Aula sobre Variáveis Aleatórias Discretas

i i i i i i i i Aula VARI AVEIS ALEAT ORIAS DISCRETAS 11 O b j e t i v o Nesta aula vocˆe aprendera um conceito muito im portante da teoria de probabilidade o conceito de va riavel aleatoria Vocˆe vera que as variaveis aleatorias e suas distribuicoes de probabilidade sao as ferramen tas fundamentais na modelagem de fenˆomenos alea torios Definiremos as variaveis aleatorias discretas e contınuas mas nesta aula iremos nos concentrar nas variaveis discretas apresentando os seguintes concei tos 1 funcao de distribuicao de probabilidade de uma variavel aleatoria discreta 2 funcao de distribuicao acumulada de uma varia vel aleatoria discreta 3 funcoes de variaveis aleatorias discretas Esses conceitos serao apresentados atraves de exem plos classicos envolvendo basicamente moedas da dos e baralho mas ao final da aula apresentaremos exemplos completos abordando situacoes praticas Probabilidade e Estatistica Varidveis Aleatérias Discretas 2 V4 VARIAVEIS ALEATORIAS DISCRETAS 2 2 VARIAVEL ALEATORIA Consideremos 0 seguinte experimento aleatério sortear uma amostra de 20 funcionarios de uma empresa que tem 500 fun cionarios O espacgo amostral deste experimento é formado por todas as amostras possiveis e como a ordem nao importa e nao deve haver repeticao de funcionarios o numero total de tais amos tras 6 Q Cada elemento desse espaco amostral é for mado pela relagaéo dos 20 funciondrios sorteados No entanto em geral 0 interesse nao esta nos funcionarios em si mas sim em alguma caracteristica deste funcionario por exemplo sua al tura se tem curso superior ou nao numero de dependentes etc Dessa forma poderfamos calcular a altura média dos fun cionarios da amostra o nimero médio de dependentes a pro porao de funciondérios com curso superior etc Com isso a cada amostra possivel ou seja a cada ponto do espaco amostral associamos um numero Essa é a definiao de varidvel aleatoria Definiao 111 Uma variavel aleatoria é uma funcao real isto é que as sume valores em R definida no espago amostral Q de um experimento aleatério Dito de outra forma uma variavel aleatéria é uma funao que associa a cada evento de Q um numero real Por questdes de simplicidade muitas vezes abreviaremos a expressao variavel aleatéria por va A convencao usual para representar uma va consiste em usar letras maitisculas como X Y etc Um valor especifico mas genérico dessa varidvel sera representado pela letra minuscula correspondente x y etc Exemplo 111 Consideremos o lancamento de dois dados equilibrados Como ja visto 0 espago amostral desse experimento é for mado pelos pares ordenados ij em que i j 123456 8 CEDERJ i i i i i i i i AULA 11 1 M ODULO 1 Esse e um experimento em que o espaco amostral nao e for mado por numeros Suponhamos que nosso interesse esteja no maximo das faces dos dois dados Nesse caso a va X maximo das 2 faces pode assumir os valores 123456 conforme ilustrado na Figura 111 Aı podemos ver que o valor X 2 corresponde ao evento A 122122 Figura 111 Variavel aleatoria X maximo das faces de 2 dados No exemplo anterior a variavel aleatoria podia assumir um numero finito de valores Suponhamos agora que o experi mento consistisse em sortear uma pessoa de um grupo de 20 adultos e a esse experimento associassemos a va X altura em cm da pessoa sorteada Nesse caso os possı veis valores de X estariam em um intervalo digamos 120210 Isso nos leva a seguinte definicao Definicao 112 blablabla Uma variavel aleatoria e discreta se sua imagem ou con junto de valores que ela assume e um conjunto finito ou enumeravel Se a