Probabilidade Condicional e Independência de Eventos

i i i i i i i i Aula PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDˆENCIA DE EVENTOS 9 O b j e t i v o s Nesta aula vocˆe aprendera 1 os conceitos de probabilidade condicional e in dependˆencia de eventos 2 a importˆancia desses conceitos na modelagem de fenˆomenos aleatorios com aplicacoes em di versas areas do conhecimento i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Probabilidade Condicional e Independˆencia de Eventos PROBABILIDADE CONDICIONAL Consideremos o lancamento de um dado equili brado Ja vimos que o espaco amostral desse expe rimento e Ω 123456 Considere o evento A sair face 2 Se nao temos qualquer informacao alem de o dado ser equi librado vimos que PrA 1 6 Suponhamos agora que o dado tenha sido lancado e a seguinte informacao fornecida saiu facer par Qual e a probabilidade de ter saıdo face 2 Note a diferenca agora nos temos uma informacao parcial sobre o experimento e devemos usala para reavaliar a nossa estimativa Mais precisamente sabe mos que ocorreu o evento B face par Com essa informacao podemos nos concentrar no evento B 246 uma vez que as faces 1 3 5 ficam descartadas em funcao da informacao dada Dentro dessas trˆes possibilidades a probabilidade do evento A passa a ser 1 3 Calculamos assim a probabilidade do evento A sabendo que ocorreu o evento B Essa probabilidade sera denotada por PrAB lˆese probabilidade de A dado B Consideremos agora o lancamento de dois dados equilibrados e os eventos A soma das faces e par e B soma das faces e maior ou igual a 9 Se sabemos que ocorreu B qual e a probabilidade de ter ocorrido A 8 C E D E R J Queremos calcular PrAB Temos que Q AK 11 13 15 22 24 26 3 1 33 35 s 42 44 46 51 53 55 62 64 66 a B 36 45 46 54 55 56 63 64 65 66 4 Se ocorreu B a Unica chance de ter ocorrido A é que z tenha ocorrido 0 evento ANB 46 55 64 66 e nesse caso a probabilidade é a ou seja 4 PrANB PrAB 45 man 5 36 rB Esses dois exemplos ilustram o fato geral que esta exibido na Figura 91 se sabemos que aconteceu o evento B esse evento passa a ser 0 novo espaco amostral e nesse novo espaco amostral a Unica parte de A presente AM B parte sombreada mais clara Figura 91 Probabilidade condicional PrAB Com esses exemplos estamos ilustrando uma situa ao comum onde temos que calcular a probabilidade de um evento tendo uma informacdo parcial Esse é o conceito de probabilidade condicional CEDERJ 9 Probabilidade e Estatistica Probabilidade Condicional e Independéncia de Eventos Definicao 91 A probabilidade condicional do evento A dada a ocorréncia do evento B é PrANB PrAB PrAB Pr B Note que nessa definigao temos que supor que o evento B é um evento possivel ja que ele ocorreu Logo é 6bvio que PrB 0 Exemplo 91 Um grupo de 100 alunos foi classificado quanto ao Sexo e a atividade de lazer preferida obtendose a distribuigao dada na tabela a seguir Sexo Atividade de lazer Cinema Praia Esporte Total Masculino 10 12 13 35 Feminino 15 4 9 65 Total 25 53 22 100 1 Qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso neste grupo ser do sexo masculino 2 Se a pessoa escolhida prefere a praia como ativi dade de lazer qual é a probabilidade de que seja um homem Solucao Vamos definir os seguintes eventos M masculino F fe minino C cinema P praia E esporte 10 CEDERJ 1 O problema pede PrM Como ha 35 homens dentre as 100 O pessoas temos que 5 35 7 Ss PrM Ml 109 30 2 O problema pede PrMP Por definigao PrMOAP 7 12 5 1 P Too Note que a probabilidade do evento aluno do sexo masculino se modifica quando sabemos que a pessoa prefere a praia como atividade de lazer Exemplo 92 De um baralho de 52 cartas extraise uma ao acaso Defina os eventos C carta é de copas e R carta é um rei Calcule PrC PrR PrCNR PrCR Solucao 131 P MO 54 4 1 PrR TR SB 1 PrCNR CNRS PrCNR 13 1 rCiR SR t 52 4 Neste caso a probabilidade do evento C nao se modifica quando sabe mos da ocorréncia do evento R Exemplo 93 De um total de 500 empregados 200 possuem plano pessoal de aposentadoria complementar 400 contam com o plano de aposentadoria complementar