Aula sobre Distribuições de Variáveis Aleatórias Discretas

i i i i i i i i Aula ALGUMAS DISTRIBUIC OES DISCRETAS 13 O b j e t i v o Nesta aula estudaremos alguns modelos de varia veis aleatorias discretas O objetivo de tais modelos e descrever situacoes gerais que se encaixam no con texto definido para cada um deles Dentre os varios modelos de variaveis aleatorias discretas estudare mos os seguintes 1 distribuicao uniforme discreta 2 distribuicao de Bernoulli 3 distribuicao binomial 4 distribuicao hipergeometrica i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Algumas Distribuic oes Discretas INTRODUC AO Considere as seguintes situacoes 1 a Lancase uma moeda viciada e observase o resultado obtido e b perguntase a um eleitor se ele vai votar no candidato A ou B 2 a Lancase uma moeda n vezes e observase o numero de caras obtidas e b de uma grande populacao extraise uma amostra de n eleitores e perguntase a cada um deles em qual dos candidatos A ou B eles votarao e contase o numero de votos do candidato A 3 a De uma urna com P bolas vermelhas e Q bolas brancas extraemse n bolas sem reposicao e contase o numero de bolas brancas e b de uma populacao com P pessoas a favor do candidato A e Q pessoas a favor do candidato B extraise uma amostra de tamanho n sem reposicao e contase o numero de pessoas a favor do candidato A na amostra Em cada uma das situacoes anteriores os experimentos cita dos tˆem algo em comum em certo sentido temos a mesma situacao mas em contextos diferentes Por exemplo na situacao 1 cada um dos experimentos tem dois resultados possıveis e ob servamos o resultado obtido Na situacao 3 temos uma popula cao dividida em duas categorias e dela extraımos uma amostra sem reposicao o interesse esta no numero de elementos de uma determinada categoria Na pratica existem muitas outras situacoes que podem se encaixar nos modelos acima e mesmo em outros modelos O que veremos nesse capıtulo sao alguns modelos de variaveis aleatorias discretas que podem descrever situacoes como as lis tadas anteriormente Nesse contexto um modelo sera definido por uma variavel aleatoria e sua funcao de distribuicao de pro babilidade explicitandose claramente as hipoteses de validade De posse desses elementos poderemos analisar diferentes situa coes praticas para tentar encaixalas em algum dos modelos dados Nesse capıtulo serao descritas as distribuicoes de probabi lidade discretas mais usuais A introducao de cada uma delas 8 C E D E R J i i i i i i i i AULA 13 1 M ODULO 1 sera feita atraves de um exemplo classico moeda urna baralho etc e em seguida serao explicitadas as caracterısticas do ex perimento Tais caracterısticas sao a ferramenta necessaria para sabermos qual modelo se aplica a uma determinada situacao pratica Definida a distribuicao calculamse a media e a vari ˆancia DISTRIBUIC AO UNIFORME DISCRETA Suponha que seu professor de Estatıstica decida dar de pre sente a um dos alunos um livro de sua autoria Nao querendo favorecer qualquer aluno em especial ele decide sortear aleato riamente o ganhador dentre os 45 alunos da turma Para isso ele numera os nomes dos alunos que constam do diario de classe de 1 a 45 escreve esses numeros em pedacos iguais de papel dobrandoos ao meio para que o numero nao fique visıvel e sorteia um desses papeis depois de bem misturados Qual e a probabilidade de que vocˆe ganhe o livro Qual e a probabili dade de que o aluno que tirou a nota mais baixa na primeira prova ganhe o livro E o que tirou a nota mais alta O importante a notar nesse exemplo e o seguinte o professor tomou todos os cuidados necessarios para nao favorecer qual quer aluno em especial Isso significa que todos os alunos tˆem a mesma chance de ganhar o livro Temos assim um exemplo da distribuicao uniforme discreta Definicao 131 blablabla A variavel aleatoria discreta X que assume os valores x1x2xn tem distribuicao uniforme se fXxi PrX xi 1 n i 12n 131 Note que em uma distribuicao discreta uniforme todos os valores sao igualmente provaveis Alem disso para que uma va X tenha distribuicao uniforme discreta e necessario que X assuma um numero finito de valores ja que x fXx 1 C E D E R J 9 Probabilidade e Estatistica Algumas Distribuigdes Discretas ESPERANGA E VARIANCIA Seja X uma va discreta uniforme que assume valores x1 2Xn Por definigao 1 1 1 EX x tx Xy F n n n ou seja FX é a média aritmética dos valores possiveis de X Com relagao a variancia temos por definigao que VarX EXEXx 1 2 1 2 1 2 2 eee 0 x F 03 42 tn OF que é a mesma formula vista na primeira parte do curso para variancia populacional de um conjunto de dados Exemplo 131 Considere 0 langamento de uma moeda Vamos definir a se guinte varidvel aleatéria X associada a esse experimento X 0 se ocorre cara X1 se ocorre coroa Para que essa va tenha distribuigao uniforme é necessario su por que a moeda seja honesta e nesse caso 1 fx0 fx 5 O1 1 Ex X a 1 1 1 1 xX 0 1 VarX 5 5 3 5 ol ye 1 4 1 ye 1 1 2424 4 10 CEDERJ i i i i i i i i AULA 13 1 M ODULO 1 Exercıcio 131 Os defeitos em determinada maquina