Transformada de Laplace: Introdução, Funções Usuais e Propriedades

Aula do dia 16082023 ATC ASSUNTO INTRODUÇÃO A TRANSFORMADA DE LAPLACE Revisão de algumas funções usuais Definição de Transformada de Laplace Transformada de Laplace da função impulso Transformada de Laplace da função identidade Tabela de transformadas de Laplace Propriedades das Transformadas de Laplace Resolução de exercícios Revisão de algumas funções FUNÇÃO IDENTIDADE FUNÇÃO INVERSA FUNÇÃO DEGRAU FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO FUNÇÃO IMPULSO FUNÇÃO IDENTIDADE É uma função que irá receber o mesmo valor da variável ft t Ex Para t 0 ft 0 Para t 1 ft 1 Para t 2 ft 2 Para t 2 ft 2 Para t ft Graficamente temos ft t 0 1 2 2 1 0 FUNÇÃO IDENTIDADE É uma função que irá receber o mesmo valor da variável ft t Ex lim 𝑓𝑡 0 𝑡0 lim 𝑓𝑡 1 𝑡1 lim 𝑓𝑡 2 𝑡2 lim 𝑓𝑡 𝑡 FUNÇÃO INVERSA É uma função que irá receber o valor inverso da variável Ex Para t 0 ft Indeterminado Para t 1 ft 1 Para t 2 ft 05 Para t 2 ft 05 Para t 4 ft 025 Para t ft 0 𝟏 𝒇 𝒕 OU 𝒇 𝒕 𝒕 𝟏 FUNÇÃO INVERSA É uma função que irá receber o valor inverso da variável Ex lim 𝑓𝑡 𝑡0 lim 𝑓𝑡 1 𝑡1 lim 𝑓𝑡 05 𝑡2 lim 𝑓𝑡 0 𝑡 𝟏 𝒇 𝒕 OU 𝒇 𝒕 𝒕 𝟏 FUNÇÃO DEGRAU É uma função que irá assumir um valor constante quando a variável for positiva ou nula E recebe valor zero quando a variável for negativa Graficamente temos 𝟎 𝐟 𝐭 𝑨 𝒕 𝟎 𝒕 𝟎 ft FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO É uma função que irá assumir um valor constante 1 quando a variável for positiva ou nula E recebe valor zero quando a variável for negativa Graficamente temos 𝟎 𝐟 𝐭 𝟏 𝒕 𝟎 𝒕 𝟎 ft 1 FUNÇÃO IMPULSO É uma função que irá assumir um valor infinito no instante zero E recebe valor zero quando a variável for diferente de zero Graficamente temos INTRODUÇÃO A TRANSFORMADA DE LAPLACE Operador Laplaciano 𝑒𝑆𝑡 Ex Aplicar o operador Laplaciano em uma função qualquer ft SOLUÇÃO ft𝑒𝑆𝑡 Dominio doTempo Eq Diferenciais Domínio de Laplace Eq Algébricas INTRODUÇÃO A TRANSFORMADA DE LAPLACE TL O MÉTODO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE SUBSTITUI A SOLUÇÃO MAIS DIFÍCIL DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PELA SOLUÇÃO MAIS FÁCIL DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS INTRODUÇÃO A TRANSFORMADA DE LAPLACE TL COMO OS SISTEMAS REAIS SÃO ALTAMENTE COMPLEXOS E LARGAMENTE INTERCONECTADOS E O USO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE PERMITE A