ofere cido pela empresa e 200 empregados possuem ambos os planos Sorteiase aleatoriamente um empregado dessa empresa CEDERJ 11 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Probabilidade Condicional e Independˆencia de Eventos 1 Qual e a probabilidade de que ele tenha algum plano de aposentadoria complementar 2 Qual e a probabilidade de que ele nao possua qualquer plano de aposentadoria complementar 3 Se o empregado conta com o plano de aposen tadoria complementar oferecido pela empresa qual e a probabilidade de que ele tenha plano pessoal de aposentadoria complementar 4 Se o empregado tem plano pessoal de aposen tadoria complementar qual e a probabilidade de que ele conte com o plano de aposentadoria com plementar da empresa Solucao Vamos denotar por E o evento empregado tem o plano aposenta doria complementar da empresa e por P o evento empregado possui plano pessoal de aposentadoria complementar O problema diz que PrP 200 500 2 5 PrE 400 500 4 5 PrPE 200 500 2 5 Note que essas informac oes podem ser dispostas em forma de ta bela como Plano pessoal Total Sim Nao Plano da Sim 200 200 400 Empresa Nao 0 100 100 Total 200 300 500 Os numeros em negrito sao as informac oes dadas no problema o restante e calculado observandose os totais de linha e de coluna 1 O problema pede PrPE PrPPrEPrPE 2 5 4 5 2 5 4 5 12 C E D E R J i i i i i i i i AULA 9 1 M ODULO 1 2 O problema pede PrPE PrPE 1PrPE 1 4 5 1 5 3 O problema pede PrPE PrPE PrE 2 5 4 5 1 2 4 O problema pede PrEP PrPE PrP 2 5 2 5 1 Exercıcio 91 Dois dados equilibrados sao lancados 1 Encontre a probabilidade de saırem faces iguais nos dois dados 2 Sabendose que a soma das faces foi menor ou igual a quatro calcule a probabilidade de saırem faces iguais nos dois dados 3 Calcule a probabilidade de sair cinco em pelo menos um dado 4 Sabendose que saıram faces diferentes nos dois dados determine a probabilidade de sair cinco em pelo menos um dado Exercıcio 92 A probabilidade de que uma nova campanha pu blicitaria fique pronta antes do prazo estipulado pela C E D E R J 13 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Probabilidade Condicional e Independˆencia de Eventos diretoria foi estimada em 060 A probabilidade de que a diretoria aprove essa campanha publicitaria e de 050 A probabilidade de que ambos os objetivos sejam atingidos e 030 1 Qual e a probabilidade de que pelo menos um dos objetivos seja atingido 2 Qual e a probabilidade de que nenhum objetivo seja atingido 3 Se a campanha ficou pronta antes do prazo esti pulado qual e a probabilidade de que a diretoria a aprove Exercıcio 93 Sejam A e B eventos do espaco amostral Ω tais que PrA 1 2 PrB 1 3 e PrAB 1 4 1 Calcule PrAB 2 Calcule PrAB 3 Calcule PrAB PROBABILIDADE CONDICIONAL COMO LEI DE PROBABILIDADE E interessante notar que a probabilidade condicio nal definida acima realmente define uma lei de proba bilidade ou seja a funcao que associa a cada evento A de Ω o numero PrAB satisfaz os axiomas de pro babilidade De fato 14 C E D E R J i i i i i i i i AULA 9 1 M ODULO 1 Axioma 1 PrAB PrAB PrB 0 pois PrAB 0 e PrB 0 Axioma 2 PrΩB PrΩB PrB PrB PrB 1 Na verdade como PrBB PrB PrB 1 toda a pro babilidade condicional esta concentrada em B o que justifica considerarmos B como o novo espaco amos tral para essa nova lei de probabilidade Axioma 3 Sejam A1 e A2 dois eventos mutuamente exclu sivos veja Figura 92 Usando a propriedade dis tributiva temos que PrA1 A2B PrA1 A2B PrB PrA1 BA2 B PrB Mas como A1 e A2 sao mutuamente exclusivos re sulta que A1 B e A2 B tambem o sao esses dois eventos correspondem a parte sombreada da fi gura Logo PrA1 A2B PrA1 BA2 B PrB PrA1 BPrA2 B PrB PrA1 B PrB PrA2 B PrB PrA1BPrA2B C E D E R J 15 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Probabilidade Condicional e Independˆencia de Eventos Figura 92 Representacao do Axioma 3 da probabilidade condicional Sendo a probabilidade condicional uma lei de pro babilidade todas as propriedades vistas anteriormente que eram consequˆencia dos axiomas valem tambem para a probabilidade condicional Propriedade 