Lista de Exercícios Cálculo B Limites Continuidade e Derivadas

Lista de exercícios adicionais Cálculo B Unidade II MATA03 20192 Limite e Continuidade 1 Calcule o limite caso exista ou mostre que não existe a limxy00 x2 x2 y2 b limxy00 x y x y c limxy00 xy y x3 d limxy11 exy cosx y e limxy10 ln1 y2 x2 xy f limxy00 x2 y ey x4 4y2 g limxy00 x2 y2 x2 y2 1 1 h limxy00 x2 sin2 y x2 2y2 i limxyz000 xy yz2 xz2 x2 y2 z4 j limxyz000 yz x2 4y2 9z2 k limxy00 x2 y2 lnx2 y2 l limxy00 x2 ln3x2 y2 arctan1 y2 x2 m limxy11 x2 ln3x2 y2 arctan1 y2 x2 2 Determine o conjunto dos pontos de continuidade e justifique a sua resposta a fxy 6 2x2 3y2 b fxy 1 x2 y2 1 x2 y2 c fxy ex ey exy 1 d fxy x y 1 x2 y2 e fxy x 3y x2 y2 se xy 00 0 se xy 00 f fxy sinx2 y2 x2 y2 se xy 00 1 se xy 00 g fxy e1 r2 1 se r 1 onde r xy 0 se r 1 3 A função fxy xy2 x2 y2 se xy 00 0 se xy 00 é contínua em 00 Justifique 4 Considere a função fxy x4 x4 y2 sine1 x2 y2 se xy 00 m se xy 00 Verifique se existe algum valor de m para o qual a função seja contínua no ponto 00 Derivadas 5 Determine as derivadas parciais das funções abaixo a fxy x2 ln1 x2 y2 b fxy arctanx y c z x sin y cosx2 y2 d w xy cosx z lnx2 y2 z2 6 Seja ϕ R R uma função de uma variável real diferenciável e tal que ϕ1 4 Seja gxy ϕx y Calcule gx11 e gy11 7 Considere a função z x sinx y Verifique que x zx y zy z 8 Calcule fx xy e fy xy para as funções abaixo a fxy 2x2 y2 et2 dt b fxy x2y2 et2 dt c fxy xyx2 y2 1 et dt d fxy x yx sint2 dt 9 Determine uma função fxy tal que fx 4y2 2y cosxy fy 8xy 2x cosxy 8 10 Seja f R R contínua tal que f3 4 Seja gxyz 0x2 y2 z4 ft dt Calcule a gx 111 b gy 111 c gz 111 11 Seja ϕ R R uma função diferenciável tal que ϕ3 4 Seja gxyz ϕx2 y2 z2 Calcule a gx 111 b gy 111 c gz 111 12 Prove usando a definição que a função fxy xy é diferenciável 13 Seja fxy 3x2 2 sinx y2 y31 ex Calcule fx23 fx01 fy11 e fy11 14 Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções a z 4xy 3x2 y3 b z x cos2x 3y c z 4x 2y2 4xy d z exy sinx y xy2 e z arctanxy ex y 15 Determine o conjunto dos pontos em que cada função dada é diferenciável a fxy xy3 x2 y2 se xy 00 0 se xy 00 b fxy x3 x2 y2 se xy 00 0 se xy 00 16 Determine as equações do plano tangente e reta normal ao gráfico da função dada no ponto em questão a fxy xex2 y2 em 2 2 f2 2 b fxy arctanx 2y em 2 12 f2 12 17 Determine o plano que passa pelos pontos 112 e 111 e que seja tangente ao gráfico de fxy xy 18 Considere a função fxy x³ x² y² Mstre que todos os planos tangentes ao gráfico de f passam pela origem 19 Calcule a diferencial das funções a z x arctanx 2y b u es²t² 20 Seja z x ³y Calcule a A diferencial de z no ponto 18 b Um valor aproximado para z correspondente a x 101 e y 79 c Um valor aproximado para a variação Δz em z quando passamos de x 1 e y 8 para x 09 e y 801 21 Um dos catetos de um triângulo retângulo é x 3 cm e o outro é y 4 cm Calcule um valor aproximado para a variação Δz na hipotenusa z quando x aumenta 001 cm e y decresce 01 cm 22 Calcule o vetor gradiente das seguintes funções a fxy 2xy b fxyz z arctanxy Regra da Cadeia e Funções Implícitas 23 Supondo f diferenciável e que para todo t ft²2t t³ 3t Mostre que fx 12 fy 12 24 Sejam f e g funções diferenciáveis tais que para todo xy no domínio de g fxygxy 0 Suponha que g11 3 fx 113 2 fy 