ocorrem aproximada mente na mesma frequˆencia Dependendo do tipo de defeito o tecnico leva 1 2 3 4 ou 5 horas para consertar a maquina 1 Descreva o modelo probabilıstico apropriado para repre sentar a duracao do tempo de reparo da maquina 2 Qual e o tempo medio de reparo desta maquina E o desvio padrao deste tempo de reparo 3 Sao 15 horas e acaba de ser entregue uma maquina para reparo A jornada normal de trabalho do tecnico termina as 17 horas Qual e a probabilidade de que o tecnico nao precise fazer hora extra para terminar o conserto desta maquina Exercıcio 132 No lancamento de um dado definese a va X como o numero da face obtida Explique qualis esao as hipoteses neces sarias para que a fdp de X seja uma distribuicao uniforme DISTRIBUIC AO DE BERNOULLI Considere o lancamento de uma moeda A caracterıstica desse experimento aleatorio e que ele possui apenas dois resulta dos possıveis Uma situacao analoga surge quando da extracao da carta de um baralho em que o interesse esta apenas na cor preta ou vermelha da carta sorteada Definicao 132 blablabla Um experimento de Bernoulli e um experimento aleatorio com apenas dois resultados possıveis por convencao um de les e chamado sucesso e o outro fracasso C E D E R J 11 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Algumas Distribuic oes Discretas Definicao 133 blablabla A va de Bernoulli e a va X associada a um experimento de Bernoulli em que se define X 1 se ocorre sucesso X 0 se ocorre fracasso Chamando de p a probabilidade de sucesso 0 p 1 a distribuicao de Bernoulli e x 0 1 fXx 1 p p 132 Obviamente as condicoes definidoras de uma fdp sao satis feitas uma vez que p 0 1 p 0 e p1 p 1 O valor de p e o unico valor que precisamos conhecer para de terminar completamente a distribuicao ele e entao chamado parˆametro da distribuicao de Bernoulli Vamos denotar a distri buicao de Bernoulli com parˆametro p por Bernp A funcao de distribuicao acumulada e dada por FXx 0 se x 0 1 p se 0 x 1 1 se x 1 133 Na Figura 131 temos os graficos da fdp e da fda de uma distribuicao de Bernoulli Figura 131 Distribuicao de Bernoulli com parˆametro p 12 C E D E R J ESPERANCA E VARIANCIA Q A Seja X Bernp lése a varidvel aleatéria X tem distribuigao de Bernoulli com parametro p Entao EX0xlp1xpp 2 2 2 5 EX0 x lplxpp Z VarX EX EX pp Em resumo EX p X Bernp 134 VarX p1p E comum denotar a probabilidade de fracasso por g isto 6 q1p Exemplo 132 Considere novamente o langamento de uma moeda e a se guinte varidvel aleatéria X associada a esse experimento X Ose ocorre coroa X 1se ocorre cara Seja p a probabilidade de cara 0 p 1 Entao X tem dis tribuigao de Bernoulli com parametro p Note que nesse caso a Bernoulli com parametro p 12 é equivalente a distribuicgao uniforme Exemplo 133 Um auditor da Receita Federal examina declaragdes de Im posto de Renda de pessoas fisicas cuja variagao patrimonial fi cou acima do limite considerado aceitavel De dados histéricos sabese que 10 dessas declarag6es sao fraudulentas Vamos considerar 0 experimento correspondente ao sorteio aleatério de uma dessas declara gdes Esse 6 um experimento de Bernoulli em que 0 sucesso equivale a ocorréncia de declaragao fraudulenta e 0 parametro da distribuigao de Bernoulli é p 0 1 CEDERJ 13 Probabilidade e Estatistica Algumas Distribuigdes Discretas Esse exemplo ilustra 0 fato de que sucesso nesse contexto nem sempre significa uma situacdo feliz na vida real Aqui sucesso é definido de acordo com o interesse estatistico no pro blema Em uma situacgdo mais dramatica sucesso pode indicar a morte de um paciente por exemplo DISTRIBUICAO BINOMIAL Vamos introduzir a distribuigaéo binomial uma das mais im portantes distribuigdes discretas através de alguns exemplos Em seguida discutiremos as hipsteses feitas e apresentaremos os resultados formais sobre tal distribuicao Exemplo 134 Considere 0 seguinte experimento uma moeda é lancada n vezes e sabese que p Prcara Vamos definir a seguinte variavel aleat6 ria associada a este experimento X numero de caras Como visto antes cada langamento da moeda representa um ex perimento de Bernoulli e como o interesse esta no nimero de caras vamos definir sucesso cara Para encontrar a funao de distribuigao de probabilidade de X O primeiro fato a notar é que os valores possiveis de X sao 0 que equivale a ocorréncia de n coroas 1 que equivale a ocorréncia de apenas cara 2 que equivale a ocorréncia de 2 caras e assim por diante até n que equivale a ocorréncia de n caras Assim os possiveis valores de X sao X 012n Vamos agora calcular a probabilidade de cada um desses valo res de modo a completar a especificagao da fdp de X Para isso vamos representar por K 0 evento cara no iésimo langamento e por C 0 evento coroa no iésimo langcamento e X0 Temos a seguinte equivaléncia de eventos 14 CEDERJ X 0 C1NQNACy i i i i i i i i AULA 13 1 M ODULO 1 E razoavel supor que os lancamentos da moeda sejam even tos independentes ou seja o resultado de um lancamento nao interfere no resultado de qualquer outro lancamento Dessa forma os eventos