1 PrB 0 Propriedade 2 PrAB 1PrAB Propriedade 3 PrA1 A2B PrA1BPrA1 A2B Propriedade 4 PrA1 A2B PrA1BPrA2BPrA1 A2B Propriedade 5 A2 A1 PrA2B PrA1B 16 C E D E R J i i i i i i i i AULA 9 1 M ODULO 1 Propriedade 6 AB B PrAB 1 Note que a definicao de probabilidade condicional esta vinculada ao evento B em que estamos condi cionando ou seja se condicionarmos em um outro evento C estaremos definindo uma outra funcao de probabilidade a funcao de probabilidade condi cional em C REGRA DA MULTIPLICAC AO A definicao de probabilidade condicional leva a um resultado importante conhecido como regra da multiplicacao Regra da multiplicac ao para dois eventos Sejam A e B eventos de um espaco amostral Ω Entao PrAB PrBPrAB PrAPrBA Esse resultado nos permite calcular a probabili dade da intersecao de dois eventos e e muito util para modelar experimentos que tˆem carater sequencial isto e que sao executados em etapas uma seguida da outra Em tais situacoes pode ser de ajuda desenhar um dia grama de arvore para ilustrar os eventos em questao Vamos ver alguns exemplos C E D E R J 17 Probabilidade e Estatistica Probabilidade Condicional e Independéncia de Eventos Exemplo 94 Se um aviao esta presente em determinada area um radar detecta sua presenga com probabilidade 099 No entanto se 0 aviao nao esta presente o radar de tecta erradamente a presenga de um aviao com proba bilidade 002 A probabilidade de um aviao estar presente nesta area é de 005 Qual é a probabilidade de um falso alarme Qual é a probabilidade de o radar deixar de detectar um aviado Note que esses so os dois erros possiveis nesta situacao Solucao Vamos definir os seguintes eventos A aviao presente D radar detecta presenga de aviaio Os eventos complementares sao A aviao nao esta presente D radar nado detecta avido O problema nos da as seguintes informa6es PrDA099 PrDA 002 PrA 005 Pela lei do evento complementar temos que Pr DA 001 Pr DIA 098 PrA 095 O problema pede PrDMA falso alarme PrDNA Na Figura 93 temos a ilustragao desse experimento Dai podemos ver que as probabilidades pedidas sao PrDMA Pr A Pr DA 095 x 002 0019 18 CEDERJ PrDNA PrAPr DJA 005 x 001 00005 Q a Oo D 099 A 005 ok Ss D 2 D 002 095 A 098 B Figura 93 Diagrama de arvore para 0 problema do radar Note que a probabilidade de um erro é a soma dessas probabilida des Exemplo 95 Considere que duas cartas de um baralho 13 car tas de cada um dos naipes copas paus ouro espada sejam extraidas sem reposiao uma depois da outra Qual é a probabilidade de nenhuma das duas ser de copas Solucao Para solucionar esse problema devemos notar que as cartas no baralho sao igualmente provaveis antes e depois da primeira extragao Vamos definir os seguintes eventos C copas na primeira extracg4o C2 copas na segunda extragao Queremos calcular Pr Ci NC Pela regra da multiplicagao temos que Pr Ci NC Pr C1 Pr C2C1 Na primeira extracdo temos 39 cartas que nao sao de copas em um baralho de 52 Na segunda extraao dado que na primeira nao saiu copas temos 38 cartas que nao sao copas em um baralho de 51 Logo CEDERJ 19 Probabilidade e Estatistica Probabilidade Condicional e Independéncia de Eventos 3938 Pr C1 NC2 Pr C1 PrC2C x Cin2 PrCi PrGier Sx Veja a Figura 94 onde temos o diagrama de arvore para esse problema Cada no na arvore corresponde a ocorréncia de um evento condicionada a ocorréncia de todos os eventos representados pelos nés anteriores no caminho correspondente Assim a parte superior da arvore corresponde 4 ocorréncia de copas na primeira extragao evento C e a parte inferior 4 nao ocorréncia de copas na primeira extrac4o evento C 12151 C2 C 1352 3951 c C 1351 3952 C 3851 C Figura 94 Diagrama de arvore para 0 experimento de extracao de 2 cartas sem reposiao Continuando com a parte superior vemos que 13 PrC Ci or PGI T 2C1 51 39 PrC2JCy C2lCi 51 Note que pela lei do complementar Pr C2C Pr C2C1 1 Na parte inferior da arvore temos a 39 PrC 1 5 13 Pr C2C za IC 51 38 Pr C2C za C2C1 51 20 CEDERJ Oo 4 S Exemplo 96 Suponhamos agora a extracao de trés cartas sem on reposicao onde estamos interessados no mesmo