Variáveis Aleatórias Contínuas: Funções de Densidade e Distribuição

i i i i i i i i Aula VARI AVEIS ALEAT ORIAS CONTINUAS 14 O b j e t i v o s Nesta aula iremos estudar as variaveis aleatorias contınuas e vocˆe aprendera os seguintes conceitos 1 funcao de densidade de probabilidade 2 funcao de distribuicao acumulada de variaveis aleatorias contınuas 3 esperanca e variˆancia de variaveis aleatorias contınuas 4 a distribuicao uniforme contınua i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Variaveis Aleatorias Contınuas VARI AVEIS ALEAT ORIAS CONTINUAS NOC OES B ASICAS No estudo das distribuicoes de frequˆencia para variaveis quan titativas contınuas vimos que para resumir os dados era neces sario agrupar os valores em classes O histograma e o polıgono de frequˆencias eram os graficos apropriados para representar tal distribuicao Para apresentar os conceitos basicos relativos as variaveis aleatorias contınuas vamos considerar os histogramas e respec tivos polıgonos de frequˆencia apresentados na Figura 141 Esses graficos representam as distribuicoes de frequˆencias de um mes mo conjunto de dados cada uma com um numero de classes diferente no histograma superior ha menos classes do que no histograma inferior Suponhamos tambem que as areas de cada retˆangulo sejam iguais as frequˆencias relativas das respectivas classes essa e a definicao mais precisa de um histograma Pelos resultados vis tos anteriormente sabemos que a soma das areas dos retˆangulos e 1 as frequˆencias relativas devem somar 1 ou 100 e que cada frequˆencia relativa e uma aproximacao para a probabilidade de um elemento pertencer a determinada classe Analisando atentamente os dois graficos podemos ver o se guinte a medida que aumentamos o numero de classes diminui a diferenca entre a area total dos retˆangulos e a area abaixo do polıgono de frequˆencia Figura 141 Histogramas e respectivos polıgonos de frequˆencia 8 C E D E R J i i i i i i i i AULA 14 1 M ODULO 1 A divisao em classes se fez pelo simples motivo de que uma variavel contınua poder assumir infinitos naoenumeraveis va lores Faz sentido entao pensarmos em reduzir cada vez mais o comprimento de classe δ ate a situacao limite em que δ 0 Nessa situacao limite o polıgono de frequˆencias se transforma em uma curva na parte positiva ou naonegativa do eixo verti cal tal que a area sob ela e igual a 1 Essa curva sera chamada curva de densidade de probabilidade Considere agora a Figura 142 em que e apresentado o histograma superior da figura anterior mas agora ilustramos um fato visto anteriormente para estimar a frequˆencia de valores da distribuicao entre os pontos a e b podemos usar a area dos retˆangulos sombreados de cinzaclaro Figura 142 Calculo da frequˆencia entre dois pontos a e b Conforme ilustrado na Figura 143 a diferenca entre essa area e a area sob o polıgono de frequˆencias tende a diminuir a medida que se aumenta o numero de classes Essa diferenca e a parte sombreada de cinza mais escuro Isso nos permite concluir o seguinte no limite quando δ 0 podemos estimar a proba bilidade de a variavel de interesse estar entre dois valores A e B pela area sob a curva de densidade de probabilidade delimitada pelos pontos A e B Figura 143 Diferenca entre as areas dos retˆangulos e a area sob o polıgono de frequˆencia C E D E R J 9 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Variaveis Aleatorias Contınuas VARI AVEL ALEAT ORIA CONTINUA Embora ja visto anteriormente voltamos a apresentar o con ceito de variavel aleatoria