Ci e Kj sao independentes para i j Note que os eventos Ci e Ki sao mutuamente exclu sivos e portanto nao sao independentes se sair cara em um lancamento especıfico nao e possıvel sair coroa nesse mesmo lancamento e viceversa Analogamente os eventos Ci e Cj sao independentes para i j bem como os eventos Ki e Kj i j Pela regra da probabilidade da intersecao de eventos independentes resulta que PrC1 C2 Cn PrC1PrC2PrCn 1 p1 p1 p 1 pn X 1 O evento X 1 corresponde a ocorrˆencia de 1 cara e con sequentemente de n 1 coroas Uma sequˆencia possıvel de lancamentos e K1 C2 C3 Cn Vamos calcular a probabilidade desse resultado Como antes os lancamentos sao eventos independentes e por tanto PrK1 C2 C3 Cn PrK1PrC2PrCn p1 p1 p p1 pn1 Mas qualquer sequˆencia com 1 cara resulta em X 1 por exemplo o evento C1 C2 Cn1 Kn tambem re sulta em X 1 Na verdade a face cara poderia estar em qualquer posicao e todas essas sequˆencias resultariam em X 1 Alem disso definida a posicao da face cara as posicoes das faces coroas ja estao determinadas sao as posicoes restantes Entao temos a seguinte equivalˆencia X 1 K1 C2 C3 Cn C1 K2 C3 Cn C1 C2 Cn1 Kn C E D E R J 15 Probabilidade e Estatistica Algumas Distribuigdes Discretas Mas os eventos que aparecem no lado direito da expressao anterior s4o eventos mutuamente exclusivos Logo PrX 1 PrKy NC2NC3NAC PrCy 1 K2NC3NACy PrC NC2NACy 1 Kn px1pxlpxxlp 1p x px 1p x x Lp 1px1pxxpxp plppppUp n np1p 1 ot py e X2 O evento X 2 corresponde 4a ocorréncia de 2 caras e consequentemente de n 2 coroas Uma sequéncia possivel de langamentos é Kyi ON K2NC3NAC e a probabilidade de tal sequéncia é p1 p Mas as 2 caras podem ocupar quaisquer posicgOes e existem 5 maneiras de colocar 2 caras em uma sequéncia de n langamentos Todas essas 5 maneiras tém a mesma probabilidade e correspondem a eventos mutuamente exclusivos Temos a seguinte equivaléncia X 2 K 1 K2NC3NNC Uk NC20K3M NC UU Ci NCNACy2NKy1 Ky e portanto 16 CEDERJ 3 2 PrX 2 PrKNK2yNC3NNC 8 PrKy C20 K3NACy PrCyNC2 ACy2 NA Kn1 Kn a pxpxlpxx1p 2 p x 1pxpxx1p fet Lp xx 1p xp xp plpp1p 7 p1p n 9 2 1 py 5 p1p Aqui vale a pena fazer uma observacao sobre 0 nimero combinatério Por que combinagao e nao arranjo Vamos considerar a primeira sequéncia como exemplo Ki 1 K2NC39AC Essa sequéncia para 0 nosso pro blema significa cara nos 2 primeiros langamentos e coroa nos n 2 ultimos langamentos Nao existe diferena en tre as sequéncias Ki NK2NC3NAC e K2NKiNC3NACy Assim a ordem nao importa e temos que usar combinaao e X x x012n O raciocinio visto para os casos X 0X 1eX 2 se generaliza facilmente o que nos leva ao seguinte resultado geral px a php x012n x E importante notar que a hipdtese de independéncia dos lan camentos da moeda foi absolutamente fundamental na solugao do exemplo foi ela que nos permitiu multiplicar as probabili dades dos resultados de cada langamento para obter a probabi lidade da sequéncia completa de n langamentos Embora essa hip6tese seja muito razoavel nesse exemplo ainda assim é uma hipotese subjetiva CEDERJ 17 Probabilidade e Estatistica Algumas Distribuigdes Discretas Outra propriedade utilizada foi a da probabilidade da uniao de eventos mutuamente exclusivos Mas aqui essa propriedade é Obvia ou seja nao ha qualquer subjetividade os eventos C 1 K2 e K MC sdo mutuamente exclusivos pois no primeiro langa mento ou sai cara ou sai coroa nao pode sair cara e coroa no pri meiro langamento ou seja cada langamento é um experimento de Bernoulli Exemplo 135 Uma urna contém quatro bolas brancas e seis bolas verdes Trés bolas sao retiradas dessa urna com reposiao isto é depois de tirada a primeira bola ela é recolocada na urna e sorteiase a segunda que também é recolocada na urna para finalmente ser sorteada a terceira bola Vamos definir a seguinte varidvel aleatéria associada a esse experimento X numero de bolas brancas sorteadas Cada extragao equivale a um experimento de Bernoulli e como 0 interesse esta nas bolas brancas vamos considerar sucesso bola branca Os valores possiveis de X sao 0123 O importante a notar aqui 0 seguinte como cada bola sorteada é recolocada na urna antes da proxima extracao a composiao da urna é sempre a mesma e o resultado de uma extracdo nao afeta o resultado de outra extracao qualquer Dessa forma podemos considerar as extragdes como inde pendentes e assim temos uma situagdo andloga a do exemplo anterior temos quatro repetides de um experimento sorteio de uma bola essas repetigdes s4o0 independentes e em cada uma delas ha dois resultados possiveis bola branca ou bola verde Vamos calcular a probabilidade de cada um dos valores de X Como antes vamos denotar por V 0 evento bola verde na iésima extragao e por B 0 evento bola branca na iésima extracéo Da discussdo anterior resulta que para i j os eventos V e B sao independentes assim como os eventos B e B e os eventos V e Vj e X0 Esse resultado equivale a extragao de bolas verdes em to 18 CEDERJ das as trés extracoes S X 0 Vi NV2NV3 2 Logo PrX 0 PrViNV2NV3 PrV x PrV2 x PrV3 a 6 6 6 5 10 10 10 6 10 6 o 10 Lembrese de