evento z nenhuma de copas Queremos Pr Cy C2NC3 Como generalizar a regra da multiplicagao para esse caso Solucao Usando um recurso algébrico podemos escrever note que os ter mos se cancelam 2 8 PrQonCi PrCincrne PrGynn PrG x PENG PCN Pr C Pr C2NC1 PrC2NC PrC3NC2NC Pr G x PMGNG PENCNCi Pr C Pr C2NC Aplicando a definiao de probabilidade condicional resulta que Pr C NC NC3 Pr C Pr C2C1 Pr C3 IC NC Voltando ao baralho temos como antes Pr C 3 e Pr C2C1 3S Com 0 mesmo tipo de raciocinio resulta que Pr C3 IC2 N Ci ae Logo Ss 39 38 37 Pr Ci NC2NC3 xX XS MEINQNG Bx FX 5 Veja a Figura 95 No diagrama de arvore 0 espaco amostral completo é exibido Algumas probabilidades sao PrCy NC2NC3 BY Pu 2 1 T xxo ramo pees 52 5150 1700 13 39 12 78 PrCyNC2NC3 wx exm 3 MENGNG SX st 59 T799 Tam 39 13 38 247 PrCiNG2NC3 mxaexnm 6 MEINGNGs Sst 39 T7090 Tame CEDERJ 21 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Probabilidade Condicional e Independˆencia de Eventos Figura 95 Diagrama de arvore para o experimento de extracao de trˆes cartas sem reposicao REGRA GERAL DA MULTIPLICAC AO O exemplo anterior ilustra a regra geral de multiplicacao Regra geral da multiplicacao Seja A1A2An uma sequˆencia de eventos de um espaco amostral Ω Entao PrA1 A2 An PrA1PrA2A1PrAnA1 A2 An1 22 C E D E R J i i i i i i i i AULA 9 1 M ODULO 1 Exercıcio 94 Em uma pesquisa realizada com um grupo de alunos da UFF constatouse que 10 dos estudantes nao uti lizam transporte publico para ir as aulas e que 65 dos estudantes que utilizam o transporte publico fazem refeicoes no bandejao do campus Selecionandose aleatoriamente um estudante deste grupo calcule a probabilidade de que ele use trans porte publico e faca refeicoes no bandejao Exercıcio 95 As preferˆencias de homens e mulheres por cada gˆenero de filme alugado em uma locadora de vıdeos estao apresentadas na tabela a seguir Tipo de filme Sexo Comedia Romance Policial Masculino 136 92 248 Feminino 102 195 62 Sorteandose ao acaso um registro de locacao pede se a probabilidade de 1 ser um filme policial alugado por uma mulher 2 ser uma comedia 3 ser de um homem ou de um romance 4 ser de um filme policial dado que foi alugado por um homem C E D E R J 23 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Probabilidade Condicional e Independˆencia de Eventos Exercıcio 96 Uma urna contem seis bolas pretas e cinco bo las amarelas Extraemse sequencialmente trˆes bolas dessa urna sem reposicao Qual e a probabilidade de que as trˆes bolas sejam de cores iguais INDEPEND ˆENCIA DE EVENTOS Considere novamente um baralho usual com 52 cartas 13 de cada naipe do qual sera retirada uma carta Vamos definir os seguintes eventos C carta e de copas R carta e um rei V carta e vermelha Ja vimos que PrC 13 52 1 4 PrR 4 52 1 13 e PrV 26 52 1 2 Vamos agora calcular as seguintes probabilidades condicionais PrRC e PrVC No primeiro caso estamos calculando a probabili dade de sair um rei dado que a carta e de copas No segundo caso estamos calculando a probabili dade de sair uma carta vermelha dado que saiu uma carta de copas PrRC PrRC PrC 1 52 1 4 4 52 1 13 PrR PrVC PrV C PrC PrC PrC 1 PrV 24 C E D E R J i i i i i i i i AULA 9 1 M ODULO 1 No primeiro caso saber que a carta e de copas nao acrescentou informacao util para avaliarmos a proba bilidade de sair rei ou seja saber ou nao que saiu copas nao altera a probabilidade de sair rei Ja no segundo caso saber que saiu carta de copas faz com que mudemos a probabilidade de sair carta vermelha Como podemos ver se sabemos que saiu carta de copas entao a carta tem que ser vermelha Esses exemplos ilustram um conceito importante No primeiro caso dizemos que os eventos R e C sao independentes e no segundo caso os eventos V e C sao dependentes No primeiro caso o conhecimento da ocorrˆencia de C nao ajuda para reavaliarmos a pro babilidade de C No segundo caso o conhecimento da ocorrˆencia de C faz com que mudemos nossa esti mativa da probabilidade de V Definic ao 92 blablabla Sejam A e B eventos de um espaco amostral Ω Entao A e B sao independentes se PrAB PrA Essa