Cálculo III - Sumário e Fórmulas

Calculo III Sumario 1 A Formula de Taylor 5 2 Maximos e mınimos 13 3 O problema de um vınculo 29 4 O problema de dois vınculos 35 5 Transformacoes 39 6 Teorema da Funcao Inversa 51 7 Funcoes Definidas Implicitamente 55 8 Integrais Multiplas 65 9 Apˆendice 103 10 Campos Vetoriais 105 11 Integrais de Linha 109 12 Teorema de Green 133 13 Integrais de Superfıcie 141 14 Fluxo 149 15 Os Teoremas de Gauss e Stokes 153 16 Listas de Exercıcios 163 3 Capıtulo 1 A Formula de Taylor 11 Formula e polinˆomio de Taylor para funcoes de uma variavel Nesta secao recordaremos a formula de Taylor para funcoes de uma variavel como vista em Calculo I Teorema 111 Seja g a b R uma funcao de classe Cn1 e n vezes diferenciavel em a b Entao existe c a b tal que J gn1a n1 gnc n gb ga g ab a n 1 b a n b a Definicao 111 Dada uma funcao f I R definida num intervalo I e n vezes derivavel no ponto a I o polinomio de Taylor de f em a e definido por J f JJa 2 f na n pnx f a f a x a 2 x a n x a Observe que nas condicoes do teorema 111 com b a h temos a seguinte igualdade ga h pn1a h Rnh onde Rnh f nchnn satisfaz limh0 Rnhhn1 0 12 Formula e polinˆomio de Taylor para funcoes de du as variaveis Sejam A R2 um aberto Po xo yo A e h k tal que xo yo th k A para todo 0 t 1 Considere uma funcao f A R de classe Cn1 e a partir dela defina a funcao de uma variavel g 0 1 R dada por gt f xo th yo tk ou seja g e a composta da funcao ϕt xo th yo tk qual a imagem de ϕ com f e portanto tambem e uma funcao de classe Cn1 Podemos assim aplicar o teorema 111 para g e obter a formula 5 n nj j2 2 2 x2 xo yoh 2 xy xo yohk y2 xo yok 2 2 Σ 6 CAPITULO 1 A FORMULA DE TAYLOR de Taylor correspondente usando a 0 e b 1 Entretanto estamos interessados em ver o comportamento do polinˆomio de Taylor de g calculado em t 1 Note que g0 f Po e fazendo uso da regra da cadeia podemos ver que gJ0 f P h f P k JJ 2f x o y 2 2f o 2f 2 g 0 x2 Poh 2 xy Pohk y2 Pok JJJ 3f 3 3f 2 3f 2 3f 3 g 0 x3 Poh 3 x2y Poh k 3 xy2 Pohk y3 Pok gn0 Σ n nf Pohnjkj j0 Deste modo podemos escrever j xnjyj f f f xo h yo k f xo yo x xo yoh y xo yok 1 2f 2 2f 2f 2 1 n nf Pohnjkj Rn1h k onde n j0 j xnjyj Rn1h k 1 Σ n1 n 1 n1f xo ch yo ckhn1jkj n 1 para algum c 0 1 Note que n1f j0 j xn1jyj n1f lim h 0 x k0 n1j yj xo ch yo ck xn1j yj xo yo 11 pois f e de classe Cn1 Alem do mais para 0 j n temos hn1jkj hn1j kj hn1j kj h k h2 k2 h2 k2 h2 nj k2 j 2 2 2 2 2 hn1j kj e para j n 1 hnj kj h hn1jkj kn1 kn1 n n h2 k2 h2 k2 k2 n k n n 2 2 2 x2 xo yox xo 2 xy xo yox xoy yo y2 xo yoy yo Σ 12 FORMULA E POLINOˆMIO DE TAYLOR PARA FUNC OES DE DUAS VARIAVEIS7 Assim para 0 j n 1 temos lim hn1jkj n 0 12 h 0 h2 k2 2 k0 Combinando 11 e 12 vemos que Rn1h k satisfaz lim Rn1h k 0 h0 h2 k2 n k0 Fazendo h x xo e k y yo obtemos o polinˆomio de Taylor de grau no maximo n de f em Po xo yo como f f pnx y f xo yo x xo yox xo y xo yoy yo 1 2f 2 2f 2f 2 1 n nf xo yox xonjy yoj n j0 j xnjyj Note que o polinˆomio de Taylor de grau um nada mais e do que a equacao do plano tangente ao grafico de f em xo yo Ja o de grau dois representa a quadrica que melhor aproxima o grafico de f em torno de xo yo Nos exemplos que seguem procuraremos identificar o comportamento do grafico da funcao proximo ao ponto xo yo analisando o grafico do seu polinˆomio de Taylor de grau 2 Vejamos Exemplo 121 Encontre o polinˆomio de Taylor p2x y da funcao f x y x sen y em torno de xo yo 0 0 A funcao acima e claramente suave isto e de classe Ck para todo k Precisamos calcular todas as derivadas ate a segunda ordem Temos x y 0 0 f x sen y 0 f x sen y 0 f y x cos y 0 2f x2 0 0 2f xy cos y 1 2f y2 x sen y 0 Assim 1 p2x y 2 2xy xy cujo grafico representa uma sela A figura abaixo representa os graficos de f e de p2 sobre um quadrado centrado na origem de lado trˆes O grafico de f se encontra abaixo do grafico de p2 n CAPITULO 1 A FORM 8 ULA DE TAYLOR Figura 11 graficos de f e p2 proximos a origem A figura 12 procura mostrar que a aproximacao e boa nas proximidades da origem deixando de possuir utilidade para pontos mais afastados Figura 12 graficos de f e p2 numa visao global Exemplo 122 Encontre o polinˆomio de Taylor p2x y da funcao f x y x sen xy sen y em torno de xo yo 0 0 Como no exemplo acima a funcao e claramente suave As suas derivadas ate a segunda ordem sao x y 0 0 f x sen x y sen y 0 f x sen x x cos x 0 f y sen y y cos y 0 2f x2 2 cos x x sen x 2 2f xy 0 0 2f y2 2 cos y y sen y 2 12 FORMULA E POLINOˆMIO DE TAYLOR PARA FUNC OES DE DUAS VARIAVEIS9 Assim 1 p2x y 2x2 2y2 x2 y2 2 cujo grafico e um paraboloide A figura abaixo 13 representa o os graficos de f e de p2 numa vizinhanca da origem Figura 13 graficos de f e p2 proximos a origem A proxima figura 14 procura mostrar que a aproximacao e boa nas proximidades da origem deixando de possuir utilidade para pontos mais afastados Vejamos o ultimo exemplo Exemplo 123 Encontre o polinˆomio de Taylor p2x y da funcao f x y sen x4 y4 em torno da origem Como no exemplo acima a funcao e claramente suave As suas derivadas ate a segunda ordem sao x y 0 0 f sen x4 y4 0 f x 4x3 cos x4 y4 0 f y 4y3 cos x4 y4 0 2f x2 12x2 cos x4 y4 16x6 sen x4 y4 0 2f xy 16x3y3 sen x4 y4 0 2f y2 12y2 cos x4 y4 16y6 sen x4 y4 0 CAPITULO 1 A FORMULA DE TA Figura 14 graficos de f e p2 numa visao global 10 YLOR Assim p2x y 0 cujo grafico representa um plano horizontal na verdade o proprio plano tangente ao grafico de f na origem Este exemplo ilustra que p2 pode nao ser suficiente para sabermos mais informacoes sobre o grafico de f proximo a Po Deixamos como exercıcio ao leitor descobrir qual o menor inteiro n tal que pnx y e diferente do polinˆomio nulo A figura abaixo 15 representa os graficos de f e de p2 proximos a origem Figura 15 graficos de f e p2 proximos a origem 12 FORMULA E POLINOˆMIO DE TAYLOR PARA FUNC OES DE DUAS VARIAVEIS11 Observacao 121 Note que existem funcoes suaves que nao sao identicamente nula mas tˆem todos pn nulos 12 CAPITULO 1 A FORMULA DE TAYLOR Capıtulo 2 Maximos e mınimos 21 Definicao e resultados gerais Definicao 211 Seja f A Rn R Dizemos que Po A e um ponto de maximo resp mınimo de f se f P f Po resp f P f Po para todo P A Definicao 212 Seja f A Rn R Dizemos que Po A e um ponto de maximo local resp mınimo local de f se existir uma bola B centrada em Po tal f P f Po resp f P f Po para todo P A B Observacao 211 As vezes usaremos a denominacao de maximo mınimo global no caso da definicao 211 para ressaltar a diferenca entre as duas definicoes acima E comum tambem empregarmos o termo extremo local para designarmos um ponto que e de maximo ou de mınimo local Vejamos alguns exemplos Exemplo 211 Considere a funcao definida em R2 dada por f x y x2 y2 Como f x y 0 e f 0 0 0 e claro que 0 0 e ponto de mınimo de f Note que o grafico de f representa um paraboloide com vertice na origem e concavidade voltada para cima Antes de apresentarmos o proximo exemplo vamos relembrar que o gradiente de uma funcao aponta na direcao de maior crescimento desta Seja f A Rn R uma funcao diferenciavel definida num aberto A Seja u um vetor unitario de Rn A derivada direcional de f num ponto Po A na direcao u e dada por f Po Duf Po f Po u f Po cos θ onde θ e o ˆangulo entre f Po e u Deste modo a derivada direcional sera maxima quando cos θ 1 ou seja quando θ 0 Isto nos diz que u deve ter a mesma direcao e sentido de f Po Exemplo 212 Considere o conjunto A x y R2 x 0 y 0 x y 3 e y x Seja f A R dada por f x y 2x y 13 u CAPITULO 2 MAXIMOS E MINIMOS 14 Figura 21 A regiao onde procuramos os extremos de f e algumas de suas curvas de nıvel Como os valores de f crescem a medida que se avanca na direcao do vetor 2i j f pela ilustracao podemos perceber que o mınimo de f e atingido no ponto 0 3 e o seu maximo no ponto 32 32 Vamos verificar que isto de fato ocorre Se x y A temos f x y f 32 32 2x y 32 x 32 x y 0 pois como x y A temos x y 3 e x y Somando estas duas desigualdades obtemos 2xy 3y que e equivalente a x 32 Portanto f x y f 32 32 para todo x y A e 32 32 e de fato ponto de maximo de f em A O valor maximo e f 32 32 32 Agora vamos verificar que 0 3 e ponto de mınimo de f em A Seja x y A temos f x y f 0 3 2x y 3 3x 3 x y 0 Ou seja f x y f 0 3 para todo x y A isto e 0 3 e ponto de mınimo de f em A O valor de mınimo e f 0 3 3 Teorema 211 Sejam A Rn um aberto e f A R uma funcao que tem maximo resp mınimo local em Po A Se as derivadas parciais de f existem em Po entao elas sao iguais a zero neste ponto Prova Provaremos o caso em que Po e ponto de maximo local o caso de mınimo local fica demonstrado a partir deste tomandose a funcao g f fica como exercıcio completar este detalhe Seja ei o vetor do Rn que possui a iesima coordenada igual a 1 e as restantes iguais a 0 Como A e aberto e Po e um ponto de maximo local existe uma bola aberta B de raio ε 0 e centrada em Po que esta contida em A tal que f P f Po para todo P B Desse modo a funcao de uma variavel gt f Po tei fica bem definida para t ε ε pois Po tei B A e alem do mais gt f Po tei f Po g0 Ou seja t 0 e um ponto de maximo local para a funcao de uma variavel g 22 TESTE DO HESSIANO 15 o x x 2 2 x x P 2f P x1 1 n Temos lim gt g0 lim fPo tei fPo f P t0 t t0 t xi ou seja g possui derivada em t 0 e gJ0 f Po Como t 0 e ponto de maximo local i de g por um teorema de Calculo I devemos ter gJ0 0 e portanto f Po 0 para i todo i 1 n Em outras palavras o teorema anterior diz que se uma funcao atinge um maximo ou mınimo local em um ponto interior do seu domınio e suas derivadas parciais existem neste ponto entao o seu gradiente e nulo neste ponto Deste modo o teorema acima fornece uma condicao necessaria para que um ponto interior no domınio de uma funcao que tenha derivadas parciais seja um extremo local Os pontos P A tais que f P 0 sao chamados de pontos crıticos de f Note que nem todo ponto crıtico e ponto de maximo ou mınimo local Basta considerar f x y x2 y2 cujo gradiente se anula na origem que contudo nao e ponto nem de maximo nem de mınimo local pois para todo ε 0 temos f 0 ε 0 f ε 0 Definicao 213 Um ponto crıtico que nao e maximo local nem mınimo local e chamado de ponto de sela Ou seja um ponto crıtico Po e um ponto de sela de uma funcao f se toda bola centrada em Po contiver dois pontos P1 e P2 tais que f P1 f Po f P2 Note que pelo teorema acima para localizar extremos locais de uma funcao com derivadas parciais no interior do seu domınio basta restringirmos nossa atencao aos pontos crıticos de f 22 Teste do hessiano O teorema a seguir fornece uma condicao suficiente sob determinadas condicoes para decidir se um ponto crıtico e ponto de maximo local mınimo local ou ponto de sela Apresentaremos o teste para funcoes de duas variaveis O caso de funcao de mais de duas variaveis sera brevemente explicado a seguir veja o teorema 222 Antes porem faremos a seguinte definicao Definicao 221 Seja f A R uma funcao de classe C2 definida num aberto A Rn A matriz hessiana de f num ponto P A e definida como 2f P 2f P HessP O determinante da matriz acima sera denotado por HP e denominado de o hessiano de f em P xn 2f xnx1 CAPITULO 2 MAXIMOS E MINIMOS 16 x2 k x2 xy P yx y2 f x y f xo yo 2 x2 P h 2 xy P hk y2 P k o o 2 Av o o 2 Note que HessP e uma matriz simetrica No caso n 2 o hessiano e dado por 2f P 2f P 2f 2f 2f 2 Teorema 221 Seja f como acima Se Po e um ponto crıtico de f entao 1 se 2f P 0 e HP 0 entao P e um ponto de mınimo local de f x2 o o o 2 se 2f P 0 e HP 0 entao P e um ponto de maximo local de f x2 o o o 3 se HPo 0 entao Po e um ponto de sela de f 4 se HPo 0 nao podemos afirmar nada sobre a natureza do ponto crıtico Po Prova 1 Como A e aberto e as derivadas parciais ate segunda ordem sao contınuas existe uma 2 bola aberta Bo centrada em Po de raio ε 0 tal que f x y 0 e Hx y 0 para todo x y B Colocando Po xo yo defina h x xo e k y yo onde x y Bo Como f xo yo 0 a formula de Taylor para f fica 1 2f 2 2f 2f 2 onde P Bo e da forma x y xo ch yo ck com 0 c 1 Coloque 2f 2f 2f A x2 P B xy P e C y2 P Temos HP AC B2 0 e para k 0 f x y f x y 1 Ah2 2Bhk Ck2 k2 h 2 A 2 h 2B k C Assim se pusermos v hk vemos que k2 2 pois 2B2 4AC 4B2 AC 4HP 0 e A 0 Se k 0 entao f x y f x y 1 Ah2 0 Portanto para todo x y Bo temos f x y f xo yo 0 isto e f x y f xo yo Isto demonstra 1 2 xy y2 x2 2f P 2f P HP det P P f x y f xo yo 2Bv C 0 22 TESTE DO HESSIANO 17 x2 o x2 o 2 Considere a funcao gx y f x y Temos 2g P 2f P 0 e o hessiano de g e igual ao hessiano de f os sinais se cancelam nas multiplicacoes que aparecem no determinante e portanto pela parte anterior g tem um ponto de mınimo local em Po consequentemente f tem um ponto de maximo local em Po 3 Dado v h k considere a funcao ϕvt f Po tv f xo ht yo kt onde t ε ε como no item 1 Observe que ϕv e a restricao de f sobre o segmento de extremos Po εv e Po εv Esta restricao nos fornece a informacao de como e o grafico de f quando cortado por um plano vertical paralelo ao vetor v e passando por Po f Po Usando a regra da cadeia obtemos ϕv J 0 f Po v e JJ 2f 2 2f 2f 2 Coloque ϕv 0 x2 Poh 2 xy Pohk y2 Pok 2f 2f 2f A x2 Po B xy Po e C y2 Po Note que neste caso temos B2 AC 0 Defina Qv Qh k ϕv JJ0 Ah2 2Bhk Ck2 O que vamos mostrar a seguir e que e sempre possıvel escolher direcoes u e v tais que ϕ J u J0 e ϕv JJ0 tˆem sinais opostos Desse modo pelo teste da derivada segunda para funcoes de uma variavel a restricao de f numa direcao tera um mınimo em Po numa direcao e um maximo na outra Com isto em maos e facil ver que existem pontos arbitrariamente proximos de Po cujos valores de f sao maiores do que f Po na direcao de mınimo e outros pontos onde valores sao menores do que f Po na direcao de maximo Isto e o que caracteriza uma sela Veja a figura 22 Caso 1 A 0 e C 0 e portanto B 0 Temos que Q1 1 2B e Q1 1 2B tˆem sinais diferentes Caso 2 A 0 e C 0 e portanto B 0 Temos que Q C4B 1 C2 e Q 3C2B 1 2C tˆem sinais diferentes Caso 3 A 0 Temos que Q1 0 A e QBA 1 B2 ACA1 tˆem sinais diferentes pois B2 AC 0 Deste modo em qualquer um dos casos e possıvel encontrar duas direcoes u e v tais que ϕ J u J0 e ϕv JJ0 tˆem sinais opostos Para isto basta tomar os versores vetor es unitarios dos vetores obtidos em cada caso Por exemplo no caso 1 tomamos u 22 22 e u 22 22 e assim por diante 4 Basta considerar as seguintes funcoes f x y x4 y4 gx y x4 y4 hx y x4 y4 A origem e ponto crıtico para todas elas e o hessiano tambem se anula em todos os trˆes casos Entretanto a origem e um mınimo para f um maximo para g e um ponto de sela para h Isto termina a demonstracao deste teorema Observacao 221 Note que se A B e C sao numeros reais tais que AC B2 0 e A 0 entao C 0 pois caso contrario terıamos AC 0 e portanto AC B2 B2 0 o que contradiz o fato de AC B2 0 Do mesmo modo se prova que se AC B2 0 e A 0 entao C 0 Assim os itens 1 e 2 do teorema acima podem ser reescritos substituindose as hipoteses 2f x y 0 e 2f x y 0 por 2f x y 0 e 2f x y 0 respectivamente x2 x2 y2 y2 CAPITULO 2 MAXIMOS E MINIMOS 18 Figura 22 Um ponto de sela com as direcoes de maximo e de mınimo Antes de enunciarmos o caso geral relembremos o seguinte fato de Algebra Linear Proposicao 221 Seja A aijnn uma matriz com coeficientes reais simetrica Entao A possui n autovalores reais contados conforme a sua multiplicidade Alem do mais po demos escolher os n autovetores de modo que formem uma base ortonormal de Rn Em suma existem numeros reais λ1 λn e vetores v1 vn tais que Avj λjvj e vi vj 1 se i j 1 j n onde Avj deve ser entendido como o produto da matriz A pelo 0 se i j vetor coluna vjt Teorema 222 Caso geral Seja f A R uma funcao de classe C2 definida num aberto A Rn Suponha que Po A seja um ponto crıtico de f Sejam λ1 λn os autovalores da matriz hessiana de f em Po e HPo o hessiano de f em Po Temos 1 se λj 0 para todo 1 j n entao Po e um ponto de mınimo local de f 2 se λj 0 para todo 1 j n entao Po e um ponto de maximo local de f 3 se existirem dois autovalores λi e λj com sinais opostos entao Po e um ponto de sela de f 4 nos demais casos isto e 22 TESTE DO HESSIANO 19 2 i j 2 Σ λihihjvi vj Σ λih2 λ1h2 λnh2 1 n 1 2 1 2 1 2 a λj 0 para todo 1 j n e existe um autovalor λi 0 ou b λj 0 para todo 1 j n e existe um autovalor λi 0 nao podemos afirmar nada sobre a natureza do ponto crıtico Po Esboco da prova Ao inves de usarmos a base canˆonica de Rn usaremos a base ortonormal v1 vn formada pelos autovetores da matriz hessiana de f em Po Considere a funcao gt f Po tu onde 0 t 1 e u e um vetor com norma suficientemente pequena Use a regra da cadeia e confira que gJ0 Po u 0 e gJJ0 HessPou u O ponto a ser observado e que quando u e pequeno o bastante o valor de f P onde P Po u fica proximo a f Po 1 HessPou u pense como ficaria a formula de