MANIPULAÇÃO DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS AO INVÉS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE TL 𝐿 𝑓 𝑡 A transformada de Laplace da função ft é dada por 𝑓 𝑡 𝑒𝑆𝑡 𝑑𝑡 𝐹𝑆 0 EXERCÍCIO OBTENHA A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO DEGRAL EXERCÍCIOSOLUÇÃO OBTENHA A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO DEGRAU SOLUÇÃO A função degrau é definida por Aplicar a definição da TL 0 f t 𝐴 𝑡 0 𝑡 0 𝐿 𝑓 𝑡 𝑓 𝑡 𝑒𝑆𝑡 𝑑𝑡 0 Substituir a função ft na expressão da definição da TL 𝐿 𝑓 𝑡 𝐴 𝑒𝑆𝑡 𝑑𝑡 0 A Definição da TL considera apenas valores maiores ou iguais a zero para essa condição a função ftA EXERCÍCIOSOLUÇÃO Colocar a constante A para fora da integral Realizar a integração da função exponencial 𝑒𝑆𝑡 em relação a t 𝐿 𝑓 𝑡 𝐴 0 𝑒𝑆𝑡 𝑑𝑡 𝐿 𝑓 𝑡 𝐴 0 𝑒𝑆𝑡 𝑑𝑡 𝐴 𝑒𝑆 𝑡 𝑆 t 0 t Como S é constante coloca fora da expressão 𝐿 𝑓 𝑡 𝑆 𝐴 𝑒𝑆𝑡 𝑆 𝑡 𝑡𝑜 t 𝐴 lim 𝑒𝑆𝑡 lim 𝑒𝑆𝑡 t 0 A integral de uma função exponencial é a própria função exponencial dividido pela derivada do expoente EXERCÍCIOSOLUÇÃO Para resolver a integral aplicamos o limite da função quando a variável tende ao valor superior menos o limite quando a variável tende ao valor inferior 𝐿 𝑓 𝑡 𝑆 𝐴 𝑒𝑆𝑡 𝑆 𝑡 𝑡𝑜 t 𝐴 lim 𝑒𝑆𝑡 lim 𝑒𝑆𝑡 t 0 𝑆 𝑡 𝑡𝑜 𝐿 𝑓𝑡 𝐴 lim 𝑒𝑆𝑡 lim 𝑒𝑆𝑡 𝐿 𝑓 𝑡 𝑆 𝑡 𝑒𝑆𝑡 𝑡𝑜 𝑒𝑆 𝑡 𝐴 lim 1 lim 1 𝐿 𝑓 𝑡 𝑆 𝑡 𝑒𝑆𝑡 𝑡𝑜 𝑒𝑆 𝑡 𝐴 lim 1 lim 1 0 1 Passamos a função exponencial para o denominador Calculamos os limites para função exponencial inversa EXERCÍCIOSOLUÇÃO 𝐿 𝑓 𝑡 𝑆 𝑡 𝑒𝑆𝑡 𝑡𝑜 𝑒𝑆 𝑡 𝐴 lim 1 lim 1 0 1 𝐿 𝑓 𝑡 𝑆 𝐴 0 1 𝐿 𝑓 𝑡 𝑆 𝐴 1 𝐿 𝑓 𝑡 𝐴 𝐹 𝑆 𝐴 Transformada de Laplace da função degrau EXERCÍCIOSOLUÇÃO 𝐿 𝑓 𝑡 𝐴 𝐹 𝑆 𝐴 Transformada de Laplace da função degrau Para função degrau unitário temos A1 logo a TL da função Degrau unitário vale 1 Transformada de Laplace da função degrau unitário Transformada de Laplace da função impulso Definição da função impulso Graficamente temos e Transformada de Laplace da função impulso Definição da função impulso 1 A Fazendo a 0 Por definição a área 1 1 A ABase x Altura1 1 ABase x Altura 𝑎 𝑎 1 Transformada de Laplace da função impulso TL da função impulso Aplicando a definição de TL temos Logo 0 Transformada de Laplace da função identidade t Definição da Função identidade ft t ft Tabela de Transformada Laplace ft Fs 1 Impulso unitário δt 1 2 Degrau unitário lt 1s 3 t 1s² Tabela de Transformada Laplace 4 tn1n1 n123 1sn 5 tn n123 nsn1 6 eat 1sa 7 t eat 1sa² 8 1n1 tn1 eat n123 1san 9 tn eat n123 n