definicao tem algumas implicacoes importantes A primeira delas e a seguinte PrAB PrA PrBA PrB C E D E R J 25 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Probabilidade Condicional e Independˆencia de Eventos De fato PrAB PrA PrAB PrB PrA PrAB PrAPrB Entao temos que PrBA PrBA PrA PrAPrB PrA PrB A conclusao disso e a seguinte se A e B sao in dependentes entao B e A tambem o sao comutativi dade A segunda implicacao bastante importante e a seguinte se A e B sao independentes entao PrA B PrAPrB Mas a recıproca dessa afirmativa tambem e verdadeira ou seja se PrAB PrAPrB entao A e B sao independentes PrAB PrAPrB PrAB PrAB PrB PrAPrB PrB PrA A e B sao independentes Esse resultado nos permite estabelecer uma outra definicao equivalente para a independˆencia de dois eventos 26 C E D E R J Definicao 93 Q Sejam A e B eventos de um espaco amostral Q 2 Entao A e B sdo independentes se BE PrA MB PrA PrB s z Exemplo 97 Num exemplo anterior analisamos os dados apre sentados na tabela a seguir referentes 4 participaao de funciondrios de uma empresa em planos de aposen tadoria complementar Plano pessoal Total Plano da Sim 200 200 400 Empresa Nao 0 100 100 Total 200 300 500 Naquele exemplo estudamos os eventos FE em pregado tem o plano de aposentadoria complementar da empresa e P empregado possui plano pessoal de aposentadoria complementar Vamos ver se esses eventos sao independentes Solucao Temos que PrP PrE PrPNE PrPPrE Logo os eventos P e E nao sao independentes Outra forma de ver isso é 200 4 PrEP 55 1 APE CEDERJ 27 Probabilidade e Estatistica Probabilidade Condicional e Independéncia de Eventos Exemplo 98 Sejam A e B eventos independentes em um espaco amostral Q Prove que os seguintes eventos também sao independentes 1AeB 2AeB Solucao 1 Temos que PrAMB PrBA PrB PrAMB Como A e B so independentes PrA MB PrA PrB Logo PrANB PrBPrA PrB PrB1PrA PrBPrA Logo os eventos A e B sdo independentes 2 Pela lei de De Morgan e pela lei do complementar temos que PrANB PrAUB1PrAUB 1PrAPrBPrANnB Como A e B so independentes PrA MB PrA PrB Logo PrANB 1PrAPrB PrA PrB 1 PrAPrB 1 PrA 1PrA1PrB PrAPrB Logo A e B sdo independentes 28 CEDERJ i i i i i i i i AULA 9 1 M ODULO 1 Exercıcio 97 Sejam A e B eventos de um espaco amostral Ω tais que PrA 1 5 PrB p e PrAB 1 2 Determine o valor de p para que A e B sejam inde pendentes Exercıcio 98 Volte ao Exercıcio 92 Verifique se os eventos considerados sao independentes Exercıcio 99 Sejam A e B eventos de um espaco amostral Ω tais que PrA 0 e PrB 0 1 Mostre que se A e B sao independentes entao A e B nao podem ser mutuamente exclusivos 2 Mostre que se A e B sao mutuamente exclusivos entao A e B nao podem ser independentes Exercıcio 910 Sejam A e B eventos de um espaco amostral Sabe se que PrA 03 PrB 07 e PrAB 021 Verifique se as seguintes afirmativas sao verdadeiras Justifique sua resposta 1 A e B sao mutuamente exclusivos 2 A e B sao independentes 3 A e B sao independentes C E D E R J 29 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Probabilidade Condicional e Independˆencia de Eventos 4 A e B sao mutuamente exclusivos 5 A e A sao independentes Resumo Nesta aula vocˆe estudou dois conceitos fundamen tais de probabilidade probabilidade condicional e independˆencia de eventos Viu tambem como con sequˆencia direta a regra da multiplicacao Probabilidade condicional do evento A dada a ocorrˆencia do evento B PrAB PrAB PrB Regra da multiplicacao para dois eventos PrAB PrBPrAB PrAPrBA Regra da multiplicacao geral PrA1 A2 An PrA1PrA2A1PrA3A1 A2PrAnA1 A2 An1 Independˆencia de eventos Se A e B sao eventos de um espaco amostral Ω entao A e B sao inde pendentes se PrAB PrA ou equivalentemente PrAB PrAPrB 30 C E D E R J i i i i i i i i AULA 9 1 M ODULO 1 Exercıcio 911 Dois dados equilibrados sao lancados 1 Calcule a probabilidade de sair seis em pelo menos um dado 2 Sabendose que saıram faces diferentes nos dois dados determine a probabilidade de sair seis em pelo menos um dado 3 Os eventos seis em pelo menos um dado e faces diferentes nos dois dados sao indepen dentes Exercıcio 912 