Processamento de Sinal

Processamento Digital de Sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc M16 Filtros digitais Roteiro 1 Atividade Prática Filtros Digitais OBJETIVO Verificar o sinal de saída a partir de um sinal de entrada determinado MATERIAL UTILIZADO Ambiente matemático Scilab Apostilas disponíveis no AVA na Aula Ambiente Matemático Scilab Listas de Exercícios disponíveis em todas as aulas do AVA ORIENTAÇÕES Para realizar esta atividade leia atentamente e estude todo o material disponível no AVA principalmente as apostilas e listas de exercícios Atenção Coloque no relatório todo o desenvolvimento matemático prévio ao desenvolvimento do algoritmo Se não houver desenvolvimento matemático como indicado no vídeo do experimento será descontada nota Inclua imagens de todos os procedimentos solicitados Nas imagens não se esqueça de colocar nomes nos eixos xlabel e ylabel Será descontada nota Para facilitar o desenvolvimento da atividade use o aplicativo SciNotes que permite gravar sua atividade como um programa página 7 da Apostila 1 Introdução ao Scilab Coloque o algoritmo completo no relatório com o detalhe de cada uma das linhas como o exemplo indicado Será descontada nota Trabalhos iguais serão considerados plágio e a nota será zero para todos os alunos que entregarem o mesmo trabalho ATIVIDADE Esta atividade deve ser desenvolvida considerando um RU de 7 números Se seu RU tiver menos de 7 números deverá preencher com zeros os últimos números Exemplo RU 12345 RU1 RU2 RU3 RU4 RU5 RU6 RU7 1 2 3 4 5 0 0 Se seu RU tiver mais de 7 números deverá desconsiderar os últimos números Exemplo RU 123456789 RU1 RU2 RU3 RU4 RU5 RU6 RU7 1 2 3 4 5 6 7 Sendo 𝑎 𝑅𝑈1 Processamento Digital de Sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc M16 Filtros digitais Roteiro 2 𝑏 𝑅𝑈4 se 𝑅𝑈4 0 𝑏 4 𝑝 𝑅𝑈210 se 𝑅𝑈2 0 𝑝 02 𝑞 𝑅𝑈330 se 𝑅𝑈3 0 𝑞 01 1 Sendo 𝑥𝑛 o sinal de entrada de um determinado sistema 𝑥𝑛 𝑏 𝑞𝑛𝑢𝑛 E o sinal de saída 𝑦𝑛 𝑦𝑛 𝑎 𝑝𝑛𝑢𝑛 𝑏 𝑝𝑛1𝑢𝑛 1 Será necessário determinar a resposta ao impulso do sistema ℎ𝑛 Para chegar na resposta ao impulso será necessário calcular a função do sistema 𝐻𝑧 a partir dos sinais de entrada e saída 2 Para a resposta ao impulso do sistema ℎ𝑛 obtida a partir do desenvolvimento anterior se o vetor de entrada sinal de entrada for 𝑥1𝑛 𝑥1𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑛 𝑅𝑈7𝜋 20 𝑒𝑛 10 𝑠𝑒𝑛 𝑛 𝑅𝑈3𝜋 50 𝑅𝑈5 𝑛 10 𝜋 número 𝜋 sintaxe no Scinotes pi 𝑒 número 𝑒 sintaxe no Scinotes 𝑒𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 ou 𝑒𝑥𝑝𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑘 𝑅𝑈7 100 se 𝑅𝑈7 0 adotar 𝑘 007 Usando o ambiente matemático Scilab calcular o sinal de saída 𝑦1𝑛 definido por 𝑦1n 𝑥1𝑛 ℎ𝑛 1 Onde ℎ𝑛 é a resposta ao impulso domínio do tempo correspondente à 𝐻𝑧 domínio da frequência E o sinal de saída 𝑦1𝑛 é resultante da convolução entre o sinal de entrada 𝑥1𝑛 e a resposta ao impulso do sistema ℎ𝑛 PROCEDIMENTO É conveniente usar o aplicativo SciNotes para escrever os comandos As funções impulso unitário e degrau unitário explicadas na Apostila 1 Introdução ao Scilab serão fundamentais para esta atividade Elas deverão ser definidas no início da série de comandos 1 6 pontos A partir dos sinais de entrada e saída 𝑥𝑛 e 𝑦𝑛 calcular a resposta ao impulso ℎ𝑛 do sistema Todos os cálculos deverão ser apresentados detalhadamente no relatório estes cálculos serão realizados no caderno As listas de exercícios mencionadas no