imagem e um conjunto nao enumeravel dizemos que a variavel aleatoria e contınua Lembrese de que na primeira parte do curso estudamos as variaveis quantitativas discretas e contınuas Nesta aula e nas duas proximas estudaremos apenas as va riaveis aleatorias discretas apresentando varios conceitos rela cionados a elas C E D E R J 9 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Variaveis Aleatorias Discretas FUNC AO DE DISTRIBUIC AO DE PROBA BILIDADE Os valores de uma va discreta sao definidos a partir do espaco amostral de um experimento aleatorio Assim e natural perguntarmos qual e a probabilidade do valor x No exemplo do maximo das duas faces de um dado da Fi gura 111 vimos que o valor X 2 corresponde ao evento A 122122 enquanto o valor X 1 corresponde ao evento B 11 Sendo assim e de se esperar que o valor 2 seja mais provavel que o valor 1 Podemos calcular a probabi lidade de X 2 usando a seguinte equivalˆencia de eventos X 2 A 122122 Dessa forma podemos definir PrX 2 PrA 3 36 De maneira analoga obtemos PrX 1 1 36 PrX 3 5 36 PrX 4 7 36 PrX 5 9 36 PrX 6 11 36 Esse exemplo ilustra o conceito de funcao de distribuicao de probabilidade de uma va discreta Definicao 113 blablabla Seja X uma variavel aleatoria discreta A funcao de distribuicao de probabilidades de X e a funcao fX x que associa a cada valor possıvel x de X sua respectiva probabi lidade calculada da seguinte forma fX x e a probabilidade do evento X x consistindo em todos os resultados do espaco amostral que deram origem ao valor x fX x PrX x ωΩXωx Prω 111 10 C E D E R J Para nao sobrecarregar 0 texto omitiremos os colchetes ori Q undos da notacao de eventoconjunto e escreveremos Pr X x 2 no lugar de PrX x que seria a forma correta Além disso abreviaremos por fdp o termo funao de distribuigao de proba bilidade Das propriedades axiomas da probabilidade resultam os se guintes fatos sobre a funcao de distribuigao de probabilidades de 5 uma va X fx x 0 112 Y fxx 1 113 Xx em que indica somatério ao longo de todos os possiveis va Xx lores de X Note que a segunda propriedade é decorrente do axioma PrQ 1 pois os eventos X x so mutuamente exclusivos e formam uma particéo do espaco amostral Essas sao as condicées definidoras de uma funcdo de distribuicdo de probabilidade CALCULO DA FUNGAO DE DISTRIBUICAO DE PRO BABILIDADE O calculo da fdp de uma va X qualquer se da em trés etapas e primeiro temos que identificar todos os possiveis valores x da va X e segundo temos que identificar os resultados que dao origem a cada valor x e suas respectivas probabilidades e finalmente temos que somar todas essas probabilidades para obter fy x Exemplo 112 Considerando novamente a va definida na Figura 111 podemos resumir a fdp da variavel em questao na seguinte ta bela x 1 2 3 4 5 6 KOla ku CEDERJ 11 Probabilidade e Estatistica Varidveis Aleatérias Discretas Exemplo 113 Consideremos novamente o langamento de dois dados mas agora vamos definir a seguinte va X soma das 2 faces Para facilitar a solugado desse problema vamos construir uma tabela de duas entradas em que cada dimensado representa o resultado de um dado e em cada cela temos a soma das duas faces 123 4 5 6 12 3 4 5 6 7 23 4 5 6 7 8 314 5 6 7 8 9 45 6 7 8 9 10 56 7 8 9 10 11 67 8 9 10 11 12 Como cada ponto do espaco amostral é equiprovavel a fdp de Xé x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 fin t 22 422243 224 Representacdo Grafica da Funcao de Distribuicado de Probabi lidade A fungao de distribuigao de probabilidade de uma va dis creta X que assume um numero finito de valores pode ser repre sentada