por ser esse um dos conceitos mais importantes deste curso Definicao 141 blablabla Uma variavel aleatoria e uma funcao real isto e que as sume valores em R definida no espaco amostral Ω de um experimento aleatorio Dito de outra forma uma variavel aleatoria e uma funcao que associa a cada evento de Ω um numero real Ja estudamos tambem as variaveis aleatorias discretas e agora vamos introduzir as variaveis aleatorias contınuas e para isso apresentamos novamente esses conceitos Definicao 142 blablabla Uma variavel aleatoria e discreta se sua imagem ou con junto de valores que ela assume for um conjunto finito ou enumeravel Se a imagem for um conjunto naoenumeravel dizemos que a variavel aleatoria e contınua FUNC AO DE DENSIDADE DE PROBABILI DADE Os valores de uma vavariavel aleatoria contınua sao definidos a partir do espaco amostral de um experimento aleatorio Sendo assim e natural o interesse na probabilidade de obtencao de di ferentes valores dessa variavel O comportamento probabilıstico de uma variavel aleatoria contınua sera descrito pela sua funcao de densidade de probabilidade 10 C E D E R J Definicao 143 A Uma funcao de densidade de probabilidade é uma fungao fx que satisfaz as seguintes propriedades 1 fx 20 s 2 A area total sob o grafico de fx tem de ser igual a 1 z Dada uma fungio fx satisfazendo as propriedades acima entao fx representa alguma varidvel aleatéria continua X de modo que Pa X b éa area sob a curva limitada pelos pontos ae b veja a Figura 144 a b Figura 144 Probabilidade como Area A definigéo anterior usa argumentos geométricos no en tanto uma definicao mais precisa envolve o conceito de integral de uma funcgao de uma variavel Apresentamos a seguir essa definicao mas neste curso usaremos basicamente a interpretacao geométrica da integral que esta associada a area sob uma curva Definicao 144 Uma funcao de densidade de probabilidade é uma funcao fx que satisfaz as seguintes propriedades 1 fx 20 2 f fxdx 1 Dada uma fungio fx satisfazendo as propriedades acima entao fx representa alguma varidvel aleatoria continua X de modo que b PaXb Ff xdx CEDERJ 11 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Variaveis Aleatorias Contınuas Para deixar clara a relacao entre a funcao de densidade de probabilidade e a respectiva va X usaremos a notacao fXx Por questao de simplicidade tambem abreviaremos a expressao funcao de densidade de probabilidade por fdp devendo ficar claro no contexto se e funcao de distribuicao de probabilidade va discreta ou funcao de densidade de probabilidade va contınua Uma primeira observacao importante que resulta da inter pretacao geometrica de probabilidade como area sob a curva de densidade de probabilidade e a seguinte se X e uma va contınua entao a probabilidade do evento X a e zero ou seja a probabilidade de X ser exatamente igual a um valor especıfico e nula Isso pode ser visto na Figura 144 o evento X a cor responde a um segmento de reta e tal segmento tem area nula Como consequˆencia temos as seguintes igualdades Pra X b Pra X b Pra X b Pra X b FUNC AO DE DISTRIBUIC AO ACUMULADA Da mesma forma que a funcao de distribuicao de probabili dade de uma variavel aleatoria discreta a funcao de densidade de probabilidade nos da toda a informacao sobre a va X ou seja a partir da fdp podemos calcular qualquer probabilidade associada a va X Tambem como no caso discreto podemos calcular probabilidades associadas a uma va contınua X a par tir da funcao de distribuicao acumulada Definicao 145 blablabla Dada uma