MATERIAL UTILIZADO têm vários problemas e resoluções similares a 45p Cálculo do filtro deste cálculo depende toda a atividade b 05p Função 𝐻𝑧 correta c 1p Resposta ao impulso ℎ𝑛 correta Processamento Digital de Sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc M16 Filtros digitais Roteiro 3 2 3 pontos Scilab a Gerar um vetor 𝑛 entre 10 e 10 para 𝑥1𝑛 e ℎ𝑛 b Gerar um vetor 𝑛1 entre 20 e 20 para 𝑦1𝑛 c 3p Algoritmo i 1p Vetor de entrada 𝑥1𝑛 correto ii 1p Resposta ao impulso ℎ𝑛 correta iii 1p Vetor de saída 𝑦1𝑛 correto 3 1 ponto Usando os comandos subplot e plot2d3 Apostila 2 plotar 𝑥1𝑛 ℎ𝑛 e 𝑦1𝑛 no mesmo gráfico Nomes nos eixos dos gráficos será descontada nota se os gráficos não tiverem nome nos eixos Exemplo RU 1234567 RU1 RU2 RU3 RU4 RU5 RU6 RU7 1 2 3 4 5 6 7 1 Resposta ao impulso o aluno deverá desenvolver o sistema para calcular a resposta ao impulso ℎ𝑛 a partir dos sinais de entrada e saída do sistema e apresentar TODOS os cálculos do desenvolvimento considerando seu RU Exemplo RU 1234567 𝑥𝑛 4 01𝑛𝑢𝑛 𝑦𝑛 02𝑛𝑢𝑛 4 02𝑛1𝑢𝑛 1 2 Sinal 𝑥1𝑛 𝑥1𝑛 𝑐𝑜𝑠007𝑛 1099 𝑒𝑛 10 𝑠𝑒𝑛𝑛 0188 5 𝑛 10 Processamento Digital de Sinais Prof Eng Viviana R Zurro MSc M16 Filtros digitais Roteiro 4 Relatório Detalhado de Atividade Prática Filtros Digitais 1 Objetivo O propósito fundamental desta atividade é realizar uma análise completa de um sistema Linear Invariante no Tempo LIT Este processo envolve primeiramente a determinação matemática de sua característica mais importante a resposta ao impulso representada por hn Em um segundo momento o ambiente de simulação Scilab é utilizado para aplicar essa resposta ao impulso em um novo sinal de entrada x1n calculando o sinal de saída resultante y1n através da operação de convolução validando assim a teoria na prática 2 Desenvolvimento Matemático Cálculo da Resposta ao Impulso hn Nesta seção detalhamos todo o raciocínio matemático para encontrar a resposta ao impulso hn O método utilizado é a Transformada Z uma ferramenta poderosa que nos permite converter os sinais do domínio do tempo para o domínio da frequência onde as operações se tornam mais simples 21 Definição das Constantes a partir do RU O primeiro passo é personalizar o problema com base no seu RU 3682208 Os dígitos do RU são RU13 RU26 RU38 RU42 RU52 RU60 RU78 A partir deles calculamos as constantes que definirão nosso sistema a RU1 3 b RU4 2 p RU2 10 6 10 06 q RU3 30 8 30 que é aproximadamente 02667 22 Sinais de Entrada e Saída do Sistema Com as constantes definidas podemos escrever as equações exatas dos sinais de entrada e saída fornecidos Sinal de entrada xn xn b qn un 2 830n un Sinal de saída yn yn a pn un b pn1 un1 3 06n un 2 06n1 un1 O termo un representa a função degrau unitário indicando que os sinais começam em n0 23 Aplicação da Transformada Z Agora convertemos os sinais do domínio do tempo n para o domínio da frequência Z Transformada de xn Usamos a conhecida propriedade da Transformada Z onde um sinal da forma alfan un se transforma em 1 1 alfa z1 Aplicando essa regra a transformada de xn que chamamos de XZ é XZ 2 1 830 z1 Transformada de yn O sinal de saída yn tem duas partes então transformamos cada uma delas A primeira parte 3 06n un se transforma em 3 1 06 z1 A segunda parte 2 06n1 un1 usa uma propriedade de deslocamento no tempo resultando em 2 z1 1 06 z1 A transformada completa de yn que chamamos de YZ é a soma das duas partesYZ 3 1 06z1 2z1 1 06z1 24 Cálculo da Função de