Taylor para varias variaveis Com relacao a base adotada escrevemos u h1v1 hnvn e deste modo 2f P f Po HessPou u HessPoh1v1 hnvn h1v1 hnvn h1HessPov1 hnHessPovn h1v1 hnvn h1λ1v1 hnλnvn h1v1 hnvn n n ij1 pelo fato dos vetores serem ortonormais i 1 n i1 Agora se λj 0 para todo 1 j n temos que λ1h2 λnh2 0 se u h1v1 hnvn 0 Se λj 0 para todo 1 j n temos que λ1h2 λnh2 0 se u h1v1 hnvn 1 n 0 Isto leva as conclusoes 1 e 2 Suponha agora que existam λi 0 e λj 0 Tome P1 Po hivi hi 0 e P2 Po hjvj hj 0 Temos 2f P1 f Po HessPohivi hivi λih2 0 e 2f P2 f Po HessPohjvj hjvj λjh2 0 A partir daı seguese 3 O caso 4 segue de exemplos como no teorema do caso bidimensional Por exemplo considere as funcoes f x1 xn x4 x4 gx1 xn x4 x4 e hx1 xn x4 x4 que tˆem a origem como ponto de mınimo maximo e sela respectivamente Note que nos trˆes casos os autovalores sao todos nulos Exemplo 221 Classifique os pontos crıticos de f x y z x3 3x y2 z2 2z Temos que f x y z 3x 3 2y 2z 2 0 0 0 se e somente se x y z 1 0 1 P1 ou x y z 1 0 1 P2 CAPITULO 2 MAXIMOS E MINIMOS 20 0 2 0Hessx y z 0 2 0HessP 1 0 2 0HessP 2 pλ det 2 2 λ 2 0 0 2 2 λ 0 4 λλ3 4λ2 4λ 8 A matriz hessiana de f e 6x 0 0 0 0 2 Desta forma 6 0 0 0 0 2 e daı seguese que todos os autovalores sao positivos Portanto P1 e ponto de mınimo local Quanto a P2 temos 6 0 0 0 0 2 Deste modo P2 e ponto de sela pois a matriz hessiana possui um autovalor positivo e um negativo Exemplo 222 Classifique os pontos crıticos de f x y z w 2xy 2yz y2 z2 2w2 Temos que f x y z w 2y 2x 2y 2z 2y 2z 4w 0 0 0 0 se e somente se x y z 0 0 0 0 P0 Temos 0 HessP0 0 O polinˆomio caracterıstico desta matriz e λ 2 0 0 0 0 0 4 λ Note que λ1 4 0 e um autovalor da matriz acima Como p1 5 0 e p2 48 0 vemos que existe λ2 1 2 tal que pλ2 0 ou seja existe tambem um autovalor positivo Portanto P0 e um ponto de sela Vejamos que o teorema 222 no caso n 2 e equivalente ao teorema 221 Para tanto usaremos a notacao 2f 2f 2f 2 A x2 Po B y2 Po C xy Po e H AB C 2 0 0 2 2 2 0 2 2 0 0 0 0 4 22 TESTE DO HESSIANO 21 C B 2 2 2 A B A B A B A B 2 2 2 Coloque H A C e portanto o seu polinˆomio caracterıstico e dado por pλ λ2 A B AB C2 λ2 A B H e tem como raızes os numeros reais A B λ1 2 e λ2 A B 2 onde A B2 4H A B2 4C2 0 Vamos supor que a hipotese de 1 do teorema 221 seja valida isto e A 0 e H 0 Queremos mostrar que λ1 e λ2 sao positivos Como H AB C2 0 devemos ter AB C2 0 Como A 0 entao B 0 Logo A B Tambem λ1 0 2 H 0 AB C2 4AB 4C2 2AB 4C2 2AB 2 2 2 2 A B 2AB A B 4C 2AB A B 4C A B A B A B λ2 Reciprocamente se λ1 e λ2 sao positivos A B 0 2 A B A B A B A B2 4H A B2 H 0 Daı AB C2 0 e portanto A e B tˆem o mesmo sinal Se fosse A 0 entao B 0 e terıamos λ 0 um absurdo Portanto se λ1 e λ2 sao positivos devemos ter A 0 e H 0 que sao as hipoteses de 1 do teorema 221 Agora se H 0 e A 0 entao como anteriormente vemos que devemos ter B 0 e daı segue que λ 0 2 2 2 Tambem como antes H 0 A B2 A B A B λ1 Reciprocamente se λ1 e λ2 sao negativos tambem temos A B H 0 A B 0 2 2 CAPITULO 2 MAXIMOS E MINIMOS 22 2 2 e portanto A e B tˆem o mesmo sinal Se fosse A 0 deverıamos ter B 0 e isto implicaria que λ1 A B 0 2 uma contradicao Isto mostra a equivalˆencia das hipoteses entre os segundos itens dos dois teoremas Suponha agora que H 0 Temos AB C2 A B2 A B A B λ1 AB 0 Assim λ2 0 λ1 λ2 AB 0 Reciprocamente se λ2 0 λ1 entao AB 0 AB AB AB2 AB24H H 0 Agora H 0 A B2 4H A B2 A B λ1 0 ou λ2 0 Isto termina a prova da equivalˆencia entre os teoremas 221 e 222 no caso bidimensional O teorema a seguir que e um resultado de Algebra Linear fornece uma condicao ne cessaria e suficiente para decidir se uma matriz simetrica apresenta todos os autovalores positivos ou todos negativos Definicao 222 Seja A aij uma matriz de ordem n O menor principal de ordem 1 k n da matriz e definido como o determinante da submatriz Ak aij1ik e 1jk denotado por mkA Teorema 223 Seja A aij uma matriz simetrica de ordem n 1 A fim de que todos os autovalores de A sejam positivos e necessario e suficiente que mkA 0 para todo 1 k n 2 A fim de que todos os autovalores de A sejam negativos e necessario e suficiente que mkA 0 para todo k ımpar 1 k n e mkA 0 para todo k par 1 k n Obs A parte 2 segue de 1 notando que mkA 1kmkA 23 Exemplos Exemplo 231 Desejase construir uma caixa sem tampa com a forma de um paralelepıpedo retangular com um certo volume V Determine as dimensoes da caixa para que se gaste o mınimo de material possıvel y2 2y 2 V 0 hessiano vemos que 3 2V 3 V4 e um ponto de mınimo local de A Na verdade tratase em x V y note que esta e a unica solucao de Ax y Ay J x 0 O valor mınimo e possui u m mınimo global pois limx0 Ayx e limx Ayx e ele ocorre V y A V y y 4 V y V y Logo tambem possui um mınimo global pois limy0 my e limy my e este V4 Isto nos da x V y V 3 V4 3 2V Assim para todo x 0 e y 0 23 EXEMPLOS 23 Denotemos por x e z as dimensoes da base da caixa e por y a sua altura Desta forma V xyz e a area total da caixa e A 2yx 2yz xz Logo como V e dado temos V V Ax y 2xy 2 x y Nosso problema se resume em achar o ponto de mınimo de A Note que a regiao em que estamos trabalhando e x 0 e y 0 Vamos procurar os pontos crıticos de A ou seja x2 2x V 0 yx2 V 2xy2 V Logo 2y x e voltando as equacoes obtemos x 3 2V y 3 Agora V4 e z 3 2V 2A 2A 4V 2 8V 2 Hx y det x2 2A yx xy 2A y2 xy det x3 2V y3 x3y3 4 Assim H 3 2V 3 V4 12 0 e 2A 3 2V 3 V4 2 0 Logo pelo criterio do x2 de um mınimo global A verificacao pode ser vista da seguinte maneira Para cada y 0 fixo a funcao V V Ayx Ax y 2xy 2 x y x Ax y Ayx my Por outro lado a funcao my que representa o mınimo de Ay para cada y 0 fixado mınimo ocorre para y tal que mJy 0 isto e quando 2 q V y V y2 0 ou seja quando Ax y Ayx my m 3 V4 A 2V 3 V4 3 Portanto 3 2V 3 V4 e um ponto de mınimo global Finalmente as dimensoes da caixa sao x 3 2V y 3 V4 e z 3 2V y 3 temos 2 my Ay CAPITULO 2 MAXIMOS E MINIMOS 24 Exemplo 232 Classifique os pontos crıticos da funcao f x y x4 y4 2x2 2y2 Vamos procurar os pontos crıticos de f 4x3 4x 4xx 1x 1 0 4y3 4y 4yy 1y 1 0 que nos fornece as seguintes solucoes P1 0 0 P2 0 1 P3 0 1 P4 1 0 P5 1 1 P6 1 1 P7 1 0 P8 1 1 P9 1 1 O hessiano de f em x y e dado por 12x2 4 0 2 2 Hx y det 0 12y2 4 163x 13y 1 P HP 2f x2 P e f P P1 16 4 max loc 0 P2 32 sela 1 P3 32 sela 1 P4 32 sela 1 P5 64 8 min loc 2 P6 64 8 min loc 2 P7 32 sela 1 P8 64 8 min loc 2 P9 64 8 min loc 2 A figura 23 mostra os pontos crıticos de f e a curva de nıvel 1 referente aos pontos de sela A figura 24 mostra o grafico de f Observe que P1 e apenas um ponto de maximo local pois por exemplo f 2 0 8 0 f P1 Porem os pontos de mınimo local sao na verdade pontos de mınimo global Nestes pontos f tem o valor 2 e assim para todo x y temos f x y2 x4 y4 2x2 2y2 2 x4 2x2 1y4 2y2 1 x2 12 y2 12 0 portanto f x y 2 24 Extremos de funcoes em regioes fechadas e limita das Assim como ocorre com funcoes de uma variavel uma funcao de varias variaveis nao precisa atingir pontos de maximo ou de mınimo Um exemplo bem simples e dado pela funcao 24 EXTREMOS DE FUNC OES EM REGIOES FECHADAS E LIMITADAS 25 Figura 23 pontos crıticos de f e a curva de nıvel 1 f R2 R dada por f x y x y Esta funcao nao possui maximo nem mınimo e a bem da verdade nem possui pontos crıticos O proximo teorema que sera apenas enunciado sem demonstracao garante em que condicoes uma funcao atinge seu maximo e seu mınimo Antes de enuncialo lembremos que um subconjunto K Rn e chamado de compacto se for limitado isto e se couberdentro de uma bola e fechado isto e se todos os pontos da sua fronteira pertencerem a ele Teorema 241 Seja K Rn um compacto Se f K R for contınua entao existem pontos P1 P2 K tais que f P1 f P f P2 para todo P K Em outras palavras P1 e ponto de mınimo de f em K e P2 e ponto de maximo de f em K Observacao 241 Nem P1 nem P2 precisam ser unicos com tais propriedades Observacao 242 Se K e compacto e f K R e diferenciavel entao pelo teorema 241 existem pontos de maximo e mınimo e para localizalos podemos procurar os pontos crıticos no interior de K isto e nos pontos de K que nao fazem parte da fronteira e analisar numa maneira conveniente os valores de f sobre a fronteira de K Note que nao ha necessidade de utilizarmos o teste do hessiano nos pontos crıticos se estivermos interessados em localizar os pontos de maximo e mınimo globais pois basta testar a funcao em todos os pontos crıticos que estao no interior de K e sobre aqueles extremos que foram encontrados sobre a fronteira de K Enfatizamos que podem ocorrer extremos de f na fronteira e estes extremos nao serem pontos crıticos de f CAPITULO 2 MAXIMOS E MINIMOS 26 Figura 24 grafico de f Vejamos alguns exemplos Exemplo 241 Determine os extremos de f x y x3 y3 3x 3y sobre o conjunto K x y 0 x 2 e y 2 Note que K e compacto f suave C e pelo teorema 241 atinge maximo e mınimo A regiao K e um retˆangulo como mostra a figura 25 Vamos procurar os pontos crıticos de f no interior de K 3x2 3 0 3y2 3 0 cujas solucoes sao P x y interior K f P P1 1 1 0 P2 1 1 4 P3 1 1 P4 1 1 Desse modo devemos considerar como solucoes apenas os pontos P1 e P2 24 EXTREMOS DE FUNC OES EM REGIOES FECHADAS E LIMITADAS 27 Figura 25 regiao K Passemos agora a analise de dos valores de f sobre a fronteira de K Dividiremos em quatro casos cada qual contemplando um lado do retˆangulo ver figura 25 caso 1 Lado l1 0 y 2 y 2 Neste lado a funcao a ser estudada e g1y f 0 y y3 3y com 2 y 2 Note que g1 J y 3y2 3 0 implica em y 1 ou y 1 Temos f 0 1 g11 2 e f 0 1 g11 2 Nao podemos esquecer de testar g1 nos extremos do intervalo de variacao de y isto e nos pontos 2 e 2 obtendo f 0 2 g12 2 e f 0 2 g12 2 caso 2 Lado l2 2 y 2 y 2 Neste lado a funcao a ser estudada e g2y f 2 y 2 y3 3y com 2 y 2 Como g2 2 g1 obtemos os mesmos valores de y porem lembre que aqui x 2 Deste modo f 2 1 g21 4 f 2 1 g21 0 f 2 2 g22 0 f 2 2 g22 4 caso 3 Lado l3 x 2 0 x 2 Neste lado a funcao a ser estudada e g3x x3 3x 2 0 x 2 que tem a mesma representacao da funcao do caso 2 mas esta definida num domınio distinto Assim devemos descartar o ponto x 1 que embora seja solucao de g3J x 0 nao pertence a intervalo 0 2 Ficamos com f 1 2 g31 0 f 0 2 g30 2 e f 2 2 g32 4 caso 4 Lado l4 x 2 0 x 2 Neste lado a funcao a ser estudada e g4x x3 3x 2 0 x 2 Como g4 g3 4 obtemos os mesmos valores de x porem lembre que aqui y 2 Deste modo f 1 2 g41 4 f 0 2 g40 2 e f 2 2 g42 0 Resumindo CAPITULO 2 MAXIMOS E MINIMOS 28 2 2 2 x y f x y 1 1 0 1 1 4 0 1 2 0 1 2 0 2 2 0 2 2 2 1 4 2 1 0 2 2 0 2 2 4 1 2 0 1 2 4 obtemos que o maximo de f e 4 e ocorre nos pontos 2 1 e 2 2 ambos na fronteira de K e o mınimo e 4 e ocorre nos pontos 1 1 no interior de K e 1 2 na fronteira de K Exemplo 242 Determine os extremos de f x y xy sobre o conjunto K x y x2 y2 1 Como no exemplo anterior K e compacto um disco fechado f suave C e pelo teorema 241 atinge maximo e mınimo Os pontos crıticos de f no interior de K y 0 x 0 cuja unica solucao e 0 0 e o valor de f neste ponto e 0 Analisaremos na fronteira de K x y x y 1 cos t sen t 0 t 2π Assim a funcao a ser considerada e gt f cos t sen t cos t sen t 1 sen 2t 0 t 2π Note que as raızes gJt cos 2t 0 com 0 t 2π sao π4 3π4 5π4 e 7π4 Temos gπ4 12 g5π4 e gπ4 12 g7π4 Alem do mais nos extremos temos g0 g2π 0 Reunindo os resultados encontrados no interior e na fronteira de K vemos que o maximo de f e 12 e o mınimo e 12 O valor maximo e atingidonos pontos referentes aos valores de t π4 e t 5π4 que correspondem aos pontos 22 22 e 22 22 respectivamente O valor mınimo e atingid o nos pontos referentes aos valores de t 3π4 e t 7π4 que correspondem aos pontos 22 22 e 22 22 respectivamente Todos estes pontos se encontram na fronteira de K Capıtulo 3 O problema de um vınculo 31 Introducao Suponha que f e g sejam funcoes de duas variaveis com derivadas parciais contınuas em um aberto de A R2 O problema que passaremos a estudar e encontrar os extremos da funcao f quando esta esta sujeita a condicao que gx y 0 Isto e queremos encontrar os pontos x y dentro do domınio de f e restritos ao vınculo ou condicao lateral gx y 0 que maximizem ou minimizem os valores de f Note que o vınculo gx y 0 representa uma curva de nıvel da funcao g que assumire mos ser tal que g 0 Para cada t R a equacao f x y t tambem representa uma curva de nıvel da funcao f e variando t obteremos uma famılia de curvas de nıvel de f Se uma tal curva de nıvel de f digamos de nıvel to intercepta a curva gx y 0 transversalmente isto e de modo que uma nao seja tangente a outra ou ainda os vetores f x y e gx y sao linearmente independentes no ponto de interseccao entao para valores de t proximos a to a curva de nıvel f x y t tambem interceptara gx y 0 Isto significa que to nao pode ser valor de mınimo nem de maximo de f sobre o vınculo Desta maneira f so pode atingir um valor extremo maximo ou mınimo sobre a curva gx y 0 num determinado ponto Po xo yo se a curva de nıvel f x y f Po for tangente a gx y 0 em Po ou seja se f Po λ gPo para algum λ Note que as observacoes acima podem ser verificadas da seguinte forma Suponha que a curva gx y 0 seja representada na forma parametrica por γt xt yt tal que γJt 0 Sobre esta curva a funcao f e dada por ϕt f xt yt Deste modo para analisar os extremos de f sobre gx y 0 basta encontrar os extremos de ϕ que e uma funcao de uma variavel Supondo que t a b entao um extremo de ϕ caso exista deve ocorrer em algum to tal que ϕJto 0 Mas ϕJt xf xt ytxJt yf xt ytyJt f xt yt γJt Assim substituindo em t to e colocando Po xto yto vemos que f Po γJto 0 ou seja γJto deve ser ortogonal a f Po Como f e ortogonal as curvas de nıvel de f seguese que em Po as curvas de nıvel gx y 0 e f x y f xo yo devem ser tangentes e portanto f Po λgPo para algum λ Observe que as condicoes f xo yo λogxo yo para algum λo e gxo yo 0 sao equivalentes a que xo yo λo seja um ponto crıtico da funcao de trˆes variaveis dada por 29 CAPITULO 3 O PROBLEMA DE UM VINCULO 30 λ x x x h xo yo λo f xo yo λo g xo yo 0 y y y Figura 31 gx y 0 representada em azul e algumas curvas de nıvel de f x y t hx y λ f x y λgx y De fato xo yo λo e um ponto crıtico de h se e somente se h xo yo λo f xo yo λo g xo yo 0 h xo yo λo gxo yo 0 mas as duas primeiras equacoes acima sao equivalentes a f xo yo λogxo yo e a terceira a gxo yo 0 O raciocınio acima pode ser aproveitado para o caso de mais variaveis Vejamos quando f e g sao funcoes de trˆes variaveis satisfazendo as mesmas hipoteses anteriores isto e sao funcoes de classe C1 e g 0 Esta ultima condicao garante que gx y z 0 define uma superfıcie nıvel S tal que para cada Po S existem duas curvas γj ε ε S j 1 2 tais que γ10 γ20 Po e γ1 J 0 e γ2 J 0 sao linearmente independentes veja a figura 32 Se Po xo yo zo e um extremo de f restrita a condicao gx y z 0 entao as funcoes ϕ1t f γ1t e ϕ2t f γ2t tambem alcancarao um extremo quando t 0 corres 32 TEOREMA DO MULTIPLICADOR DE LAGRANGE 31 Figura 32 Superfıcie de nıvel gx y z 0 contendo duas curvas cujos vetores tangentes sao linearmente independentes pondente a γ10 γ20 Po Derivando obtemos as relacoes f Po γ1 J 0 0 e f Po γ2 J 0 0 Como γ1 J 0 e γ2 J 0 sao linearmente independentes vemos que f P0 deve ser ortogonal ao plano gerado por estes dois vetores em Po que nada mais e senao o plano tangente a superfıcie gx y z 0 em Po Como gPo 0 e ortogonal a este plano seguese que f Po λo gPo para algum λo R Este resultado se estende para n variaveis e o argumento a ser usado e analogo bastando tomar n 1 curvas contidas gP 0 passando por um mesmo ponto e cujos n 1 vetores tangentes formam um conjunto linearmente independente 32 Teorema do multiplicador de Lagrange Teorema 321 Multiplicador de Lagrange Sejam f e g funcoes de classe C1 defi nidas num aberto de Rn Suponha que gP 0 P A A fim de que Po A seja um extremo de f restrita ao vınculo gP 0 e necessario que exista λo R tal que f Po λogPo e gPo 0 ou seja o ponto Po λo A R e um ponto crıtico da funcao hP λ f P λgP CAPITULO 3 O PROBLEMA DE UM VINCULO 32 Note porem que a distˆancia mınima e 2 ou seja e dada por g1 1 f 1 1 33 Exemplos Exemplo 331 Encontre o ponto sobre o ramo de hiperbole xy 1 x 0 mais proximo a origem A funcao a ser minimizada e dx y x2 y2 sujeita ao vınculo gx y xy 1 0 Um fato simples e que se x y e um ponto que satisfaz o vınculo e minimiza a funcao h entao este mesmo ponto minimiza a funcao f h2 e reciprocamente Esta pequena observacao facilita nos calculos das derivadas parciais pois basta trabalharmos com f x y x2 y2 que nao envolve radicais Nosso problema se resume a encontrar o mınimo de f x y x2 y2 sujeita a condicao gx y xy 1 0 Pelo teorema 321 um ponto que satisfaz estas duas condicoes deve satisfazer para algum λ as equacoes f x y λgx y 2x λy 2y λx 2x λ2x2 2y λx gx y 0 xy 