Funcoes de Duas Variaveis - Dominio Imagem e Curvas de Nivel

Considerando a função f D R² R dada por fxy364x²4y² faça o que se pede nas questões 1 a 3 15 1 Sobre o seu domínio D faça o que se pede A Determineo algebricamente B Descreva a região do plano por ele indicada C Agora representeo graficamente 05 2 Determine também algebricamente sua imagem 10 3 Apresente o seu mapa de contorno contendo pelo menos três das suas curvas de nível 15 4 Usando a definição faça o estudo completo da existência das curvas de nível da função fxy x²25 y²25 15 5 A temperatura em graus Celsius em um dado ponto xy de uma placa de metal plana é dada por Txy 9x² 4y² A Encontre a temperatura no ponto 12 B Encontre a equação da curva ao longo da qual a temperatura tem um valor constante e igual a 36ºC C Esboce a curva obtida no item b anterior 1 fxy 364x²4y² a Vemos que temos uma restrição em que 36 4x² 4y² 0 Simplificando 9 x² y² 0 x² y² 9 Logo o domínio é dado por D xy R x² y² 9 b Vemos que a equação x² y² 9 corresponde a uma circunferência centrada em 00 e de raio 3 c desenho de círculo do domínio dado 2 Sendo fxy364x²4y² sabemos que não podemos ter raiz negativa 36 4x² 4y² 0 então Img R 3 As curvas de nível é dada por C 36 4x² 4y² C² 36 4x² 4y² 36 C² 4x² 4y² Considerando C1 36 1² 4x² 4y² 35 4x² 4y² 354 x² y² c00 R354 295 C2 36 2² 4x² 4y² 32 4x² 4y² 8 x² y² c00 R8 282 C3 36 3² 4x² 4y² 274 x² y² c00 R274 259 3 diagram of concentric circles with labels C1 C2 C3 centered at origin 4 fxy x225 y225 Sabendo que C z x225 y225 onde C R Então todas as curvas de nível terá a forma 25C x2 y2 Onde isso é a equação de circunferência como Origem 00 Radio R 25C 5 Txy 9x2 4y2 a T12 912 422 25C b Como queremos em 36 9x2 4y2 36 Simplificando 9x236 436 y2 3636 x24 y29 1 c Como vemos a equação acima representa uma elipse diagram of an ellipse centered at origin with xaxis labeled 2 to 2 and yaxis labeled 0 to 3