que por definigao 0 1 e X1 Esse resultado equivale a extragéo de uma bola branca e por consequéncia duas bolas verdes A bola branca pode sair em qualquer extraao e definida a posicao da bola branca as posigOes das bolas verdes ficam totalmente es tabelecidas Logo 3 4 6 PrX 1 r 1 to 09 e X2 Esse resultado equivale a extragao de duas bolas brancas e por consequéncia uma bola verde As bolas brancas podem sair em quaisquer duas extra6es e definidas as posigdes das bolas brancas a posiao da bola verde fica totalmente estabelecida Logo 3 4 6 PrX 2 r212 t0 io e X3 Esse resultado equivale a extragao de trés bolas brancas Logo 3 4 PrX 3 3 10 CEDERJ 19 Probabilidade e Estatistica Algumas Distribuigdes Discretas A DISTRIBUICAO BINOMIAL Nos dois exemplos anteriores tinhamos repeticdes de um experimento que podiam ser consideradas independentes e em cada repetiao havia apenas dois resultados possiveis Essas sao as condiées definidoras do contexto binomial Definicao 134 Um experimento binomial consiste em repetigdes indepen dentes de um experimento de Bernoulli Definiao 135 Para um experimento binomial consistindo em n repetigdes independentes de um experimento de Bernoulli com parametro p defina a variavel aleatéria X numero de sucessos Entao X tem distribuigao binomial com paradmetros n e p cuja funcao de distribuigao de probabilidade é dada por fx x PrX x oapy x012n x 135 E imediato ver da equacao 135 que fx x 0 O fato de n que fxx 1 segue diretamente do Teorema do Binémio de x0 Newton que diz que se x e y sao numeros reais e n um inteiro positivo entao n xy re 136 io k Fazendo x pe y 1 pem 136 obtémse Ipp1 p 1p VI fx x k0 k0 n oO que prova que fyx 1 Assim a equacao 135 real k0 mente define uma fungao de distribuicgao de probabilidade Va mos denotar por X binn p 0 fato de que a va X tem distribuicgao 20 CEDERJ binomial com parametros n e p ESPERANCA E VARIANCIA Q a Podese mostrar que Ewan X binnp 137 Var X np1p Note que a esperanga e a variancia da binomial sdo iguais a esperanga e a variancia da distribuigaéo de Bernoulli multipli cadas por n o numero de repetigdes Podese pensar na distri buicao de Bernoulli como uma distribuicgéo binomial com para metros 1 p Exemplo 136 Um atirador acerta na mosca do alvo 20 dos tiros Se ele da 10 tiros qual a probabilidade de ele acertar na mosca no maximo uma vez Solucao Podemos pensar os tiros como experimentos de Bernoulli independentes em que o sucesso é acertar no alvo e a probabilidade de sucesso é 020 Entio o problema pede PrX 1 em que X ntimero de acertos em 10 tiros Logo X bin10020 e PrX 1 PrX 0PrX 1 10 10 5 020 080 020 080 037581 Exemplo 137 Dois adversarios A e B disputam uma série de oito partidas de um determinado jogo A probabilidade de A ganhar uma par tida é 06 e nao ha empate Qual é a probabilidade de A ganhar a série Solucao Note que s6 podem ocorrer vit6rias ou derrotas 0 que significa que temos repetigdes de um experimento de Bernoulli com proba bilidade 06 de sucesso vitéria do jogador A Assumindo a inde pendéncia das provas se definimos X ntmero de vitorias de A entao X bin806 e o problema pede PrX 5 isto é probabili dade de A ganhar mais partidas que B CEDERJ 21 Probabilidade e Estatistica Algumas Distribuigdes Discretas PrX 5 PrX 5PrX 6PrX 7PrX 8 8 8 5 06 04 5 06 04 8 7 1 8 8 0 06 04 06 04 05940864 Exercicio 133 Na manufatura de certo artigo é sabido que um entre dez artigos é defeituoso Uma amostra de tamanho quatro é retirada com reposicao de um lote da producgdo Qual a probabilidade de que a amostra contenha 1 nenhum defeituoso 2 pelo menos um defeituoso 3 exatamente um defeituoso Na solugao desse exercicio é importante que vocé identifique o experimento a variavel aleatéria de interesse e sua respectiva fdp Exercicio 134 Em uma distribuigao binomial sabese que a média é 45 e a variancia é 315 Encontre os valores dos parametros da distribuicao DISTRIBUICAO HIPERGEOMETRICA A distribuigao hipergeométrica que estudaremos a seguir tem estreita ligagao com a distribuigéo binomial Para salien tar as semelhangas e as diferengas entre as duas distribuicoes vamos retomar a situagao do Exemplo 135 Exemplo 138 De uma urna composta por quatro bolas brancas e seis bolas verdes extraemse trés bolas sem reposigao Vamos definir a 22 CEDERJ seguinte variavel aleatéria associada a esse experimento Q X ntmero de bolas brancas sorteadas B Assim como no Exemplo 134 temos repetigdes de um ex perimento de Bernoulli em cada extragéo podemos tirar uma 2 bola branca ou uma bola verde A diferenga fundamental é que H essas repetides ndo sao independentes ou seja o resultado de uma repeticao afeta o resultado da préxima repetiao Vamos calcular a fungao de distribuigao de probabilidade de X Como antes os valores possiveis de X sao X 0123 Para calcular a probabilidade de cada um destes valores va mos usar a definicao classica de probabilidade que estabelece que a probabilidade de um evento A é A PrA Q O espago amostral Q deste experimento é formado por todas as triplas de bolas brancas e verdes retiradas