1 x 0 xy 1 x 0 λ 2 ou λ 2 2y λx xy 1 x 0 λ 2 x y xy 1 x 0 λ 2 ou x y xy 1 x 0 mas o ultimo caso nao possui solucao pois deverıamos ter x2 1 Assim a unica solucao corresponde a λ 2 e e x y 1 1 Afirmamos que 1 1 e realmente um ponto de mınimo de f sobre o ramo de hiperbole De fato se xy 1 e x 0 entao f x y f 1 1 x y2 2 x 1 x2 2 x4 2x2 1 x2 x2 12 x2 0 isto e f x y f 1 1 2 para todo ponto x y sobre o ramo de hiperbole xy 1 x 0 Exemplo 332 Determine o ponto sobre a a reta x 2y 1 cujas coordenadas tenham o produto maximo A funcao a ser maximizada e f x y xy sujeita ao vınculo gx y x 2y 1 0 Pelo teorema 321 um ponto que satisfaz estas duas condicoes deve satisfazer para algum λ as equacoes f x y λgx y gx y 0 y λ x 2λ x 2y 1 2y x x 2λ 4λ 1 λ 14 x 12 y 14 Logo o ponto procurado e 1 1 2 4 2 2 x 4 9 16 4x 9 λz 4 9 16 4 9 16 4 9 16 z2 4x2 z2 4x2 3 4 4 4 1 3 3 3 3 3 3 3 4 3 3 5 3 3 6 3 3 7 3 3 8 3 3 2 2y y2 16 9 33 EXEMPLOS 33 Afirmamos que 1 1 e realmente um ponto de maximo de f sobre reta De fato se 2 4 x 2y 1 entao f x y f 12 14 xy 18 1 2yy 18 2y2 y 18 2y 142 0 isto e f x y f 12 14 para todo x y sobre a reta x 2y 1 Exemplo 333 Determine o paralelepıpedo retˆangulo de volume maximo com arestas pa ralelas aos eixos coordenados inscrito no elipsoide x2 y2 z2 4 9 16 1 Representando por x y z o vertice do paralelepıpedo no primeiro octante x y z 0 vemos que o seu volume e expresso por V x y z 8xyz Assim devemos encontrar o maximo da funcao V restrita a condicao gx y z x2 y2 z2 1 0 Como o elipsoide e um conjunto fechado e limitado de R3 isto e e um conjunto compacto entao ja sabemos que V atingira um maximo e um mınimo sobre ele Desta forma basta utilizarmos o teorema dos multiplicadores de Lagrange e dentre os possıveis pontos que encontrarmos ao resolver o sistema tomar aquele que dˆe o maior valor para V Lembrando que basta considerar x y z 0 temos 8yz λx 2y 9x y2 x2 8xy 8 2y 9z 16 9 x2 y2 z2 1 x2 y2 z2 1 x2 y2 z2 1 y2 x2 y2 x2 z2 y2 16 9 z2 y2 x y z 3 3 3 x2 x2 x2 1 x 2 P 23 3 43 P 2 3 3 4 3 P 23 3 4 3 P 2 3 3 4 3 P 2 3 3 4 3 P 2 3 3 4 3 P 2 3 3 4 3 P 2 3 3 4 3 Portanto o paralelepıpedo procurado tem com vertices os pontos 3 4 2 4 9 4 9 4 z2 9 z 8xz 2λy z2 4x2 x z z 8y 3 2 CAPITULO 3 O PROBLEMA DE UM VINCULO 34 3 3 3 3 3 com volume igual a V 2 3 3 4 3 8 2 3 3 4 3 64 3 unidades de volume CAPITULO 3 O PROBLEMA DE UM VINCULO 34 2 2 z 2 y λb yo λc 2 2 a2b2c2 a2b2c2 aayo bxoccyo bzo bd a2b2c2 2 Exemplo 334 Encontre o ponto sobre o plano ax by cz d 0 mais proximo ao ponto Poxo yo zo Encontre tambem esta distˆancia Como no exemplo 331 basta minimizar a funcao f x y z x xo2y yo2z zo2 sujeita a condicao gx y z ax by cz d 0 2x xo λa x λa xo 2z zo λc ax by cz d 0 x λa xo z 2 zo ax by cz d 0 x λa xo z 2 zo z 2 zo λ a2 b2 c2 axo byo czo d 0 λ axobyoczod x x a2xoabyoaczoad x bbxoayoccxoazoad z zo caxocbyoc2zocd a2b2c2 aazo cxobbzo cyo cd a2b2c2 e a distˆancia e dada por f x y z x xo2 y yo2 z zo2 λ a2 2 b2 c2 axo byo czo d a2 b2 c2 y a2b2c2 baxob2yobczobd a2b2c2 y y y λb yo λc y λb yo λc 2 2y yo λb o o 2 Capıtulo 4 O problema de dois vınculos 41 Teorema dos multiplicadores de Lagrange Vamos considerar o problema de achar os extremos de uma funcao de trˆes variaveis f x y z sujeita as condicoes gx y z 0 e hx y z 0 Teorema 411 Seja A R3 um aberto Suponha que as funcoes f g e h A R sejam de classe C1 Seja B x y z A gx y z hx y z 0 e suponha que os vetores gx y z e hx y z sejam linearmente independentes em B Entao se xo yo zo e um extremo de f restrita a B existem constantes λ e µ tais que f xo yo zo λgxo yo zo µhxo yo zo Prova Seja Po xo yo zo um extremo de f sobre B Vamos assumir que Po e um ponto de maximo de f sobre B A condicao que os gradientes de g e h sao linearmente independentes em B garante que os pontos de B proximos a Po podem ser descritos por uma curva sua suave γt xt yt zt com ε t ε satisfazendo γ0 Po γJ0 0 e gt f γt f γ0 f Po Assim a funcao g que e escalar e de uma variavel atinge um maximo em t 0 e portanto devemos ter gJ0 0 Mas pela regra da cadeia gJt f γt γJt e assim gJ0 f Po γJ0 0 Como a γt B para todo t ε ε temos que gγt 0 hγt Derivando estas duas ultimas igualdades use a regra da cadeia e colocando t 0 obtemos que gPo γJ0 0 e hPo γJ0 0 Desta forma vemos que o vetor nao nulo γJ0 e ortogonal aos vetores gPo e hPo e como estes dois ultimos sao linearmente independentes o conjunto γJ0 gPo hPo forma uma base para o R3 Logo existem constantes λ µ e ν tais que f Po λgPo µhPo νγJ0 o que implica em 0 f Po γJ0 λgPo γJ0 µhPo γJ0 νγJ0 γJ0 νγJ02 onde γJ0 denota o comprimento do vetor γJ0 que e nao nulo Portanto ν 0 e obtemos o que querıamos provar isto e f Po λgPo µhPo 35 36 CAPITULO 4 O PROBLEMA DE DOIS VINCU 2 2 LOS Figura 41 Interseccao das duas superfıcies gx y z 0 e hx y z 0 com os vetores normais Exemplo 411 Determine os semieixos da elipse dada pela interseccao do cilindro x2 y2 1 com o plano x y z 0 veja a figura 42 Como plano passa pela origem e o eixo do cilindro e dado por x y 0 vemos que o centro da elipse e a origem Assim precisamos encontrar os pontos sobre a elipse que estao mais proximos e mais afastados da origem Tendo em vista observacoes anteriores basta encontrarmos os extremos de f x y z x2 y2 z2 o quadrado da distˆancia sujeita aos vınculos gx y z x2 y2 1 0 e hx y z x y z 0 Note que hx y z i j k e gx y z 2xi 2yj sao claramente linearmente independentes basta observar a componente de k dos dois vetores Pelo teorema 411 os extremos de f sujeita aos vınculos devem satisfazer para algum λ e algum µ as equacoes 2x 2λx µ 21 λx µ f x y z λgx y z µhx y z gx y z 0 hx y z 0 2y 2λy µ 2z µ x2 y2 1 x y z 0 21 λy µ 2z µ x2 y2 1 x y z 0 Assim 1 λx 1 λy que para λ 1 nos fornece x y Pe las restricoes vınculos obtemos z 2x e 2x2 1 que resultam nos pontos P1 2 2 2 e P2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 41 TEOREMA DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 37 Figura 42 Interseccao de um cilindro com um plano Agora se λ 1 entao µ 0 e portanto z 0 Desta forma os vınculos se reduzem a x2 y2 1 x y 0 2x2 1 y x x y 2 2 2 2 2 2 ou x y 2 2 dando os pontos P3 2 2 0 e P4 2 2 0 Temos f P1 f P2 3 e f P3 f P4 1 Assim o semieixo maior e dado pelo segmento OP1 ou OP2 e tem comprimento igual a 3 e o menor e dado pelo segmento OP3 ou OP4 e tem comprimento igual a 1 Os vertices da elipse sao os pontos P1 a P4 Exercıcio 411 Considere dois planos concorrentes dados pelas equacoes axbyczd 0 e αx βy γz δ 0 Note que a condi ao de serem concorrentes se traduz em que os vetores normais aos planos ai bj ck e αi βj γk sao linearmente independentes Dado um ponto Po xo yo zo utilize o teorema 411 para encontrar o ponto x y z contido na interseccao dos planos dados uma reta que esta mais proximo a ele Encontre tambem esta distˆancia 38 CAPITULO 4 O PROBLEMA DE DOIS VINCULOS Capıtulo 5 Transformacoes 51 Definicao e Propriedades Basicas Chamaremos de transformacao a uma funcao definida em um subconjunto A de Rn e que assume valores em Rm Assim uma transformacao pode ser pensada como uma funcao de varias variaveis a valores vetoriais Escreveremos T A Rn Rm com T x1 xn T1x1 xn Tmx1 xn ou de forma abreviada T P T1P TmP As funcoes Tj A R j 1 m sao chamadas de funcoes coordenadas da transformacao T A soma e multiplicacao por um escalar sao definidas de maneira natural Definicao 511 Se T e S sao transformacoes definidas num domınio comum A Rn e assumem valores em Rm definimos T SP T P SP e para cada escalar λ λT P λT P Definicao 512 A composta de duas transformacoes T A Rn Rm e S B Rm Rp tais que T A B e definida como sendo a transformacao S T A Rn Rp dada por S T P ST P P A Definicao 513 Sejam A Rn e B Rm Dizemos que a transformacao T A B e invertıvel se existir uma transformacao S B A tal que S T x x para todo x A e T Sy y para todo y B Exercıcio 511 Prove que se T e invertıvel entao sua inversa e unica Definicao 514 A inversa de uma transformacao invertıvel T e denotada por T 1 Exercıcio 512 Mostre que se T A B e S B C sao invertıveis entao a composta S T A C e invertıvel e sua inversa e dada por T 1 S1 39 CAPITULO 5 TRANSFORMAC OES 40 m Proposicao 511 Uma transformacao e invertıvel se e somente se for bijetora isto e injetora e sobrejetora Prova Exercıcio Definicao 515 Seja T A Rn Rm Dizemos que T e contınua em Po A se para cada ε 0 existir δ 0 tal que para todo P A satisfazendo P Po δ implicar em T P T Po ε Se T for contınua em todos os pontos de A dizemos que T e contınua em A Note na definicao acima o sımbolo representa tanto a distˆancia em Rn quanto no Rm Proposicao 512 Sejam T A Rm e S B Rm Rp tais que T A B Se T e contınua em Po A e S e contınua em T Po B entao a composta S T e contınua em Po Prova Como S e contınua em T Po dado ε 0 existe δ1 0 tal que para todo Q B satisfazendo Q T Po δ1 temse SQ ST Po ε Como T e contınua em Po existe δ 0 tal que para todo P A satisfazendo P Po δ temse T P T Po δ1 Combinando as desigualdades obtemos que ST P ST Po ε para todo P A satisfazendo P Po δ Proposicao 513 A fim de que uma transformacao T A Rn Rm seja contınua em Po A e necessario e suficiente que cada funcao coordenada Tj A Rn R j 1 m seja contınua em Po Prova Suponha que T seja contınua em Po Considere para cada j 1 m a funcao πj Rm R dada por πjy1 ym yj πj e claramente contınua pois e linear Note que Tj πj T e pela proposicao 512 seguese que Tj e contınua Suponha agora que cada Tj j 1 m seja contınua Assim dado ε 0 existe δj 0 tal que para todo P A satisfazendo P Po δj temse TjP TjPo ε δ minδ1 δm Se P e tal que P Po δ entao m Seja Σ Σ m ε 2 Σ m ε2 T P T Po Ou seja T e contınua em Po j1 TjP TjPo2 m j1 m j1 ε Proposicao 514 Se T S A Rn Rm sao contınuas em Po A entao a soma T S tambem e contınua em Po Se λ R entao λT tambem e contınua em Po Prova Exercıcio Sabemos que uma funcao f A Rn R de varias variaveis e diferenciavel em Po se existirem as suas derivadas parciais e lim fPo h fPo fPo h 0 h0 h Observe que fixado o ponto Po vemos que h f Po h define uma transformacao linear de Rn em R Esta nocao se estende de maneira analoga para transformacoes conforme a definicao a seguir 52 EXEMPLOS 41 x1 xn T1 Po T1 Po h1 Tm Po Tm Po T hn Definicao 516 Seja T A Rn Rm Dizemos que T e diferenciavel em Po A existirem as derivadas parciais das funcoes coordenadas Tj j 1 m e alem disso lim T Po h T Po JT Poh 0 h0 h onde JT Po e a matriz jacobiana de T dada por T1 Po T1 Po Tm Po Tm Po x1 e xn x1 J P h xn T o onde h h1 hn x1 xn A seguir enunciaremos sem demonstralos alguns resultados relativos a diferenciabilida de de transformacoes Proposicao 515 Regra da cadeia Sejam T A Rm e S B Rm Rp tais que T A B Se T e diferenciavel em Po A e S e diferenciavel em T Po B entao a composta S T e diferenciavel em Po Alem do mais a matriz jacobiana de S T em Po e dada por JST Po JST PoJT Po Proposicao 516 A fim de que uma transformacao T A Rn Rm seja diferenciavel em Po A e necessario e suficiente que cada funcao coordenada Tj A Rn R j 1 m seja diferenciavel em Po Proposicao 517 Se T S A Rn Rm sao diferenciaveis em Po A entao a soma T S tambem e diferenciavel em Po Se λ R entao λT tambem e diferenciavel em Po 52 Exemplos Exemplo 521 Coordenadas Polares Seja A 0 0 2π e defina T A R2 por T r θ r cos θ r sen θ Como cada funcao coordenada de T e diferenciavel vemos que T tambem o e A sua matriz jacobiana e dada por J r θ cos θ r sen θ sen θ r cos θ Neste caso a matriz e quadrada e vˆese facilmente que seu determinante e dado por r Note que a imagem pela transformacao T do segmento ro 0 2π e o cırculo centrado na origem de raio ro Ja a imagem da semireta 0 θo e uma outra semireta com origem em 0 0 e direcao cos θo sen θo CAPITULO 5 TRANSFORMAC OES 42 o 2 o cos θ r sen θ 0 sen ϕ cos θ ρ sen ϕ sen θ ρ cos ϕ cos θ Exemplo 522 Coordenadas Cilındricas Seja A r θ z r 0 0 θ 2π z R e defina T A R3 por T r θ z r cos θ r sen θ z Vˆese que T e uma transformacao diferenciavel com matriz jacobiana dada por e o seu determinante e r JT r θ z sen θ r cos θ 0 0 0 1 Note que T transforma a faixa ilimitada ro 0 2π R no cilindro x y z x2 y2 r2 e leva o semiplano 0 θo R no semiplano x y z sen θox cos θoy 0 e x cos θo y sen θo 0 Exemplo 523 Coordenadas Esfericas Seja A ρ θ ϕ ρ 0 0 θ 2π 0 ϕ π e defina T A R3 por T ρ θ ϕ ρ sen ϕ cos θ ρ sen ϕ sen θ ρ cos ϕ A transformacao acima e diferenciavel e sua matriz jacobiana e dada por JT ρ θ ϕ e o seu determinante e sen ϕ sen θ ρ sen ϕ cos θ ρ cos ϕ sen θ cos ϕ 0 ρ sen ϕ cos ϕρ2 cos ϕ sen ϕ sen2 θ ρ2 cos ϕ sen ϕ cos2 θ 2 2 2 ρ sen ϕρ sen ϕ cos θ ρ sen ϕ sen θ ρ2 cos2 ϕ sen ϕ ρ2 sen3 ϕ ρ2 sen ϕ Vejamos agora como esta transformacao age sobre os conjuntos a seguir Para isto usa remos a seguinte notacao para as funcoes coordenadas x ρ cos θ sen ϕ y ρ sen θ sen ϕ z ρ cos ϕ Observe que valem as relacoes x2 y2 z2 ρ2 x2 y2 ρ2 sen2 ϕ 2 2 2 2 1 Aρo ρ θ ϕ A ρ ρo 0 Uma simples verificacao nos da que x y z ρ isto e o conjunto Aρo que representa nas variaveis ρ θ e ϕ uma porcao de um plano e levado sobre uma esfera centrada na origem de raio ρo Na verdade a imagem e toda a esfera 52 EXEMPLOS 43 Figura 51 Coordenadas Esfericas 2 Aθo ρ θ ϕ A θ θo Neste caso vale a seguinte igualdade x sen θo y cos θo 0 que representa a equacao de um plano vertical contendo o eixo z Note porem que x cos θo y sen θo ρ sen ϕ 0 pois ρ 0 e 0 ϕ π Assim a imagem de Aθo e um semiplano 3 Aϕo ρ θ ϕ A ϕ ϕo 0 π Temos z2 ρ2 cos2 ϕo x2 y2 sen2 ϕo cos2 ϕo cot2 ϕox2 y2 Note porem que z ρ cos ϕo e portanto o sinal de z e o mesmo de cos ϕo que coincide com o de cot ϕo quando 0 ϕo π que e o nosso caso Logo z cot ϕo x2 y2 Esta ultima equacao representa um cone de abertura ϕo Note que ele se degenera no plano z 0 quando ϕo π2 Observe tambem que o cone e voltado para cima no caso em que 0 ϕo π2 e voltado para baixo quando π2 ϕo π Exemplo 524 Considere os conjuntos A x y 0 x 2π 1 y 1 Bx y z x2 y2 1 1 z 1 x y 1 0 CAPITULO 5 TRANSFORMAC OES 44 Figura 52 θ θo e C x y z x2 y2 z2 1 z 1 z 1 x 1 z2 O conjunto A representa obviamente um retˆangulo em R2 B representa um cilindro do qual foi subtraıdo o segmento 1 0 1 1 e finalmente C representa a esfera unitaria centrada na origem menos um meridiano Considere as transformacoes T A B e S B C dadas por T x y cos x sen x y e Sx y z x 1 z2 y 1 z2 z Deixamos a cargo do leitor que verifique que realmente a transformacao T leva o conjunto A no conjunto B enquanto que S leva B em C Vamos verificar que estas transformacoes sao invertıveis Seja u v w B Como u2 v2 1 e u v 1 0 existe apenas um numero x xu v 0 2π tal que u cos x e v sen x Desse modo podemos definir H B A por Hu v w x w onde x e como acima Desse modo HT x y Hcos x sen x y x y para todo x y A e T Hu v w T xu v w cos xu v sen xu v w u v w 52 EXEMPLOS 45 Figura 53 ϕ ϕo 0 π2 Figura 54 ϕ ϕo π2 π CAPITULO 5 TRANSFORMAC OES 46 Figura 55 A Figura 56 B 52 EXEMPLOS 47 Figura 57 C para todo u v w B Portanto H e a inversa de T Geometricamente o que a transformacao T faz e enrolar o retˆangulo A de modo que ele fique com o forma do cilindro B sem colar as bordas Obviamente H faz o oposto Considere agora R C B dada por Ru v w u 1 w2 v 1 w2 w Note que realmente temos Ru v w B se u v w C Alem do mais RSx y z Rx 1 z2 y 1 z2 z x1 z2 1 z2 y 1 z2 1 z2 z x y z para todo x y z B e tambem SRu v w S u 1 w2 v 1 w2 w para todo u v w C u 1 w2 1 w2 v 1 w2 1 w2 w u v w Geometricamente a transformacao R projeta o cilindro B sobre a esfera C preservando a altura do ponto projetado Note que como T e S sao ambas invertıveis a composta H S T A C tambem o e Vamos denotar por G a inversa de H e desse modo G esta definida em C e tomando valores em A Pense no conjunto C como se fosse o globo terrestre e em A um mapamundi CAPITULO 5 TRANSFORMAC OES 48 Figura 58 Projecao de B em C Os meridianos do globo sao levados pela transformacao G em segmentos verticais no mapa A enquanto que os paralelos sao levados em segmentos verticais Verifique analiticamente a tıtulo de exercıcio que o equador de C corresponde ao segmento x 0 x 0 2π Note que regioes no globo proximas ao polo norte por exemplo sao levadas por G em regioes localizadas proximas a parte superior do mapa E interessante notar a distorcao que ocorre neste caso isto e uma pequena calota ao redor deste polo corresponde a uma faixa extensa no mapa Veja a figura 59 A mesma analise e valida para o polo oposto Entretanto a representacao e mais fiel no sentido de preservar o tamanho entre regioes correspondentes quando as regioes de C se encontram mais proximas do equador Mais surpreendente ainda e que em qualquer caso regioes proximas aos polos equador etc as areas das regioes correspondentes isto e a area de uma regiao A1 A e a de sua imagem HA1 C sao as mesmas Essa