variavel aleatoria discreta X a funcao de distribuicao acumulada de X e definida por FXx PrX x x R 141 A definicao e a mesma vista para o caso discreto a diferenca e que para variaveis contınuas a funcao de distribuicao acumu lada e uma funcao contınua sem saltos Veja a Figura 145 para um exemplo 12 C E D E R J i i i i i i i i AULA 14 1 M ODULO 1 Figura 145 Exemplo de funcao de distribuicao acumulada de uma va contınua Como no caso discreto valem as seguintes propriedades para a funcao de distribuicao acumulada fda de uma va contınua 0 FX x 1 142 lim xFX x 1 143 lim xFX x 0 144 a b FX a FX b 145 Da interpretacao de probabilidade como area resulta que FXx e a area a esquerda de x sob a curva de densidade fX Veja a Figura 146 Figura 146 Funcao de distribuicao acumulada calculo a partir da area sob a curva de densidade Existe uma relacao entre a funcao de densidade de probabi lidade e a funcao de distribuicao acumulada que e resultante do Teorema Fundamental do Calculo Essa relacao sera dada aqui para fins de completitude das definicoes mas nao sera cobrado do aluno tal conhecimento uma vez que os conceitos de integral e derivada podem ainda nao ter sido devidamente assimilados C E D E R J 13 Probabilidade e Estatistica Varidveis Aleatérias Continuas Por definicao temos 0 seguinte resultado Fy x PrX x fx udu e do Teorema Fundamental do Calculo resulta que d fx x FFG isto é a funcdo de densidade de probabilidade é a derivada da fungao de distribuigaéo acumulada ESPERANCA E VARIANCIA DE VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS Nas distribuigdes de frequéncias agrupadas em classes de variaveis quantitativas continuas vimos que a média e a variancia da distribuigao medidas de centro e de dispersao respectiva mente podiam ser calculadas como x fixi o fixiX onde f era a frequéncia relativa da classe i e x era o ponto médio da classe i Continuando com a ideia inicial da aula de tomar classes de comprimento cada vez menor isto é fazendo 6 0 chegamos as seguintes definigdes de esperanga e variancia de uma variavel aleatéria continua Definicao 146 Seja X uma variavel aleatéria continua com fungao de densi dade de probabilidade fy A esperanca ou média ou valor esperado de X é definida como co EX xfx xdx e a variancia de X é definida como co VarX be EX fx xdx O desvio padrao é definido como DPX VarX 14 CEDERJ x x Como ja dito antes nao entraremos em detalhes de calculo Q dessas férmulas nosso enfoque sera na interpretagao da média R e da variancia como medidas de centro e de dispersao Para g algumas distribuicg6es especificas apresentaremos os valores de EX e VarX mostrando a sua influéncia sobre a distribuigao As mesmas propriedades vistas para varidveis aleatérias dis cretas continuam valendo no caso continuo 5 Esperanca Desvio Padrao Eaa Var a 0 DPa 0 EX a EXa VarX a VarX DPX a DPX EbX bEX Var bX bVarX DP bX b DP X Se interpretamos a funcao de densidade de probabilidade de X como uma distribuigéo de massa na reta real entéo EX é0 centro de massa desta distribuicgéo Essa interpretacao nos per mite concluir por exemplo que se fx é simétrica entio EX é o valor central que define 0 eixo de simetria Exemplo 141 Distribuicao uniforme Considere a funcao fx apresentada na Figura 147 Figura 147 Funcio de densidade de probabilidade 1 Encontre o valor de k para que fx seja uma fungao de densidade de probabilidade de uma va X 2 Determine a equacao que define fy 3 Calcule Pr2 X 3 4 Encontre EX CEDERJ 15 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Variaveis