dessa urna O numero total de elementos de Q é 10 Q Como antes a ordem nao importa ou seja Bj B2V3 B2BV3 que significa bola branca nas duas primeiras extragdes e bola verde na terceira extragaéo Vamos calcular a probabilidade de cada valor de X e X0 Esse resultado equivale a retirar apenas bolas verdes Como ha seis bolas verdes o nimero de possibilidades é e portanto PrX 0 4 3 CEDERJ 23 Probabilidade e Estatistica Algumas Distribuigdes Discretas e X1 Esse resultado equivale a tirar uma bola branca e duas bo las verdes O ntmero de possibilidades para a bola branca é 7 e para cada uma dessas possibilidades existem 5 maneiras de tirar as bolas verdes Pelo principio funda mental da multiplicagao o nimero total de maneiras de tirar uma bola branca e duas verdes é 7 x e portanto 4 6 PrX 1 5 e X2 Com raciocinio andlogo concluise que 4 6 5 WO 3 QO 32 Wo 3 PrX 3 22 i 3 3 Exemplo 139 De uma urna com quatro bolas brancas e oito bolas verdes extraemse seis bolas sem reposicao Mais uma vez vamos definir a seguinte variavel aleatoria associada a esse experimento X numero de bolas brancas sorteadas Note que nao temos bolas brancas suficientes para tirar uma amostra sé de bolas brancas por exemplo Mais precisamente os valores possiveis de X sao 01234 Utilizando raciocinio analogo ao do exemplo anterior podemos ver que x 6x PrX x x01234 12 6 Se estabelecermos a notagao de que 0 sempre que j m podemos definir a fdp de X como 24 CEDERJ 3 Qa x 6x PrX x x06 g e e com isso estamos atribuindo probabilidade nula aos valores P impossiveis 5 e 6 5 z Exemplo 1310 De uma urna com oito bolas brancas e quatro bolas verdes extraemse seis bolas sem reposiao Mais uma vez vamos definir a seguinte variavel aleatéria associada a esse experimento X ntmero de bolas brancas sorteadas Note que nao temos bolas verdes suficientes para tirar uma amos tra sO de bolas verdes por exemplo Mais precisamente os va lores possiveis de X sao 23456e 8 4 x Ox PrX x x 23456 Como antes se estabelecermos a notaao de que 0 sempre que j m podemos definir a fdp de X como x 6x PrX x x06 e com isso estamos atribuindo probabilidade nula aos valores impossiveis Oe 1 Nos trés exemplos anteriores temos a seguinte situaAo geral do espaco amostral que esta dividido em duas categorias branca ou verde retirase sem reposigao uma amostra ou subcon junto O interesse esta no nimero de elementos nesse sub conjunto de determinada categoria Como no experimento de Bernoulli a categoria de interesse sera identificada por sucesso e a outra por fracasso CEDERJ 25 Probabilidade e Estatistica Algumas Distribuigdes Discretas Definiao 136 Considere uma populacao de tamanho N dividida em duas classes uma composta por r sucessos e a outra composta por N r fracassos Dessa populagao extraise uma amos tra de tamanho n sem reposicao ver Figura 132 Entao a variavel aleatéria X numero de sucessos na amostra tem distribuicao hipergeométrica com parametros N7n cuja fungao de distribuigao de probabilidade é x x PrX x Ta x012n 138 Por convengao 0 se j m Podese provar que a equacao 138 realmente define uma fungao de distribuicgao de probabilidade isto é PrX k Oe PrX k 1 k Amostra de tamanho n Figura 132 Ilustracado do espaco amostral de uma va hipergeométrica 26 CEDERJ i i i i i i i i AULA 13 1 M ODULO 1 ESPERANC A E VARI ˆANCIA Temos os seguintes resultados X hiperNrn E X n r N VarX n r N N r N N n N 1 139 Exercıcio 135 Uma comissao de cinco membros deve ser escolhida de um grupo formado por 12 mulheres e 18 homens Se a comissao escolhida e formada por cinco homens existe alguma razao para se suspeitar da lisura do processo de escolha Suponha que seja estabelecida a seguinte regra se a proba bilidade de se obter uma comissao formada apenas por homens for muito pequena menor que 001 o processo sera considerado fraudulento e uma nova comissao devera ser escolhida Qual e a conclusao nesse caso Exercıcio 136 Um cacador apos um dia de caca verificou que matou cinco andorinhas e duas aves de uma especie rara proibida de ser cacada Como todos os especimes tinham aproximadamente o mesmo tamanho ele os colocou na mesma bolsa pensando em dificultar o trabalho dos fiscais No posto de fiscalizacao ha dois fiscais Manoel e Pedro que adotam diferentes metodos de inspecao Manoel retira trˆes especimes de cada bolsa dos cacadores sem reposicao Pedro retira um especime classificao e o repoe na bolsa retirando em seguida um segundo especime Em qual quer caso o cacador e multado se e encontrado pelo menos um especime proibido Qual dos dois fiscais e mais favoravel para o cacador em questao C E D E R J 27 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Algumas Distribuic oes Discretas BINOMIAL versus HIPERGEOM ETRICA Vamos fazer agora algumas comparacoes entre as distribui coes binomial e hipergeometrica Colocando ambas em termos de extracoes de bolas verdes de uma urna com bolas verdes e brancas a binomial equivale a extracoes independentes com reposicao Note que repondo as bolas a probabilidade de sucesso isto e bola branca permanece