Transferência HZ A função de transferência HZ é a identidade do nosso filtro no domínio da frequência Ela é calculada simplesmente dividindo a saída pela entrada HZ YZ XZ HZ 3 1 06z1 2z1 1 06z1 2 1 830z1 Para simplificar multiplicamos YZ pelo inverso de XZ resultando em HZ 15 1 830z1 1 06z1 z1 1 830z1 1 06z1 25 Cálculo da Resposta ao Impulso hn Transformada Z Inversa O passo final é trazer a função de transferência HZ de volta para o domínio do tempo Isso nos dará a resposta ao impulso hn Para isso aplicamos a Transformada Z Inversa em cada termo de HZ Análise do Primeiro Termo Após manipulação algébrica o primeiro termo se torna 15 1 06z1 04z1 1 06z1 A inversa deste termo é h1n 15 06n un 04 06n1 un1 Análise do Segundo Termo O segundo termo após manipulação tornase z1 1 06z1 830z2 1 06z1 A inversa deste termo é h2n 06n1 un1 830 06n2 un2 Resposta ao Impulso Final hn A resposta ao impulso completa do sistema é a soma das duas partes hn h1n h2n hn 1506nun 0406n1un1 06n1un1 83006n 2un2 Esta é a equação que define completamente o nosso filtro no domínio do tempo 3 Simulação no Ambiente Scilab Com a matemática resolvida usamos o Scilab para aplicar esses resultados de forma prática 31 Algoritmo Scilab Comentado O código abaixo foi criado no SciNotes para gerar os sinais implementar o filtro e visualizar os resultados Cada seção do código é explicada detalhadamente Atividade Prática Filtros Digitais Aluno RU 3682208 Limpa o console e as variáveis para garantir que execuções anteriores não interfiram clear clc 1 DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES AUXILIARES Função Degrau Unitário un essencial para definir o início dos sinais Retorna 1 para n 0 e 0 para todos os outros valores de n function y unitstepn y n 0 endfunction 2 DEFINIÇÃO DE PARÂMETROS E VETORES Parâmetros extraídos do RU 3682208 para personalizar a simulação RU3 8 RU5 2 RU7 8 k RU7 100 Constante k 008 usada no sinal de entrada x1n Definição dos vetores de tempo amostras n 1010 Vetor de tempo para a entrada x1n e a resposta hn n1 2020 Vetor de tempo mais longo para a saída y1n pois a convolução expande o sinal 3 CÁLCULO DA RESPOSTA AO IMPULSO hn Implementação direta da fórmula de hn que foi derivada matematicamente htermo1 15 06n unitstepn htermo2 04 06n1 unitstepn1 htermo3 06n1 unitstepn1 htermo4 830 06n2 unitstepn2 h htermo1 htermo2 htermo3 htermo4 Soma de todos os termos para criar o vetor hn 4 CÁLCULO DO SINAL DE ENTRADA x1n Equação do novo sinal de entrada que será aplicado ao filtro x1n coskn RU7pi20 expn10sinn RU3pi50 Importante este sinal só existe no intervalo RU5 n 10 Primeiro criamos um vetor x1n preenchido com zeros x1 zerosn Usamos um loop para preencher os valores de x1n apenas no intervalo correto for i 1lengthn A condição verifica se a amostra ni está dentro do intervalo de 2 a 9 if ni RU5 ni 10 then termocos coskni RU7pi20 termoexpsin expni10 sinni RU3pi50 x1i termocos termoexpsin end end 5 CÁLCULO DO SINAL DE SAÍDA y1n CONVOLUÇÃO A saída do filtro é a convolução da entrada x1n com a resposta ao impulso hn y1 convolx1 h 6 PLOTAGEM DOS GRÁFICOS Esta seção cria a visualização dos três sinais para análise scf0 Abre uma nova janela para os gráficos Gráfico 1 Sinal de Entrada x1n subplot3 1 1 plot2d3gnn n x1 titleSinal de Entrada x1n xlabelAmostras n ylabelAmplitude Gráfico 2 Resposta ao Impulso hn subplot3 1 2 plot2d3gnn n h titleResposta ao Impulso hn xlabelAmostras n ylabelAmplitude