Aleatorias Contınuas 5 Determine o valor de k tal que PrX k 06 6 Encontre a funcao de distribuicao acumulada de X Solucao 1 Como a area tem que ser 1 temos de ter 1 51k k 1 4 2 Temos que fXx 1 4 se 1 x 5 0 caso contrario 3 A probabilidade pedida e a area sombreada na Figura 148 Logo Pr2 X 3 32 1 4 1 4 Figura 148 Calculo de Pr2 X 3 4 Por argumentos de simetria a esperanca e o ponto medio ou seja EX 3 5 O primeiro ponto a observar e o seguinte o ponto x 3 divide a area ao meio ou seja x 3 e a mediana da distribuicao Como temos que PrX k 06 resulta que k tem de ser maior que 3 uma vez que abaixo de 3 temos area igual a 05 Veja a Fi gura 149 16 C E D E R J i i i i i i i i AULA 14 1 M ODULO 1 Figura 149 Calculo de k tal que PrX k 06 Temos 01 k3 1 4 k 34 6 Para x 1 temos que FXx 0 e para x 5 temos que FXx 1 Para 1 x 5 FXx e a area de um retˆangulo de base x1 e altura 14 veja a Figura 1410 Logo FXx x1 4 Figura 1410 Calculo de FX e a expressao completa de FX e FXx 0 se x 1 x1 4 se 1 x 5 1 se x 5 cujo grafico esta ilustrado na Figura 1411 C E D E R J 17 Probabilidade e Estatistica Varidveis Aleatérias Continuas Te 06 o4 O2 2 4 o 1 2 4 4 5 6 7 Figura 1411 Funcado de distribuigdo acumulada Exemplo 142 Considere a funcao fy apresentada na Figura 1412 01 1 6 Figura 1412 Funcao de densidade de probabilidade 1 Encontre o valor de k para que fx seja uma fungao de densidade de probabilidade de uma va X 2 Determine a equacao que define fy 3 Calcule Pr2 X 3 4 Encontre a funcao de distribuigaéo acumulada de X 5 Determine o valor de k tal que PrX k 06 Solucao 1 Podemos decompor a area sob a reta como a area de um triangulo e a area de um retangulo na verdade o resultado é a 4rea de um 18 CEDERJ trapézio veja a Figura 1413 Entao temos de ter Q 1 A 1 61 x01561 x k01 g 5 05 xk01k03 2 ps 5 k 1 6 Figura 1413 Célculo de k 2 fx é uma fungao linear e a reta passa pelos pontos 101 e 603 0 que nos da o seguinte sistema de equagées 0lab 03 a6b Subtraindo a primeira equag4o da segunda obtemos 03 01 5b b004 Substituindo este valor na primeira equado obtemos que a01004 006 Logo fax 006004x selx6 wy 10 caso contrario 3 Veja a Figura 1414 em que a area sombreada corresponde a probabilidade pedida Vemos que essa area é a 4rea de um trapézio de altura 3 2 1 base maior igual a fx 3 006 004 x 3 018 e base menor igual a f2 006004 x 2 0 14 CEDERJ 19 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Variaveis Aleatorias Contınuas Logo Pr2 X 3 018014 2 1 016 Figura 1414 Calculo de Pr2 X 3 4 Veja a Figura 1415 nela podemos ver que para x 15 FXk e a area de um trapezio de altura k 1 base maior igual a fXk e base menor igual a fX1 Logo FXk 006004k01 2 k 1 008002kk 1 ou seja FXk 0 se k 1 002k2 006k 008 se 1 k 6 1 se k 6 Figura 1415 Funcao de distribuicao acumulada 20 C E D E R J 5 Queremos determinar k tal que Fx k 06 Logo Q 06 002k 006k 008 AR 0 02k 006k 068 0 2 43k3405 3494x34 Eo DoE v94 x34 45208 5 2 A raiz que fornece resultado dentro do dominio de variaao de X k 45208 Exemplo 143 Distribuicao triangular Considere a funcao fx apresentada na Figura 1416 h Figura 1416 Funcao de densidade de probabilidade 1 Encontre o valor de h para que fx seja uma fungao de densidade de probabilidade de uma va X note que o triangulo é isdsceles 2 Determine a equaao que define fy 3 Calcule Pr1 X 3 4 Encontre EX 5 Determine o valor de k tal que PrX k 06 6 Encontre a fungao de distribuigao acumulada de X CEDERJ 21 Probabilidade e Estatistica Varidveis Aleatérias Continuas Solucao 1 Como a area tem de