constante ao longo das extracoes Ja a hipergeometrica corresponde a extracoes sem reposicao A esperanca da binomial e igual ao produto do tamanho da amostra pela probabilidade de sucesso em termos da urna a probabilidade de sucesso e r N e portanto a esperanca e n r N Na hipergeometrica a esperanca tambem e o produto do tamanho da amostra pela probabilidade de sucesso probabilidade essa tomada apenas na primeira extracao A variˆancia da binomial e igual ao produto do tamanho da amostra pelas probabilidades de sucesso e fracasso Em ter mos de urna essas probabilidades sao r N e N r N Na hiper geometrica considerando apenas a primeira extracao a variˆancia e igual a esse produto mas corrigido pelo fator N n N 1 Em pesquisas estatısticas por amostragem normalmente li damos com amostragem sem reposicao ja imaginou visitar e entrevistar um mesmo morador duas vezes No entanto os resultados teoricos sobre amostragem com reposicao sao bem mais simples como vocˆe vera mais adiante nesse curso isso equivale a lidar com variaveis independentes Assim costumase usar uma aproximacao sempre que possı vel ou seja quando o tamanho N da populacao e suficiente mente grande de modo que podemos encarala como uma po pulacao infinita e o tamanho da amostra e relativamente pe queno podemos ignorar o fato de as extracoes serem feitas sem reposicao Isso vem dos seguintes resultados na amostragem com reposicao a probabilidade de selecao de cada elemento em sorteios consecutivos e sempre 1 N Na amostragem sem reposicao as probabilidades em ex tracoes sucessivas sao 1 N 1 N1 1 Nn Entao se N e grande e n e pequeno temos que N N 1 N n Nessas condicoes extracoes com e sem reposicao podem ser consideradas como equivalentes 28 C E D E R J a Nn 5 O termo que aparece na variancia da hipergeométrica c N1 5 é chamado correcdo para populacées finitas exatamente porque B se a populagéo é pequena néo podemos ignorar o fato de as S extragdes estarem sendo feitas sem reposiao Resumo z e Distribuicao uniforme discreta X assume valores x1x2 Xn tais que 1 fx xj PrX x Vi12n n 1 n EXx 3 Mj VarX y 4 x o ney e Distribuicao de Bernoulli x 0 1 fxx 1p EX p VarX p1p e Experimento binomial repetigdes independentes de um experi mento de Bernoulli e Distribuicao binomial X nimero de sucessos em n repetigdes independentes de um experimento binomial fx x PrX x ora p x 0 12 225M x EXnp VarX np1 p e Distribuicéo hipergeométrica X nimero de sucessos em uma amostra de tamanho n retirada sem reposiao de uma populacao dividida em 2 classes uma consistindo em r sucessos e outra consistindo em N r fracassos cee PrX x 7 x012n n Por convencao Osejm r EX n x n r Nr Nn X n Var Xn Nunya CEDERJ 29 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Algumas Distribuic oes Discretas Exercıcio 137 Jogase uma moeda nao viciada Qual e a probabilidade de serem obtidas cinco caras antes de trˆes coroas Exercıcio 138 Entre os 16 programadores de uma empresa 12 sao do sexo masculino A empresa decide sortear cinco programadores para fazer um curso avancado de programacao Qual e a probabili dade dos cinco sorteados serem do sexo masculino Exercıcio 139 Distribuicao geometrica Suponha que uma moeda perfeita seja lancada ate que apare ca cara pela primeira vez Obtida a primeira cara o experimento e interrompido e contase o numero de lancamentos feitos Seja X o numero de lancamentos Obtenha a funcao de distribuicao de probabilidade de X Repita o exercıcio supondo que a proba bilidade de cara seja p p 1 2 A distribuicao da va X e chamada distribuicao geometrica com parˆametro p A definicao geral da distribuicao geometrica e a seguinte Em repeticoes independentes de um experimento de Bernoulli com parˆametro p a va X numero de repeticoes ate o primeiro sucesso tem distribuicao geometrica com parˆa metro p Exercıcio 1310 Um atirador acerta na mosca do alvo 20 dos tiros 1 Qual e a probabilidade de ele acertar na mosca pela pri meira vez no decimo tiro 2 Se ele da 10 tiros qual e a probabilidade de ele acertar na mosca exatamente uma vez Exercıcio 1311 A probabilidade de uma maquina produzir uma peca defeitu osa em um dia e 01 1 Qual e a probabilidade de que em 20 pecas produzidas em um dia exatamente uma seja defeituosa 30 C E D E R J i i i i i i i i AULA 13 1 M ODULO 1 2 Qual e a probabilidade de que a 20a peca produzida em um dia seja a primeira defeituosa Exercıcio 1312 Um supermercado faz a seguinte promocao o cliente ao passar pelo caixa lanca um dado Se sair a face 6 tem um desconto de 30 sobre o total de sua conta Se sair a face 5 o desconto e de 20 Se sair a face 4 o desconto e de 10 e se ocorrerem as faces 1 2 ou 3 o desconto e de 5 Seja X desconto concedido 1 Encontre a funcao de distribuicao de probabilidade de X 2 Calcule o desconto medio concedido 3 Calcule a probabilidade de que num grupo de cinco clien tes pelo menos um consiga um desconto maior que 10 4 Calcule a probabilidade de que o quarto cliente seja o pri meiro a receber 30 de desconto Exercıcio 1313 As probabilidades de que haja 1 2 3 4 ou 5 pessoas