afirmacao entretanto so podera ser verificada quando estudarmos integrais de superfıcies Por ora verifique que a area de A e de C sao iguais a 4π 52 EXEMPLOS 49 Figura 59 Faixa correspondente no mapa a uma regiao do globo proxima ao polo norte CAPITULO 5 TRANSFORMAC OES 50 Capıtulo 6 Teorema da Funcao Inversa 61 Introducao Recordemos que se f a b R e uma funcao de uma variavel de classe C1 tal que f Jx 0 para todo x a b entao pelo teorema da conservacao do sinal temos que f Jx 0 para todo x a b ou f Jx 0 para todo x a b Suponhamos que f J 0 Assim se a x y b entao pelo Teorema do Valor Medio existe ξ x y tal que f y f x f Jξy x 0 isto e f x f y e portanto f e crescente Daı se conclui que f possui inversa definida na sua imagem Nossa intencao e obter um resultado analogo para transformacoes Note que o primeiro empecilho a caminho de uma tal generalizacao e encontrar uma relacao adequada que envolva as derivadas das funcoes coordenadas da transformacao em questao Vejamos o que o seguinte exemplo de uma simples transformacao linear nos pode dizer Exemplo 611 Seja T R2 R2 dada por T x y ax by cx dy onde a b c e d sao constantes E claro que T possui inversa se e somente se o seguinte sistema possuir uma unica solucao ax by u cx dy v para cada par u v R2 Equivalentemente T possui inversa se e somente se o determinante da matriz a b c d for diferente de zero Como a matriz acima e a jacobiana de T podemos afirmar que para que uma transformacao linear seja invertıvel e necessario e suficiente que o determinante da sua matriz jacobiana seja diferente de zero Este caso se estende de maneira obvia para transformacoes lineares T Rn Rn Vejamos mais um exemplo Exemplo 612 Considere T R2 R2 dada por T x y ex cos y ex sen y 51 CAPITULO 6 TEOREMA DA FUNC AO INVERSA 52 e 0 para todo x y R O determinante de sua matriz jacobiana e ex cos y ex sen y x 2 No entanto uma simples verificacao nos mostra que T x y T x y 2π para todo x y R2 e portanto T nao e injetiva Deste modo a informacao de que o determinante da matriz jacobiana e diferente de zero nao nos da garantia de que a transformacao seja invertıvel Contudo neste mesmo exemplo se ao inves de R2 tomarmos como domınio de T a regiao A x y x R 0 y 2π podemos ver que T possui inversa definida no complementar de x 0 x 0 em R2 62 O Teorema da funcao inversa A seguir enunciaremos sem demonstracao o teorema que engloba o exemplo 612 Teorema 621 Teorema da Funcao Inversa Sejam A Rn um conjunto aberto e T A Rn uma transformacao de classe C1 Se Po A e tal que det JT Po 0 entao existem uma bola aberta B A centrada em Po e um aberto C contendo T Po tais que T B C e invertıvel e sua inversa T 1 C B e uma funcao de classe C1 Alem do mais a matriz jacobiana de T 1 em T Po e dada por JT1 T Po JT Po1 61 Observacao 621 Note que uma vez provada a existˆencia de T 1 e que T 1 e uma trans formacao de classe C1 a formula 61 segue da regra da cadeia e do fato que T 1T x x para todo x B Definicao 621 Se T satisfizer as hipoteses do teorema 621 diremos que T e localmente invertıvel em torno do ponto Po Exercıcio 621 Seja T R2 R2 dada por T x y x xy xy 1 Calcule T 0 y y R 2 T e invertıvel Justifique 3 T e localmente invertıvel em torno de x y A x y x 0 Resolucao 1 T 0 y 0 0y 0y 0 0 para todo y R 2 T nao e invertıvel pois nao e injetora T 0 1 T 0 0 por exemplo ex sen y ex cos y det y x y uv 62 O TEOREMA DA FUNC AO INVERSA 53 3 Como T e claramente de classe C1 e det 1 y x x xy xy x 0 pois x y A vemos que T satisfaz as hipoteses do teorema 621 e portanto e localmente invertıvel em torno de x y A No exercıcio acima e possıvel encontrar a inversa de T quando tomamos A para o seu domınio Basta resolvermos para cada u v tal que u v 0 o seguinte sistema x xy u xy v x u v 0 v uv Assim colocando B u v u v 0 e definindo S B A por Su v u v v podemos verificar que v v v T Su v T u v u v u v u vu v u vu v u v para todo u v B e xy ST x y Sx xy xy x xy xy x xy xy x y para todo x y A verificando assim que S e a inversa de T A B Exemplo 621 Note que nos exemplos de transformacoes de coordenadas polares 521pa ra r 0 coordenadas cilındricas 522 r 0 e coordenadas esfericas 523ρ 0 e 0 ϕ π se verifica que o determinante da matriz jacobiana e diferente de zero CAPITULO 6 TEOREMA DA FUNC AO INVERSA 54 dx dx 3y2x Capıtulo 7 Funcoes Definidas Implicitamente 71 Derivacao de Funcoes Definidas Implicitamente Muitas vezes uma funcao y gx e definida implicitamente pela equacao f x y 0 isto e se para todo x Dg f x gx 0 e supondo que f e g sejam diferenciaveis vamos tentar calcular gJx para aqueles x Dg satisfazendo fyx gx 0 Assim d f x gx 0 dx ou dg e daı desde que fyx gx 0 fxx gx fyx gxdx x 0 gJx fxx gx fyx gx Do mesmo modo se x hy e definida implicitamente e por f x y 0 isto e se para todo y Dh f hy y 0 com f e h diferenciaveis entao para cada x Dh tal que fxhy y 0 temos hJy fyhy y fxhy y Exemplo 711 A funcao y yx e definida implicitamente pela equacao y3 xy x3 3 Expresse dy em termos de x e y Solucao dy y3x2 sempre que 3y2 x 0 e x Dy 55 CAPITULO 7 FUNC OES DEFINIDAS IMPLICITAMENTE 56 z x x x dx e y f xyz x y dx z dx z dx dx e dx x y dx z dx Exemplo 712 Suponha que a funcao diferenciavel z gx y seja dada implicitamente pela equacao f x y z 0 onde f e diferenciavel em um aberto de IR3 Verifique que z f xyz x f xyz f xyz em x y Dg e z gx y com f x y z 0 f b z y em x y Dg e z gx y com x y z 0 Solucao a Para todo x y Dg f x y gx y 0 Daı g 0 xf x y gx y fxx y gx y fzx y gx yxx y e g x y fxx y gx y x fzx y gx y para x y Dg z gx y e fzx y gx y 0 b Segue de forma semelhante Exemplo 713 Seja z zx y dada por xyz x3 y3 z3 5 Expresse z em termos de x y e z Solucao z yz3x2 xy3z2 para os x y Dz tal que xy 3zx y2 0 Exemplo 714 As funcoes diferenciaveis y yx z zx definidas no intervalo aberto I sao dadas implicitamente por F x y z 0 Gx y z 0 onde F e G sao funcoes diferenciaveis em um aberto do IR3 Expresse dy dz em termos das derivadas parciais de F e G Solucao Como F x yx zx 0 Gx yx zx 0 71 Isto significa que a curva γx x yx zx esta contida na interseccao das superfıcies F x y z 0 e Gx y z 0 Para obter dy dz derivamos 71 em relacao a x F F dy F dz 0 G G dy G dz 0 z z a 71 DERIVAC AO DE FUNC OES DEFINIDAS IMPLICITAMENTE 57 yz x y dx z dx G G dy G dz x z y x 0 Figura 71 Interseccao de duas superfıcies isto e F F dy F dz Daı para todo x I com x y dx z dx em x yx zx Temos F F y z G G z F x dy G F z G F y dz G F x G Notacoes FG e usado para indicar o que chamamos determinante Jacobiano de F e G em relacao a y e z Assim F G y z FG F F y z G G y z FG dy xz dz dx FG e dx yz yx FG yz y dx e dx CAPITULO 7 FUNC OES DEFINIDAS IMPLICITAMENTE 58 dx e x y y y y y Exemplo 715 Sejam yx e zx diferenciaveis em IR e dadas implicitamente por Calcule dy a 2x y z 3 b x y z 1 dz dx x2 y2 z2 3 x y 1 zx 0 72 O Teorema da funcao implıcita caso F x y 0 A partir daqui vamos iniciar a demonstracao do teorema das funcoes implıcitas caso F x y 0 Este teorema trata do seguinte problema Dada uma equacao F x y 0 F di ferenciavel quando e que podemos dizer que esta equacao define uma funcao diferenciavel y yx Dito de outra forma quando e que podemos explicitar y na equacao F x y 0 como uma funcao diferenciavel de x Alem disso qual e o valor da derivada de y relativamente a x Lema 721 Seja F x y uma funcao de classe C1 em um aberto A IR2 e seja x0 y0 A com F x0 y0 0 Suponha que F x0 y0 0 Entao existem intervalos abertos I e J com x0 I e y0 J tais que para cada x I existe um unico gx J com F x gx 0 Prova Sabemos que F e uma funcao contınua pois por hipotese F e de classe C1 Como F x0 y0 0 devemos ter que F x0 y0 0 ou que F x0 y0 0 Assuma primeiramente que F x0 y0 0 Do Teorema da Conservacao do Sinal existe uma bola aberta B de centro em x0 y0 que podemos supor contida em A ja que A e aberto tal que F y x y 0 x y B Sejam y1 e y2 tais que y1 y0 y2 com x0 y1 e x0 y2 em B Figura 72 Bola B Fixado x0 consideremos z F x0 y y y1 y2 72 72 O TEOREMA DA FUNC AO IMPLICITA CASO F X Y 0 59 y y Figura 73 Um corte de parte do grafico de F com o plano x xo Como F x0 y 0 para todo y y1 y2 temos que a funcao 72 e estritamente crescente em y1 y2 Sabendo que F x0 y0 0 devemos ter que F x0 y1 0 e F x0 y2 0 Seja J y1 y2 e observe que y0 gx0 e o unico numero em J tal que F x0 gx0 0 Como F x0 y1 0 e F x0 y2 0 segue novamente do Teorema da Conservacao do Sinal que existe um intervalo aberto I x0 I tal que x y1 e x y2 estao em B para todo x I e F x y1 0 F x y2 0 para todo x I Como F x y 0 em B temos que para cada x I a funcao z F x y x fixo 73 e estritamente crescente em y1 y2 tendo em vista que F x y1 0 e F x y2 0 pelo Teorema do Valor Intermediario e pelo fato que 73 e estritamente crescente em y1 y2 existira um unico gx y1 y2 tal que F x gx 0 Figura 74 Curvas de nıvel de F pelos pontos xo yj e x yj x I j 0 1 2 Deste modo esta unicamente determinada a funcao g I J definida implicitamente pela equacao F x y 0 CAPITULO 7 FUNC OES DEFINIDAS IMPLICITAMENTE 60 0 y y 0 y y y x x y 0 0 2 x 0 0 1 0 A seguir comecamos a investigar a diferenciabilidade da funcao g obtida no Lema 721 Lema 722 Seja F A IR2 R A aberto uma funcao diferenciavel em x0 y0 A Entao existem funcoes ϕ1x y e ϕ2x y definidas em DF tais que F x y F x0 y0 Fxx0 y0x x0 Fyx0 y0y y0 com ϕ1x yx x0 ϕ2x yy y0 74 lim xyx0y0 ϕix y 0 ϕix0 y0 i 1 2 75 Prova A prova deste lema e uma aplicacao imediata da definicao de diferenciabilidade e e deixada como exercıcio para o leitor Lema 723 A funcao g do Lema 721 e diferenciavel em x0 e F x0 gx0 gJx x 76 F x0 gx0 Prova Colocando y gx e y0 gx0 em 74 lembrando que F x gx 0 e F x0 gx0 0 e dividindo por x x0 0 temos 0 F x gx F x gx gx gx0 ϕ x gx ϕ x gx gx gx0 x 0 0 Daı y 0 0 x x0 x x0 gx gx0 F x gx ϕ x gx F x gx ϕ x gx Fazendo x x0 obtemos lim gx gx0 F x gx F x gx xx0 x x0 y 0 0 x 0 0 ja que F x0 gx0 0 Disto segue que g e diferenciavel em x0 e que F x0 gx0 gJx x F x0 gx0 Sintetizamos estes resultados no teorema a seguir Teorema 721 Teorema das Funcoes Implıcitas Caso F x y 0 Seja F x y u ma funcao de classe C1 definida em um aberto A do IR2 e x0 y0 A com F x0 y0 0 Nestas condicoes se F x0 y0 0 entao existirao intervalos abertos J e I com x0 I e y0 J tais que para cada x I existe um unico gx J com F x gx 0 A funcao g I J e diferenciavel e F x gx gJx x F x gx 1 2 73 O TEOREMA DAS FUNC OES IMPLICITAS CASO GERAL 61 y x x y x y y1 y y1yn y1 y Fn y1 Fn n yn 0 0 Fn Fn n n n 1 o o y1 Observacao 721 Se a hipotese F x0 y0 0 for substituida por F x0 y0 0 entao existirao intervalos I e J como acima tais que para cada y J existe um unico hy I com F hy y 0 A funcao h J I e diferenciavel e F hy y hJy y F hy y Observacao 722 A funcao gx do teorema anterior e continuamente diferenciavel Exercıcio 721 Seja F x y y3 xy x3 3 Mostre que existe uma funcao y yx definida em uma vizinhanca de x 1 tal que y1 1 e calcule yJ1 73 O Teorema das funcoes implıcitas Caso Geral Teorema 731 Teorema das Funcoes Implıcitas Caso Geral Sejam A IRm B IR conjuntos abertos e F A B IR uma transformacao de classe C Coloque x x1 xm para denotar os elementos de A e y y1 yn os de B Suponha que exista xo yo A B tal que F xo yo 0 e que o determinante jacobiano F1 F1 F1 Fn det y1 yn 0 em x y A B Entao existem um conjunto aberto AJ A contendo xo e uma transformacao de classe C1 G AJ IRn tal que F x Gx 0 para todo x AJ Prova Considere a transformacao T A B IRm IRn dada por T x y x F x y x1 xm F1x y Fnx y A matriz jacobiana de T no ponto xo yo e dada por 1 0 0 0 J 0 1 0 0 T o o 0 0 F1 F1 que e exatamente F1Fn xo yo 0 Logo pelo Teorema da Funcao Inversa 621 T e localmente invertıvel em torno de xo yo Assim existem abertos Ao A e Bo B tais que xo Ao yo Bo e T restrita a Ao Bo possui uma inversa S V Ao Bo onde V IRm IRn e imagem de Ao Bo pela T Temos que para u v u1 um v1 vn V u v T Su v T S1u v Smu v Sm1u v Smnu v n nn xoyo CAPITULO 7 FUNC OES DEFINIDAS IMPLICITAMENTE 62 z z z yz FGx yx zx FGx yx zx y xz yx S1u v Smu v F S1u v Smu v Sm1u v Smnu v Como T xo yo xo F xo yo xo 0 seguese que xo 0 V e assim como V e aberto existe AJ Ao tal que x 0 V para todo x x1 xm AJ Desse modo x 0 S1x 0 Smx 0 F S1x 0 Smx 0 Sm1x 0 Smnx 0 ou seja e x1 S1x 0 xm Smx 0 F x1 xm Sm1x 0 Smnx 0 0 0 Podemos entao definir G AJ Rn por Gx Sm1x 0 Smnx 0 e finalmente obtemos F x Gx 0 Q Escreveremos a seguir dois casos particulares do teorema anterior Teorema 732 Teorema das Funcoes Implıcitas Caso F x y z 0 Seja F A IR3 R uma funcao de classe C1 A aberto e x0 y0 z0 A com F x0 y0 z0 0 Nestas condi oes se F x0 y0 z0 0 entao existira uma bola aberta B de centro em x0 y0 e um intervalo J com z0 J tais que para cada x y B existe um unico gx y J com F x y gx y 0 A funcao g B J e diferenciavel e g F x y gx y x y x e x F x y gx y g F x y gx y x y y F x y gx y Observacao 731 A funcao g B J e uma funcao de classe C1 pois as suas derivadas parciais sao contınuas Exercıcio 731 Seja F x y z xyz x3 y3 z3 4 Mostre que a equa ao F x y z 0 define uma funcao z gx y em uma vizinhanca de 1 1 e tal que g1 1 1 Teorema 733 Teorema das Fun oes Implıcitas Caso F x y z 0 e Gx y z 0 Seja F G A IR3 R funcoes de classe C1 A aberto e x0 y0 z0 A com F x0 y0 z0 Gx0 y0 z0 0 Nestas condicoes se FGx0 y0 z0 0 entao existirao um intervalo aberto I com x0 I e um par de funcoes y yx e z zx definidas e de classe C1 em I tais que para todo x I F x yx zx 0 alem disso y0 yx0 z0 zx0 Temse ainda dy FG x yx zx x e dx yz dz FG x yx zx x dx yz Exercıcio 732 Sejam F x y z x2 y2 z2 3 e Gx y z x y 2 Mostre que as equa oes F x y z Gx y z 0 definem funcoes y yx z zx em uma vizinhanca de x0 1 e tais que y1 z1 1 73 O TEOREMA DAS FUNC OES IMPLICITAS CASO GERAL 63 z z x y x x y y y 2 2 4 z z 2 2 4 2 2 0 2 Exemplo 731 Mostre que a equacao sen2 x sen2 y sen2 z 52 77 define implicitamente uma funcao z gx y tal que g π π π Verifique que π π e um ponto de mınimo local de g 2 2 4 2 2 Considere F R3 R dada por F x y z sen2 x sen2 y sen2 z 52 Note que F e suave e F π π π 0 Tambem F x y z 2 sen z cos z sen 2z e F π π π 1 0 Assim pelo teorema das funcoes implıcitas a equacao 77 define z gx y para x y proximo a π π com g π π π 2 2 2 2 4 Passemos agora a verificar que este ponto e de mınimo local Temos g F x y gx y x y x x F x y gx y e sen 2x sen2gx y g π x 2 π 0 2 F x y gx y x y y y F x y gx y sen 2y sen2gx y g π y 2 π 0 2 verificando assim que π π e um ponto crıtico As derivadas de segunda ordem de g sao 2 2 calculadas a partir das formulas acima e sao dadas por 2g x2 2 sen2gx y cos 2x 2 cos2gx y sen 2xg x y sen22gx y 2g y2 e 2 sen2gx y cos 2y 2 cos2gx y sen 2yg x y sen22gx y 2g xy x y 2 sen 2x cos2gx y g x y sen22gx y Calculando no ponto π π obtemos a matriz hessiana da g 2 2 Hess π π 2 0 cujo determinante e 4 Como 2g π π 2 0 seguese do teste da hessiana que π π e x2 2 2 2 2 um ponto de mınimo local de g g CAPITULO 7 FUNC OES DEFINIDAS IMPLICITAMENTE 64 Capıtulo 8 Integrais Multiplas 81 Integrais Iteradas Suponha que f R IR seja contınua onde R x y a x b c y d Conforme ja vimos e contınua em c d Logo F y b f x ydx a d F ydy d b f x ydx dy c c a faz sentido Uma integral deste tipo e chamada integral iterada e representa se f 0 o volume sob o grafico da f A regiao de integracao das integrais nao precisa ser um retˆangulo 65 CAPITULO 8 INTEGRAIS MULTIPLAS 66 Exemplo 811 Considere a regiao Rg x y IR2 a x b g1x y g2x Entao podemos formar a seguinte integral iterada b g2x f x ydy dx a g1x Exemplo 812 Considere a regiao Rh x y IR2 c y d h1y x h2y Entao podemos formar a seguinte integral iterada d h2y f x ydx dy c h1y Exemplo 813 Desenhe as regioes de integracao e calcule as integrais 1 2 x2 y2dy dx 103 0 0 2 u 5u2v dv du 0 0 2 1 82 INTEGRAIS MULTIPLAS 67 3 y2 2ycosxdx dy cos1 cos9 4 1 π6 Outra notacao para integrais iteradas b gy dy a hy f x ydx ou d hx dx c gx f x ydy 82 Integrais Multiplas Consideremos agora F B IRn IR Problema Definir de modo analogo ao do Calculo I a integral de f sobre B Um retˆangulo fechado R no IRn e um subconjunto do IRn constituıdo de todos os pontos x x1 xn que satisfazem as desigualdades ai xi bi i 1 n O volume de R denotado por V R e definido como V R b1 a1 bn an Se para algum 1 i n ai bi V R 0 Um numero finito de planos n 1 dimensionais no IRn paralelos aos planos coordenados e chamado uma rede 3 CAPITULO 8 INTEGRAIS MULTIPLAS 68 B Uma rede divide o IRn em um numero finito de conjuntos limitados retˆangulos e um numero finito de conjuntos nao limitados Dizemos que uma rede cobre um conjunto B IRn se este estiver contido em uma reuniao de retˆangulos fechados e limitados R1 Rn por ela determinados Claramente um conjunto pode ser coberto por uma rede se e somente se ele e limitado A Malha da Rede sera o maior comprimento