Uma sala possui trˆes soquetes para lˆampadas De uma caixa com 10 lˆampadas das quais seis estao quei madas retiramse trˆes lˆampadas ao acaso colocando se as mesmas nos trˆes bocais Calcular a probabilidade de que 1 pelo menos uma lˆampada acenda 2 todas as lˆampadas acendam Exercıcio 913 O Ministerio da Economia da Espanha acredita que a probabilidade de a inflacao ficar abaixo de 3 este ano e de 020 entre 3 e 4 e de 045 e acima de 4 e de 035 O Ministerio acredita que com inflacao abaixo de 3 a probabilidade de se criar mais 200000 empre gos e de 06 diminuindo essa probabilidade para 03 C E D E R J 31 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Probabilidade Condicional e Independˆencia de Eventos caso a inflacao fique entre 3 e 4 no entanto com inflacao acima de 4 isso e totalmente impossıvel Qual e a probabilidade de se criarem 200000 em pregos nesse ano Exercıcio 914 Na urna I ha cinco bolas vermelhas trˆes brancas e oito azuis Na urna II ha trˆes bolas vermelhas e cinco brancas Lancase um dado equilibrado Se sair trˆes ou seis escolhese uma bola da urna I caso contrario escolhese uma bola da urna II Calcule a probabilidade de 1 sair uma bola vermelha 2 sair uma bola branca 3 sair uma bola azul Exercıcio 915 Joana quer enviar uma carta a Camila A probabilidade de Joana escrever a carta e 8 10 A probabilidade do correio nao a perder e 9 10 A probabilidade do carteiro a entregar e tambem 9 10 1 Construa o diagrama de arvore representando o espaco amostral deste problema 2 Calcule a probabilidade de Camila nao receber a carta 32 C E D E R J i i i i i i i i AULA 9 1 M ODULO 1 Exercıcio 916 Sejam A e B dois eventos tais que PrA 04 e PrAB 07 Seja PrB p Determine o valor de p para que 1 A e B sejam mutuamente exclusivos 2 A e B sejam independentes Exercıcio 917 Sejam A e B eventos possıveis de um mesmo espaco amostral Ω Se PAB 1 verifique a veracidade das seguintes afirmativas justificando sua resposta 1 A e B sao independentes 2 A e B sao mutuamente exclusivos Exercıcio 918 Sejam A B C eventos de um mesmo espaco amos tral Sabese que i B e um subconjunto de A ii A e C sao independentes e iii B e C sao mutuamente exclusivos A probabilidade do complementar da uniao dos eventos A e C e 048 a probabilidade da uniao dos eventos B e C e 03 e a probabilidade do evento C e o dobro da probabilidade do evento B Calcule a probabilidade da uniao de A e B C E D E R J 33 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Probabilidade Condicional e Independˆencia de Eventos Exercıcio 919 Uma comissao de dois estudantes deve ser sorteada de um grupo de 5 alunas e 3 alunos Sejam os even tos M1 primeiro estudante sorteado e mulher M2 segundo estudante sorteado e mulher 1 Construa um diagrama de arvore que represente o espaco amostral deste experimento indicando as probabilidades 2 Calcule PrM1 e PrM2 3 Verifique se M1 e M2 sao independentes Exercıcio 920 Em um campeonato de natacao estao competindo trˆes estudantes Alberto Bosco e Carlos Alberto e Bosco tˆem a mesma probabilidade de ganhar que e o dobro da de Carlos ganhar 1 Ache a probabilidade de que Bosco ou Carlos ganhe a competicao 2 Que hipotese vocˆe fez para resolver essa questao Essa hipotese e razoavel Exercıcio 921 Solicitase a dois estudantes Maria e Pedro que resolvam determinado problema Eles trabalham na 34 C E D E R J i i i i i i i i AULA 9 1 M ODULO 1 solucao do mesmo independentemente e tˆem respec tivamente probabilidade 08 e 07 de resolvˆelo 1 Qual e a probabilidade de que nenhum deles re solva o problema 2 Qual e a probabilidade de o problema ser re solvido 3 Dado que o problema foi resolvido qual e a pro babilidade de que tenha sido resolvido apenas por Pedro Exercıcio 922 Jogase um dado duas vezes Considere os seguin tes eventos A resultado do primeiro lancamento e par e B soma dos resultados e par A e B sao independentes Justifique Exercıcio 923 Um aluno responde a uma questao de multipla es colha com quatro alternativas com uma so correta A probabilidade de que ele saiba a resposta certa da questao e de 30 Se