por um grafico de colunas em que a cada valor de X corresponde uma coluna cuja altura representa a probabilidade do respectivo valor Na Figura 112 ilustrase a fdp da va X soma das faces de 2 dados Exemplo 114 Dentre os cinco alunos de um curso com coeficiente de rendi mento CR superior a 85 dois serao sorteados para receber uma bolsa de estudos Os CRs desses alunos sao 88 92 89 95 90 12 CEDERJ Oo a 636 a Oo 536 S 436 336 236 136 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Figura 112 Funcio de distribuigdo de probabilidade de X soma das faces de 2 dados 1 Designando por A BCDE os alunos defina um espago amostral para esse experimento 2 SejaX CR médio dos alunos sorteados Liste os possiveis valores de X 3 Liste o evento X 90 4 Encontre a fdp de X e calcule PrX 9 Solucao 1 Note que aqui a ordem nao importa logo Q 10 Mais especificamente gq ABAC4DABC BD BE CD CE DE 2 Usando uma tabela de duas entradas podemos representar os valores de X da seguinte forma A88 BQ2 C89 DQ5 EQ0 A88 90 885 915 890 B92 905 935 910 C89 920 895 D95 925 E0 3 X 2 9 AB AD BC BD BE CD DE CEDERJ 13 Probabilidade e Estatistica Varidveis Aleatérias Discretas 4 Como todos os pontos do espago amostral s4o equiprovaveis a fdp de X é x 885 890 895 900 905 910 915 920 925 935 xO go up fp oD op Dp oD uo GD ePrX 9 5 Exemplo 115 Um homem possui quatro chaves em seu bolso Como esta escuro ele nado consegue ver qual a chave correta para abrir a porta de sua casa Ele testa cada uma das chaves até encontrar a correta 1 Defina um espacgo amostral para esse experimento 2 Defina a va X numero de chaves experimentadas até conseguir abrir a porta inclusive a chave correta Quais sdo os valores de X 3 Encontre a fdp de X Solucao 1 Vamos designar por C a chave da porta e por E E2 e E3 as outras chaves Se ele para de testar as chaves depois que acha a chave correta entaéo 0 espago amostral é CEC ExC E3C Q E EXC Ex EC FE E3C E3EC Ex E3C E3E2C 7 EF Ex E3C FE E3E2C EE E3C E2E3EC E3E EoC E3EEC 2 Podemos ver na listagem de Q que X 1234 3 Note que todas as chaves tém a mesma chance de serem sorteadas e obviamente cada chave testada nao é colocada de volta no 14 CEDERJ i i i i i i i i AULA 11 1 M ODULO 1 bolso Feitas essas observac oes podemos ver que PrX 1 PrC 1 4 PrX 2 PrE1C E2C E3C PrE1CPrE2CPrE3C 1 4 1 3 1 4 1 3 1 4 1 3 1 4 PrX 3 PrE1E2CPrE2E1CPrE1E3C PrE3E1CPrE2E3CPrE3E2C 6 1 4 1 3 1 2 1 4 PrX 4 PrE1E2E3CPrE1E3E2CPrE2E1E3C PrE2E3E1CPrE3E1E2CPrE3E2E1C 6 1 4 1 3 1 2 1 1 4 Logo a fdp de X e x 1 2 3 4 fX x 1 4 1 4 1 4 1 4 Exercıcio 111 Cinco cartas sao extraıdas de um baralho comum 52 cartas 13 de cada naipe sem reposicao Defina a va X numero de cartas vermelhas sorteadas 1 Quais sao os possıveis valores de X 2 Encontre a fdp de X Exercıcio 112 Numa urna ha sete bolas brancas e quatro bolas verdes Cinco bolas sao extraıdas dessa urna sem reposicao Defina a va X numero de bolas verdes 1 Quais sao os possıveis valores de X 2 Encontre a fdp de X Exercıcio 113 Repita o exercıcio anterior para o caso de extracoes com reposicao C E D E R J 15 Probabilidade e Estatistica Varidveis Aleatérias Discretas FUNCAO DE DISTRIBUICAO ACUMULADA A partir da fungdo de distribuigao de probabilidades de uma va discreta X é possivel calcular a probabilidade de qualquer evento associado a ela Por exemplo considere novamente a fdp da variavel aleatéria X maximo das faces de 2 dados x 1 2 3 4 5 6 KOlk a mu A partir dela podemos calcular as seguintes probabilidades 20 PrX 5 PrX 5UX 6 PrX 5PrX 6 36 4 PrX 2 PrX 1UX 2 PrX 14PrX 2 36 Na verdade a fdp de uma varidvel aleatéria discreta X nos