ser 1 temos de ter l x 4 0xhsh2 2 2 2 A fungao fx é dada por 2 equagées de reta A primeira é uma reta de inclinagdo positiva que passa pelos pontos 00 e 2 5 A segunda é uma reta de inclinagao negativa que passa pelos pontos 25 e 40 Para achar a equacao de cada uma das retas basta substituir as coordenadas dos dois pontos e resolver 0 sistema Para a primeira reta temos 0 seguinte sistema 0 abx0 1 bx2 2 7 Ft Da primeira equaao resulta que a 0 0 ponto onde a reta cruza 0 eixo y e substituindo esse valor de a na segunda equagao resulta que b i Para a segunda reta temos 0 seguinte sistema 0 abx4 1 bx2 2 ae Subtraindo a segunda equacao da primeira resulta 0 4b 2b b qa 2 4 Substituindo na primeira equado encontramos que a 1 Combinando essas duas equaGes obtemos a seguinte expressdo para fx 3 seQx2 fxx4 14 se2x4 0 sex QOoux4 3 A probabilidade pedida é a 4rea sombreada em cinzaescuro na Figura 1417 Os dois triangulos sombreados de cinzaclaro tém a mesma Area por causa da simetria Assim podemos calcular a probabilidade usando a regra do complementar uma vez que a area total é 1 22 CEDERJ i i i i i i i i AULA 14 1 M ODULO 1 12 Figura 1417 Calculo de Pr1 X 3 A altura dos dois triˆangulos e 1 4 basta substituir o valor de x 1 na primeira equacao e o valor de x 3 na segunda equacao Logo a area de cada um dos triˆangulos e 1 2 1 1 4 1 8 e por tanto Pr1 X 3 12 1 8 6 8 3 4 4 Como a funcao e simetrica resulta que EX 2 5 O primeiro ponto a observar e o seguinte o ponto x 2 divide a area ao meio ou seja x 2 e a mediana da distribuic ao Como temos que PrX k 06 resulta que k tem de ser maior que 2 Veja a Figura 1418 Figura 1418 Calculo de k tal que PrX k 06 Novamente vamos usar a regra do complementar como a area probabilidade abaixo de k tem de ser 06 resulta que a area probabilidade acima de k tem de ser 04 entao a area do triˆangulo superior tem de ser 04 A altura desse triˆangulo e obtida substituindose o valor x k na equacao da segunda reta o que nos da h 1 k 4 Substituindo na formula que da a area de um triˆangulo resulta C E D E R J 23 Probabilidade e Estatistica Varidveis Aleatérias Continuas 1 k 04 x4k 1s 4 5x4x13 1 k 04 4kk 4 ahee 168kk 0g W68kR 4 32 P8k16Sk8k12805 k 8 V644x 128 8 128 7 2 a A raiz SvR8 as esta fora do dominio de definigao da funcao logo essa soluco nao serve A solugao para o problema entao é 12 k Savi28 22111 2 6 Assim como a fdp a fda sera definida por 2 equagdes uma para os valores de x no intervalo 02 e outra para valores de x no intervalo 24 Para x 02 temos que Fx é a area do retangulo sombreado na Figura 1419 Logo Fel 500 x5 xe 02 xx 5 z x 12 0 x 2 4 Figura 1419 Célculo de Fyx para 0 x 2 Para x 24 Fx é a area sombreada na Figura 1420 que pode ser calculada subtraindose de 1 area total a area do triangulo superior Logo Fx 124 15 XX 7 X 4 24 CEDERJ i i i i i i i i AULA 14 1 M ODULO 1 Figura 1420 Calculo de FXx para 2 x 4 Combinando os resultados obtidos resulta a seguinte expressao para FX FXx 0 se x 0 1 8x2 se 0 x 2 1 1 8 4x2 se 2 x 4 1 se x 4 Veja a Figura 1421 para 0 x 2 o grafico de FX e uma parabola cˆoncava para cima para 2 x 4 o grafico de FX e uma parabola cˆoncava para baixo Figura 1421 Funcao de distribuicao acumulada DISTRIBUIC AO UNIFORME FUNC AO DE DENSIDADE DE PROBABILIDADE Uma va contınua X tem distribuicao uniforme no intervalo ab finito se sua funcao de densidade e constante nesse inter valo ou seja temos de ter fx k x ab C E D E R J 25 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Variaveis Aleatorias Contınuas