dos lados dos retˆangulos limitados por ela determinados Sejam f IRn IR e B IRn tais que a B e limitado b f e limitada sobre B Seja f x f x se x B 0 se x B Seja G uma rede que cobre B e que tenha malha mG Em cada dos retˆangulos Ri determinados por G i 1 2 r escolhemos um ponto arbitrario Pi 82 INTEGRAIS MULTIPLAS 69 Σ Σ r A soma n fBPiV Ri i1 e chamada soma de Riemann de f sobre B relativa a rede G Se variando as redes G com mG tendendo a zero o r lim fBPiV Ri mG i1 existe ele e chamado integral de F sobre B sendo denotada por fdv B Se a integral existe f e dita integravel sobre B O limite fdv lim Σ fBPiV Ri mG i1 significa que dado ϵ 0 existe δ 0 tal que se G e qualquer rede que cobre B e tem malha menor que δ uma soma de Riemann S de f sobre B relativa a rede G e tal que Notacoes S fdv ou B B fdv ϵ f x ydx dy n 2 f x y zdx dy dz ou fdv n 3 B B Vamos interpretar geometricamente a integral dupla B f x ydx dy Suponha que f seja contınua e positiva sobre B Uma soma de Riemann aproxima o volume sob o grafico de f desta forma se S e o solido sob o grafico de f temos que V S B f x ydx dy B B CAPITULO 8 INTEGRAIS MULTIPLAS 70 Propriedades da Integral Se f g D IR sao funcoes integraveis e c IR entao i f g e integravel e f gx y dx dy f x y dx dy gx y dx dy D D D ii cf e integravel e D iii Se f g entao cf x y dx dy c D cf x y dx dy Pergunta O que dizer das integrais iteradas relativamente a integral quando ambas estao definidas Definicao 821 Um conjunto suave em IRn e a imagem de um conjunto compacto sob uma funcao φ IRm IRn n m e φ de classe C1 Ideia Geometrica Conjunto de Volume Nulo Teorema 821 Seja B IRn limitado tal que a fronteira de B esteja contida em um numero finito de conjuntos suaves e f uma funcao definida e limitada em B Se f e contınua em B exceto possivelmente em uma reuniao finita de conjuntos suaves entao f e integravel sobre B O valor B fdv nao se altera por troca dos valores de f sobre qualquer conjunto suave D f x y dx dy D gx y dx dy 82 INTEGRAIS MULTIPLAS 71 n j i1 n n n2 n3 i1 n3 i1 2 n2 i1 n2 2 Exemplo 821 2y xdx dy B onde B x y IR2 0 x 2 e 0 y 1 O teorema anterior assegura a existˆencia da integral Assim qualquer sequˆencia de somas de Riemann associadas as redes que tem malha tendendo a zero pode ser usada para avaliar a integral Considere Gn a rede constituıda pelas retas xi i 0 i 2n e yj j 0 j n Seus retˆangulos sao R x y IR2 x x n n y y 1 i 2n e 1 j n Cada dos retˆangulos Rij tem malha mGn 1 Em cada dos retˆangulos Rij escolhemos o ponto xi yj i j 1 i 2n e j n Entao n n Rn Σ2n Σ n i 2j 1 1 Σ2n Σ ni 2j 1 Σ2n ni 2nn1 1 Σ2n i n 1 1 2n 12n 2nn 1 4 ij i1 xi yj1 j1 j1 CAPITULO 8 INTEGRAIS MULTIPLAS 72 2 x2 R R B R quando n Uma avaliacao deste tipo e bastante trabalhosa mesmo em casos em que a funcao e o con junto envolvidos no calculo da integral sejam bastante simples Para sanar estas dificuldades temos o seguinte resultado Teorema 822 Fubini Seja R a1 b1 an bn e f R IR uma funcao integravel sobre R Entao para qualquer permutacao p 1 n 1 n as integrais existem e bp1 ap1 dxp1 bp2 ap2 dxp2 bpn apn f x1 xndxpn f x1 xn dx1 dxn ap1 ap1 dxp1 ap2 ap2 dxp2 apn apn fdxpn Observacao 821 Se f e integravel em R as integrais iteradas em ordens distintas existem e todas elas coincidem com a integral multipla da f em R Exemplo 822 1 Se R a b c d e f R IR e f 1 entao 1 dx dy b ad c 2 Se R a1 b1 a2 b2 a3 b3 e f R IR e f 1 entao 1 dx dy b1 a1b2 a2b3 a3 Exemplo 823 Calcular a integral 2y xdx dy B x y IR2 0 x 2 0 y 1 Solucao Note que pelo teorema acima 2y xdx dy B 2 1 dx 2y xdy 0 0 2 1 xdx x 0 2 0 2 2 4 Exemplo 824 Calcular a integral xyz dx dy dz R x y z IR3 1 x 2 0 y 1 1 z 2 Solucao Note que pelo teorema acima xyz dx dy dz R 2 1 dx dy 1 0 2 9 xyz dz 1 8 R iteradas 82 INTEGRAIS MULTIPLAS 73 2 2 Observacao 822 Pode acontecer que as integrais iteradas existam sem que exista a integral multipla Contra Exemplo Considere a funcao f x y 1 x e racional 2y x e irracional definida em R x y IR2 0 x 1 0 y 1 Entao 1 1 dx f x y dy 0 0 1 1 dx 1 0 mas a integral R fdx dy nao existe Exercıcio 821 Mostre que R f x y dx dy nao existe Sugestao Escolha os pontos xi yj racionais entao S1 1 Em seguida escolha ate y 1 xi yj de tal forma que xi e irracional e para y 1 escolhemos xi yj racionais O teorema a seguir e bastante util quando queremos determinar a integral de uma funcao em regioes complicadas como veremos adiante Teorema 823 Seja D como no teorema anterior e f D IR integravel Se D D1 D2 onde D1 e D2 sao como acima e IntD1 IntD2 ø entao fdv f dv f dv D D1 D2 Como observamos anteriormente o calculo da integral multipla de uma funcao de varias variaveis reais a valores reais e mesmo nos casos mais simples uma tarefa difıcil O Teorema de Fubini parece ser a ferramenta que tornara menos ardua a tarefa de calcular tais integrais no entanto a sua utilizacao esta restrita ao calculo de integrais em retˆangulos Vamos agora observar que o Teorema de Fubini na forma apresentada pode de fato ser utilizado para um numero bastante grande de regioes Faremos isto atraves de exemplos em IR2 que facilmente se estende a dimensoes mais altas Exemplo 825 Seja f g a b IR duas funcoes reais limitadas com f x gx para todo x a b e D x y a x b f x y gx Entao f x y dx dy D b gx dx a f x f x y dy CAPITULO 8 INTEGRAIS MULTIPLAS 74 Para verificar que este e o caso basta considerar as constantes d supxab gx e c infxab f x e definir f da seguinte forma fx y f x y se x y D e fx y 0 se x y RD onde R a b c d Segue daı que f e integravel em R D RD e f x y dx dy b d f x y dx dy b gx f x y dx dy R a c a f x Exemplo 826 Seja h1 h2 c d IR duas funcoes reais limitadas com h1y h2y para todo y c d e D x y c y d h1y x h2y Entao f x y dx dy D d h2y dy c h1y f x y dx A verificacao deste fato e similar a verificacao do exemplo anterior Exemplo 827 Seja a funcao f 1 integravel sobre um conjunto B IRn Entao defini mos o volume de B como sendo V B B 1 dv B dv 82 INTEGRAIS MULTIPLAS 75 a 1 dx dy b a area de um retˆangulo de altura 1 tendo como base o intervalo a b B No caso n 2 o volume acima referido e a area Entao escrevemos AB Motivacao geometrica Caso n 1 b Caso n 2 1 dx dy AB1 volume sob o grafico da funcao f 1 definida em B IR2 Observacao 823 Suponha que S e um subconjunto suave do IRn entao V S S 1 dv S 0 dv 0 onde a penultima igualdade e obtida trocandose os valores da funcao f 1 sobre o conjunto S fazendoos iguais a zero Para alguns tipos de conjuntos a integral B 1 dv nao existe neste caso o volume de B nao esta definido CAPITULO 8 INTEGRAIS MULTIPLAS 76 Exemplo 828 B 0 1 Q nao tem seu volume definido Exemplo 829 Se R e um retˆangulo entao V R Πlados R 1 dv Exemplo 8210 Ache o volume da regiao B IR3 limitada pelos planos coordenados x 0 y 0 z 0 e pelo plano x y z 1 Solucao 1 1x dx dy 0 0 1xy 0 dz 16 De outro modo poderıamos fazer o calculo do volume do solido sob o grafico da funcao f x y 1 x y V B 1 1x dx 0 0 1 x ydy 16 Exemplo 8211 Determine o volume do solido cuja base e a regiao do plano xy delimitada pela parabola y 2 x2 e pela reta y x e cuja parte superior esta contida no plano z x 2 82 INTEGRAIS MULTIPLAS 77 1 V dx 2 ou 2x2 dy x x2 0 dz 274 1 V dx 2 2x2 x x 2dy 274 Exemplo 8212 Seja B a regiao do plano representada abaixo Calcule a area de B Solucao AB dx dy b f x dy b f xdx B a 0 a Exemplo 8213 Em IR2 calcular a area entre a parabola y x2 e a reta y x 2 Solucao 2 A dx 1 x2 dy x2 CAPITULO 8 INTEGRAIS MULTIPLAS 78 ou 1 A dy 0 y y dx 4 y dy dx 1 y2 Observacao 824 Este ultimo exemplo da uma ideia de como e importante escolher ade quadamente a ordem de integracao 821 Regras para estabelecer limites de integrac iteradas ao para integrais Primeira Etapa Achar os valores extremos da variavel externa Por exemplo b dx dy a f x y zdz 82 INTEGRAIS MULTIPLAS 79 Segunda Etapa Fixe a variavel externa em um valor generico ex x determinando um corte na regiao solida Determine os valores extremos da variavel intermediaria neste corte Por exemplo b gx dx a hx dy f x y zdz Terceira Etapa Fixe agora neste corte a variavel intermediaria Determine os valores extremos da variavel interna Por exemplo b gx dx dy a hx sxy lxy f x y zdz Exemplo 8214 1 2x2 dx dy 2 x x2 dz 0 Exemplo 8215 Encontre o volume sob o grafico do paraboloide z x2 y2 e acima da regiao R 1 1 1 1 do plano xy Solucao V x2 y2dx dy R 1 1 dy 1 1 x2 y2dx 1 2 1 3 2y2dy 83 Exemplo 8216 Calcular D x dx dy onde D e um triˆangulo de vertices 0 0 1 1 e 0 1 CAPITULO 8 INTEGRAIS MULTIPLAS 80 π Solucao ou x dx dy D 1 1 dx x dy 0 x 1 x1 xdx 16 0 x dx dy 1 y dy x dx 1 y2 dy 16 D 0 0 0 2 Exemplo 8217 Seja D x y IR2 x y 1 0 x 1 Calcule a integral x ey dx dy D Solucao x ey dx dy D 1 1 dx 0 x x ey dy 1 y2 1 x xy2 1 1 y1 1 dy 0 0 ey dx yey x0 dx 0 ye 0 ydy 2 y 1e 0 2 Exemplo 8218 Calcule a integral π 2 I dy 2 3 cos y 0 x2sen2ydx e desenhe o domınio de integracao Solucao A regiao e dada por 2 π π x y IR 2 y 2 0 x 3 cos y y x 82 INTEGRAIS MULTIPLAS 81 π π π 0 5 2 0 D Vamos agora calcular a integral π 3 cos y dy 2 0 x2sen2ydx π 2 9cos y3seny2dy 2 2 1 18 cos y1 seny2seny2dy 18 1 u2u2du 12 Definicao 822 Se f g D IR sao funcoes integraveis e f x y gx y x y D entao o volume de B x y z x y D e f x y z gx y e gx y f x ydx dy Exemplo 8219 Calcule o volume do solido compreendido entre os paraboloides z x2 y2 e z 4 x2 y2 CAPITULO 8 INTEGRAIS MULTIPLAS 82 2 y 2 dx 2 x2 y2dy 8 2x2 2y x y 3 2 x2 2 x 2 dx Solucao Note que os dois paraboloides se interceptam para pontos da circunferˆencia x y x2 y2 2 O volume do solido e dado por V 4 x2 y2 x2 y2dx dy 2 2 x2 y2dx dy 2 2x2 2 2x2 2 3 2 2 3 Fazendo a mudanca de variavel x 2senu temos que V 8 π 2 4 cos u 4senu2 cos u 4 cos u3 cos udu 3 32 π 2 cos u2 senu2cos u2 1 cos u4du 4π 3 onde para resolver a ultima integral acima utilizamos as formulas trigonometricas de arco duplo Exemplo 8220 Desenhe as regioes de integracao para as integrais iteradas 2 4x 1 3 y Exercıcio 822 Calcule R f dv para as seguintes escolhas de f e R a f x y z x y z R 0 1 0 1 0 1 b f x y z x2yz R e o tetraedro de vertices 0 0 0 1 0 0 0 1 0 e 0 0 1 y f x ydx 0 dy 1 dx a 0 0 3 0 0 0 8 dx 2 2 D D 0 0 2 x2 y2dy 2x2 dx 8 2 2 x2 x2 f x ydy b 4x2 83 MUDANC A DE VARIAVEIS 83 83 Mudanca de Variaveis Para integrais de funcoes de uma variavel temos o seguinte resultado de mudanca de variaveis φb φa f xdx b f φuφJudu x φu a sempre que φJu 0 para u a b de fato a condicao φJ0 0 nao e necessaria veja 913 Como vimos anteriormente podemos transformar regioes relativamente complicadas em regioes simples usando transformacoes e como a complexidade da regiao e uma das dificuldades no calculo de integrais multiplas um resultado analogo ao resultado acima para funcoes de varias variaveis pode ser extremamente util este e de fato o caso como veremos a seguir No IRn um troca de variaveis corresponde a uma transformacao do IRn no IRn que vimos anteriormente isto e T IRn IRn Temos entao o seguinte resultado Teorema 831 Mudanca de Variaveis Seja T DT IRn IRn uma transfor macao de classe C1 Seja B DT um conjunto limitado com fronteira contida em um numero finito de conjuntos suaves Suponhamos que B e sua fronteira estao contidos no interior de DT e que i T e injetora em B ii detJT 0 em todo ponto de B Entao se a funcao f e limitada e contınua sobre T B temos f dv f T detJT dv T B B Observacao 831 O teorema ainda e verdadeiro de i e ii deixam de ser verdadeiros em conjuntos suaves CAPITULO 8 INTEGRAIS MULTIPLAS 84 Exemplo 831 Seja P IR2 o paralelogramo determinado pelos pontos 0 0 1 1 3 1 e 2 0 Calcular a integral x ydx dy P Solucao Note que a transformacao T u v u v u transforma o retˆangulo R 0 2 0 1 e que JT 1 1 0 1 Entao det JT 1 0 T e C 1 e T e injetora com T R P Segue do teorema que P T R x ydx dy u 2v1du dv R 2 1 du u 2vdv 4 0 0 Exemplo 832 Calcule a area da regiao E limitada pela elipse x2 y2 1 conhecida a area do cırculo C u v IR2 u2 v2 b2 a2 b2 83 MUDANC A DE VARIAVEIS 85 2 C b b b 1 4 π Solucao Considere a transformacao x y T u v Te injetora de classe C1 e T C E a u v b a detJT b 1 a 0 Pelo teorema anterior dA 0 1 a dA a b dA aπb2 πab Exemplo 833 Calcular a area da regiao plana P no primeiro quadrante compreendida entre as circunferˆencias de raios 1 e 2 Solucao Considere a transformacao x y T r θ r cos θ rsenθ T e injetora de classe C1 e T C E detJT cos θ rsenθ r 0 senθ r cos θ Entao se R 1 2 0 π temos que T R P e pelo teorema anterior π r2 2 3 2 2 r dA dA T RP C T CE C C r dr dθ CAPITULO 8 INTEGRAIS MULTIPLAS 86 2 3 3 3 3 a 831 Coordenadas Polares Um ponto P x y do plano fica completamente determinado se sabemos a distˆancia r de P a origem O 0 0 e o ˆangulo θ 0 2π medido no sentido antihorario e a partir do semieixo positivo das abscissas entre este semieixo e a reta determinada por P e por 0 0 Definimos a seguinte transformacao de coordenadas x y T r θ r cos θ rsenθ r 0 0 θ 2π Esta transformacao e conhecida como Transformacao de Coordenadas Polare e injetora de classe C1 com detJT r Assim f x ydxdy f T detJT dr dθ f r cos θ rsenθ r dr dθ T B B B Exemplo 834 Determinar y dx dy onde D e o setor r θ 0 r a π θ 2 π Solucao Seja R π 2 π 0 a e note que a transformacao T R D dada por T r θ r cos θ rsenθ Transformacao de Coordenadas Polar e bijetora e detJT r Entao y dx dy D r r senθ dr dθ R r2 senθ dr dθ R a r2 dr 0 π 3 senθ dθ π 3 a 3 r2 dr 0 3 Exemplo 835 Calcule o volume do solido D cuja base B esta no primeiro quadrante do plano xy x 0 y 0 sendo delimitada pelas curvas x2 y2 1 e x2 y2 4 e cuja parte superior esta no plano z x y tendo faces laterais ortogonais ao plano xy D 83 MUDANC A DE VARIAVEIS 87 3 Solucao Note que usando o Teorema de Fubini temos V x ydx dy dx dy D B xy dz x ydx dy 0 B π 2 dθ 0 2 14 r cos θ rsenθ r dr 1 3 Exemplo 836 Calcular D x2 y2dx dy onde D e a regiao do plano compreendida entre as curvas x2 y2 4 e x2 y2 9 Solucao Utilizando coordenadas polares temos que se R 2 3 0 2π entao x2 y2dx dy r r dr dθ 3 r2dr 2π dθ 2π r3 3 38 π Exemplo 837 Determinar os extremos de integracao para as integrais iteradas associadas a R f x y zdx dy dz onde R e o hemisferio x2 y2 z1 1 z 1 0 2 D R 3 2 CAPITULO 8 INTEGRAIS MULTIPLAS 88 1x 2 Solucao 1 2 dx dy 1x2y2 f x y zdz 1 1x2 0 Exemplo 838 Determine o volume do solido compreendido entre as superfıcies z 8 x2 y2 e z x2 3y2 Solucao Se um ponto x y z esta na intersecc x2 3y2 e portanto x2 2y2 4 ao das superfıcies entao z 8 x2 y2 2 q 4x2 8x2y2 V dz 8π 2 2 q 4x2 x23y2 832 Coordenadas Cilındricas Um ponto P x y z do espaco fica completamente determinado se sabemos a distˆancia r de P1 x y 0 a origem O 0 0 0 o ˆangulo θ 0 2π medido no sentido antihorario e a partir do semieixo positivo das abscissas entre este semieixo e a reta determinada por P e por 0 0 0 e a cota z Definimos a seguinte transformacao de coordenadas x y z T r θ z r cos θ rsenθ z r 0 0 θ 2π z IR Esta transformacao e conhecida como Transformacao de Coordenadas Cilındricase e injetora de classe C1 com detJT r De fato x2 y2 r2 x r cos θ y rsenθ z z cos θ rsenθ 0 detJT senθ r cos θ 0 r 0 0 1 2 83 MUDANC A DE VARIAVEIS 89 2π Exemplo 839 Calcular C f x y zdx dy dz onde f x y z 4xy e C e a regiao cilındrica x2 y2 1 0 z 1 Solucao Note que a transformacao de coordenadas cilındricas leva o retˆangulo R r θ z 0 θ 2π 0 r 1 0 z 1 na regiao C Logo dos Teorema 831 e Teorema 822 temos 4xydx dy 4r3 cos θsenθdr dθ dz 1 4r3dr 2π sen2θ dθ CT R R 1 4r3 0 0 0 2 dr cos 2θ 0 0 833 Coordenadas Esfericas Um ponto P x y z do espaco fica completamente determinado se sabemos a distˆancia ρ de P x y z a origem O 0 0 0 o ˆangulo ϕ 0 π medido no sentido horario entre o semieixo positivo das cotas e a reta determinada por P e 0 0 0 e o ˆangulo θ 0 2π medido no sentido antihorario entre o semieixo positivo das abscissas e a reta determinada por P1 x y 0 e por 0 0 0 Definimos a seguinte transformacao de coordenadas x y z T ρ ϕ θ ρ senϕ cos θ ρ senϕ senθ ρ cos θ ρ 0 0 ϕ π 0 θ 2π CAPITULO 8 INTEGRAIS MULTIPLAS 90 detJT senϕ senθ ρ cos ϕ senθ ρ senϕ cos θ ρ2senϕ Exemplo 8310 Calcular π 1 B f x y zdx dy dz onde f x y z z2 e B e a seguinte regiao Esta transformacao e conhecida como Transformacao de Coordenadas Esfericase e injetora de classe C1 com detJT ρ2senϕ De fato x2 y2 z2 ρ2 x ρ senϕ cos θ y rsenϕ senθ z ρ cos ϕ senϕ cos θ ρ cos ϕ cos θ ρ senϕ senθ cos θ ρsenϕ 0 B x y z x2 y2 z2 1 Solucao Note que T leva o retˆangulo R ρ ϕ θ 0 ρ 1 0 ϕ π 0 θ 2π e B Logo dos Teorema 831 e Teorema 822 temos BT R z2dx dy dz ρ3 cos2 ϕ senϕ dρ dϕ dθ R 2π dθ 0 dϕ ρ3 cos2 ϕ senϕ dρ 4π 0 0 15 Exemplo 8311 Calcular o volume da regiao C comum a esfera ρ a e ao cone ϕ α 83 MUDANC A DE VARIAVEIS 91 Σ i1 i1 i1 dϕ 3 senϕdθ 2π 3 1 cos α x i1 i i ou mx 0 0 0 i1 i1 i1 Solucao Note