da toda a informacgdo sobre X Existe uma outra fungao com tal caracteristica na verdade sob determinadas condi6es pode mos achar outras fungdes com tal caracteristica que é a funcdo de distribuigdo acumulada de X cuja definigao apresentamos a seguir Definicao 114 Dada uma varidvel aleat6ria discreta X a funcao de distribuicaéo acumulada de X é definida por Fx x PrX x YxeR 114 E interessante notar que a funcdo Fx esta definida para todo numero real x Antes de passar as propriedades teéricas da funcao de distribuigao acumulada usaremos a abreviaao fda também conhecida como fungao de distribuicgao vamos ver um exemplo Exemplo 116 Continuando com a fdp da va X maximo das faces de 2 dados devemos notar inicialmente que nenhum valor menor que é possivel Logo Fx x 0 Vx 1 16 CEDERJ i i i i i i i i AULA 11 1 M ODULO 1 Para x 1 temos que FX 1 PrX 1 PrX 1PrX 1 115 0 1 36 1 36 Para qualquer valor de x tal que 1 x 2 temos fXx 0 Logo FX x PrX 1Pr1 X x FX 10 FX 1 x 1 x 2 116 Juntando os resultados 115 e 116 obtemos FX x FX 1 1 36 x 1 x 2 Com raciocınio analogo obtemos FX 2 PrX 2 117 PrX 1Pr1 X 2PrX 2 1 36 0 3 36 4 36 e para x 23 FX x PrX 2Pr2 X x FX 20 FX 2 x 2 x 3 118 ou seja FX x FX 2 4 36 x 2 x 3 Continuando obtemos FX x FX 3 9 36 x 3 x 4 FX x FX 4 16 36 x 4 x 5 FX x FX 5 25 36 x 5 x 6 Para x 6 devemos notar que o evento X x corresponde ao espaco amostral completo logo FX x 1 x 6 C E D E R J 17 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Variaveis Aleatorias Discretas Dessa forma a fda de X e a seguinte funcao FXx 0 x 1 136 1 x 2 436 2 x 3 936 3 x 4 1636 4 x 5 2536 5 x 6 1 x 6 Na Figura 113 temos o grafico de tal funcao em que a escala vertical esta em multiplos de 1 36 Note que esse grafico tem a forma de uma escada com saltos de descontinuidade nos va lores da va X Figura 113 Funcao de distribuicao acumulada de X maximo das faces de 2 dados PROPRIEDADES DA FUNC AO DE DISTRIBUIC AO ACUMULADA Os axiomas da probabilidade e as propriedades deles decor rentes nos permitem obter as seguintes propriedades da funcao de distribuicao acumulada de uma va X 1 Como 0 PrA 1 segue que 0 FX x 1 119 18 C E D E R J 2 Do axioma PrQ 1 resulta que Q lim Fy x 1 1110 B xX00 S Note que 0 evento X co corresponde a todos os nimeros reais e portanto inclui todos os valores de X 3 Da propriedade Pr 0 resulta que 5 lim Fy x 0 1111 X00 Note que o evento X co corresponde ao evento im possivel 4 Fx x uma fungao nao decrescente isto é se ab Fx a Fx b 1112 Esse resultado segue do fato de que se a b entao o evento X a Cc X b e portanto PrX a PrX b ou seja Fy a Fy Db 5 Fx x uma fung4o continua a direita isto é Fx b lim Fy b h Fx b 1113 h0 6 A fdp de X pode ser calculada a partir da fda da seguinte forma Ix x Fy x lim Fx x 0 Fy x Fy x 1114 Note que isso significa que fxx é igual ao tamanho do salto da fda no ponto x A conclusao que podemos tirar é a seguinte a fungao de distribuicao de probabilidades fdp e a fungao de distribuigao acumulada fda ambas nos dao todas as informagées sobre a variavel aleatéria X e a partir de uma podemos obter a outra de forma inequivoca CEDERJ 19 Probabilidade e Estatistica Varidveis Aleatérias Discretas Exemplo 117 Dada a funcao 0 xl 12 1x2 Fx4 k 2x3 34 3x4 1 x4 em que k é uma constante determine os possiveis valores de k para que Fx seja a fungao de distribuicgfo acumulada de uma variavel aleatéria X Em seguida determine a funcao de distri buicao de probabilidade desta va X Soluc4o Como a fda de qualquer va X tem que ser uma fungao nao decrescente concluimos que k tem que ser maior ou igual a 5 Pela mesma razao k