Funções de Várias Variáveis Derivadas Parciais Integrais

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DEPENDÊNCIA EOU ADAPTAÇÃO 20241 Prezadoa alunoa Em 20241 a sistemática de avaliação do regime de dependênciaadaptação será efetuada conforme foi implantado em 20222 O semestre letivo será avaliado com 100 dez pontos assim distribuídos 1 TRABALHO AVALIATIVO COM VALOR DE 100 PONTOS ATENÇÃO os fóruns são os meios oficiais da MULTIVIX e exclusivos para a interação entre o aluno e o docente da disciplina Lembrando que esta metodologia é assíncrona Observação I Os trabalhos deverão ser construídos de acordo com o Manual de Normas Técnicas da Faculdade MULTIVIX que está disponível aos alunos por meio do Portal Acadêmico da Instituição Observação II Oa alunoa cujo trabalho acadêmico esteja incompatível com a ética científica especialmente a apresentação de trabalhos elaborados por terceiros plágio total ou parcial será atribuído nota ZERO ao trabalho sem direito a recurso conforme determina o regimento da MULTIVIX Página 1 de 5 ROTEIRO DE ADAPTAÇÃO EOU DEPENDÊNCIA 20241 Disciplina Cálculo III Professor a Fernanda Matos Oliveira EMENTA Funções de Várias Variáveis Derivadas Parciais Integrais Múltiplas Integrais duplas e triplas Integrais em coordenadas polares cilíndricas e esféricas Cálculo Vetorial Integrais de linha Integrais de superfície de funções reais INDICAÇÃO DA BIBLIOGRAFIA BÁSICA Silva Paulo Sergio Dias D Cálculo Diferencial e Integral Grupo GEN 2017 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrreaderbooks9788521633822 Guidorizzi Hamilton L Um Curso de Cálculo Vol 2 6ª edição Grupo GEN 2018 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrreaderbooks9788521635826 Rogawski Jon et al Cálculo V2 3rd edição Grupo A 2018 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrreaderbooks9788582604588 INDICAÇÃO DA BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR Rogawski Jon et al Cálculo V1 3rd edição Grupo A 2018 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrreaderbooks9788582604601 Anton Howard et al Cálculo v1 10th edição Grupo A 2014 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrreaderbooks9788582602263 Guidorizzi Hamilton L Um Curso de Cálculo Vol 1 6ª edição Grupo GEN 2018 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrreaderbooks9788521635574 Hoffmann Laurence D e Gerald L Bradley Cálculo Um Curso Moderno e suas Aplicações 11ª edição Grupo GEN 2015 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrreaderbooks9788521629092 Ávila Geraldo Severo de S e Luís Cláudio Lopes de Araújo Cálculo Ilustrado Prático e Descomplicado Grupo GEN 2012 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrreaderbooks9788521621287 Página 2 de 5 ORIENTAÇÕES PARA DESENVOLVER O TRABALHO DE DEPENDÊNCIAADAPTAÇÃO 20241 Observações Deverá ser executada preferencialmente em editor de texto em formato pdf Caso seja executado à mão atenção à qualidade da grafia ou da foto anexada penalidades poderão ser aplicadas em detrimento da ilegibilidade Em TODAS as questões abaixo apresente sua resposta com justificativa Não serão consideradas respostas sem justificativas Questão 1 10 ponto Calcule a integral iterada 0 1 0 1 𝑥 𝑦 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Questão 2 10 ponto Determine o volume do sólido limitado pela superfície e pelos planos e 𝑧 1 𝑥 2𝑦 𝑒 𝑦 𝑧 0 𝑥 1 𝑦 0 𝑦 1 Questão 3 10 ponto Calcule a integral colocandoa em 𝐷 𝑥 2𝑦 𝑑𝐴 coordenadas polares Onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5 Questão 4 10 ponto Encontre o volume da região E limitada pelos paraboloides e o cone 𝑧 24 