Gráfico 3 Sinal de Saída y1n subplot3 1 3 plot2d3gnn n1 y1 titleSinal de Saída y1n x1n hn xlabelAmostras n ylabelAmplitude 4 Resultados e Análise Gráfica A execução do código no Scilab produz uma figura com três gráficos que nos permitem visualizar o processo de filtragem Análise Detalhada dos Gráficos Gráfico 1 Sinal de Entrada x1n Este gráfico mostra o sinal original que estamos injetando no sistema Podemos ver claramente que ele só possui valores significativos entre as amostras n2 e n9 sendo zero em todo o resto do tempo Ele possui uma natureza oscilatória combinando um cosseno com um seno modulado por uma exponencial decrescente Gráfico 2 Resposta ao Impulso hn Este é o DNA do nosso filtro Ele mostra como o sistema reage a um pulso de energia instantâneo A forma deste sinal é crucial suas características picos decaimento oscilações determinam como ele irá atenuar ou amplificar certas partes do sinal de entrada Notamos que é um sinal que decai com o tempo indicando que é um sistema estável Gráfico 3 Sinal de Saída y1n Este é o resultado final O sinal y1n é visivelmente diferente da entrada x1n Ele é o resultado de misturar a entrada com a resposta ao impulso Podemos notar que o sinal de saída é espalhado no tempo começando antes e terminando depois do sinal de entrada original Isso é uma consequência direta da operação de convolução As amplitudes e a forma geral da onda foram alteradas de acordo com as características do filtro hn 5 Conclusão Esta atividade prática foi executada com sucesso conectando de forma eficaz a teoria abstrata do processamento de sinais com a aplicação prática em um ambiente de simulação O desenvolvimento matemático embora complexo foi fundamental para derivar a equação da resposta ao impulso hn que é a identidade do filtro A simulação no Scilab não apenas validou os cálculos mas também proporcionou uma compreensão visual e intuitiva do processo de filtragem digital Foi possível observar como a convolução no domínio do tempo modifica um sinal de entrada com base nas características do filtro cumprindo integralmente todos os requisitos e objetivos propostos no roteiro da atividade Relatório de Atividade Prática Filtros Digitais RU 3682208 17 de outubro de 2025 1 Desenvolvimento Matemático Esta seção detaliha o processo para encontrar a resposta ao impulso hn do sistema 11 Definição das Constantes RU 3682208 As constantes do sistema são definidas a partir do RU a RU1 3 b RU4 2 p RU210 610 06 q RU330 830 12 Sinais de Entrada e Saída Os sinais são definidos como xn 2 830n un 1 yn 3 06n un 2 06n1 un1 2 13 Aplicação da Transformada Z Para encontrar a função de transferência aplicamos a Transformada Z Transformada de xn Utilizando a propriedade αn un 11αz1 obtemos Xz Xz 21 830 z1 3 Transformada de yn A transformada de yn é a soma das transformadas de seus termos Yz 31 06 z1 2 z11 06 z1 4 14 Cálculo da Função de Transferência Hz A função de transferência é Hz YzXz Hz 3106 z1 2 z1106 z1 21 830 z1 5 Simplificando obtemos Hz 15 1 830 z1 1 06 z1 z1 1 830 z1 1 06 z1 6 15 Calculo da Resposta ao Impulso hn Calculamos a Transformada Z inversa de Hz Primeiro Termo H1z H1z 15 04z1 1 06z1 15 1 06z1 04z1 1 06z1 7 A inversa e h1n 1506nun 0406n1un 1 8 Segundo Termo H2z H2z z1 8 30z2 1 06z1 z1 1 06z1 8 30z2 1 06z1 9 A inversa e h2n 06n1un 1 8 3006n2un 2 10 Resposta ao Impulso Final hn A resposta final e a soma h1n h2n hn 1506nun 0406n1un 1 06n1un 1 8 3006n2un 2 11 2