tem que ser menor ou igual a 3 Dessa forma os possiveis valores de k pertencem ao intervalo 5 3 Os valores possiveis da va X correspondem aos pontos de descontinuidade da fungio Fx Logo X assume os valores 1234 As probabilidades desses valores so dadas pelo tamanho do salto de F x 1 PX l1 5 1 PX 2k k5 PX 32k 4 1 px 4131 4 4 FUNCOES DE VARIAVEIS ALEATORIAS Dada uma va X podemos obter outras variaveis aleatérias através de fungdes de X e da mesma forma que calculamos a fungao de distribuicdo de probabilidade de X podemos calcular a fdp dessas novas variaveis 20 CEDERJ Exemplo 118 Q S Considere a va X cuja fdp é dada na tabela abaixo x 2 1l O 1 2 3 fx x 01 02 02 03 01 01 a Consideremos a funcao Y gX X Entao Y é uma nova variavel aleatoria cujos possiveis valores sao 0149 Para cal cular as probabilidades desses valores temos que identificar os valores de X que originaram cada um deles Temos a seguinte equivaléncia de eventos Y0 x0 Y1 xXluUx1 Y4 X2UxX 2 Y9 x3 O simbolo representaé equivalente a Como os eventos sao mutuamente exclusivos segue que PrY0 PrX 002 PrY1 PrxX 1PrX 1 05 PrY 4 PrX 2PrX 2 02 PrY9 PrX 301 e podemos resumir essa fdp como y 0 1 4 9 fy y 02 05 02 01 Definicao 115 Fungao de Varidvel Aleatéria Seja X uma variavel aleatoria discreta com fungao de distribuigao de probabilidade fy x Se definimos uma nova va Y gX onde g é uma fungao real qualquer entao a fdp de Y é calculada como fryy Ye fk xxy CEDERJ 21 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Variaveis Aleatorias Discretas Exercıcio 114 Seja Y uma variavel aleatoria com fdp dada por y 3 1 0 2 5 8 9 fYy 025 030 020 010 007 005 003 Defina Z 2Y 3 Encontre a fdp da variavel aleatoria Z Exercıcio 115 A demanda por um certo produto pode ser vista como uma variavel aleatoria X cuja funcao de distribuicao de probabilidade fXx e estimada por Numero de unidades demandadas x 1 2 3 4 fXx PrX x 025 045 015 015 1 Verifique se fXx realmente define uma fdp 2 Obtenha a funcao de distribuicao acumulada de X 3 Usando a fda calculada no item anterior calcule PrX 35 22 C E D E R J i i i i i i i i AULA 11 1 M ODULO 1 Resumo Nesta aula vocˆe estudou importantes conceitos sobre variaveis aleatorias Certifiquese de ter compreendido bem cada um deles Uma variavel aleatoria va e uma funcao real isto e que assume valores em R definida no espaco amos tral Ω de um experimento aleatorio Dito de outra forma uma variavel aleatoria e uma funcao que asso cia a cada evento de Ω um numero real Uma variavel aleatoria e discreta se sua imagem ou conjunto de valores que ela assume e um conjunto finito ou enumeravel Se a imagem e um conjunto nao enumeravel dizemos que a variavel aleatoria e contınua Seja X uma variavel aleatoria discreta A funcao de distribuicao de probabilidades de X e a funcao fX x que associa a cada valor possıvel x de X sua respec tiva probabilidade calculada da seguinte forma fX x PrX x ωΩXωx Prω A fdp de uma va discreta satisfaz as seguintes pro priedades fXx 0 x fXx 1 e pode ser representada por um grafico de colunas caso X assuma poucos valores Dada uma variavel aleatoria discreta X a funcao de distribuicao acumulada fda de X e definida por FXx PrX x x R C E D E R J 23 Probabilidade e Estatistica Varidveis Aleatérias Discretas Exercicio 116 Uma variavel aleatéria discreta X tem a seguinte fungao de distribuicgao de probabilidade k Gt2 x 0 1 fx x 0 xA0exFl onde k uma constante 1 Determine o valor de k para que fy seja uma fdp 2 Calcule a fungao de distribuigao Fx x Exercicio 117 Considere o langamento de trés moedas e denote por K a ocorréncia de cara e por