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 𝑥 2 𝑦 2 Questão 5 10 ponto Calcule a integral de linha onde C é a 𝐶 𝑥 𝑦 4 𝑑𝑠 metade direita do círculo 𝑥 2 𝑦 2 16 Questão 6 10 ponto Use o teorema de Green para calcular F r 𝐶 𝑑 Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema Onde F C é o triângulo de a 𝑥 𝑦 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑥𝑦 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 0 0 a a 0 4 2 0 0 0 Questão 7 15 ponto Uma partícula se move ao longo de segmentos de reta da origem aos pontos 1 0 0 1 2 1 0 2 1 e de volta para a origem sob a Página 3 de 5 influência do campo de forças F i j k Encontre o 𝑥 𝑦 𝑧 𝑧 2 2𝑥𝑦 4𝑦 2 trabalho realizado Questão 8 05 ponto Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices 0 0 1 0 e 0 2 se a função densidade for ρ𝑥 𝑦 1 3𝑥 𝑦 a 38 1116 b 37 116 c 18 1116 d 38 18 Questão 9 05 ponto Determine a área da superfície do plano que está no primeiro octante 3𝑥 2𝑦 𝑧 6 a 14 b 3 14 c 3 3 d 14 3 Questão 10 05 ponto Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido que fica acima do cone e abaixo da esfera 𝑧 𝑥 2 𝑦 2 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 𝑧 a 3π8 b 2π c π8 d π2 Questão 11 05 ponto Calcule onde C é a curva triangular 𝐶 𝑥 4𝑑𝑥 𝑥𝑦 𝑑𝑦 constituída pelos segmentos de reta de 0 0 a 1 0 de 1 0 a 0 1 e de 0 1 a 0 0 a 13 b 185 c 72 d 16 Página 4 de 5 Questão 12 05 ponto Use o Teorema de Stokes para calcular a integral F S onde F i j k e S é a parte da esfera 𝑆 𝑟𝑜𝑡 𝑑 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑦 𝑦𝑧 𝑥𝑦 que está dentro do cilindro e acima do plano 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 4 𝑥 2 𝑦 2 1 𝑥𝑦 a 1 b 12 c 0 d 2 Página 5 de 5 Questão 1 Calcule a integral iterada ₀¹ ₀¹ xy² dxdy Solução Temos que ₀¹ ₀¹ xy² dxdy ₀¹ ₀¹ x²2xyy² dxdy ₀¹ x³3 x² y xy²₀¹ dy ₀¹ 13 y y² dy y3₀¹ y²2₀¹ y³3₀¹ 13 12 13 76 Questão 2 Determine o volume do sólido limitado pela superfície z 1 x² yey e pelos planos z 0 x1 y0 e y1 Solução O sólido está limitado inferiormente pelo plano z 0 e superiormente por z 1 x² yey Portanto o volume V é dado por V 1¹ ₀¹ ₀1x² yey dzdydx 1¹ ₀¹ z₀1x² yey dydx 1¹ ₀¹ 1 x² yey dydx 1¹ y x² ey y1₀¹ dx 1¹ 1 x² dx x x³31¹ 1 13 1 13 83 Para calcular a integral em vermelho usamos integração por partes sejam u y e dv ey dy Então du dy v ey e y ey dy y ey ey y ey ey ey y1 C Questão 3 Calcule a integral D x² y dA colocandoa em coordenadas polares onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5 Solução A região D está esboçada na figura abaixo Sejam x r cosθ e y r senθ com 0 r 5 e 0 θ π Então D x² y dA ₀π ₀5 r² cos²θ r senθ r dr dθ ₀π ₀5 r⁴ cos²θ senθ dr dθ ₀π r⁵5 cos²θ senθ₀5 dθ 5⁴ ₀π cos²θ senθ dθ Para resolver a última integral em vermelho consideremos a substituição u cosθ Então du senθ dx e cos²θ senθ dθ u² du u³3 C cos³θ3 C Portanto D x² y dA 5⁴ cos³θ3₀π 12503 Questão 4 Encontre o volume da região E limitada pelos paraboloides z 24 x² y² e o cone z 2 x² y² Solução Começamos visualizando um esboço da região E Sabemos que a mudança de coordenadas retangulares para coordenadas cilíndricas é dada por x r cosθ y r senθ z z com r 0 e θ 0 2π Escrevendo o cone z 2 x² y² em coordenadas cilíndricas temos que z 2 x² y² z 2 r cosθ² r senθ² z 2r Escrevendo o paraboloide em coordenadas cilíndricas temos z 24 r cosθ² r senθ² z 24 r² Segue que 2r z 24 r² e 2r 24 r² r² 2r 24 0 r 6r 4 0 r 4 Logo 0 r 4 e claramente 0 θ 2π assim continua na próxima página C xy4 ds π2π2 4cost 4sent4 4dt 46 π2π2 cost sen4t dt Para resolver a última integral considere a substituição u sent Então du costdt e cost sen4t u4 dt u55 C sen5t5 C Portanto