san1 Tabela de Transformada Laplace 10 sen ωt ω s² ω² 11 cos ωt s s² ω² 12 senh ωt ω s² ω² 13 cosh ωt s s² ω² Tabela de Transformada Laplace 14 1a 1 eat 1ssa 15 1ba eat ebt 1sasb 16 1ba bebt aeat ssasb 17 1ab 1 1ab beat aebt 1ssasb Tabela de Transformada Laplace 18 1a2 1 eat ateat 1ssa2 19 1a2 at 1 eat 1s2sa 20 eat senωt ωsa2 ω2 21 eat cosωt sasa2 ω2 22 ωn1ζ2 eζωn t senωn1ζ2t ωn2s2 2ζωn s ωn2 23 1 eζωn t cosωn1ζ2 t ξωnωn1ζ2 senωn1ζ2 t ωn2s2 2ζωn s ωn2 1s Propriedades das Transformadas de Laplace 𝐿 α𝑓1 𝑡 β𝑓2𝑡 Supor que 𝐿 𝑓 𝑡 𝐹𝑆 PROPRIEDADE 1 Linearidade 0 α𝑓1 𝑡 𝑒𝑆𝑡𝑑𝑡 𝑡 𝑒𝑆𝑡𝑑𝑡 α𝑓1 𝑡 β𝑓2 𝑡 𝑒𝑆𝑡𝑑𝑡 0 β𝑓2 0 α 0 𝑓1 𝑡 𝑒𝑆𝑡𝑑𝑡 β 𝑓2 𝑡 𝑒𝑆𝑡𝑑𝑡 0 α 𝐹1 𝑆 β 𝐹2 𝑆 É linear pois os ganho aplicados na entrada são refletidos de forma equivalente na saída Propriedades das Transformadas de Laplace Supor que 𝐿 𝑓 𝑡 𝐹𝑆 PROPRIEDADE 2 𝑑 𝑑 𝑡 𝐿 𝑓 𝑡 𝑆 𝐹 𝑆 𝑓0 PROPRIEDADE 3 𝑑2 𝑑𝑡 2 𝐿 𝑓 𝑡 𝑆2 𝐹 𝑆 𝑆 𝑓 0 𝑑 𝑡 𝑓 0 EXERCÍCIO CONSIDERANDO O SINAL DE ACIONAMENTO ut DADO ABAIXO CALCULE SUA TRANSFORMADA DE LAPLACE RESOLUÇÃO Observando o gráfico a função ut assume 3 valores no tempo 1 u 𝑡 1 2 0 𝑡 1 1 𝑡 2 2 𝑡 RESOLUÇÃO 1 0 𝑡 1 u 𝑡 1 1 𝑡 2 2 2 𝑡 Aplicar a definição de transformada de Laplace para ut 𝑢 𝑡 𝑒𝑆𝑡𝑑𝑡 0 𝑢 𝑡 𝑒𝑆𝑡𝑑𝑡 1 2 𝑢 𝑡 𝑒𝑆𝑡𝑑𝑡 𝑢 𝑡 𝑒𝑆𝑡𝑑𝑡 0 1 2 RESOLUÇÃO 1 0 𝑡 1 u 𝑡 1 1 𝑡 2 2 2 𝑡 Substituir cada valor de ut correspondente ao seu intervalo 𝑢 𝑡 𝑒𝑆𝑡𝑑𝑡 1 2 𝑢 𝑡 𝑒𝑆𝑡𝑑𝑡 𝑢 𝑡 𝑒𝑆𝑡𝑑𝑡 0 1 21 2 1 𝑒𝑆𝑡𝑑𝑡 1 𝑒𝑆𝑡𝑑𝑡 2 𝑒𝑆𝑡𝑑𝑡 0 1 2 1 2 1 𝑒𝑆𝑡𝑑𝑡 1 𝑒𝑆𝑡𝑑𝑡 2 𝑒𝑆𝑡𝑑𝑡 0 1 2 RESOLUÇÃO 𝑒𝑆𝑡𝑑 𝑡 1 2 1 𝑒𝑆𝑡𝑑𝑡 1 𝑒𝑆𝑡𝑑𝑡 2 0 1 2 Aplicar a integral da função exponencial no intervalo de integração Sabemos que a integral da função exponencial equivale a própria função exponencial dividido pela derivada do expoente 𝑆𝑡 1 𝑒 𝑆 𝑆𝑡 1 𝑒 𝑆 𝑒𝑆 𝑡 2 𝑆 0 1 2 1 2 RESOLUÇÃO 𝑆𝑡 1 𝑒 𝑆 𝑆𝑡 1 𝑒 𝑆 𝑒𝑆 𝑡 2 𝑆 1 0 1 Simplificando a expressão acima temos 2 2 1 𝑒𝑆𝑡 𝑆 𝑆 𝑆 2 𝑒𝑆𝑡 1 𝑒𝑆𝑡 0 1 1 2 2 1 𝑆 𝑒𝑆 𝑒0 1 𝑒2𝑆 𝑒𝑆 2 𝑒 𝑒2𝑆 Aplicar os intervalos de integração valor superior valor inferior RESOLUÇÃO 1 𝑆 𝑒𝑆 𝑒0 1 𝑒2𝑆 𝑒𝑆 2 𝑒 𝑒2𝑆 Simplificando a expressão temos 1 0 1 𝑆 𝑒𝑆 1 1 𝑒2𝑆 𝑒𝑆 2 0 𝑒2𝑆 1 𝑆 𝑆 𝑒𝑆 1 1 𝑒2𝑆 𝑒𝑆 2𝑒2 𝑆 Logo a TL de ut é US expresso a abaixo 𝑈𝑆 1 𝑆 𝑒𝑆 1 1 𝑒2𝑆 𝑒𝑆 2 𝑒 2 𝑆 TDE 1 Obter a transformada de Laplace para as seguintes funções a Função impulso b ft t c ft at d ft t² TDE 2 80 50 Ft t Aplicar a TL para a função representada no gráfico Temperatura de uma caldeira que é aquecida a uma temperatura de 50 grau até 10min e após esse tempo o aquecimento é realizado a uma temperatura de 80 graus 10