nos carros que passam por um pedagio sao respectivamente 005 020 040 025 e 010 Seja X numero de passageiros por veıculo 1 Explicite a funcao de distribuicao de probabilidade de X 2 Calcule o numero medio de passageiros por veıculo 3 Calcule a probabilidade de que num grupo de cinco car ros pelo menos um tenha mais que trˆes pessoas 4 Calcule a probabilidade de que o quarto carro seja o pri meiro a ter cinco passageiros Exercıcio 1314 Um fabricante de pecas de automoveis garante que uma caixa de suas pecas contera no maximo duas defeituosas Se a caixa contem 18 pecas e a experiˆencia mostra que esse processo de fabricacao produz 5 de pecas defeituosas qual e a probabili dade de que uma caixa satisfaca a garantia C E D E R J 31 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Algumas Distribuic oes Discretas Exercıcio 1315 Certo curso de treinamento aumenta a produtividade de uma certa populacao de funcionarios em 80 dos casos Se 10 fun cionarios quaisquer participam deste curso encontre a probabi lidade de 1 exatamente sete funcionarios aumentarem a produtividade 2 pelo menos trˆes funcionarios nao aumentarem a produtivi dade 3 nao mais que oito funcionarios aumentarem a produtivi dade Exercıcio 1316 Determinado tipo de parafuso e vendido em caixas com 1000 pecas E uma caracterıstica da fabricacao produzir 10 de para fusos defeituosos Normalmente cada caixa e vendida por 1350 um Um comprador faz a seguinte proposta para o produtor de cada caixa ele escolhe uma amostra de 20 pecas se ele encon trar nenhuma defeituosa ele paga 2000 um pela caixa uma ou duas defeituosas ele paga 1000 umpela caixa trˆes ou mais defeituosas ele paga 800 um pela caixa Qual e a alternativa mais vantajosa para o fabricante Exercıcio 1317 Um industrial fabrica pecas das quais 20 sao defeituosas Dois compradores A e B classificam as partidas adquiridas em categorias I e II Pagando 120 um e 080 um respectivamente do seguinte modo Comprador A retira uma amostra de 5 pecas se encontrar mais de uma defeituosa classifica como II Comprador B retira uma amostra de 10 pecas se encon trar mais de 2 defeituosas classifica como II Em media qual comprador oferece maior lucro para o fabri cante 32 C E D E R J SOLUCAO DOS EXERCICIOS 9 A Exercicio 131 S Seja T tempo de reparo em horas 1 Como os defeitos ocorrem na mesma frequéncia o mode 5 lo probabilistico apropriado é uma distribuigao uniforme t 123 4 5 fjPrTnF FF FF 1424345 2 ET ae 3 horas 12 9 32 4 52 VarT ee DPT 141 horas 3 Seja E o evento técnico vai ter que fazer hora extra Entao PrE PrT 2 5 06 Logo a probabilidade de que ele nao tenha que fazer hora extra é 04 Exercicio 132 O dado tem que ser honesto Exercicio 133 Como a amostra é retirada com reposiao as extragdes sao repetigdes independentes de um experimento de Bernoulli com parametro 01 Seja X numero de artigos defeituosos na amostra 1 PrX 0 0109 06561 2 PrX 1 1PrX 1 1PrX 0 03439 3 PrX 1 701093 02916 CEDERJ 33 Probabilidade e Estatistica Algumas Distribuigdes Discretas Exercicio 134 Temos que np 45 nplp 315 Substituindo a primeira equaao na segunda resulta 451p 315 l1p 07 p 03 Substituindo na primeira equacgao obtemos que n4503 15 Exercicio 135 Vamos definir a seguinte va associada a este experimento X ntimero de homens na comissao Queremos calcular PrX 5 O numero total de comiss6es possiveis Q 2 e 8 ist pxs Ya St 5 5125 18x 17x 16x 15x 14 W 060124 30 x 29 x 28 x 27 x 26 Como a probabilidade é maior que 001 nao ha razao para se sortear outra comissao Exercicio 136 Seja X ntimero de aves proibidas sucessos encontradas por um fiscal No caso de Manoel temos que X hiper723 e no caso do fiscal Pedro X bin 24 Queremos calcular Prmulta PrX 1 1PrX 0 Manoel 0 G 25 35 Prmulta 1 PrX 0 14 j r multa r 745 3 34 CEDERJ Pedro O 2 2 57 25 24 B Oo Logo a probabilidade de multa é maior no caso do fiscal Ma noel e portanto Pedro é 0 fiscal mais favoravel para 0 cagador A z Exercicio 137 Vamos considerar a seguinte va de Bernoulli 1 se ocorre cara X 0 se ocorre coroa Entaéo PrX 0 PrX 1 05 e temos repetigdes inde pendentes de um experimento de Bernoulli A ocorréncia de cinco caras antes de trés coroas sé é possivel se nas sete primeiras repetigdes tivermos pelo menos cinco caras Seja entaéo Y numero de caras em sete repeticOes Logo Y bin705 e o problema pede PrY 5 Pr 5 PrY 5PrY 6PrY 7 7 5 7 6 7 7 5 05 05 6 05 05 7 05 05 7 77 77 7 02265625 Exercicio 138 Se X ntimero de homens sorteados entéo X hiper16125 e o problema pede 2 12x 11x 10x9x8 33 PrX 5 2 0 181319 r 16x15x14x13x12 14x13 Exercicio 139 A primeira observacao diz respeito aos valores possiveis de X Podemos ter muita sorte e obter cara no primeiro langamento nesse caso X 1 Nossa sorte pode comegar a diminuir de modo que obtemos cara no segundo lancamento nesse caso X 2 Continuando podemos ser bastante infelizes e ter que ficar jogando a moeda infinitas vezes até obter a primeira cara CEDERJ 35 Probabilidade e Estatistica Algumas Distribuigdes Discretas Esse é um exemplo de va discreta em que 0 espaco amos tral enumeravel