C xy4 ds 46 sen5t5 π2π2 46 15 46 15 2 46 5 8192 5 Questão 6 Use o Teorema de Green para calcular C F dr Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema onde Fx y ycosx xysenx xy xcosx e C é o triângulo de 00 a 04 a 20 a 00 Solução Seja Fx y o campo vetorial dado por Fx y Px y Qx y ycosx xysenx xy xcosx e C a curva simples fechada e contínua por partes delimitando a região triangular D descrita por D x yy 4 2x 0 x 2 está esboçada na figura a seguir Como C está orientada no sentido horário para termos uma orientação positiva vamos considerar a curva C Sendo Py x y cosx xsenx e V E dV 02π 04 2r24r2 r dzdrdθ 02π 01 rz2r24r2 drdθ 02π 01 r24 r2 r2r drdθ 02π 01 24r r3 2r2 drdθ 02π 12r2 r44 2r3301 dθ 02π 12 14 23 dθ 112 02π dθ 112 θ02π π6 Questão 5 Calcule a integral de linha C xy4 ds onde C é a metade direita do círculo x2 y2 16 Solução A curva C está esboçada na figura abaixo e é parametrizada por γt 4cost 4sent π2 t π2 Como ds 4cosθ2 4senθ2 16cos2θ 16sen2θ 16 4 temos que Como a curva foi percorrida no sentido antihorario quando vista de cima temos que γ esta orientada positivamente Alem disso γ e fronteira de uma superfıcie mais precisamente de um plano que denotaremos por S Note que como γ esta orientada positivamente o vetor normal n a superfıcie S esta apontado para cima e portanto S esta orientada positivamente Antes de determinar uma parametrizacao para S precisamos encontrar a equacao desse plano Para isso considere a equacao geral de um plano ax by cz d 0 Como os pontos A B C geram esse plano S eles satisfazem a equacao anterior Entao O0 0 0 a 0 b 0 c 0 d 0 d 0 A1 0 0 a 1 o b 0 c 0 a 0 B1 2 1 b 2 c 1 1 c 2b Segue que 0 x b y 2b z 0 by 2z 0 y 2z 0 Logo a equacao do plano S e y 2z 0 ou equivalentemente z gx y com gx y y 2 ou seja S e dada como o grafico de g Agora vamos parametrizar S Para isso sejam u x e v y Entao y 2z 0 2z y z y 2 z v 2 7 Logo o plano S pode ser parametrizado por σuv uvv2 0 u 1 e 0 v 2 Como S é da forma z gxy y2 temos que o vetor normal n é dado por n gu gv 1 Assim sendo gu0 e gv 12 obtemos que n 0 12 1 Finalmente podemos calcular o trabalho realizado pela partícula aplicando o Teorema de Stokes γ Fdr S rotFnds ₀² ₀¹ 8vv2v0121 dudv ₀² ₀¹ v22v dudv ₀² ₀¹ 3v2 dudv ₀² 3uv2₀¹ dv ₀² 3v2 dv 32 ₀² v dv 32v²2₀² 3 Questão 8 Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices 00 10 e 02 se a função densidade for ρxy 1 3x y Solução Começamos fazendo um esboço da lâmina em questão que denominaremos por R Fixando x temos que 0 x 1 e y varia em função de x de 0 até a reta passando pelos 02 e 10 cuja equação é y 2 2x Assim temos que R é descrita como uma região do tipo I R xy 0 x 1 0 y 2 2x Por definição sabemos que a massa da lâmina é dada por M R ρxy dA ₀¹ ₀²²ˣ 1 3x y dydx ₀¹ y 3xy y²2₀²²ˣ ₀¹ 2 2x 3x2 2x 2 2x²2 dx ₀¹ 2 2x 1 3x 2 2x2 dx ₀¹ 2 2x 2 2x 2 2x2 dx ₀¹ 1 x4 4x dx 4 ₀¹ 1 x² dx 4 x x³3₀¹ 83 Por definição sabemos que o centro de massa x ȳ é dado por M x R x ρxy dydx ₀¹ ₀²²ˣ x1 3x y dydx ₀¹ ₀²²ˣ x 3x² xy dydx ₀¹ xy 3x²y xy²2₀²²ˣ dy ₀¹ x2 2x 3x²2 2x x2 2x²2 dx ₀¹ 2 2x x 3x² x2 2x2 dx ₀¹ 1 x2x 6x² 2x 2x² dx ₀¹ 1 x4x 4x² dx 4 ₀¹ x1 x1 x 4 ₀¹ x x³ dx 4 x²2 x⁴4₀¹ 1 e M ȳ R y ρxy dydx ₀¹ ₀²²ˣ y1 3x y dydx ₀¹ ₀²²ˣ y 3xy y² dydx ₀¹ y²2 3xy²2 y³3₀²²ˣ dx ₀¹ 2 2x²2 3x2 2x²2 2 2x³2 dx ₀¹ 2 2x² 12 3x2 2 2x3 dx ₀¹ 2 2x² 3 9x 4 4x6 dx 46 ₀¹ 1 x³ 5x 7 dx 23 ₀¹ 5x³ 3x² 9x 7 dx 23 5x⁴4 x³ 9x²2 7x₀¹ 23 54 1 92 7 116 Portanto o centro de massa é x ȳ 38 1116 Alternativa a AS D 1 32 22 dy dx 02 03 3x2 14 dy dx 14 02 y 03 3x2 dx 14 02 3 3x2 dx 14 3x 3x24 02 14 6 3 314 Alternativa b Questão 10 Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido