Lista de Exercícios - Cálculo B - Máximos e Mínimos - UFBA

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA UFBA INSTITUTO DE MATEMATICA E ESTATISTICA DISCIPLINA MATA03 CALCULO B LISTA 5 Maximos e mınimos 1 Determine os pontos de maximo e mınimo locais e pontos de sela da funcao a fx y 3y2 2y3 3x2 6xy b fx y x4 4 2x3 3 4xy y2 c fx y xyex2y2 d fx y ex cos y e fx y x4 y4 4xy 1 f fx y x3 y3 3x 3y 1 2 A funcao fx y x 14 y4 36x 1y 14 possui dois pontos de mınimo local e um ponto de sela Se c d e um ponto de mınimo local localizado no quarto quadrante e s r e o ponto de sela determine a soma d r 3 A funcao fx y x 23 y5 3x 5y 1 possui quatro pontos crıticos Classifiqueos em mınimo local um maximo local ou sela 4 A funcao fx y cosxcosy possui quatro pontos crıticos no interior do retˆangulo 1 4 1 4 Classifiqueos em mınimo local maximo local ou sela 5 A base de um aquario com volume 1m3 e feita de ardosia e os lados sao de vidro Se o preco da ardosia por unidade de area equivale a 3 vezes o preco do vidro determine as dimensoes do aquario para minimizar o custo do material 6 Determine trˆes numeros x y e z naonegativos tais que x 2y z 18 e cujo produto xyz e maximo 7 Determine o valor maximo M da funcao fx y y2 y x2 na regiao compacta R x y 0 y 2 x2 8 Determine o valor maximo e o valor mınimo da funcao fx y 4yy sen x na regiao R x y 0 x π e 0 y sen x Dica a analise desta funcao na fronteira da regiao e a parte mais facil 9 Determine os pontos de maximo absoluto e mınimo absoluto das funcoes 1 2 a fx y x2 y2 x2y 4 em D x y R2 x 1 y 1 b fx y 4x 6y x2 y2 em D x y R2 0 x 4 0 y 5 c fx y 2x3 y4 em D x y R2 x2 y2 1 d fx y 1 4x 5y na regiao triangular fechada de vertices 0 0 2 0 e 0 3 10 Uma caixa retangular tem trˆes faces nos planos coordenados e um vertice no primeiro octante positivo sobre o paraboloide z 4 x2 y2 Determine o volume maximo da caixa 11 Encontre os valores maximo e mınimo da funcao fx y xy sobre a elipse x2 8 y2 2 1 12 Determine o ponto do plano 3x 2y z 6 que esta mais proximo da origem 13 Determine a area maxima de um retˆangulo que pode ser inscrito no cırculo x2 y2 2 14 O plano x y z 1 intercepta o cilindro x2 y2 1 em uma elipse Determine os pontos desta elipse que estao mais proximo e mais distante da origem 15 Determine trˆes numeros positivos cuja soma e 100 e cujo produto e maximo 16 Determine os pontos do cone z2 x2 y2 que estao mais proximos do ponto 4 2 0 17 Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m2 de papelao Determine o volume maximo de tal caixa 18 Encontre as dimensoes de uma caixa com tampa com volume de 1000 cm3 que tenha a area de sua superfıcie mınima 19 Utilize os multiplicadores de Lagrange para demonstrar que o retˆangulo com area maxima e que tem um perımetro constante p e um quadrado 20 Use multiplicadores de Lagrange para obter o valor maximo M e o valor mınimo m da funcao fx y x 3y 1 sujeita a restricao x2 3y2 36 21 Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores maximo e mınimo da funcao sujeita a restricao dada a fx y x2 y2 xy 1 b fx y 4x 6y x2 y2 13 c fx y x2y x2 2y2 6 22 Usando o metodo dos multiplicadores de Lagrange encontre a area do maior retˆangulo com pares de lados paralelos aos eixos coordenadas que pode ser inscrito na elipse x2 4y2 1 3 23 Um predio retangular esta sendo projetado para minimizar a perda de calor As paredes leste e oeste perdem calor a uma taxa de 10 unidadesm2 por dia as paredes norte e sul a uma taxa de 8 unidadesm2 por dia o piso a uma taxa de 1 unidadem2 por dia e o teto a uma taxa de 5 unidadesm2 por dia Cada parede deve ter pelo menos 30 m de comprimento a altura deve ser no mınimo 4 m e o volume exatamente 4000 m3 Encontre as dimensoes que minimizam a perda de calor GABARITO Máximos e mínimos 1 a 00 é ponto de sela e 22 é ponto de máximo local b 00 é ponto de sela e 48 24 são pontos de máximo local c 00 é ponto de sela e 12 12 12 12 são pontos de mínimo local 12 12 e 12 12 são pontos de máximo local 5 Dimensões xy323 e z 2323 9 a 00 é ponto de mínimo absoluto e 11 11 são pontos de máximo absoluto b 23 é ponto de máximo absoluto e 00 40 são pontos de mínimo absoluto c 10 é ponto de máximo absoluto e 10 é ponto de mínimo absoluto 10 Volume máximo da caixa 2m3 11 Valor máximo 2 atingido em 21 e 21 Valor mínimo 2 atingido em 21 e 21 12 97 67 37 13 4 14 Ponto com maior distância 22 22 12 Ponto com menor distância 100 010 15 x1003 y1003 e z1003 16 215 e 215 17 x2 y2 e z1 18 x31000 y31000 e z 31000 21 a Não existe valor máximo O valor mínimo é 2 b Valor máximo 26 e valor mínimo 26 c Valor máximo 4 e valor mínimo 4 23 As paredes devem medir exatamente 30 m e altura deve ser 409