ele nao sabe a resposta existe a possibilidade de ele acertar no chute Nao existe a possibilidade de ele obter a resposta certa por cola Qual e a probabilidade de ele acertar a questao C E D E R J 35 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Probabilidade Condicional e Independˆencia de Eventos SOLUC AO DOS EXERCICIOS Exercıcio 91 1 Seja A faces iguais Entao A 11 22 33 44 55 66 e PrA 6 36 1 6 2 Seja B soma das faces menor ou igual a 4 Entao B 11 12 13 21 22 31 e PrB 6 36 1 6 O problema pede PrAB PrAB PrB 2 36 1 6 1 3 3 SejaC 5 em pelo menos um dos dados Entao C 1525354555655152 535456 e PrC 11 36 4 Seja D faces diferentes Entao PrD PrA 5 6 O problema pede PrCD PrC D PrD 10 36 5 6 1 3 Exercıcio 92 Vamos definir os eventos P campanha pronta antes do prazo e A diretoria aprova campanha O problema da que PrP 06 PrA 05 PrAP 03 36 C E D E R J i i i i i i i i AULA 9 1 M ODULO 1 1 PrAP PrAPrPPrAP 060503 08 2 PrAP PrAP 1PrAP 02 3 PrAP PrAP PrP 03 06 05 Exercıcio 93 1 PrAB PrAPrBPrAB 1 2 1 3 1 4 643 12 7 12 2 PrAB PrAB 1PrAB 5 12 3 PrAB PrAB PrB PrAPrAB 1PrB 1 2 1 4 1 1 3 1 4 2 3 3 8 Exercıcio 94 Vamos definir os seguintes eventos T aluno utiliza transporte publico e B aluno come no ban dejao O problema da que PrT 010 PrBT 065 O problema pede PrT B PrTPrBT 09065 0585 Exercıcio 95 Vamos definir os seguintes eventos C comedia R romance P policial M masculino F feminino 1 PrPF 62 835 C E D E R J 37 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Probabilidade Condicional e Independˆencia de Eventos 2 PrC 136102 835 238 835 3 PrM R PrMPrRPrRM 136922489219592 835 671 835 4 PrPM PrPM PrM 248 13692248 248 476 Exercıcio 96 Vamos definir os eventos Pi bola preta na extracao i A bola amarela na extracao i i 123 Seja M 3 bolas de mesma cor Entao PrM PrP1 P2 P3PrA1 A2 A3 PrP1PrP2P1PrP3P1 P2 PrA1PrA2A1PrA3A1 A2 6 11 5 10 4 9 5 11 4 10 3 9 4 33 2 33 2 11 Exercıcio 97 Para que A e B sejam independentes temos que ter PrAB PrAPrB p 5 mas PrAB 1 2 1 5 p p 5 1 2 4p 5 3 10 p 3 8 Exercıcio 98 Os eventos sao P campanha pronta antes do prazo e A diretoria aprova campanha e o pro blema da que PrP 06 PrA 05 PrAP 03 38 C E D E R J i i i i i i i i AULA 9 1 M ODULO 1 Como PrA P PrPPrA segue que P e A sao independentes Exercıcio 99 1 A e B independentes PrAB PrAPrB 0 A e B nao sao mutuamente exclusivos 2 A e B mutuamente exclusivos PrAB 0 PrAB 0 PrA 0 A e B nao sao independentes Esse exercıcio e importante no sentido em que ele diferencia os conceitos de eventos dis juntos e eventos independentes que muitas vezes sao confundidos pelos alunos Exercıcio 910 1 PrA B 021 0 A e B nao sao mutua mente exclusivos 2 PrAB 021 PrAPrB A e B sao in dependentes 3 A e B independentes A e B sao independentes ver exemplo resolvido 4 A e B independentes A e B nao sao mutua mente exclusivos ver Exercıcio 99 5 A e A sao mutuamente exclusivos A e A nao sao independentes ver Exercıcio 99 C E D E R J 39 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Probabilidade Condicional e Independˆencia de Eventos Exercıcio 911 Vamos definir os eventos A face 6 em pelo menos um dado e B faces iguais Entao A 1626364656666162 636465 B 112233445566 1 PrA 11 36 2 PrAB PrAB PrB PrAPrAB 1PrB 11 36 1 36 5 6 1 3 PrA 3 PrAB PrA A e B nao sao independentes Exercıcio 912 Seja Ai lˆampada i acende i 123 1 Seja P pelo menos uma lˆampada acende Entao P A1 A2 A3 Logo PrP PrA1PrA2A1PrA3A2 A1 6 10 5 9 4 8 1 6 PrP 5 6 2 O problema pede PrA1 A2 A3 PrA1PrA2A1PrA3A2 A1 4 10 3 9 2 8 1 30 40 C E D E R J i i i i i i i i AULA 9 1 M ODULO 1 Exercıcio 913 Vamos definir os seguintes eventos B inflacao abaixo de 3 M inflacao entre 3 e 4 A inflacao acima de 4 e E 200000 empre gos O problema da o seguinte PrB 020 PrM 045 PrA 035 PrEB 06 PrEM 03 PrEA 0 Veja a Figura 96 Daı concluımos que E E BE ME A e como os eventos sao mutuamente exclusivos PrE PrE BPrE MPrE A Logo PrE PrBPrEBPrMPrEMPrAPrEA 0200600450300350 0255 Figura 96 Particao do espaco amostral para o problema da inflacao es panhola C E D E R J 41 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Probabilidade