113 5 e fz 113 10 Determine a equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto 113 25 A equação x²y sin y x define implicitamente alguma função y yx Se sim expresse dydx em termos de x e y 26 Determine uma reta que seja tangente à elipse 2x² y² 3 e paralela à reta 2x y 5 27 Determine a equação da reta tangente à curva de nível e2xy 2x 2y 4 no ponto 12 1 28 Determine as equações do plano tangente e reta normal à superfície dada no ponto dado a 2xyz 3 em 12 1 3 b z exy z³ 2 em 2 2 1 29 Determine um plano que passe pelos pontos 501 e 103 e que seja tangente à superfície x² 2y² z² 7 30 Uma função diferenciável fxy tem no ponto 11 derivada direcional igual a 3 na direção 3i 4j ou seja na direção do vetor v 34 e igual à 1 na direção 4i 3j Calcule a f11 b fu 11 onde u é o versor de i j Gabarito 1 a 0 b Não existe c Não existe d e e 0 f Não existe g 2 h 0 i Não existe j Não existe k 0 l 0 m π ln 4 2 2 a xy ℝ² x²3 y²2 1 b xy ℝ² x² y² 1 c xy ℝ² x 0 e y 0 d xy ℝ² x² y² 1 e x y e ℝ² 00 f ℝ² g ℝ² 3 Sim Pois limxy00 fxy f00 4 m 0 faz f ser contínua em 00 5 a fxxy 2x³ 1 x² y² 2x ln1 x² y² e fyxy 2y x² 1 x² y² b fxxy y x² y² y 0 e fyxy x x² y² y 0 c zx sin ycosx² y² 2x² sinx² y² cos²x² y² e zy x cos y cosx² y² 2xy sin y sinx² y² cos²x² y² d wx y cosx z xy sinx z cos²x z 2x x² y² z² wy x cosx z 2y x² y² z² wz xy sinx z cos²x z 2z x² y² z² 6 gx11 4 e gy11 4 7 Só para verificar a igualdade encontrar zx e zy e substituir na expressão e verificar a igualdade 8 Usar teorema fundamental do cálculo Regra da Cadeia de uma variável quando necessário a fxxy 2xex²y²² e fyxy 2yex²y²² b fxxy 2xex⁴ e fyxy 2yey⁴ c fxxy 2x1 ex²y² 1 exy e fyxy 2y1 ex²y² 1 exy d fxxy x sinx² yx sint² dt e fyxy x siny² 9 4xy² 2 sinxy 8y K uma constante qualquer 10 a 4 b 8 c 16 11 a 8 b 8 c 8 12 Mostrar que a função é diferenciável em todo seu domínio Fixado x e y calcule suas derivadas parciais e mostre que aquele limite é 0 usando a notação h e k com h e k tendendo a zero 13 fx23 18 2 cos29 9 27e² fx01 1 fy11 4 cos1 31 e fy11 4 cos1 31 1e 14 a fxxxy 6y3 fxyxy fyxxy 4 18xy2 fyyxy 18x2 y b fxxxy 4x cos2x 3y 4 sin2x 3y fxyxy fyxxy 6x cos2x 3y 2 sin2x 3y fyyxy 6x cos2x 3y c fxxxy yx3 xy 0 fxyxy fyxxy 12x2 xy 0 fyyxy 1y3 xy 0 d fxxxy y2 1exy sinx y 2yexy cosx y fxyxy fyxxy xyexy sinx y x yexy cosx y 2y fyyxy x2 1exy sinx y 2xexy cosx y 2x e fxxxy 2xy31 x2 y22 eyx fxyxy fyxxy 1 x2 y21 x2 y22 eyx fyyxy 2yx31 x2 y22 eyx 15 a R2 b R2 00 16 a Plano tangente z 9x 8y Reta normal xyz 222 λ981 λ R b Plano tangente z x2 y π4 2 Reta normal xyz 212π4 λ12 1 1λ R 17 z x2 3y 32 18 Encontrar plano tangente genérico e substituir 000 no lugar de xyz 19 a dz x1 x 2y2 arctanx 2y dx 2x1 x 2y2 dy b dz 2t es² t² dt 2s es² t² ds 20 a dz dx2 dy12 b z 29967 c Δz 0049167 21 Δz 0074 22 a fxy 2xy ln 2 2xy ln 2 b fxyz yzx2 y2 xzx2 y2 arctanxy 23 Usar regra da cadeia 24 2x 5y 10z 37 0 25 Sim Usar teorema das funções implícitas considerando algum ponto em que a derivada parcial em y da equação nesse ponto é diferente de 0 Calcular também a derivada 26 Pode ser a reta tangente 2x y 3 ou 2x y 3 27 4x y 3 0 28 a Reta tangente 6x 3y z 9 0 Reta normal xyz 1213 λ631 λ R b Reta tangente x y 4z 4 0 Reta normal xyz 221 λ114 λ R 29 Pode ser o plano tangente x 2y 2z 7 0 ou x 2y 2z 7 0 30 a f11 13 b fu 11 22