Lista de Exercícios Cálculo B - Áreas, Volumes e Comprimentos - MATA03 20192

Exercícios Cálculo B MATA03 20192 Cálculo de áreas volumes e comprimentos 1 Considere a região R do plano cartesiano determinada pelas curvas y 2 x 0 e y sqrtx a Determine a área de R b Determine o volume do sólido obtido pela rotação de R pelo eixo x 2 Considere a região R do plano cartesiano detreminada pelas curvas y x4 e x y4 Determine o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo x 2 3 Considere a região R do plano cartesiano determinada pelas curvas y x2 2x e y x2 x a Esboce R no plano cartesiano determinando os pontos de interseção das duas curvas acima b Calcule a área de R c Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação de R pelo eixo y 4 Considere a região R do plano cartesiano determinada pelas curvas y x2 e x y2 Determine o volume do sólido obtido pela rotação de R pelo eixo x 4 5 Calcule a área da região R em cada item a R é a região compreendida entre os gráficos y x2 2 e y x 8 b R é a região entre as curvas x 3 e x y2 1 c R é a região delimitada pelas curvas de equações y x xy2 1 e y 2 d R é a região entre os gráficos de y x e y x2 com 3 x 3 e R é a região delimitada pelos gráficos de y sin x e y sin 2x 0 x pi 6 Esboce e encontre a área da região delimitada pelo gráfico de y 3x1 pela reta x 4 e pelos eixos x e y 7 Seja f diferenciável Calcule integral01 x fx dx sabendo que f1 4 e que integral01 ft dt é igual a área da região R entre o gráfico de y x2 e as retas y 1 x 1 e x 2 8 A curva x y44 18y2 1 y 2 é rotacionada em torno do eixo y Encontre a área da superfície gerada 9 Encontre a área da superfície de revolução gerada pela rotação da curva y x33 14x 1 x 3 em torno da reta y 2 10 Um hexagono regular esta inscrito na circunferˆencia x 22 y2 1 O hexagono e girado em torno do eixo y Encontre a area da superfıcie gerada e o volume do solido envolvido 11 Determine o volume do cone reto de raio de base r e altura h usando o Teorema de PappusGuldin 12 Encontre o volume do Toro dado pela figura abaixo Use o Teorema de PappusGuldin 13 Considere o triˆangulo equilatero com a base no eixo x e seja ℓ o comprimento do seu lado Usando o Teorema de Pappus encontre o volume do solido gerado pela rotacao do triˆangulo em torno da reta y ℓ 14 Usando o Teorema de Pappus avalie o centroide da regiao R x y R2 x2y2 4 x 0 e y 0 15 Considere o arco semicircular x 22 y 22 4 y 2 O arco e rotacionado em torno do eixo y 2x 0 Encontre a area da superfıcie gerada 16 Seja x y o centroide da curva y 1 2x2 1 0 x 1 Use o Teorema de Pappus Guldin para encontrar x Curvas parametrizadas 1 Desenhe os tracos das seguintes curvas indicando o sentido de percurso a γt sint sin2t t R b γt 1 2 1 t t 2 0 c γt sec t tan t t π 2 π 2 d γt sin t cos2 t 2 t R e γt cos2 t sin t t 0 2π 2 f γt 2 cos t 3 4 sin t t π π g γt et cos t et sin t t 0 h γt 2 cos t 2 sin t t R i γt 2 et 3 et t 0 j γt sin t 1 2 cos t t π π 2 Esboce o traco da curva xt t3 3t2 2t e yt 3 2t t2 com 3 t 1 3 Encontre a reta tangente a curva parametrizada por x t2 t e y t2 t no ponto onde t 1 4 Para cada uma das seguintes curvas expressas em forma parametrica obtenha ex pressoes para dy dx e d2y dx2 e use essas informacoes para ajudar a fazer um esboco do traco da curva a x t2 2t e y t2 4t b x t3 3t 2 e y t3 t 2 5 Sobre a curva parametrizada por x t2 2t e y t3 3t determine a A reta tangente quando t 2 b Os pontos cuja reta tangente e horizontal c Esta curva possui reta tangente vertical em algum ponto d As regioes onde a concavidade e para cima ou para baixo 6 Considere a curva dada pelas equacoes x t cos t e y t sin t π t π Encontre as equacoes das retas tangentes a essa curva no ponto 0 π 2 7 Considere a curva C definida por xt cos3 t e yt sin3 t 0 t π 2 a Encontre o comprimento da curva b Encontre a area da superfıcie gerada pela rotacao de C em torno do eixo x c Sendo x y o centroide de C encontre y 8 A curva xt 2 cos t cos 2t yt 2 sin t sin 2t 0 t π e rotacionada sobre o eixo x Calcule a area da superfıcie de rotacao 3 Gabarito Cálculo de áreas volumes e comprimentos 1 a 83 b 8π 2 133π45 3 a Fazer esboço interseção de duas parábolas 00 e 32 34 são os pontos de interseção b 98 c 27π16 4 89π30 5 a 1576 b 323 c 1 d 293 e 52 6 3 ln 5 7 2 8 16911π1024 9 2141π18 10 Área 24π Volume 6sqrt3π 11 πr2 h 3 12 2ba2 π2 13 1 2sqrt3π ℓ3 4 14 C 83π 83π 15 2 3π 8 sqrt5 π 5 16 x 4 sqrt2 2 3 sqrt2 3 ln1 sqrt2 Curvas parametrizadas 1 Fazer esboços das curvas 2 Fazer esboço 3 T1 y 3x 2 4 a dydx t 2t 1 d2 ydx2 12t 13 b dydx 3t2 13t2 3 d2 ydx2 4t9t2 13 5 a 3x 2y 20 0 b instante t 1 e ponto 3 2 c não possui reta tangente vertical d para t 1 concavidade para cima para t 1 concavidade para baixo 6 para t π2 4x 2πy π2 0 para t π2 4x 2πy π2 0 7 a 32 b 6π5 c y 25 8 128π5