mas infinito os valores possiveis de X sao 123 Cada resultado desses significa que os primeiros lan camentos foram coroa C e 0 ultimo cara K Como os langa mentos podem ser considerados independentes resulta que 1 PrX 1 PrK 5 PrX 2 PrCiNK2 1 1 1 x 2 2 2 PrX 3 PrC NC 0 K3 1 11 1 1 1 1 22 2 4 2 8 2 PrX 4 PrCiNC2NC3N K4 11 1 1 11 1 1 XXxXxX 22 2 2 8 2 16 2 En geral Westy 1 PrX x J 123 res5 a sha Se a probabilidade de cara é p entao a Unica diferenga com relaco ao visto anteriormente é que PrK pe PrC 1p Entao PrX x 1pp x123 E interessante notar que tanto na distribuiao binomial quan to na geométrica temos repeticdes independentes de um experi mento de Bernoulli Na binomial o nimero de repeticoes é fixo e estamos inte ressados no nimero de sucessos Na geométrica 0 numero de sucessos é fixo igual a 1 e estamos interessados no nimero de repetigdes A distribuigaéo binomial negativa generaliza a distribuigéo geométrica no seguinte sentido a va de interesse é X ntimero de sucessos até o résimo sucesso r 1 36 CEDERJ Exerefcio 1310 Q Nossa variavel aleatéria de Bernoulli é a seguinte B x 1 se acerta no alvo 0 se nao acerta no alvo e PrX 1 020 0 que implica que PrX 0 08 A 1 Seja Z ntimero de tiros até primeiro acerto no alvo Entiio Z geom02 e PrZ 10 08020 0026844 2 Seja Y nimero de acertos em 10 tiros Entao Y bin1002 e PrY 1 02008 026844 Exercicio 1311 Nossa variavel aleatéria de Bernoulli é a seguinte 1 se pega é defeituosa X aa 0 se pega é nao defeituosa e PrX 1 010 0 que implica que PrX 0 09 1 Seja Y ntimero de pegas defeituosas na amostra de ta manho 20 Entao Y bin200 1 e PrY 1 7 010 09 027017 2 Seja Z numero de repetic6es até primeira pega defeitu osa entao Z geom01 e PrZ 20 0990 10 0013509 Exercicio 1312 1 Supondo que o dado seja honesto a fdp de X é Valor do desconto x 030 020 010 005 PrX x 16 16 16 36 CEDERJ 37 Probabilidade e Estatistica Algumas Distribuigdes Discretas 2 Temos que 0200103 x 005 EX 0300 3 x0 0125 ou um desconto médio de 125 3 A probabilidade de se ter um desconto maior que 10 20 ou 30 é de 2 Seja Y numero de clientes em um grupo de cinco que recebem desconto maior que 10 Entao Y bin 5 2 Logo PrY1 1Pr 1 1PrY 0 5 2 4 l 0868313 0 s s 4 Seja Z nimero de clientes que passam pelo caixa até primeiro desconto de 30 probabilidade z Entao Z geom 4 e portanto Pr Z 4 s 009645 T 6 6 Exercicio 1313 X numero de pessoas em cada carro 1 A fdp de X é x 1 2 3 4 5 fx x PrX x 005 020 040 025 010 2 EX 0054 040 1204 1005 315 pessoas por carro 3 A probabilidade de haver mais de trés pessoas em um carro é 035 PrX 4 PrX 5 0250 10 Seja Y numero de carros num grupo de 5 com mais de 3 pessoas Entiio Y bin 5035 Logo PrY 1 1Pr 01 3 035 065 0 883971 38 CEDERJ 4 Seja Z numero de carros até primeiro carro com cinco Q passageiros Entao Z geom 0 10 e assim 2 Oo PrZ 4 090 0 10 00729 2 Exercicio 1314 Se X ntiimero de peas defeituosas em uma caixa resulta que X bin18005 A caixa Ssatisfaz a garantia se X 2 Logo a probabilidade de uma caixa satisfazer a garantia é PrX 2 PrX 0PrX 1PrX 2 7 005 0958 005 0957 3 005 095 0397214 0376308 0 168348 0941871 Exercicio 1315 Podemos pensar nos funcionarios selecionados para 0 curso como experimentos de Bernoulli aumenta ou nao a produtivi dade independentes Seja X numero de funcionarios dentre os 10 que aumentam produtividade 1 PrX 7 080 020 0 201327 2 Pelo menos 3 nao aumentarem a produtividade é equiva lente a no maximo 7 dos 10 aumentarem a produtividade Logo a probabilidade pedida é PrX 7 1PrX 7 1PrX 8 PrX 9 PrX 10 1 1 080 020 3 080 020 is 080 020 032220 3 PrX 8 PrX 7PrX 8 0322200 g 0 80 0 20 0 62419 CEDERJ 39 Probabilidade e Estatistica Algumas Distribuigdes Discretas Exercicio 1316 Numa populacao de 1000 retirar uma amostra de 20 pode ser vista como repetigdes de experimentos independentes de Bernoulli Seja X numero de defeituosos na amostra de 20 Entao X bin200 10 Seja V valor de compra proposto pelo cliente Entaéo V pode assumir os valores 20 10 ou 8 um e pela regra dada 20 PrV 20 PrX 0 0 0 10 090 0 1216 PrV10 PrX 14PrX 2 20 I 19 20 2 18 1 010 090 7 0 10 090 05553 PrV 8 PrX 3 1PrX 0PrX 1PrX 2 03231 v 8 10 20 fvv 03231 05553 01216 EV 8 x 03231 10 x 05553 20 x 0 1216 105698 A proposta do cliente é mais desvantajosa para o fabricante ja que em média ele paga menos do que o prego normal de 1350 Exercicio 1317 Sejam os seguintes eventos A comprador A classifica par tida como tipo I e B comprador B classifica partida como tipo II Seyjam X4 ntimero de pecas defeituosas na amostra do comprador A e Xg 0 numero de pegas defeituosas na amostra do comprador B Entao X4 bin5020 e Xg bin100 20 PrA PrX411PrX4 1 5 5 3 02 08 7 02 08 02627 PrB PrXgp21PrX 2 10 0 io 10 1 9 10 2 8 1 7 02108 77 02 08 1 02 08 03222 40 CEDERJ i i i i i i i i AULA 13 1 M ODULO 1 Sejam PA e PB os precos pagos pelos compradores A e B res pectivamente Entao as distribuicoes de probabilidade dessas variaveis sao PA 08 12 Probabilidade 02627 07373 E PA 1095 PB 08 12 Probabilidade 03222 06778 E PB 1071 A proposta do comprador A e mais vantajosa C E D E R J 41