Entao o grafico da fdp de X e como o ilustrado na Figura 1422 Figura 1422 Densidade da distribuicao uniforme no intervalo ab Para que tal funcao seja uma fdp temos de ter k 0 e a area do retˆangulo tem de ser 1 ou seja bak 1 k 1 ba Logo a funcao de densidade de uma va uniforme no inter valo ab e dada por fx 1 ba se x ab 0 caso contrario 146 Os valores a e b sao chamados parˆametros da distribuicao uniforme note que ambos tˆem de ser finitos para que a integral seja igual a 1 Quando a 0 e b 1 temos a uniforme padrao denotada por U 01 FUNC AO DE DISTRIBUIC AO ACUMULADA Por definicao temos que FX x PrX x e essa probabilidade e dada pela area sob a curva de densidade a esquerda de x conforme ilustrado na Figura 1423 26 C E D E R J i i i i i i i i AULA 14 1 M ODULO 1 Figura 1423 Calculo da fda da densidade uniforme Essa area e a area de um retˆangulo com base xa e altura 1 ba Logo F x 0 se x a xa ba se a x b 1 se x b 147 O grafico dessa fda e dado na Figura 1424 Figura 1424 Funcao de distribuicao acumulada da distribuicao uniforme no intervalo ab ESPERANC A E VARI ˆANCIA Das propriedades da esperanca e das caracterısticas da densi dade uniforme sabemos que EX e o ponto medio do intervalo ab E X ab 2 O calculo da variˆancia requer calculo integral e podese mostrar VarX ba2 12 C E D E R J 27 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Variaveis Aleatorias Contınuas Resumo Nesta aula vocˆe iniciou o estudo sobre variaveis aleatorias contınuas aprendendo os seguintes conceitos Funcao de densidade de probabilidade e uma funcao fx que satisfaz as seguintes propriedades fx 0 a area total sob o grafico de fx tem que ser igual a 1 Dada uma funcao de densidade fx referente a uma va X entao Pa X b e a area sob a curva limitada pelos pontos a e b A funcao de distribuicao acumulada e definida como Fx PrX x x R A densidade uniforme no intervalo ab e fx 1 ba se x ab 0 caso contrario 148 EX ab 2 VarX ba2 2 28 C E D E R J Exercicio 141 Q Considere a seguinte funao A x K2x seOxl Be 1 0 sexQoux1 1 Esboce o grafico de gx z 2 Encontre o valor de K para que gx seja uma fungao de densidade de probabilidade 3 Encontre a fungao de distribuigaéo acumulada 4 Calcule os quartis da distribuigao Exercicio 142 A demanda diaria de arroz num supermercado em centenas de quilos é uma va com fdp 5x seeOxl fix4 341 selx3 0 sex Qoux3 1 Qual é a probabilidade de se vender mais de 150kg num dia escolhido ao acaso 2 Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada a dispo sido dos clientes diariamente para que nao falte arroz em 95 dos dias Exercicio 143 Seja X uma va com fungao de densidade de probabilidade dada por 2x seOxl Px x 0 caso contrdério Calcule Pr X 5 X 7 Exercicio 144 Latas de cocacola sao enchidas num processo automatico segundo uma distribuicdo uniforme no intervalo em ml 345355 CEDERJ 29 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Variaveis Aleatorias Contınuas 1 Qual e a probabilidade de uma lata conter mais de 353 ml 2 Qual e a probabilidade de uma lata conter menos de 346 ml 3 Qualquer lata com volume 4 ml abaixo da media pode gerar reclamacao do consumidor e com volume 4 ml acima da media pode transbordar no momento de abertura de vido a pressao interna Qual e a proporcao de latas pro blematicas Exercıcio 145 Seja X uma variavel aleatoria com distribuicao uniforme no intervalo ab com a b Se EX 75 e VarX 675 de termine os valores de a e b SOLUC AO DOS EXERCICIOS Exercıcio 141 1 Veja a Figura 1425 Note que g0 2K e g1 K e gx e uma funcao linear Figura 