Condicional e Independˆencia de Eventos Exercıcio 914 Veja a Figura 97 onde temos os seguintes even tos V bola vermelha B bola branca A bola azul I urna I II urna II Figura 97 Diagrama de arvore para o Exercıcio 914 1 Temos que PrV PrV IPrV II PrIPrVIPrIIPrVII 1 3 5 16 2 3 3 8 5 48 12 48 17 48 2 Temos que PrB PrBIPrBII PrIPrBIPrIIPrBII 1 3 3 16 2 3 5 8 3 48 20 48 23 48 42 C E D E R J i i i i i i i i AULA 9 1 M ODULO 1 3 Temos que PrA PrAIPrAII PrIPrAIPrIIPrAII 1 3 8 16 2 3 0 8 48 Note que PrVPrBPrA 1 Exercıcio 915 Veja a Figura 98 onde temos os seguintes even tos E Joana escreve a carta C correio nao perde a carta T carteiro entrega a carta Figura 98 Diagrama de arvore para o Exercıcio 915 Vamos definir o evento R Camila recebe a carta O problema pede PrR Mas C E D E R J 43 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Probabilidade Condicional e Independˆencia de Eventos PrR PrEPrE CPrE C T PrEPrEPrCE PrEPrCEPrTC E 2 10 8 10 1 10 8 10 9 10 1 10 020801080901 020080072 0352 Exercıcio 916 Temos que PrAB PrAPrBPrAB 07 04 pPrAB 1 PrAB 0 07 04 p p 03 2 PrAB PrAPrB 07 04 p04p 06p 03 p 05 Exercıcio 917 Pelos dados do problema temos que PrAB 1 PrAB PrB 1 PrBPrAB PrB 1 1 PrAB PrB 1 PrAB PrB 0 PrAB 0 Logo A e B sao mutuamente exclusivos e portanto nao podem ser independentes 44 C E D E R J i i i i i i i i AULA 9 1 M ODULO 1 Exercıcio 918 O problema da os seguintes fatos B A PrAC PrAPrC PrBC 0 PrAC 048 PrBC 03 PrC 2PrB e pede PrAB Como B A entao AB A PrAB PrA PrBC 03 PrBPrCPrBC 03 PrB2PrB0 03 PrB 01 Logo PrC 02 PrAC 048 PrAC 048 Como A e C sao independentes segue que A e C tambem o sao Logo PrAPrC 048 PrA08 048 PrA 06 e portanto PrAB PrA 04 Exercıcio 919 1 Veja a Figura 99 2 Temos que PrM1 5 8 PrM2 PrM1 M2PrH1 M2 PrM1PrM2M1PrH1PrM2H1 5 8 4 7 3 8 5 7 35 56 5 8 C E D E R J 45 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Probabilidade Condicional e Independˆencia de Eventos Figura 99 Diagrama de arvore para o Exercıcio 919 3 Temos que PrM2M1 4 7 PrM2 Logo M1 e M2 nao sao independentes Exercıcio 920 Sejam os eventos A Alberto ganha B Bosco ganha C Carlos ganha Como eles sao os unicos competidores temos que PrAPrBPrC 1 2PrC2PrCPrC 1 PrC 1 5 PrA PrB 2 5 1 O problema pede PrBC PrBPrCPrBC Note que pode haver empate entre Bosco e Car los No entanto e razoavel supor que os eventos B e C sejam independentes uma vez que numa 46 C E D E R J JT competicao honesta nenhum competidor inter Q fere no desempenho dos outros Logo a PrBUC PrBPrC PrBNC PrBPrC PrB PrC fo 2 4 1 2 13 55 25 25 2 2 Foi necessario fazer a hip6tese de independéncia que é razoavel conforme explicado no item an terior Exercicio 921 Sejam os eventos M Maria resolve 0 problema e P Pedro resolve 0 problema Sejam M e P os respectivos complementares Temos que PrM 08 PrP 07 PrM 02 PrP 03 1 O problema pede Pr POM Pela hipotese de independéncia sabemos que se A e B sao even tos independentes entao os seus complementares também o sao temos que Pr POM 03 x 02 006 2 Seja R problema resolvido O problema pede PrR PrPUM Temos que PrR PrPUM 1PrPUM 1PrPNM 1006094 CEDERJ 47 Probabilidade e Estatistica Probabilidade Condicional e Independéncia de Eventos 3 Seja P apenas Pedro resolve A questao pede Pr PR Temos que PrP NR PrPAM prPiik PEPLOR PrPOiM Pr R Pr R 07 x 02 9 1489 094 Exercicio 922 Vamos esquematizar 0 espaco amostral e os even tos A e B da seguinte forma Dado 2 12 3 4 5 6 1B B B 2A AB A AB A AB Dado13B B B 4A AB A AB A AB 5B B B 6A AB A AB A AB Em cada cela colocamos a letra do evento que acon tece na respectiva combinacao dos dados Entao PrA PrB e PrANB 4 35 X45 PrA x PrB Logo A e B sao independentes Exercicio 923 Veja a Figura 910 onde temos os eventos S sabe a resposta e A acerta a resposta E dado que PrS 03 PrS 07 48 CEDERJ i i i i i i i i AULA 9 1 M ODULO 1 Figura 910 Diagrama de arvore para o Exercıcio 923 Se o aluno sabe a resposta ele acerta a questao Se ele nao sabe ele pode chutar entre as quatro alter nativas Logo PrAS 1 PrAS 025 O problema pede PrA Temse que PrA PrASPrAS PrSPrASPrSPrAS 03107025 0475 C E D E R J 49