que fica acima do cone z x2 y2 e abaixo da esfera x2 y2 z2 z Solução Começamos visualizando um esboço do sólido E que fica acima do cone z x2 y2 e abaixo da esfera x2 y2 z2 z Como temos um esfera e um cone temos uma simetria esférica e portanto utilizar coordenadas esféricas é bastante adequado Sabemos que a relação entre coordenadas esféricas e retangulares é dada por x ρsenϕcosθ y ρsenϕsenθ z ρcosϕ com ρ 0 ϕ 0 π e θ 0 2π Escrevendo o cone z x2 y2 em coordenadas esféricas temos que z x2 y2 ρcosϕ ρ2cos2θsen2ϕ ρ2sen2θsen2ϕ ρcosϕ ρ2sen2ϕ ρcosϕ ρsenϕ Como a origem pertence ao cone temos que ρ 0 Para ρ 0 segue que senϕcosϕ 1 tgϕ 1 ϕ π4 Logo temos que 0 ϕ π4 Claramente o ângulo θ varia de 0 a 2π e para encontrarmos a variação de ρ note que escrevendo a equação da esfera em coordenadas esféricas temos x2 y2 z2 ρcosϕ ρ2 ρcosϕ Como a origem também pertence à esfera temos que ρ 0 Para ρ 0 segue que ρ cosϕ Logo 0 ϕ cosϕ Em resumo o sólido E é descrito em coordenadas esféricas por E ρ θ ϕ 0 ρ cosϕ 0 θ 2π 0 ϕ π4 Portanto o volume V de E é dado por V E dV 02π 0π4 0cosϕ ρ2 senϕ dρ dϕ dθ 02π 0π4 ρ33 senϕ 0cosϕ dϕ dθ 13 02π 0π4 cos3ϕ senϕ dϕ dθ 13 02π cos4ϕ4 0π4 dθ 112 02π 14 1 dθ 116 02π dθ 116 θ 02π π8 Para resolver a integral em vermelho considere a substituição u cosϕ Então du senϕ du e cos3ϕ senϕ dϕ u3 du u44 cos4ϕ4 C Alternativa c Questão 11 Calcule C x4 dx xy dy onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta de 00 a 10 de 10 a 01 e de 01 a 00 Solução Seja Fxy PxyQxy um campo de vetores tais que Questão 9 Determine a área da superfície 3x 2y z 6 que está no primeiro octante Solução Seja S a superfície 3x 2y z 6 e note que S é da forma z gxy com gxy 6 3x 2y Assim temos que a área de S AS é dada por AS D 1 gx2 gy2 dy dx onde D é projeção de S no plano xy No nosso caso temos que gx 3 e gy 2 Note que a interseção de S com o plano xy resulta na reta y 3 3x2 que está esboçada na figura abaixo Fixando x temos 0 x 2 e y varia de 0 até a reta y 3 3x2 Assim D pode ser descrita como uma região de tipo I D xy 0 x 2 0 y 3 3x2 Assim Pxyx4 e Qxy xy com Py 0 e Qx y A curva C delimitando a região triangular D está esboçada na figura abaixo Note que C é uma curva plana simples fechada e contínua por partes Além disso está orientada no sentido antihorário ou seja está orientada positivamente Para descrevermos a região triangular D fixando x temos 0 x 1 e y variando de 0 até a reta y1x Assim D é descrita como uma região de tipo I D xy 0 x 1 0 y 1 x Verificadas todas as hipóteses do Teorema de Green podemos aplicálo no que segue C x4 dx xy dy D Qx Py dydx 01 01x y dydx 01 y²201x dx 12 01 1x² dx 12 01 1 2x x² dx 12 x x² x³301 12 1 1 13 16 Alternativa d Questão 12 Use o Teorema de Stokes para calcular a integral S rotF dS onde Fxyz xyi yzj xyk e S é a parte da esfera x² y² z² 4 que está dentro do cilindro x² y² 1 e acima do plano xy Solução Como temos que utilizar o Teorema de Stokes o primeiro passo é determinar a curva C que é fronteira da superfície S Substituindo x² y² 1 na equação da esfera obtemos z² 1 3 z² 3 z 3 pois S está acima do plano xy portanto z 0 Logo temos que a curva C é o círculo x² y² 1 com z 3 A curva C é círculo centrado na origem com raio 1 contida no plano z 3 Parametrizamos C da forma mais natural seja x cost y sent e z 3 ou seja rt cost sent 3 0 t 2π Em suma temos C uma curva fechada simples contínua orientada positivamente e que é fronteira de uma superfície lisa e orientada S Portanto pelo Teorema de Stokes S rotF dS C F dr 02π Frt rt dt 02π 3 cost 3 sent cost sent sent cost 0 dt 02π 3 cost sent 3 cost sent dt 02π 0 dt 0 Alternativa c