que T leva o retˆangulo R ρ ϕ θ 0 ρ 1 0 ϕ α 0 θ 2π e C Logo dos Teorema 831 e Teorema 822 temos V C CT R dx dy dz ρ senϕ dρ dϕ dθ R 2π α dθ dϕ 0 0 1 ρ2 senϕ dρ 0 2π α 1 a3 a3 834 Densidade e Centro de Massa Considere a seguinte situacao m1 e m2 sao as massas de partıculas pontuais sobre x1 e x2 respectivamente Entao m1x1 m2x2 ou seja m1x1 m2x2 0 Em geral se m1 mn sao as massas de partıculas pontuais localizadas em l sobre x1 xn o sistema estara em equilıbrio se n mixi 0 i1 A soma Σn mixi e chamada momento do sistema em relacao a origem Seja m Σn mi definimos Σn m x Σ Fisicamente x e o ponto sobre o qual poderıamos concentrar toda a massa do sistema sem alterar o momento do sistema O ponto P com coordenada x e chamado centro de massa do sistema Consideremos agora uma situacao um pouco mais geral qual seja m1 mn sao as massas de partıculas pontuais localizadas em pontos P1 x1 y1 Pn xn yn sobre um plano coordenado Os momentos Mx e My do sistema em relacao aos eixos x e y sao definidos por n n Mx Σ miyi My Σ mixi Se m Σn mi entao o centro de massa dos sistema e o ponto P x y dado por mx My e my Mx P e o ponto sobre o qual poderıamos concentrar toda a massa do sistema sem que os momentos do sistema se alterem n m x m i i CAPITULO 8 INTEGRAIS MULTIPLAS 92 Σ Suponha que a origem P O do sistema coincida com o centro de massa entao mx m0 My 0 my m0 Mx 0 e o sistema esta em equilıbrio Logo o centro de massa e o ponto pelo qual poderıamos pendurar o sistema de modo que ele fique em equilıbrio na horizontal Considere agora uma lˆamina L com a forma da regiao D da figura abaixo Suponha que para cada ponto x y da superfıcie a densidade seja dada por ρx y onde ρ e uma funcao contınua sobre D Considere uma rede G cobrindo D Escolhamos xi yi em cada retˆangulo Ri de G Se mG e pequena do fato que ρ e contınua podemos aproximar a massa da lˆamina Li correspondente a Ri por Ainda mLi ρxi yiARi ρxi yiARi i aproxima a massa da lˆamina L A massa M de L e definida como M lim Σ ρxi yiARi ρx y dx dy i mG0 D 83 MUDANC A DE VARIAVEIS 93 1 ρ massa D ρx ydA Em particular se ρx y c entao M c dA cAD D A densidade media da lˆamina L e area D dA Se a massa de Li e suposta concentrada em xi yi entao o momento de Li em relacao ao eixo x e yiρxi yiARi e o momento de Li em relacao ao eixo y e xiρxi yiARi Os momentos de L em relacao ao eixo x Mx e y e My sao entao definidos por Mx lim Σ yiρxi yiARi yρx y dA mG0 i D e My lim Σ xiρxi yiARi xρx y dA Ainda o centro de massa da lˆamina L e o ponto P x y dado por ou seja x My M x D xρx y dA D ρx y dA y Mx M y D yρx y dA D ρx y dA No caso particular em que ρx y e constante temos que x D xdA D dA y D ydA D dA Neste caso o ponto P e chamado centroide e nao depende da densidade dependendo somente da forma da regiao D Exemplo 8312 Seja D a regiao do plano entre a parabola y 6 x2 e y 2x 3 Calcule AD e o centro de massa de uma lˆamina com a forma de D e densidade constante 835 Momento de Inercia O sistema formado por uma partıcula de massa m1 tem momento de inercia relativo a reta s dado por I m1d2 onde d1 e a distˆancia da partıcula a reta s i mG0 D CAPITULO 8 INTEGRAIS MULTIPLAS 94 Σ I m d s i Σ I m yx i Σ e I m y y i i i Se o sistema e constituıdo de n partıculas de massas m1 mn distando d1 dn de uma reta s tem momento de inercia relativo a s dado por n 2 i i1 Se as partıculas estao localizadas nos pontos P1 x1 y1 Pn xn yn do plano xy entao o momento de inercia dos sistema em relacao ao eixo x e ao eixo y dados por n 2 i i1 n 2 i i1 Exatamente como no caso do momento estendemos o conceito de momento de inercia em relacao ao eixo x e ao eixo y por Ix lim Σ y2ρxi yiARi y2ρx y dA Iy lim Σ x2ρxi yiARi x2ρx y dA Exemplo 8313 Seja L uma lˆamina com densidade constante ρ com a forma da regiao anelar A x y 1 x2 y2 4 Calcular Ix e Iy i i mG0 D mG0 D 83 MUDANC A DE VARIAVEIS 95 Solucao Note que a mudanca de coordenadas polares T leva a regiao R r θ 1 r 2 0 θ 2π Segue agora do Teorema 831 e do Teorema 822 que Ix ρ x2dx dy ρ 2 r3sen2θ dr dθ ρ r3dr 2π 1 cos 2θ dθ AT R R 1 0 2 2 ρ r3 2θ sen2θ 2 dr ρπ r3dr ρπ r4 2 15ρπ Iy A ρy2dx dy 15ρπ 4 836 Momento Angular Suponha que uma partıcula pontual de massa m gira ao redor de um eixo l num cırculo de raio r com velocidade angular ω 4 1 4 1 4 1 CAPITULO 8 INTEGRAIS MULTIPLAS 96 c 2 i i 2 i i 2 i i1 i1 i1 A energia cinetica desta partıcula e E 1 mv2 v ωr c 2 E 1 mr2ω2 1 Iω2 c 2 2 Suponha agora um sistema de n partıculas girando em torno de um eixo l com velocidade angular ω Se r1 rn sao as distˆancias de m1 mn a l entao a energia cinetica do sistema n n n E Σ 1 m v2 1 Σ m r ω2 1 ω2 Σ r2m 1 Iω2 2 837 Miscelˆanea de Exemplos Exemplo 8314 Uma chapa de densidade δ tem a forma da regiao do plano xy que esta entre a parabola y x2 e a reta y x 2 Calcular o momento de inercia da chapa em relacao ao eixo y i 83 MUDANC A DE VARIAVEIS 97 Solucao Primeiramente devemos encontras os pontos de interseccao da reta e da parabola Note que nesses pontos devemos ter y x2 x 2 e portanto x y 1 1 ou x y 2 4 Segue que Iy δ 2 x2 dx 1 x2 x2dy 63 δ 20 Exemplo 8315 Determinar o centro de massa de uma placa delgada de espessura e den sidade uniformes que esta sobre a regiao A do plano xy entre as retas x 2 y 0 y 1 e a parabola y x2 CAPITULO 8 INTEGRAIS MULTIPLAS 98 y dy ρ 2 2 dy 4 ρ Solucao Calculo da massa 1 2 1 4 M ρdA ρ dy A 0 Calculo do momento dx ρ 2 y 0 ydy ρ 3 1 2 1 x2 2 1 y 7 Com isto podemos calcular a coordenada x do centro de massa da seguinte forma x My 21 M 16 De forma semelhante obtemos a coordenada y do centro de massa y Mx 9 M 20 Exemplo 8316 Ache o centro de massa de uma lˆamina quadrada ABCD de lado 32 sabendo que a densidade de qualquer ponto P e o produto das distˆancias de P a AB e a AD 0 0 dy xρdA ρ My A 0 y x dx ρ 2 83 MUDANC A DE VARIAVEIS 99 2π polares e R r θ 0 r a 0 θ π Note que ρx y k x2 y2 ou seja Solucao Vamos calcular a massa e os momentos relativos aos eixos x e y da lˆamina Note que ρx y xy entao 32 M dx 0 32 0 xydy 8164 Mx 32 32 xy2dy 8164 0 0 e My 32 32 x2y dy 8164 0 0 Segue que as coordenadas do centro de massa da lˆamina sao x y 1 1 Exemplo 8317 Ache o centro de massa de uma lˆamina semicircular sendo a densidade de qualquer ponto proporcional a distˆancia de P ao centro do cırculo Solucao A lˆamina ocupa a regiao C x y x2 y2 a x 0 que em coordenadas ρr θ k r Com isto calculamos a massa e os momentos relativos aos eixos coordenados da lˆamina M CT R ρx y dx dy kr2dr dθ R π a dθ kr2dr 0 0 π k a3 3 Mx e CT R y ρx y dx dy kr3senθ dr dθ R π a dθ kr3senθ dr 0 0 k a4 2 My CT R xρx y dx dy a kr3 cos θ dr dθ k r3 R 0 π cos θ dθ 0 0 Segue que as coordenadas do centro de massa sao x y 0 3a Exercıcio 831 Encontre o centro de massa da lˆamina que tem a forma da regiao limitada pelas retas x 0 y 0 e x y a e que tem densidade ρx y x2 y2 Exercıcio 832 Calcular o momento relativo ao eixo x da lˆamina que tem o formato da regiao limitada pelas parabolas x y2 e x 2y y2 sendo a densidade ρx y y 1 CAPITULO 8 INTEGRAIS MULTIPLAS 10 0 838 Aplicacoes no Espaco IR3 As ideias vistas ate agora nas aplicacoes podem ser generalizadas para trˆes dimensoes Massa e Momento Linear Se um solido tem o formato de uma regiao Q do IR3 se a densidade no ponto x y z e ρx y z entao de forma analoga ao visto anteriormente M ρx y z dx dy dz g Se temos uma partıcula pontual de massa m localizada no ponto x y z do espaco entao seus momentos relativos aos planos xy xz e yz sao definidos como mz my e mx respecitivamente Utilizando os mesmos argumentos ja vistos definimos os momentos de um solido em relacao aos planos coordenados como sendo Mxy Q Mxz Q Myz Q z ρx y z dx dy dz y ρx y z dx dy dz e xρx y z dx dy dz o centro de massa e o ponto x y z onde x Myz M y Mxz M e z Mxy M Quando a densidade e constante isto e ρx y z c entao o centro de massa e dito centroide Momento de Inercia Se uma partıcula de massa m esta no ponto x y z entao seu momento de inercia em relacao ao eixo y e mx2 y2 Logo somos levados a definir Ix Q Iy Q y2 z2ρx y z dx dy dz x2 z2ρx y z dx dy dz e Iz Q x2 y2ρx y z dx dy dz 83 MUDANC A DE VARIAVEIS 101 M 4 Exemplo 8318 Considere o solido S limitado pelo cone z2 x2 y2 e pelo plano z 1 cuja densidade e ρx y z 1 Ache o centro de massa e o momento de inercia em relacao ao eixo z do solido S Solucao Note que utilizando coordenadas cilındricas temos M dx dy dz S 2π 1 dθ dr 0 0 e 1 π r dz r 3 Mxy z dx dy dz S 2π 1 dθ dr 0 0 1 π z r dz r 4 Segue que z Mxy 3 Por simetria x y 0 Finalmente Iz x2 y2dx dy dz S 2π 1 dθ dr 0 0 r3dz π r 10 1 CAPITULO 8 INTEGRAIS MULTIPLAS 10 2 dx c Capıtulo 9 Apˆendice 91 Substituicao e Integracao por Partes Calculo I Dois dos teoremas mais importantes do calculo diferencial sao a regra da cadeia e a regra do produto que passamos a enunciar Teorema 911 Regra da Cadeia Se I J sao intervalos abertos e f J IR g I J funcoes de classe C1 temos que d f gx f JgxgJx x I Teorema 912 Regra do Produto Se f g a b IR funcoes de classe C1 temos que d fgx f Jxgx f xgJx x a b dx Estes teoremas juntamente com o Teorema Fundamental do Calculo dao origem a dois teoremas fundamentais do calculo integral A integracao por partes e o metodo da substi tuicao sao sem duvida os resultados mais importantes no que se refere ao calculo de integrais de funcoes de uma variavel No que se segue vamos obter estes teoremas a partir da regra do produto e da regra da cadeia respectivamente Teorema 913 Metodo da Substituicao Sejam I a b J intervalos f J IR uma funcao contınua e φ I J uma funcao continuamente diferenciavel Entao φb φa f xdx b f φsφJsds a Prova Seja c J e V x x f θdθ Entao da regra da cadeia d V φs f φsφJs ds O resultado agora segue do Teorema Fundamental do Calculo Observacao Note que nao e necessario assumir que a funcao φ seja uma mudanca de variaveis φJs 0 s a b 103 104 CAPITULO 9 APEˆNDICE Teorema 914 Sejam f g a b IR duas funcoes continuamente diferenciaveis Entao b f sgJsds f bgb f aga b f Jsgsds a Prova Da regra do produto temos que d fgs f Jsgs f sgJs ds Agora do Teorema Fundamental do Calculo temos que f bgb f aga e o resultado segue b f Jsgsds a b f sgJsds a a Capıtulo 10 Campos Vetoriais 101 Introducao Neste capıtulo introduziremos um conceito que e de grande utilidade em varios problemas relacionados a Fısica e Engenharia Para motivarmos a introducao de tal objeto lembremos da Fısica elementar que se deslocarmos uma partıcula ao longo de um caminho reto com uma forca F constante o trabalho realizado por essa forca e o produto da componente se F na direcao e sentido do movimento pela distˆancia percorrida pela partıcula ou ainda W F R onde R e o vetor que vai da posicao inicial da partıcula a sua posicao final ˆ Agora suponha que a forca nao seja constante isto e seja uma funcao vetorial que varia de ponto a ponto em uma regiao do plano como por exemplo F F x y M x yi N x yj Suponha que seta forca desloque uma partıcula ao longo de uma curva suave C do plano onde C tem equacoes parametricas x xt y yt t1 t t2 105 ˆ ˆ ˆF ˆ R CAPITULO 10 CAMPOS VETORIAIS 106 ˆ v v v ˆ x y Perguntase qual o trabalho realizado por essa forca quando a partıcula movese ao longo da curva do ponto inicial A xt1 yt1 ate o ponto final B xt2 yt2 Antes de mais nada observemos que a funcao F a valores vetoriais sera denominada campo de forcas ou campo vetorial Em geral um campo vetorial ou campo de forcas no plano e uma funcao que associa a cada ponto x y de uma regiao do plano um vetor Uma funcao que cujos valores sao numeros sera dita campo escalar Todo campo escalar f f x y determinada um correspondente campo vetorial f x y f x y fi f j denominado campo gradiente Observemos que alguns campos vetoriais sao campos gradi entes mas em geral nao sao isto e existem campos vetoriais F x y M x yi N x yj tais que nao existe f f x y tal que f F tente encontrar uma tal campo Retornemos ao problema inicial de encontrar o trabalho realizado pela forca F x y M x yiN x yj ao longo da curva suave C Se a curva for um segmento de reta horizontal isto e C x0 y0 tx1 y0 0 t 1 entao do Calculo 1 sabemos que o trabalho sera x1 W F x y0dx x0 F dR C onde dR e vetor elemento deslocamento no caso acima um escalar pois o deslocamento so ocorre na direcao do eixo dos xs Logo somos levados em geral a trabalhar com integrais de funcoes de mais de uma variavel ao longo de curvas Isto na verdade e o objetivo desta secao 102 Exemplos Comecaremos com alguns exemplos de campos vetoriais 1 Campo de velocidades determinado pela rotacao em torno de um ponto fixo ˆ ˆ ˆ F ˇ A C B a s y ˆ F x 102 EXEMPLOS 107 2 Campo de velocidades determinado pelo movimento de um fluido 3 Campo gravitacional v ˆ Quando um campo vetorial nao depende do tempo diremos que ele e um campo estaci onario Exemplos 1 F x y 2xi yj 2x y 2 O campo vetorial F x y yi xj y x geometricamente e da seguinte forma O r c Y a CAPITULO 10 CAMPOS VETORIAIS 108 ǁ ǁ x2 y2 z232 x2 y2 z2 De fato pois F P OP y x x y 0 logo F P OP 3 Dado c 0 o campo vetorial c T x y z x2 y2 z232 x y z x y z 0 0 0 e um campo vetorial paralelo a x y z com sentido contrario ao de x y z e ǁT x y zǁ c x2 y2 z212 c isto e T x y z e inversamente proporcional ao quadrado da diatˆancia de x y z a 0 0 0 Estes tipos de campos aparecem em muitas situacoes como por exemplo Considere uma partıcula de massa M na origem A forca de atracao gravitacional que age sobre uma partıcula de massa unitaria colocada em P x y z e de modulo igual a Logo gM x2 y2 z2 F x y z gM x y z gM x y z x2 y2 z2 x2 y2 z212 x2 y2 z232 Um tipoimportante de campo vetorial e o campo proveniente de uma funcao escalar isto e o campo gradiente Se f f x y z entao o campo gradiente de f e dado por f x y z fxx y zi fyx y zj fzx y zk y ˆ ˆ ˆ v v v ˆ x F ˆ P ˆ R Ω f A γa R Pi1 P i B γb ǁ ǁ n i1 i i i i i Capıtulo 11 Integrais de Linha 111 Introducao Seja Ω um aberto de R2 Consideremos um caminho suave γ a b Ω R2 isto e γJt e contınuo e γJt 0 para todo t a b Seja f Ω R onde γ Ω isto e γt Ω para todo t a b neste caso diremos que γ e um caminho suave em Ω ˆ ˆ b γ ti t i1 a Sejam A γa B γb e a t0 t1 tn b uma particao de a b Esta particao determina uma particao do arco AB em arcos Pi1Pi onde Pi γti i 1 n Defina Si comprimento do arco Pi 1Pi e max i1 n Si n Em cada arco P P escolhamos um ponto x y e consideremos a soma Σ f x yS Definicao 1111 A integral curvilınea de f sobre γ de A ate B e definida e denotada por f ds lim Σ f xi yi Si γ ǁǁ0 i1 109 i1 R i CAPITULO 11 110 INTEGRAIS DE LINHA ǁ ǁ n γ a desde que o limite exista independente da escolha do ponto xi yi Pi1Pi Observacao 1111 A integral acima tambem e conhecida como integral de linha relativa ao comprimento de arco Uma condicao suficiente para garantir a existˆencia da integral curvilınea acima e dada no seguinte resultado Teorema 1111 Se γ a b R2 e f Ω R e contınua em Ω entao existe γ f x y ds e b A demonstracao desde resultado sera omitida Observemos que definindose rt αti βtj entao rJt αJt2 βJt2 Logo a expressao acima tornarsea f ds γ b f γtǁrJtǁ dt No caso particular de f x y 1 x Ω temos f ds γ b ǁrJtǁ dt comprimento de γ Diremos que γ a b R2 contınua e suave por partes se existe uma particao de a b a t0 t1 tn b tal que a restricao de γ a cada um dos subintervalos ti1 ti e um caminho suave ˆ b γ ti ti1 a Deste modo podemos definir a integral curvilınea de f Ω R2 sobre o caminho suave por partes γ Ω como sendo a soma das integrais curvilıneas de f as restricoes de γ a cada um dos subintervalos onde ela e suave isto e f ds γ Σ i1 γi f ds a a ˆ Ω Pi1 A γa Pi B γb R f ds f αt βt αJt2 βJt2 dt γ f ds nos da a massa total no fio f x y ds f αt βt αJt2 βJt2 dt 27t3 t3 f x y ds f αt βt y ˆ x y γ x γ a 112 APLICAC AO 111 onde γi e o caminho obtido da restricao de do caminho γ ao subintervalo ti1 ti Podemos dar a seguinte interpretacao geometrica para a integral curvilınea suponha que f e contınua e nao negativa em Ω R2 A area do retˆangulo tendo como base Pi1 e Pi e altura igual a f xi yi como na figura abaixo e aproximadamente igual a f xi yi Si Logo e natural pensarmos que γ f ds como sendo a area da superfıcie que tem como base curva γ e altura determinada pelo grafico da funcao f 112 Aplicacao Olhemos γ como um fio delgado e f x y como sendo a densidade em x y Com isto temos que f xi yi Si massa de Pi1Pi mi Mas Σ f xi yi Si Σ mi e aproximadamente a massa total do fio Logo M i1 i1 Exemplo 1121 Calcular 0 t 1 f x y ds onde f x y x3 y e γ dada por γt 3t t3 Neste caso γt αt βt 3t t3 0 t 1 Assim b 1 γ a 4 3 0 1 u 1 t du 4t dt 2 84t3 0 1 t4 dt t 0 u 1 t 1 u 1 21 1 u du 142 2 1 Exemplo 1122 Calcular a area da superfıcie vertical delimitada superiormente pelo grafico do paraboloide f x y x2 y2 e