C a ocorréncia de coroa Se ocorre 0 evento CCC dizemos que temos uma sequéncia ao passo que se ocorre 0 evento CKC temos trés sequéncias Defina a va X numero de caras obtidas e Y ntimero de sequéncias obtidas Obtenha as distribuig6es de X e Y SOLUCAO DOS EXERCICIOS Exercicio 111 1 No baralho ha 26 cartas vermelhas 13 de ouros e 13 de copas Logo os possiveis valores de X sao 0 1 2 3 4 5 2 Ontmero de pontos do espaco amostral é Q 3 PrxX 0Pr5 pretas 2 5 26x25 x 24 x 23 x 22 2x51x50x 49x 48 23 x 22 2 00253 2x51x2x49x2 24 CEDERJ cc 5 PrX 1 Pr4pretas 1 vermelha 2 5 5 26 x 25x 24x23 4 aK3xK2 26K 25x 23 x 26 52x51 x50x 49x48 52x51 x 10x49 x2 5x4x3x2 5 x 23 x 13 65 x 23 5 0 1496 2x51x2x49 4x51x49 36 PrX 2 Pr3 pretas2 vermelhas 5 26x 25x24 26x25 3x2 2 26K 25x 4x 13x 25 52xx51x50x49x48 52x51x5x49x4 5x4x3x2 5 x 13 x 25 65 x 25 2x51x49 2x51 x49 0 325 Como o numero de cartas pretas e vermelhas é 0 mesmo resulta que 3 3 PrX 3 Pr2 pretas3 vermelhas ates 03251 5 7 2 PrX 4 Pr1 preta4 vermelhas 0 1496 5 3 PrX 5 Pr5 vermelhas 3 00253 5 Logo a fdp de X é x 0 1 2 3 4 5 pxx 00253 01496 03251 03251 01496 00253 Exercicio 112 Note que temos bolas brancas em quantidade suficiente para podermos tirar todas brancas X 0 mas nao temos bolas verdes suficientes para tirar todas verdes 1 Como ha apenas 4 verdes os valores de X sao 01234 CEDERJ 25 Probabilidade e Estatistica Varidveis Aleatérias Discretas 2 A cardinalidade do espaco amostral é 11 11x10x9x8x7 5 PrX 0 Pr5 brancas 5 7 6 5 4 3 1 3 11 10 9 8 7 22 66 PrX 1 Pr1 verde 4 brancas lixexd 4 7x6x5 3x2 10 20 ILx6x7 3366 3 G PrX 2 Pr2 verdes 3 brancas Teed 4x3 7x6xS5 2 3x2 35 30 11x6x7 11 66 3 PrX 3 Pr3 verdes 2 brancas Teed 7x6 xs 2 11x6x7 11 66 4 PrX 4 Pr4 verdes branca Teed Ix7 1 1Lx6x7 66 Logo a fdp de X é x 0 1 2 3 4 mole 22EE 26 CEDERJ Exerefcio 113 Q A 1 Se as extragGes sao feitas com reposiao em cada extracgao podemos tirar bola branca ou verde Logo os possiveis valores de X sao 012345 2 Com reposiao sempre temos na urna 7 brancas e 4 verdes 4 e em cada extragao temos que Prbranca G e iz Prverde a Como as extrag6es sao independentes re sulta que 45 PrX 0 Pr5 brancas 5 0 1044 PrX 1 Pr1 verde 4 brancas 574 02982 1 iz ai 9 PrX 2 Pr2 verdes 3 brancas 574 4 2 iz ar 9 PrX 3 Pr3 verdes 2 brancas 574 01947 2 ir ax PrX 4 Pr4 verdes 1 branca 574 00556 1 iz x 45 PrX 5 Pr5 verdes 00064 Logo a fdp de X é x 0 1 2 3 4 5 pxx 01044 02982 03408 01948 00556 00064 A razao de multiplicarmos pelos nimeros combinatérios CEDERJ 27 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Variaveis Aleatorias Discretas se deve ao fato de que as bolas verdes podem sair em qualquer uma das extracoes Exercıcio 114 Note que Z e uma funcao linear de Y Y 3 Z 9 Y 5 Z 7 Y 1 Z 5 Y 8 Z 13 Y 0 Z 3 Y 9 Z 15 Y 2 Z 1 Logo a fdp de Z e z 9 5 3 1 7 13 15 fZz 025 030 020 010 007 005 003 Exercıcio 115 1 025045015015 1 e todos os valores sao nao negativos Logo fX e uma funcao de distribuicao de pro babilidade 2 FXx 0 se x 1 025 se 1 x 2 070 se 2 x 3 085 se 3 x 4 100 se x 4 3 Temos que PrX 35 FX35 085 Exercıcio 116 1 Os valores possıveis da va sao 0 e 1 Entao temos que ter fX0 fX1 1 k 2 k 3 1 k 2 k 6 1 3k k 6 1 k 6 4 3 2 28 C E D E R J i i i i i i i i AULA 11 1 M ODULO 1 Logo fX0 3 2 2 3 4 fX1 3 2 6 1 4 2 A fda de X e FXx 0 se x 0 3 4 se 0 x 1 1 se x 1 Exercıcio 117 O espaco amostral bem como as variaveis aleatorias e suas fdps estao dadas nas tabelas a seguir w Prw X Y CCC 1 8 3 1 CCK 1 8 2 2 CKC 1 8 2 3 KCC 1 8 2 2 CKK 1 8 1 2 KCK 1 8 1 3 KKC 1 8 1 2 KKK 1 8 0 1 x 0 1 2 3 fXx 1 8 3 8 3 8 1 8 y 1 2 3 fYy 2 8 4 8 2 8 C E D E R J 29