Cálculos de Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Uma fábrica de carro deseja realizar um teste com o seu novo lançamento A empresa levou o carro para uma pista teste para que verificassem a qualidade de alguns elementos específicos O modelo da pista seguia uma trajetória retilínea O teste seria para verificar Se o carro consegue realizar o percurso sobre a reta demarcada na pista sem desviar da trajetória Se o carro consegue realizar o triplo do percurso na marcha ré nessa mesma reta Analisando a situação detalhada acima e diante do contexto exposto ao longo de nossa disciplina proponha uma simulação para o carro que será testado a Proponha as coordenadas dos pontos A ponto de partida do carro b B ponto de chegada pertencentes ao plano bidimensional b Determine o vetor do espaço vetorial R² que representa o percurso AB c Determine o vetor que representa o percurso 3BA Percurso na marcha ré d Determine o comprimento do vetor AB em metros e Represente por meio de um plano cartesiano os vetores dos itens b e c f Determine as equações vetorial paramétricas e simétricas da reta que representa a trajetória do percurso AB Para tal utilize como vetor diretor o vetor encontrado no item b OBS Pode ser utilizado o ponto A ou B para a determinação das equações das retas Após realizar suas reflexões elabore um pequeno texto contendo o máximo de 15 linhas expondo sua argumentação acerca do solicitado Resolução a Considere A e B pontos do plano bidimensional cujas coordenadas são 43 e 86 respectivamente Considere o ponto A o ponto de partida do carro e o ponto B o ponto de chegada do carro b O vetor que representa o percurso do carro de A para B é obtido subtraindo as coordenadas 𝐴𝐵 𝐵 𝐴 8 6 4 3 4 3 c O percurso na marcha ré significa que o carro retorna e percorre três vezes o vetor BA que tem o sentido contrário do vetor AB 𝐵𝐴 𝐴 𝐵 4 3 8 6 4 3 Assim para calcular 3BA basta multiplicar o vetor BA pelo escalar 3 3𝐵𝐴 3 4 3 12 9 d O comprimento do vetor AB é dado pela distância entre A e B calculada pela fórmula 𝑑𝐴 𝐵 𝑥𝑏 𝑥𝑎² 𝑦𝑏 𝑦𝑎² Assim 𝑑𝐴 𝐵 8 4² 6 3² 𝑑𝐴 𝐵 4² 3² 25 5 𝑚 e Os pontos e vetores podem ser representados graficamente no plano cartesiano O vetor AB sai de A43 até B86 O vetor 3BA parte de B86 até A43 com o triplo do comprimento do vetor AB f Para obtermos a equação vetorial da reta escolhemos um ponto e um vetor diretor Nesse caso o ponto A e como vetor diretor AB 𝑟 𝐴 𝑡 𝐴𝐵 4 3 𝑡4 3 𝑡 ϵ 𝑅 A equação paramétrica é obtida separando as coordenadas 𝑥 4 4𝑡 𝑦 3 3𝑡 Para obter a equação simétrica eliminamos o parâmetro das equações anteriores e 𝑡 𝑥4 4 𝑡 𝑦3 3 Assim a equação na forma simétrica é dada por 𝑥4 4 𝑦3 3 Conclusão Uma empresa automobilística realizou um teste para avaliar o desempenho de seu novo modelo em uma pista reta O objetivo era verificar se o carro conseguia seguir a trajetória sem desvios e se era capaz de retornar em marcha ré percorrendo uma distância três vezes maior do que a inicial Para essa avaliação foi utilizado um plano bidimensional onde o ponto A 43 foi tomado como o ponto de partida e o ponto B 86 como o ponto de chegada O vetor AB representa o deslocamento do veículo e calculado a partir da diferença entre as coordenadas dos pontos resultando em AB 43 No retorno o carro seguiu na direção oposta representada pelo vetor BA e ao multiplicálo por 3 obtevese 3BA 12 9 Isso indica que o veículo percorreu um trajeto três vezes maior no sentido contrário ao percurso inicial Para determinar a distância entre os pontos A e B utilizouse a fórmula da distância entre dois pontos no plano obtendose um valor de 5 metros Já no deslocamento em marcha ré o percurso foi de 15 metros totalizando um teste de 20 metros sendo 5 na ida e 15 na volta A trajetória do carro pode ser descrita por diferentes equações matemáticas a qual pode ser representada nas formas vetorial paramétrica e simétrica A partir do ponto inicial e do vetor diretor 43 essas equações foram formuladas para garantir que o veículo seguiu corretamente o percurso e cumpriu o requisito de deslocamento em marcha ré Referências Anton Howard Rorres Chris Álgebra Linear com Aplicações 11ª edição Bookman 2019 Steinbruch Alfredo Winterle Paulo Geometria Analítica McGrawHill Brasil 1991 Resolução a Considere A e B pontos do plano bidimensional cujas coordenadas são 43 e 86 respectivamente Considere o ponto A o ponto de partida do carro e o ponto B o ponto de chegada do carro b O vetor que representa o percurso do carro de A para B é obtido subtraindo as coordenadas ABBA864343 c O percurso na marcha ré significa que o carro retorna e percorre três vezes o vetor BA que tem o sentido contrário do vetor AB BAAB4 3864 3 Assim para calcular 3BA basta multiplicar o vetor BA pelo escalar 3 3BA34 3129 d O comprimento do vetor AB é dado pela distância entre A e B calculada pela fórmula d A B Assim d A B e Os pontos e vetores podem ser representados graficamente no plano cartesiano O vetor AB sai de A43 até B86 O vetor 3BA parte de B86 até A43 com o triplo do comprimento do vetor AB f Para obtermos a equação vetorial da reta escolhemos um ponto e um vetor diretor Nesse caso o ponto A e como vetor diretor AB rAt AB43t43t ϵ R A equação paramétrica é obtida separando as coordenadas x44t y33t Para obter a equação simétrica eliminamos o parâmetro das equações anteriores t x4 4 e t y3 3 Assim a equação na forma simétrica é dada por x4 4 y3 3 Conclusão Uma empresa automobilística realizou um teste para avaliar o desempenho de seu novo modelo em uma pista reta O objetivo era verificar se o carro conseguia seguir a trajetória sem desvios e se era capaz de retornar em marcha ré percorrendo uma distância três vezes maior do que a inicial Para essa avaliação foi utilizado um plano bidimensional onde o ponto A 43 foi tomado como o ponto de partida e o ponto B 86 como o ponto de chegada O vetor AB representa o deslocamento do veículo e calculado a partir da diferença entre as coordenadas dos pontos resultando em AB 43 No retorno o carro seguiu na direção oposta representada pelo vetor BA e ao multiplicálo por 3 obtevese 3BA 12 9 Isso indica que o veículo percorreu um trajeto três vezes maior no sentido contrário ao percurso inicial Para determinar a distância entre os pontos A e B utilizouse a fórmula da distância entre dois pontos no plano obtendose um valor de 5 metros Já no deslocamento em marcha ré o percurso foi de 15 metros totalizando um teste de 20 metros sendo 5 na ida e 15 na volta A trajetória do carro pode ser descrita por diferentes equações matemáticas a qual pode ser representada nas formas vetorial paramétrica e simétrica A partir do ponto inicial e do vetor diretor 43 essas equações foram formuladas para garantir que o veículo seguiu corretamente o percurso e cumpriu o requisito de deslocamento em marcha ré Referências Anton Howard Rorres Chris Álgebra Linear com Aplicações 11ª edição Bookman 2019 Steinbruch Alfredo Winterle Paulo Geometria Analítica McGrawHill Brasil 1991