inferiormente pelo arco do cırculo x2 y2 1 x 0 y 0 Se considerarmos γ 0 π2 R2 como sendo a curva suave γt αt βt cos t sen t 0 t π2 entao a area A da superfıcie descrita acima sera dada por b n n 9 9t4 dt A αJt2 βJt2 dt γ CAPITULO 11 112 INTEGRAIS DE LINHA ǁ ǁ cos2 t 2 sen2t π2 π2 π2 0 1 1 2 1 cos2t dt 3π ua 4 113 Integral de linha de um campo vetorial Sejam γ a b Ω R3 uma curva suave dada por γt xt yt zt t a b e F x y z F1x y zi F2x y zj F3x y z k um campo contınuo definido Ω Suponhamos que γ seja trajetoria de uma partıcula sujeita ao campo de forcas F Se F e constante e γ e um segmento de reta temos que Trabalho F vetor deslocamento Se F A nao for constante ou γ nao for uma reta particionamos γ num numero finito de arcos isto e considere uma particao P de a b a t0 t1 tn b e tome Pi γti i 1 n Se P e pequeno o trabalho realizado por F ser aproximado por ao longo do arco Pi1Pi i 1 n pode wi F Pi1 Pi Pi1 F γti1 γti γti1 Mas γti1 γti γti1 γJtiit para algum ti entre ti1 e ti Desta forma wi F γti1 γJti it A Pi B 0 0 F B Pi1 F Pi1 r cos2 t sen2 t dt 1 sen2 t dt 113 INTEGRAL DE LINHA DE UM CAMPO VETORIAL 113 n n 0 ǁP ǁ0 i1 ǁP ǁ0 i1 F dr F γt γ t dt F xt yt ztx ti y tj z tk dt F1xt yt ztx t F2xt yt zty t F3xt yt ztz tdt F1γtx t F2γty t F3γtz t dt γ γ a a a γ γ O trabalho W realizado por F ao longo de γ e por definicao W lim Σ wi lim Σ F γti1 γJti it Embora a soma acima nao seja uma soma de Riemann pode ser mostrado que o limite exista e e igual a b J que sera denotada por W F γt γ t dt a F dr e chamada de integral de linha de F sobre γ Note tambem que b J b J J J b J J J b J J J b F1 γx J a F2 γy J F3 γz J dt A expressao acima sugere a seguinte notacao F dr F1 dx F2 dy F3 dz Exercıcio 1131 Calcule 2x dx dy dz γ onde γ e a interseccao do cilindro y x2 do paraboloide z 2 x2 y2 contida no octante x y z 0 O caminho deve ser percorrido de 1 1 0 a 0 0 2 Resolucao Uma parametrizacao de γ e γt t t2 2 t2 t4 0 t 1 Temos γ 2x dx dy dz 1 2t 2t 2t 4t3 dt 2t 4t3 dt t2 t41 3 0 0 a 1 CAPITULO 11 114 INTEGRAIS DE LINHA F dr F γt γ tdt F γt ǁγJtǁǁγ tǁdt F γt T γtǁγ tǁdt F γt T γtds F T ds F dr F γt γ tdt F T ds γ a a γ ˆ z γt A γJt L B x s s y Vejamos agora uma relacao entre a integral de linha de um campo vetorial e a integral de linha com relacao ao comprimento de arco Dada uma curva suave γ considere T P o vetor unitario tangente a γ em P Lembre que estamos assumindo que γJt 0 b J b γJt J b J b Resumindo b J Note que F T e a componente tangencial de F com relacao a curva Exercıcio 1132 Calcule γ F dr onde F x y xi yj e γ t 0 π cos t sen t γ a γ a a W 113 INTEGRAL DE LINHA DE UM CAMPO VETORIAL 115 F dr cos t i sen t j sen t i cos t jdt F dr F γt γ tdt F γtγ tdt F γtγ tdt γ 0 0 γ λ Resolucao Vale observar que deveremos ter a integral igual a zero De fato π π Exercıcio 1133 Calcular o trabalho realizado por F ao longo do caminho γ onde F x y x y e γt t t t 1 1 Resolucao Neste caso temos 1 J 0 J 1 J 0 t t1 1dt 1 1 t t1 1dt 0 2tdt 1 1 2tdt 1 1 0 0 Teorema 1131 Seja γ a b R3 dado por γt xt yt zt um caminho su ave h c d a b uma mudanca de parˆametros isto e h e invertıvel e λ γ h reparametrizacao de γ Entao F dr F dr se hJτ 0 ou γ F dr λ F dr se hJτ 0 0 0 1 1 γ y ˆ ˆ B A x 0 dt 0 W CAPITULO 11 116 INTEGRAIS DE LINHA 3 1 t F dr F γt γ t dt F γhτ γ hτ h τ dτ F γhτ γ hτ h τ dτ F λτ λ τ dτ F dr f γtǁγ tǁ dt f γhτ ǁγ hτ ǁ h τ dτ F dRr c c λ d c c λ 1 1 γ 0 Prova Suponhamos que hJτ 0 Neste caso hc b e hd a Pela regra da cadeia λJτ γJhτ hJτ Fazendo a mudanca t hτ obtemos b J c J J d J J d J O caso hJτ e semelhante Observacao 1131 Note que a integral γ f ds independe do sentido de percurso De fato com a notacao do teorema acima no caso hJτ 0 temos ǁλJτ ǁ ǁγJhτ ǁhJτ ǁγJτ ǁhJτ e daı b J c J J d J J d J Exercıcio 1134 Calcular γ F dr onde F x y x y x y nos seguintes casos 2 2 a γ e o segmento de reta que liga 0 0 a 1 1 b γ e a parabola y x2 0 x 1 c γ e o segmento de reta que liga 1 1 a 0 0 Resolucao a Uma parametrizacao da curva e γt t t 0 t 1 Assim F dr 1 t3 t3 1 1dt 0 2t3dt 1 0 2 b Uma parametrizacao da curva e γt t t2 0 t 1 Assim F dr 1 t4 t4 1 2tdt 0 t4 2t5dt 8 0 15 Observe que os valores das integrais ao longo das duas curvas acima que ligam 0 0 e 1 1 sao diferentes c Uma parametrizacao da curva e γt 1 t 1 t 0 t 1 Assim 1 1 21 t dt 4 1 1 0 2 Calcular a area da regiao R abaixo 2 0 2 a γ f ds d a γ f γhτ ǁγ hτ ǁh τ dτ f λτ ǁλ τ ǁ dτ f ds 1 t3 1 t3 1 1dt γ γ 114 CAMPOS CONSERVATIVOS E INTEGRAIS DE LINHA 117 ˆ z z x2 y ˆ ˆ c y l A γ 1 γ x 1 1 0 0 2 0 Resolucao Neste caso temos z f x y x2 e γt t 2 t 0 t 1 Assim a area da regiao R sera dada por f x yds γ 1 t2 2 0 t3 2 3 0 2 ua 3 114 Campos conservativos e integrais de linha Proposicao 1141 Sejam Ω Rn um aberto f Ω R de classe C1 em Ω γ a b Rn dada por γt γ1t γnt t a b uma curva suave por partes tal que γa A e γb B Entao se F f temos F dr f B f A B Prova i Se γ e suave entao F dr f dr b f γt γJt dt a γ γ CAPITULO 11 118 INTEGRAIS DE LINHA m integral sobre γ sera indicada por γ Pela regra da cadeia temos d f γt f γtγJ t f γtγJ t f γtγJ t f γt γJt dt x1 1 x2 2 xn n Do Teorema Fundamental do Calculo segue que f dr b d dt f γt dt f γb f γb f B f A ii Se γ e suave por partes escrevemos γ γ1 γm onde γi e suave i 1 m e liga Ai a Ai1 i 1 m com A0 A e Am B Usando i em cada γi obtemos f dr Σ i1 γi f dr f A1 f A f A2 f A1 f B f Am1 f B f A A Definicao 1141 Se F e um campo vetorial contınuo definido em Ω dizemos que a integral de F independe do caminho se para quaisquer curvas suaves por partes γ1 γ2 a b Ω tais que γ1a γ2a e γ1b γ2b temse F dr F dr γ1 γ2 Observacao 1141 A proposicao 1141 afirma que a integral de linha de um campo gra diente independe do caminho isto e so depende dos pontos extremos Definicao 1142 Uma curva γ Ha b Rn e dita fechada se γa γb Neste caso a Definicao 1143 Se F e um campo vetorial contınuo definido em Ω dizemos que a integral de F ao longo de qualquer curva fechada e zero se H γ F dr 0 para toda curva fechada suave por partes γ a b Ω γ γ A 2 γ3 A0 γ2 A3 γ1 A1 a 114 CAMPOS CONSERVATIVOS E INTEGRAIS DE LINHA 119 2 J γ12t a se a t ab γ Exemplos de curvas fechadas Corolario 1141 Se F f onde f Ω Rn R e suave e γ a b Ω e suave por partes e fechada entao γ F dr 0 Prova Como F f e f B f A segue da proposicao 1141 que F dr 0 Proposicao 1142 Seja F um campo contınuo definido em Ω A fim de que a integral de F ao longo de toda curva fechada seja zero e necessario e suficiente que a integral de F seja independente do caminho Prova Suponhamos que a integral de F ao longo de qualquer curva fechada seja zero Sejam γ1 a b Ω e γ2 a b Ω curvas suaves por partes tais que que γ1a γ2a e γ1b γ2b Defina γ a b Ω por γt 2 γ2a 2b 2t se ab t b Note que γ e fechada e suave por partes Logo 0 F dr γ b F γt γJt dt a ab 2 a F γt γJt dt b F γt γ t dt ab 2 ab 2 a F γ12t a 2γ1 J 2t a dt b J Usando a mudanca u 2t a temos ab F γ2a 2b 2t 2γ22a b 2t dt 111 2 ab 2 a F γ12t a 2γ1 J 2t a dt b F γ1u γ1 J u du a γ1 F dr γ2 γ1 R CAPITULO 11 120 INTEGRAIS DE LINHA F dr F γt γ t dt F γa b u γ a b u du F λu λ u du F λu λ u du F dr F dr γ λ γ a b ˆ y 1 1 γ γ2 γ1 0 0 1 0 x Usando a mudanca v a 2b 2t temos b J b J ab F γ2a 2b 2t 2γ22a b 2t dt 2 Como γ e fechada de 111 obtemos a F γ2v γ2v dv F dr γ2 isto e 0 F dr F dr γ1 F dr γ2 F dr Suponhamos agora que a integral de F seja independente do caminho Seja γ a b Ω uma curva fechada suave por partes e defina λ a b Ω por λt γa b t Note que como γ e fechada temos γa γb λa λb Como a integral independe do caminho F dr F dr Agora usando t a b u obtemos b J a J a J b J Portanto γ F dr 0 Exemplo 1141 Calcular γ x dx y dy em cada um dos itens abaixo i γ e o segmento de reta que liga 0 0 a 1 1 ii γ e a parabola y x2 0 x 1 iii γ e a curva indicada abaixo iv γ e a circunferˆencia cos t sen t 0 t 2π γ λ a b γ1 γ2 114 CAMPOS CONSERVATIVOS E INTEGRAIS DE LINHA 121 3 γJ y ˆ 1 1 ⁵ y x y x2 x Resolucao Temos que x dx y dy x dx y dy x dx y dy γ γ1 γ2 onde Assim γ1t t 0 γ2t 1 t 0 t 1 x dx γ γ y dy 1 t 1 0 0 dt 1 1 0 t 1 dt 1 Por outro lado e facil verificar que f x y e tal que f x y x y Logo 1 x2 y2 2 x dx γ γ y dy γ f dr Da proposicao 1141 segue que i ii e iii sao iguais a f 1 1 f 0 0 1 Quanto a iv o resultado e 0 pois a curva e fechada Nem todas as integrais de linha tˆem esta propriedade como por exemplo 2 xy xy dr γ 13 e xy xy dr 20 onde γ e γJ sao os segmentos de reta e de parabola abaixo respectivamente Definicao 1144 Diremos que Ω Rn e conexo por caminhos se quaisquer dois pontos de Ω podem ser ligados por um caminho suave inteiramente contido em Ω Diremos que Ω Rn e uma regiao se for aberto e conexo Exemplo 1142 Nos casos abaixo 1 e uma regiao pois e aberto e conexo e 2 nao e regiao pois nao e conexo 1 Ω x y R2 x2 y2 1 2 Ω x y R2 x2 y2 1 ou x2 y2 2 0 0 CAPITULO 11 122 INTEGRAIS DE LINHA F dr x x 1 2 Ω conexo Ω nao conexo A Ω x y x t y A Ω1 Ω Ω1 Ω2 Ω2 Teorema 1141 Sejam Ω Rn uma regiao e F Ω Rn Rn um campo vetorial contınuo Se a integral de F independe do caminho entao fixado A Ω a funcao dada por f X γ F dr onde γ e uma curva suave por partes cuja imagem esta contida em Ω e liga A a X Ω e de classe C1 e satisfaz f F em Ω Prova Como a integral independe do caminho usaremos a notacao X Para simplificar vamos fazer a prova para n 2 Precisamos mostrar que f x y F x y Colocando F F1i F2j precisamos mostrar que f x y f x y F x y F x y Escolhemos curva suave por partes ligando A a X x y contida em Ω que existe pois Ω e conexo e a estendemos ate o ponto x t y atraves de um segmento horizontal podemos fazer isto pois Ω e aberto Ω f X 114 CAMPOS CONSERVATIVOS E INTEGRAIS DE LINHA 123 dt Ω ˆ A v B c v R F Assim temos f x t y f x y t xty F dr xy F dr t xty F dr xy Mas F x τ y 1 0dτ 0 f fx t y fx y F1x τ ydτ 0 1 t x y lim x t0 t d t lim t0 t F1x τ ydτ 0 onde usamos nas identidades acima a definicao de derivada de funcao de uma variavel e o Teorema Fundamental do Calculo Analogamente Portanto f y x y F2x y f x y F1x y F2x y F x y Definicao 1145 Um campo vetorial gradiente tambem e chamado de campo conservativo Se F f a funcao f e chamada de um potencial de F Observacao 1142 Segue das proposicoes 1141 1142 e do teorema acima que se Ω e uma regiao e F e um campo contınuo definido em Ω as seguintes afirmacoes sao equivalentes 1 F e conservativo 2 a integral de F 3 a integral de F independe do caminho ao longo de qualquer curva fechada e zero A motivacao para chamarmos um campo gradiente por conservativo pode ser explicada pelo que segue Suponhamos que uma partıcula de massa m percorra um caminho γ a b Ω Rn suave por partes sob acao da forca resultante F 0 A A F1x τ ydτ t0 F1x y CAPITULO 11 124 INTEGRAIS DE LINHA dt 2 dt 2 dt 2 Usaremos a aqui a notacao rt γt para descrever a posicao da partıcula no instante t Temos W trabalho Da segunda Lei de Newton temos b F γt r Jt dt F γt mr JJt Mas F γt r Jt mr JJt r Jt d 1 mr Jt r Jt d 1 mǁr Jtǁ2 d 1 mv2t onde vt ǁr Jtǁ e a velocidade escalar da partıcula Portanto b d W 1 mv2tdt 1 mv2b 1 v2a Kb Ka a dt 2 2 2 onde 1 Kt mv2t 2 e a energia cinetica da partıcula no instante t Portanto trabalho variacao da energia cinetica Suponhamos agora que F f isto e que F seja conservativo Da proposicao 1141 segue que W f B f A Comparando com a formula acima temos que f B f A Kb Ka ou seja Kb f B Ka f A A quantidade U P f P sera chamada de energia potencial da partıcula na posicao P Assim Ka U A Kb U B ou seja a soma da energia potencial com a energia cinetica permanece constante isto e se conserva Exemplo 1143 Encontrar o trabalho realizado pelo campo F x y z k x2 y2 z2 yj zk ao longo da curva γ 0 2π R3 dada por γt cos t sen t t xi a 114 CAMPOS CONSERVATIVOS E INTEGRAIS DE LINHA 125 2 2 γ Resolucao Poderıamos resolver usando a definicao porem usaremos a proposicao anterior Para isto procuremos f f x y z tal que 1 f x y z Kx x x2y2z2 2 f x y z Ky y x2y2z2 3 f x y z Kz z x2y2z2 Integrando 1 em relacao a x obtemos f x y z Kx dx φy z K lnx2 y2 z2 φy z x2 y2 z2 2 Portanto f Ky φ 2 Ky φ y x y z x2 y2 z2 y y z x2 y2 z2 y y z 0 φy z φz isto e φ nao depende de y Calculando f Kz φ 3 Kz φ z x y z x2 y2 z2 z z isto e φ tambem nao depende de x y z x2 y2 z2 z φz 0 φz C Se tomarmos φ 0 termos f x y z K lnx2 y2 z2 portanto W F dr f 1 0 2π f 1 0 0 K ln1 4π2 O teorema a seguir fornece uma condicao simples que e necessaria e suficiente para decidir se um campo e conservativo em um retˆangulo de R2 ˆz B ˆ ˆ x y A L CAPITULO 11 126 INTEGRAIS DE LINHA x y R x y γ γ2 γ1 xo yo x yo Teorema 1142 Seja F x y Ax yi Bx yj onde A e B sao de classe C1 num retˆangulo R a b c d Entao F e conservativo em R se e somente se A B y x em R 112 Prova Se f F entao A f e B f Logo A 2f y yx T eorSchwarz 2f B xy x Reciprocamente suponhamos que 112 seja verificada Fixemos x0 y0 R Seja f Consideremos as parametrizacoes γ1 x0 x R dada por γ1t t y0 e γ2 y0 y R dada por γ2t x t Com isto temos f x y x At y0 dt x0 y Bx t dt y0 Como e f x y y Teo Fund Calc Bx y f x y x Teo Fund Der sob Sinal de Int Ax x0 y B x t dt y0 x hipotese Ax y0 y A x t dt y0 y Teor Fund Calc Ax y0 Ax y Ax y0 Ax y Portanto f x y F x y F dr onde γ e a curva indicada na figura abaixo γ definida em R por f x y 114 CAMPOS CONSERVATIVOS E INTEGRAIS DE LINHA 127 R B A o disco B e simplesmente conexo o anel A nao e simplesmente conexo Observacao 1143 O teorema acima continua valido se ao inves do retˆangulo consi derarmos um domınio Ω simplesmente conexo isto e Ω nao apresenta buracos Mais precisamente um domınio Ω Rn e simplesmente conexo se toda curva fechada contida em Ω puder ser deformada continuamente dentro de Ω ate um ponto Exercıcio 1141 Consideremos o campo definido em D R2 0 0 dado por F x y y i x j Ax yi Bx yj x2 y2 x2 y2 1 Verifique que A B y x 2 Mostre que F 3 Mostre que F nao e conservativo em D e conservativo em qualquer retˆangulo que nao contenha a origem 4 Encontre uma funcao potencial para F na regiao Ω R2 x y R2 x 0 y 0 1 Basta ver que y A y2 x2 Ax y x2 y2 e y x y x2 y22 x B y2 x2 Bx y x2 y2 x x y x2 y22 2 Se F fosse conservativo em D a sua integral sobre qualquer curva fechada contida em D seria zero Porem isto nao ocorre pois basta tomar γt cos t sen t 0 t 2π e calculando F dr 2π dt 2π 0 0 γ CAPITULO 11 128 INTEGRAIS DE LINHA 2 t2 1 y arctg y 1 y2 1 y2 y2 3 Se R e um retˆangulo que nao contem a origem entao R D Pelo item 1 deste exercıcio e pelo teorema 1142 seguese que F e conservativo em R 4 F e conservativo em Ω pois tratase de um domınio simplesmente conexo veja a observacao 1143 e 112 ja foi verificada em 1 Dado x y Ω considere γ a poligonal abaixo que liga 1 0 Ω a x y y Ω x Seja f Ω R dada por f x y A dx B dy γ y A 1 t dt 0 x Bt y dt 1 y 1 1 t2 dt x y y2 t2 dt 1 onde arctg y x y y2 t2 dt 1 x y 0 se y 0 e x 0 dt x y t arctg arctg x arctg 1 caso contrario Assim 1 1 f x y 0 se y y so contrario d arctg y 1 1 1 1 1 1 1 y2 1 y2 0 y 0 Deste modo a funcao arctg y arctg 1 e igual a π2 para todo y 0 basta tomar y 1 e igual a π2 para todo y 0 Por quˆe y y ˆ x γ 1 0 dy 0 y 0 e x 0 1 arctg y arctg y arctg x ca y Note que 114 CAMPOS CONSERVATIVOS E INTEGRAIS DE LINHA 129 R π arctg x se y 0 Assim uma funcao potencial de F em Ω e dada por f x y 0 se y 0 e x 0 π arctg x se y 0 2 y Note que se x 0 entao lim y0 f x y π e lim y0 f x y π Um resultado analogo ao teorema 1142 tambem e valido para o R3 Temos Teorema 1143 Seja F Ai Bj Ck onde A B C C1 em R a b c d e f Entao F e conservativo em R se e somente se A B y x A C e z x B C z y em R Observacao 1144 A prova e parecida com a do teorema 1142 sendo que a funcao po tencial do campo e obtida integrando F sobre uma poligonal contida em R como abaixo Observacao 1145 O teorema acima continua valido se ao inves do paralelepıpedo con siderarmos um domınio Ω simplesmente conexo como na observacao 1143 Note que no R3 um domınio simplesmente conexo pode ter buracos como e o caso de uma bola da qual foi retirado o centro Ja uma bola da qual foi retirado um diˆametro nao e um domınio simplesmente conexo Exemplo 1144 Se F x y z y2i 2xy e3zj 3ye3zk ache uma funcao f tal que f F xo yo zo x y z L R y 2 CAPITULO 11 130 INTEGRAIS DE LINHA x x x y x y Calculando γ F dr f 0 1 f 1 0 1 e Resolucao Se existir uma tal f devemos ter satisfazer 1 f x y z y2 2 f x y z 2xy e3z 3 f x y z 3ye3z Integrando 1 com respeito a x obtemos f x y z xy2 φy z 4 Assim f x y z 2xy φyy z Comparando 4 com 2 temos φyy z e3z Portanto φy z ye3z hz Logo 4 pode ser escrita como f x y z xy2 ye3z hz Derivando esta equacao com respeito a z e comparando com 3 obtemos hJz 0 Assim hz constante k E facil ver que f x y z xy2 ye3z k satisfaz f F Exercıcio 1142 Refaca o exercıcio anterior calculando f x y z γ F dr onde γ e o segmento dado por γt xt yt zt 