange o intervalo 02 A primeira area corresponde a Pr0 Z le a segunda d4rea corresponde a Pr0 Z 2 Assim PrilZ2 Pr0OZ2Pr0Z 1 Pr0Z2Pr0Z 1 tab2 tab1 047725 034134 0 13591 Note a convenc4o que adotaremos tabz Pr0 Z z cor responde a entrada na Tabela 151 CEDERJ 13 Probabilidade e Estatistica A Distribuigo Normal 14 Parte a Figura 157 Calculo de Pr1 Z 2 oi b Figura 158 Calculo de Pr0 Z 2 we Figura 159 Calculo de Pr0 Z 1 Exemplo 153 Calcule PrZ 1 Solucao PrZ 1 a area sombreada na Figura 1510 que pode ser calculada lembrando que a 4rea a direita do eixo de simetria 14 CEDERJ t é igual a 05 Assim a probabilidade pedida pode ser obtida Q subtraindose de 05 a 4rea hachurada isto é 2 Oo PrZ1 05Pr0Z1 2 05034134 0 15866 5 Figura 1510 Calculo de PrZ 1 Exemplo 154 Calcule PrZ 15 Solucao PrZ 15 a drea a esquerda de 15 sombreada de cinza claro e de cinza escuro na Figura 1511 Podemos escrever PrZ 15 PrZ0Pr0Z 15 05tab15 05043319 093319 Figura 1511 Calculo de PrZ 15 CEDERJ 15 Probabilidade e Estatistica A Distribuigo Normal 14 Parte Exemplo 155 Calcule PrZ 05 Solucao PrZ 05 é a area sombreada de cinza escuro na Figura 1512 Note que por simetria essa area é igual a area sombreada de cinza claro Esta por sua vez pode ser obtida subtraindose de 05 area a direita do eixo de simetria a area hachurada Mais precisamente PrZ 05 PrZ05 05Pr0Z05 05tab05 05019146 030854 N A A Figura 1512 Célculo de PrZ 05 Exemplo 156 Calcule Pr15 Z 0 Solucao Pr15 Z 0 é a 4rea sombreada de cinza claro na Fi gura 1513 que pela simetria da curva é igual a area sombreada de cinza escuro Mais precisamente Pr15Z0 Pr0Z15 tab15 043319 16 CEDERJ 3 a Oo SY NN 2 z Figura 1513 Calculo de Pr15 Z 0 Exemplo 157 Calcule Pr132 Z 205 Solucao Pr132 Z 205 é a area sombreada de cinza claro na Figura 1514 Note que essa area pode ser decomposta na area a esquerda do eixo de simetria mais a area a direita do eixo de simetria A area a direita do eixo de simetria nada mais é que tab205 Com relagéo a drea sombreada a esquerda do eixo de simetria ela é igual a area hachurada no lado direito e essa Ultima é tab132 Assim Pr132 Z 205 Pr132Z04Pr0 Z 205 Pr0Z132Pr0 Z 205 tab132 tab2 05 040658 047982 088640 CEDERJ 17 Probabilidade e Estatistica A Distribuigo Normal 14 Parte D A EN Figura 1514 Célculo de Pr132 Z 205 Exemplo 158 Calcule Pr233 Z 100 Solucao Pr233 Z 100 é a area sombreada de cinza claro na Figura 1515 Por simetria essa area é igual a area som breada de cinza escuro Assim Pr233 Z100 Pr100Z 233 Pr000 Z 233 Pr000 Z 100 tab233 tab100 049010034134 014876 fy Figura 1515 Calculo de Pr233 Z 100 18 CEDERJ A TABELA DA DISTRIBUICAO ACUMULADA DA O NORMAL PADRAO 5 Muitos livros trabalham com a tabela da distribuigao acumu lada da normal padrao que representaremos pela letra grega fi maitscula z PrZ 2 A Tabela 152 é apresentada ao final desta aula Note que nesta tabela sao dadas abscissas negativas e positivas variando de 409 a 4 09 Na primeira parte estamos trabalhando com as abscissas negativas e na segunda parte com as abscissas po sitivas Vamos usar a Tabela 152 para refazer os exemplos vistos anteriormente Exemplo 159 Pr0Z 122 122 0 088777 05 0 38877 Pr1 Z 2 2 1 097725 0 84134 0 13591 PrZ 1 10 1 10 0 84134 0 15866 PrZ 15 B15 093319 PrZ 05 05 030854 Pr15 Z 0 0 B15 05006681 0 43319 Pr132 Z 205 205 1 32 097982 0 09342 0 88640 Pr233 Z 100 100 2 33 0 15866 0 00990 0 14876 Exercicio 151 Usando a Tabela 151 calcule as seguintes probabilidades 1 Pr234 102 2 Pr136 Z 450 3 PrZ 235 4 PrZ 480 5 PrZ 489 CEDERJ 19 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica A Distribuicao Normal 1a Parte 6 Pr154 Z 312 7 Pr122 Z 089 8 PrZ 2 9 PrZ 2 10 Pr256 Z 500 Exercıcio 152 Calcule as probabilidades do exercıcio anterior usando a Ta bela 152 SOLUC AO DOS EXERCICIOS Exercıcio 151 1 Pr234 Z 102 tab102tab234 034614049036 083650 2 Pr136 Z 450 tab450tab136 05041308 008692 3 PrZ 235 05tab235 05049061 099061 4 PrZ 480 05tab480 0505 0 5 PrZ 489 PrZ 489 05tab489 0505 0 6 Pr154 Z 312 tab312tab154 049910043822 006088 7 Pr122 Z 089 Pr089 Z 122 tab122tab089 038877031327 007550 8 PrZ 2 PrZ 2 05tab20 05047725 002275 9 PrZ 2 05tab20 05047725 097725 10 Pr256 Z 500 tab500tab256 05049477 099477 20 C E D E R J i i i i i i i i AULA 15 1 M ODULO 1 Exercıcio 152 1 Pr234 Z 102 Φ102Φ234 084614000964 083650 2 Pr136 Z 450 Φ450Φ136 10091308 008692 3 PrZ 235 10 Φ235 10 000939 099061 4 PrZ 480 10Φ480 1010 0 5 PrZ 489 Φ489 0 6 Pr154 Z 312 Φ312 Φ154 099910093822 006088 7 Pr122 Z 089 Φ089Φ122 018673011123 007550 8 PrZ 2 PrZ 2 Φ20 002275 9 PrZ 2 10Φ20 10002275 097725 10 Pr256 Z 500 Φ500Φ256 10000523 099477 C E D E R J 21 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica A Distribuicao Normal 1a Parte Tabela 151 Para abscissas maiores que 409 use a probabi lidade de 050000 22 C E D E R J i i i i i i i i AULA 15 1 M ODULO 1 Tabela 152 Esta parte da tabela contem as abcissas negati vas Para abscissas menores que 409 use a probabilidade de 000000 C E D E R J 23 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica A Distribuicao Normal 1a Parte Tabela 152 Esta parte da tabela contem as abcissas positi vas Para abscissas maiores que 409 use a probabilidade de 100000 24 C E D E R J