1425 Grafico de gx 2 A area total que deve ser igual a 1 e a area de um trapezio com altura h 1 base maior igual a 2K e base menor igual a K Logo 1 K 2K 2 1 K 2 3 30 C E D E R J i i i i i i i i AULA 14 1 M ODULO 1 3 Para cada x 01 FXx e a area de um trapezio de altura x base menor igual a fXx 2 32x e base maior igual a 4 3 Veja a Figura 1426 Logo FXx 4 3 2 32x 2 x 2 3x 1 32xx 0 x 1 Figura 1426 Calculo da fda de X Resulta que FXx 0 se x 0 4 3x 1 3x2 se 0 x 1 1 se x 1 4 Sejam Q1Q2 e Q3 os trˆes quartis FXQ1 025 4 3Q1 1 3Q2 1 1 4 16Q1 4Q2 1 3 4Q2 1 16Q1 3 0 Q2 1 4Q1 075 0 Q1 4164075 2 4 13 2 A raiz que fornece solucao no domınio de X e Q1 4 13 2 019722 C E D E R J 31 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Variaveis Aleatorias Contınuas FXQ2 05 4 3Q2 1 3Q2 2 1 2 8Q2 2Q2 2 3 2Q2 2 8Q2 3 0 Q2 2 4Q2 15 0 Q2 416415 2 4 10 2 A raiz que fornece solucao no domınio de X e Q2 4 10 2 041886 FXQ3 075 4 3Q3 1 3Q2 3 3 4 16Q3 4Q2 3 9 4Q2 3 16Q3 9 0 Q2 3 4Q3 9 4 0 Q3 4 164225 2 4 7 2 A raiz que fornece solucao no domınio de X e Q3 4 7 2 067712 Exercıcio 142 Seja X a va que representa a demanda diaria de arroz em centenas de quilos 1 Na Figura 1427 temos o grafico da fdp de X onde a area do triˆangulo sombreado representa PrX 15 Nesse triˆangulo a base e 315 15 e a altura e f15 15 3 1 Logo PrX 15 1 2 1505 1 2 3 2 1 2 3 8 32 C E D E R J 3 Qa Oo 23 Vm a 0 1 15 3 z Figura 1427 Grdfico da fdp de X 2 Sejak o valor a estocar Para que a demanda seja atendida é necessario que a quantidade demandada seja menor que a quantidade em estoque Logo queremos encontrar o valor de k tal que PrX k 095 Como PrX 1 5 k tem de ser maior que 1 ou seja k esta no triangulo superior Veja a Figura 1428 23 005 0 1 k 5 Figura 1428 Calculo do tamanho do estoque Mas PrX k 095 é equivalente a PrX k 005 Logo 1 k 005 3k 1 k3 013h 5 0396kkh k6k870 ke 6 364x 87 7 2 CEDERJ 33 Probabilidade e Estatistica Varidveis Aleatérias Continuas A raiz que da a solugao dentro do dominio de X é 6 364x 87 k a 245 centenas de quilos Exercicio 143 PrANB Sabemos que PrAB Se Assim P X l al X 2 11 2 TLE Sa 3 Fe 53 PrXs5lgS S35 ay PrxX 353 P X l T 37 2 Pr I X 2 3 3 Veja a Figura 1429 1B yg 2B y Figura 1429 Areas dos trapézios Ambos os termos referemse a areas de trapézios O numer ador referese 4 area do trapézio sombreado de cinzaescuro e 0 denominador referese ao trapézio correspondente a toda a area sombreada cinzaclaro e cinzaescuro eo 1 1 1 O trapézio cinzaescuro tem altura 77376 base maior 1 1 igual a f 2x 1 e base menor igual a 1 1 2 2x I 5 33 34 CEDERJ sot 2 1 1 O trapézio sombreado completo tem altura 37379 base g 2 2 4 a maior igual a f 2x 373 base menor igual a 1 1 2 f5 2x5 5 Loge 2 s s 01 5 1 z 11 2 sixes 5x 5 px tlecy22 6 3 6 5 23 3 72 51 2 331 3 2 3 Exercicio 144 Seja X contetido da lata de cocacola Entao X U345 355 1 Pedese PrX 353 1PrX 353 1 Fx353 353345 02 355 345 2 Pedese PrX 346 PrX 346 Fy 346 346 345 01 355 345 0 3 Pedese Pr3504 X 35044 Pr346X 354 Pr346 X 354 PrX 354 PrX 346 354345 346 345 08 355345 355345 Logo a proporgao de latas problematicas é 1 08 02 ou seja 20 das latas sio problematicas Note que essa é uma proporao bastante alta CEDERJ 35 i i i i i i i i Probabilidade e Estatıstica Variaveis Aleatorias Contınuas Exercıcio 145 E dado que ab 2 75 ba2 12 675 Da primeira equacao resulta que a 15 b Substituindo na segunda equacao b15b2 12 675 2b152 81 2b15 9 2b15 9 As solucoes sao b 12 e b 3 Mas b 3 implica que a 12 como b a essa nao e uma solucao possıvel Assim a 3 e b 12 36 C E D E R J