Lista de Exercícios - Cálculo B - Derivadas Parciais e Funções Diferenciáveis

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA UFBA INSTITUTO DE MATEMATICA E ESTATISTICA DISCIPLINA MATA03 CALCULO B LISTA 3 Derivadas parciais e funcoes diferenciaveis 1 Determine as derivadas parciais da funcao a fx y x2 3xy xye2y b fx y arctgx y c z xy x2 y2 d z ex2y2 e w lnts t s 2 As derivadas parciais ocorrem em equacoes diferenciais parciais que exprimem certas leis fısicas Por exemplo a equacao diferencial parcial uxx uyy 0 e denominada equacao de Laplace em homenagem a Pierre Laplace 17491827 As solucoes dessa equacao sao chamadas funcoes harmˆonicas e sao muito importantes no estudo de conducao de calor escoamento de fluidos e potencial eletrico Determine se cada uma das seguintes funcoes e solucao da equacao de Laplace a u x2 y2 b u x2 y2 c u x3 3xy2 d u lnx2 y2 e u ex cos y ey cos x f u ex sen y 3 A temperatura em um ponto x y de uma chapa de metal e dada por Tx y 601 x2 y2 onde T e medido em C e x y em metros Determine a taxa de variacao da temperatura no ponto 1 2 com relacao a x e com relacao a y 4 A equacao da onda utt a2uxx descreve o movimento de uma onda que pode ser do mar de som luminosa ou se movendo em uma corda vibrante Por exemplo se ux t representa o deslocamento da corda vibrante de violino no instante t e a distˆancia x de uma das extremidades da corda como na Figura 8 entao ux t satisfaz a equacao da onda A constante a depende da densidade da corda e da tensao aplicada nela Verifique que a funcao ux t senxat satisfaz a equacao da onda 5 A energia cinetica de um corpo com massa m e velocidade v e Km v 1 2mv2 Verifique que K m 2K v2 K 1 6 O índice de sensação térmica W é a temperatura sentida quando a temperatura real é T C e a velocidade do vento é v kmh Portanto podemos escrever W fTv A função que modela o índice é tal que WT0621503965v016 Quando v 30 kmh quanto você espera que a temperatura aparente caia se a temperatura real decrescer em 1 ºC 7 Considere a função dada por fxy x³y²x²y² se xy00 0 se xy00 Determine fx00 e mostre que fy00 não existe 8 Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função a fxyx⁴3x²y³ b fxyxxy c fxyeʸ sen x 9 Verifique que se fxyarctgyx então ²fx² ²fy²0 10 Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto P Justifique a fxyeˣ cosxy P00 b fxyarctgx2y P10 c fxy x²y²x²y² se xy00 0 se xy00 P00 d fxyx²y² P00 11 Considere a função dada por fxyxy Determine o conjunto dos pontos onde f não é diferenciável 12 Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto P a fxy4x²2y² P11 b fxyln2xy P13 13 Seja fxyx²y² Determine a equação de um plano que é paralelo ao plano z2xy e tangente ao gráfico da fxy 14 Considere a função fxycosx²y² Suponha que zgxy representa a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 0π1 Determine g01 15 Considere a função fxy1arctgxy0 3x²y Determine o plano tangente ao gráfico de f no ponto 11 16 Verifique a aproximação linear em 00 a 2x34y1 32x12y b ycos²x 112 y 17 Seja f R² R uma função que admite as derivadas parciais em todos os pontos de R² Suponha que existe x₀y₀ tal que fxy fx₀y₀ para todo xy R² Mostre que fx x₀y₀ 0 fy x₀y₀ 18 Decida se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa e justifique sua resposta existe uma função f R² R tal que fx xy x cos y and fy xy x² para todo xy R² Dica use o teorema de ClairautSchwarz 19 Considere a função fxyarctgx²y² a Determine o domínio de f b Determine em quais pontos do domínio a função f é diferenciável c Encontre todos os pontos x₀y₀ do domínio de f para os quais o plano tangente ao gráfico de f no ponto x₀y₀fx₀y₀ é paralelo ao plano xy 20 Calcule o limite limxy00 arctgxyxyx²y² 21 Seja f R² R uma função de classe C² e assuma que a função derivada parcial fx é de classe C² Use o teorema de ClairautSchwarz para concluir que ²x² fy y ²fx² Contraexemplos 1 Função diferenciável que não é de classe C¹ Considere a função fxy x²y² sen1x²y² se xy 00 0 se xy 00 Mostre que a as derivadas parciais fx fy não são contínuas em 00 b f é diferenciável em 00 2 Exemplo de função em que ²fxy ²fyx Considere a função fxy xy x²y²x²y² se xy 00 0 se xy 00 Prove que a fx0yy para y0 b fyx0x para x0 c ²fxy00 ²fyx00 d as derivadas parciais ²fxy ²fyx não são contínuas em 00 3 Exemplo de função que admite derivadas parciais mas não é diferenciável Considere a função fxy xyx²y² se xy 00 0 se xy00 Mostre que fx00 0 fy00 e f não é diferenciável 00 5 GABARITO Derivadas parciais e funcoes diferenciaveis 2 a 5 4 b 17 7 f x0 0 1 6 1 304 C 12 a x 2y z 4 b 2x y z 1 13 z 2x y 5 4 20 0 19 a R2 b R2 c 0 0 11 x y y x