Exercícios Resolvidos - Vetores e Equações da Reta no Teste de Trajetória Automotiva

1 Para começar utilizando os conceitos estudados nas unidades analise a seguinte problemática Uma fábrica de carro deseja realizar um teste com o seu novo lançamento A empresa levou o mesmo para uma pista teste para que verificassem a qualidade de alguns elementos específicos O modelo da pista seguia uma trajetória retilínea O teste seria para verificar 2 Analisando a situação detalhada acima e diante do contexto exposto ao longo de nossa disciplina proponha uma simulação para o que será testado através do seu texto argumentativodissertativo e responda aos seguintes itens a Proponha as coordenadas dos pontos A ponto de partida do carro e B ponto de chegada pertencentes ao plano bidimensional b Determine o vetor do espaço vetorial R² que representa o percurso AB c Determine o vetor que representa o percurso 2BA Percurso na marcha ré d Determine o comprimento do vetor AB em metros AB e Represente por meio de um plano cartesiano os percursos realizados nos itens b e c f Determine as equações vetorial paramétricas e simétricas da reta que representa a trajetória que o carro deveria seguir Para tal utilize como vetor diretor o vetor encontrado no item b a As coordenadas dos pontos A e B podem ser escolhidas arbitrariamente se estiverem em uma reta marcada na pista de teste podemos escolher A 00 e B 1000 onde as unidades representam metros b Para determinar o vetor trajetória AB PODEMOS as coordenadas de B das coordenadas de A AB B A 1000 00 1000 sendo assim o vetor caminho AB é 1000 c Para determinar o vetor trajetória 2BA basta multiplicar o vetor AB por 2 e inverter seu sentido 2𝐵𝐴 2𝐴𝐵 21000 2000 d Para calcularmos o comprimento do vetor AB podemos utilizar a norma 𝐴𝐵 𝑠𝑞𝑟𝑡1002 02 100 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 e Podemos representar as trajetórias AB e 2BA no plano cartesiano onde o eixo x representa a distância percorrida em linha reta e o eixo y é zero porque a trajetória é reta Então nós temos 2BA começa em 1000 e termina em 1000 sendo AB o contrário f A equação vetorial da reta que representa a trajetória que o carro deve percorrer é r𝑡 𝐴 𝑡 𝐴𝐵 onde A é o vetor posição do ponto inicial 00 AB é o vetor trajetória encontrado em b at é um parâmetro que varia de 0 a 1 para percorrer todo o percurso Substituindo os valores temos 𝑟𝑡 00 𝑡1000 100𝑡 0 As equações paramétricas da linha são x 100t e y 0 onde x representa a distância percorrida na linha e y é zero As equações simétricas da linha são x100 y0 o que simplifica para x 0 Isso significa que a linha é paralela ao eixo y e passa pelo ponto 00 Começamos com as coordenadas dos pontos A e B Como a fábrica quer testar o carro em uma pista reta podemos escolher qualquer reta na pista de teste Vamos imaginar uma reta horizontal que vai do ponto A ao ponto B Como estamos trabalhando com um plano bidimensional podemos escolher A como origem 00 e B como qualquer ponto da reta por exemplo 100 0 Observe que medimos as coordenadas em metros mas poderíamos usar qualquer outra unidade de medida O vetor caminho AB pode ser encontrado subtraindose as coordenadas de B das coordenadas de A Como A é a origem seu vetor posição é o vetor zero 00 Portanto temos 𝐴𝐵 𝐵 𝐴 1000 00 1000 Este vetor representa o caminho do ponto A ao ponto B Para encontrar o vetor que representa a trajetória 2BA basta multiplicar o vetor AB por 2 e inverter seu sentido Portanto temos 2𝐵𝐴 2𝐴𝐵 21000 2000 Este vetor representa o caminho de retorno do ponto B ao ponto A com a marcha à ré engatada O comprimento do vetor AB pode ser encontrado usando a fórmula 𝐴𝐵 𝑠𝑞𝑟𝑡1002 02 100 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 Este valor representa a distância percorrida pelo carro do ponto A ao ponto B Para representar caminhos em um plano cartesiano podemos usar o eixo x para representar a distância percorrida em uma linha reta e o eixo y para representar a altura que no nosso caso é zero porque o caminho é reto Assim o caminho AB começa em 00 e termina em 1000 enquanto o caminho 2BA começa em 1000 e termina em 1000 Finalmente para encontrar a equação da reta que representa a trajetória que o carro deve seguir podemos usar uma equação vetorial paramétrica ou simétrica da reta A equação vetorial é 𝑟𝑡 𝐴 𝑡 𝐴𝐵 onde A é o vetor posição do ponto inicial 00 AB é o vetor caminho e t é um parâmetro que varia de 0 a 1 para percorrer todos caminhos Substituindo os valores temos 𝑟𝑡 00 𝑡1000 100𝑡 0 Esta equação representa uma reta que começa no ponto 00 e vai na direção do vetor AB As equações paramétricas da linha são x 100t e y 0 onde x representa a distância percorrida na linha e y é zero Estas equações nos permitem encontrar as coordenadas de qualquer ponto na linha com o valor de t As equações simétricas da linha são x100 y0 o que simplifica para x 0 Isso significa que a linha é paralela ao eixo y e passa pelo ponto 00 Referências Livro Álgebra Vetorial e Geometria Analítica Jacir J Venturi 29 Livro Retas e Planos Geometria Analítica 7 CARDOSOMFERREIRAS CABRALV