0 t 1 Exercıcio 1143 Consideremos γ 0 π R2 dada por γt cos t sen t 0 t π2 2 e F x y y2i 2xy eyj x y R2 Calcular Resolucao Primeiro modo Pela definicao γ F dr F dr π2 0 sen2 t 2 cos t sen t esen t sen t cos t dt Segundo modo Como A x y 2y y B x y x em qualquer retˆangulo entao F e conservativo Procuremos f tal que f F isto e 1 f x y y2 2 f x y 2xy ey Integrando 1 com relacao a x obtemos f x y xy2 φy Por outro lado f x y 2xy φJy y 2 2 xy ey portanto φJy ey e logo φy ey c assim f x y xy2 ey c Verificase imediatamente que f F Observemos que f pode ser obtida como no teorema 1142 isto e integrando F sobre o caminho abaixo γ 114 CAMPOS CONSERVATIVOS E INTEGRAIS DE LINHA 131 t0 f x y x At 0dt 0 y Bx tdt 0 x 0 dt 0 y 2xt et dt 0 xt2 etty xy2 ey 1 Terceiro modo Sabemos que F e do tipo gradiente em R2 Logo a integral acima independe da curva que liga os pontos 1 0 e 0 1 Assim vamos calcular a integral sobre o segmento de reta que liga 1 0 a 0 1 Uma parametrizacao e γ 0 1 R2 dada por γt 1 t t 0 t 1 Assim F dr 1 γ F dr 1 t2 2t1 t et 1 1 dt Exercıcio 1144 Seja F um campo dado por F x y z C rx y z onde rx y z ǁrxyzǁ3 xi yj zk e C e uma constante Sejam P1 e P2 pontos cujas distˆancias a origem sao d1 e d2 respectivamente Expresse o trabalho realizado por F P2 em termos de d1 e d2 Resolucao ao longo de uma curva suave por partes ligando P1 e P2 0 0 γ y ˆ x y γ x ˆ P1 d1 v d2 a t2 2t1 t et dt 1 e CAPITULO 11 132 INTEGRAIS DE LINHA x2y2z212 2 1 d d d d Observemos que F x y z f x y z onde f x y z C Assim C C W f P f P Cd2 d1 2 1 1 2 ˆ R1 R2 Capıtulo 12 Teorema de Green 121 Introducao Definicao 1211 Uma regiao B IR2 e dita uma regiao simples se toda reta paralela a um dos eixos coordenados corta a fronteira de B em um segmento ou no maximo em dois pontos Teorema 1211 Green Seja D um regiao plana limitada dada por reuniao finita de regoes simples cada uma com fronteira constituıda de uma curva suave por partes Se A e B sao funcoes de classe C1 num aberto contendo D e a fronteira de D denotada por γ entao 133 Reuniao de duas regioes simples ˆ R ˆ R Regiao nao simples Regiao simples CAPITULO 12 TEOREMA DE GREEN 134 x y x y γ D Entao Ax y dx Bx y dy B x y Ax y dxdy onde γ e percorrida deixando D sempre a esquerda neste caso diremos que γ esta orientada positivamente De modo abreviado escreveremos A dx B dy B A dxdy Prova 1o caso Suponhamos que a regiao D seja simples Faremos a prova apenas no caso em que a fronteira de D pode ser descrita por um segmento e o grafico de uma funcao com um maximo como na figura abaixo y ˆ y b y gx x h1y D x h2y y a v x c x d x Neste caso temos B x y dxdy b h2y B x y dxdy D x a h1y x γ γ v D D γ1 γ2 c ˆ D2 D1 v v ˆ Y ˆ D4 D3 s v x y x y a Bh2y y Bh1y ydy γi Di 121 INTRODUC AO 135 b b Bh2y ydy a a Bh1y ydy b Bx y dy γ onde na ultima igualdade verificamos que a parte da integral em γ sobre o segmento de reta horizontal nao contribui com nada na integral A x y dxdy y d gx A x y dydx y d Ax gx Ax a dx D c a c c d Desta forma d Ax gx dx Ax a dx c Ax y dx γ B x y Ax y dxdy Ax y dx Bx y dy 2o caso D e uma reuniao finita de regioes simples Dividamos a regiao D em subregioes Di i 1 n onde cada uma destas sao simples ver figura abaixo Denotemos por γi i 1 n a fronteira de Di orientada como na figura abaixo γ3 γ4 Podem existir partes das curvas γi que nao fazem parte de γ e que serao percorridas duas vezes uma vez em cada sentido Aplicando o 1o caso em cada uma dessas subregioes obtemos A dx B dy B A dxdy i 1 n D γ γ CAPITULO 12 TEOREMA DE GREEN 136 n 2 D γ Somandose de i 1 a n obtemos A dx B dy γ Σ i1 γi A dx B dy i1 B Di x A dxdy y B D x A dxdy y Observacao 1211 No caso de dimensao 1 o teorema de Green pode ser visto como o Teorema Fundamental do Calculo pois estamos relacionando o valor da integral de uma funcao em um intervalo fechado sabendo o valor da de sua derivada na fronteira que no caso e formada por dois pontos 122 Aplicacao Area de uma regiao plana Tomandose Ax y 0 e Bx y x temos pelo teorema de Green que a area da regiao D sera dada por AD onde γ e percorrida no sentido positivo dxdy γ x dy De outro modo tomandose Ax y y e Bx y 0 temos que AD dxdy y dx Ou ainda somandose as duas igualdades acima temos que AD 1 x dy y dx Exercıcio 1221 Calcule a area da regiao delimitada pela cicloide dada por γ1t t sen t 1 cos t 0 t 2π e γ2 t 0 0 t 2π Resolucao y 2π x γ D n ˆ Σ 122 APLICAC AO 137 I x y 2 x y γ D Note que percorrendo a fronteira da regiao acima no sentido horario negativo temos A I x dy γ1 x dy γ2 x dy γ1 x dy 2π t sen t sen t dt 0 2π t sen tsen2 t dt 2π 1 cos 2t dt 2π 2π t sen t dt π t cos t2π cos t dt 3π 0 0 2 0 0 0 Exercıcio 1222 Use o Teorema de Green para calcular H γ 110xyy dx6xy5x dy 2 2 onde γ e o quadrado de vertices 0 0 a 0 0 a a a a 0 0 a 0 0 Resolucao Observemos que neste caso Ax y 1 10xy y2 Bx y 6xy 5x2 e D a regiao delimitada pelo quadrado satisfazem as condicoes do Teorema de Green onde a fronteira de D γ esta orientada no sentido positivo Aplicandoo obtemos I 1 10xy y2 dx 6xy 5x2 dy B A dxdy 6xy 5x2 1 10xy y2dxdy 6y 10x 10x 2ydxdy D x y 4ydxdy a a D 4ydxdy 2a3 D 0 0 x2 y2 Exercıcio 1223 Calcular a area limitada pela elipse a2 b2 1 Resolucao Vimos acima que a area A da regiao pode ser dada por A 1 I x dy y dx onde γ e a elipse percorrida no sentido positivo isto e antihorario Uma parametrizacao de γ pode ser dada por t 0 2π a cost b sent Assim A 1 2 γ 1 2π x dy y dx 2 1 2π a cos tb cos t b sen ta sen tdt 2 0 ab dt πab Exercıcio 1224 Seja D x y IR2 x2 y2 1 Ax y Ar Bx y Br funcoes de classe C1 que dependem somente da distˆancia a origem Mostre que B A dxdy 0 γ γ 0 D ˆ v ˆ a a a 0 CAPITULO 12 TEOREMA DE GREEN 138 x y x y x y γ D Resolucao Neste caso temos que γ x y IR2 x2 y2 1 e a circunferˆencia de centro na origem e raio 1 Podemos aplicar o Teorema de Green para obter B A dxdy A1dx B1dy observe que A e B sao constantes sobre a circunferˆencia γ Por outro lado se considerarmos Ax y A1 e Bx y B1 x y D isto e A e B sao constantes em D e aplicando o Teorema de Green a estas duas funcoes obteremos A1 dx B1 dy B A dxdy 0 Exercıcio 1225 Consideremos F x y Ax yi Bx yj onde A B C1 com B x A na regiao S dada abaixo Prove que y γ1 F dr γ2 F dr γ2 Resolucao Pelo Teorema de Green temos que F dr F dr B A dxdy 0 pois por hipotese em S Portanto B A x y γ1 F dr γ2 F dr γ2 c r S ˆ γ1 D γ γ1 S 122 APLICAC AO 139 F dr 4 cos2 t 9 sen2 t 4 cos2 t 9 sen2 t γ 0 ˆ D y x Exercıcio 1226 Consideremos F x y i j para x y 0 0 e γ t 0 2π 2 cos t 3 sen t Calcular x2 y2 F dr x2 y2 Resolucao Diretamente temos que 2π 3 sen t 2 cos t 2π 6 sen2 t 6 cos2 t 0 4 cos2 t 9 sen2 t dt 2π 6 4 cos2 t 9 sen2 t dt que e uma integral razoavelmente difıcil de calcularmos Observemos tambem que nao podemos aplicar o Teorema de Green a regiao determinada por γ pois as funcoes nao satisfazem as condicoes do teorema a origem 0 0 e um ponto onde as funcoes coordenadas de F nao sao nem contınuas Para contornar este problema observemos primeiramente que se y x Ax y x2 y2 e Bx y x2 y2 entao B A x y na regiao D abaixo que e externa ao disco unitario e interna a elipse γ 0 2 sen t 3 cos t dt CAPITULO 12 TEOREMA DE GREEN 140 cos2 t sen2 t cos2 t sen2 t Podemos aplicar o exemplo anterior que nos diz que F dr γ γ1 F dr 2π sent cos t 2π 0 dt 2π 0 sen t cos t dt Capıtulo 13 Integrais de Superfıcie 131 Superfıcies Definicao 1311 Uma superfıcie parametrizada e uma transformacao σ A R2 R3 de classe C1 Observacao 1311 A imagem de uma superfıcie parametrizada S σA e chamada de superfıcie Neste caso dizse que transformacao acima e uma parametrizacao da superfıcie Observacao 1312 Geralmente usaremos a notacao σu v xu v yu v zu v u v A Exemplo 1311 A esfera de raio R centrada na origem S x y z x2 y2 z2 R2 e uma superfıcie Note que a transformacao proveniente das coordenadas esfericas dada por σϕ θ R cos θ sen ϕ R sen θ sen ϕ R cos ϕ θ ϕ R e uma para parametrizacao de S Exemplo 1312 Se f A R2 R e uma funcao de classe C1 entao o seu grafico G x y f x y x y A e uma superfıcie Basta notar que σu v u v f u v u v A e uma parametrizacao de G 141 CAPITULO 13 INTEGRAIS DE SUPERFICIE 142 u e u v u v u v u v u v v y z Exemplo 1313 O cilindro C dado por x2 y2 R2 e uma superfıcie parametrizada por σu v R cos u R sen u v onde u v R Note que se S e uma superfıcie e σ uma parametrizacao sua entao os vetores σ u v e u σ u v v sao tangentes a S no ponto σu v Para verificar este fato basta notar que fixado v a funcao u σu v representa uma curva sobre S que passa por σu v e tem vetor tangente dado por σ u v De maneira analoga se verifica que σ u v tem propriedade semelhante u v Se σ u v e σ u v sao linearmente independentes entao o produto vetorial u v σ σ v u v u u v e diferente de zero e normal a S em σu v Convem lembrarmos que se colocarmos σu v xu v yu v zu v entao o produto vetorial entre σ σ e dado pelo determinante simbolico σ σ i j k y z z x x y onde N u v det u u x y v v u i j k z v e assim por diante y z u v y z det u u v v Definicao 1312 Dizemos que uma superfıcie parametrizada σ A R3 e regular se σ u v e σ u v sao linearmente independentes para todo u v A Exemplo 1314 Com relacao ao grafico de f veja exemplo 1312 obtemos i j k f f N det 1 0 u ui v j k Note que neste caso temos N f v 0 e ǁN ǁ s 1 f 2 u f 2 v f z y x 0 1 ui vjjv ui vj ui vj iujv ǁ v u v ˆ vj jv A vj Rij u v 132 INTEGRAL DE SUPERFICIE 143 132 Integral de Superfıcie Seja S uma superfıcie parametrizada por σ A R3 Suponha que sobre S esteja definida uma funcao contınua f Lembre que S R3 e portanto f e uma funcao de trˆes variaveis Queremos definir de um modo razoavel a integral de f sobre S Tomemos um retˆangulo Rij sobre a regiao A de lados iu e jv e com um vertice ui vj como mostra a figura Seja Po σui vj A imagem σR deste retˆangulo sobre S pela parametrizacao σ tem area aproximadamente igual a area do paralelogramo contido no plano tangente a S que passa por Po cujos lados sao congruentes aos vetores σ ui vjiu e σ ui vjjv Assim area de σRij e aproximadamente σ u v u σ σ σ N u vǁ u v u i j i i j ui ui iu CAPITULO 13 INTEGRAIS DE SUPERFICIE 144 i j u i j v i j i j u i j v i j u i j v i j 1 u v ij A S S Desta forma se escolhermos uJi vj J Rij podemos formar a soma de Riemann Σ f σuJ vJ σ u v σ u v u v a qual converge a σ σ f σu v u v u v dudv desde que f contınua e limitada em S σA e a fronteira de A seja uma reuniao finita de conjuntos suaves Definicao 1321 Seja A R2 um conjunto cuja fronteira e uma reuniao finita de conjuntos suaves Seja S uma superfıcie dada pela parametrizacao σ A R3 Se f e uma funcao contınua e limitada em S definimos a integral de superfıcie de f em S por f dS σ σ f σu v u v u v dudv Observacao 1321 Se f 1 em S entao dS area de S Observacao 1322 Se f representa algum tipo de densidade superficial de S de alguma grandeza escalar p ex densidade de massa ou de carga entao f dS representa a quantidade total desta grandeza sobre sobre S Observacao 1323 Se S e o grafico de uma funcao g A R2 R de classe C1 veja exemplo 1312 entao s g 2 g 2 133 Exemplos Exemplo 1331 Encontre a area de uma esfera de raio R Resolucao Sabemos que σϕ θ R cos θ sen ϕ R sen θ sen ϕ R cos ϕ ϕ θ A 0 π 0 2π v u A S f dS S A f u v gu v u v dudv 133 EXEMPLOS 145 σ σ 2 R2 sen ϕ dϕdθ 2πR2 cos ϕ e e uma para parametrizacao de S Temos σ θ θ ϕ R sen θ sen ϕ R cos θ sen ϕ 0 e σ ϕ θ ϕ R cos θ cos ϕ R sen θ cos ϕ R sen ϕ σ σ i j k θ ϕ θ ϕ det R sen θ sen ϕ R cos θ sen ϕ 0 R cos θ cos ϕ R sen θ cos ϕ R sen ϕ R2 cos θ sen2 ϕi R2 sen θ sen2 ϕj R2 sen ϕ cos ϕ k σ θ σ ϕ θ ϕ R4cos2 θ sen4 ϕ sen2 θ sen4 ϕ sen2 ϕ cos2 ϕ R4sen4 ϕ sen2 ϕ cos2 ϕ R4 sen2 ϕsen2 ϕ cos2 ϕ R4 sen2 ϕ Logo θ ϕ R sen ϕ θ ϕ 2π π π Exemplo 1332 Mostre que a parametrizacao da esfera centrada na origem e de raio um σ R 0 2π 1 1 R3 dada por σu v 1 v2 cos u 1 v2 sen u v preserva areas isto e se K R e um conjunto cuja fronteira e uma reuniao finita de conjuntos suaves entao a area de K e igual a area de σK Resolucao Lembrese que a parametrizacao acima ja foi estudada no capıtulo de transfor macoes Temos σ σ u v det i 1 v2 sen u j k 1 v2 cos u 0 σ 1 v2 cos ui 1 v2 sen u j v k σ Assim u u v v 1 v2 cos2 u 1 v2 sen2 u v2 1 AσK dS σ σ u v dudv dudv AK σK K u v K 1 v sen u 1v2 v cos u 1v2 2 0 2 AS S dS 0 0 4πR2 u v CAPITULO 13 INTEGRAIS DE SUPERFICIE 146 Exemplo 1333 Encontre a area da regiao do plano z y 1 que esta dentro do cilindro x2 y2 1 Resolucao Neste caso z f x y y 1 A x y IR2 x2 y2 1 Observemos que f x y 0 e f x y 1 logo a area da regiao S sera x AS y A s f 2 f 2 y 1 dx dy 1 1 dx dy 2 dx dy 2π ja que a ultima integral dupla nos da a area do cırculo de raio 1 Exemplo 1334 Calcular a area do paraboloide hiperbolico z xy que fica dentro do ci lindro x2 y2 1 A A x 133 EXEMPLOS 147 x y 0 1 dx dy 0 0 Resolucao Temos f x y xy e A x y x2 y1 1 E daı f x y y e f x y x Usando coordenadas polares obtemos AS A s f 2 f 2 y 1 dx dy A y2 x2 1 dx dy 2π 1 r2 1 r dr dθ faca u r2 1 2π 2 2 1 0 0 3 Exemplo 1335 Encontrar a area da parte do cilindro z y2 que fica sobre o triˆangulo de vertices 0 0 0 1 e 1 1 Resolucao Neste caso temos que z f x y y2 e A triˆangulo com vertices nos pontos acima Logo sabemos que a area AS da superfıcie sera dada por s f 2 f 2 1 y 1 4y2 1 y dy faca u 4y2 1 1 5 12 5 1 Vale observar que se a integral acima for calculada na outra ordem ela ficara bem difıcil Exemplo 1336 Calcular a massa de uma lˆamina que tem a forma do cone z2 x2 y2 entre os planos z 1 e z 4 se a densidade superficial e proporcional a distˆancia ao eixo dos z Resolucao A funcao densidade e ρ S R dada por ρx y z k x2 y2 e onde S x y x2 y2 x y A e x y A x y IR2 1 x2 y2 4 y x A x AS 4y2 1 dx dy CAPITULO 13 INTEGRAIS DE SUPERFICIE 148 x2 y2 Observemos que f x y x e f x y y Assim a massa de S e dada por x x2y2 y x2y2 s f 2 f 2 k 2 x2 y2 dxdy k 2 2π 4 r2 drdθ 42kπ 2 A 0 1 y x A S ρ dS k M S ρx y 1 dxdy σ σ u v u v u v u v u v A Capıtulo 14 Fluxo 141 Definicao e Exemplos Considere uma superfıcie parametrizada regular dada por σ A R3 Definimos os versores σ u v σ u v n1u v u v e n2u v n1u v Como ja vimos n1 e n2 sao normais a S σA em σu v Se F e um campo vetorial contınuo definido sobre S e n e igual a n1 ou n2 definimos o fluxo normal de F de S na direcao n por atraves Φ F n dS Note que se n n1 entao σ u v σ u v σ σ Φ Φ1 F σu v u v u v dudv A σ u v σ u v u v F σu v σ u v σ u v dudv e se a escolha fosse n n2 terıamos Φ Φ1 Exemplo 1411 Considere um fluido que escoa com velocidade constante igual a c Encon tre o fluxo deste campo atraves de uma placa plana de area A com rela placa que faz com c um ˆangulo de no maximo 90o 149 ao a normal n da v u S CAPITULO 14 FLUXO 150 x Temos Φ c n dS c n dS Ac n Observe que se c e medida em metros por segundo e a a area de S em metros quadrados vemos que a dimensao de Φ e metros cubicos por segundo Ou seja Φ mede a vazao isto e o volume de lıquido que atravessa S por unidade de tempo Observe ainda que c n e zero se c e n sao ortogonais e neste caso a posicao da placa e paralela ao campo No outro extremo Φ e maximo quando a placa esta posicionada perpendicularmente ao campo e neste caso Φ ǁcǁA Sejam σj Aj R3 j 1 m sao superfıcies parametrizadas regulares Suponha que Aj seja um compacto cuja fronteira e uma reuniao finita de conjuntos suaves e que σiintAiσjintAj onde intA representa o interior do conjunto A Coloque Sj σjAj e S S1 Sm Se nj e uma escolha de vetores normais a Sj e F e um campo contınuo definido sobre S definimos o fluxo de F atraves de S de acordo com as normais escolhidas por S F n dS F n1 dS F nm dS Observacao 1411 Note que se S e uma superfıcie fechada F representa velocidade de um fluido que escoa atraves de S o sinal do fluxo de F atraves da normal exterior de S nos diz se ha mais fluido saindo de S no caso de sinal positivo ou entrando na regiao limitada delimitada por S no caso de sinal negativo Quando o fluxo e zero ha uma igualdade entre a quantidade de fluido que entra e entre a que sai Exemplo 1412 Calcule o fluxo de fx y z xyi4yz2j yzk para fora do cubo S cujas faces estao contidas na uniao dos planos coordenados e dos planos x 1 y 1 e z 1 Resolucao S S s s s z ˆ n c s A y a Sn S1 2 R2 ϕ θ S A 141 DEFINIC AO E EXEMPLOS 151 Portanto S F n dS 4 3 Exemplo 1413 Encontre o fluxo atraves da normal exterior da esfera S x y z x2 y2 z2 R2 do campo eletrico E x y z q x2 y2 z2 3 xi yj zk gerado por uma carga Resolucao Um modo de resolver este exercıcio e usando a parametrizacao do exemplo 1331 e resolver E n dS E σϕ θ σ ϕ θ σ ϕ θ dϕdθ No entanto resolveremos da seguinte maneira o versor normal no ponto x y z S apontando para fora e 1 e portanto n x2 y2 z2 xi yj zk E n q q x2 y2 z2 R2 Daı S E n dS q dS q 4πR2 4πq R2 S Face n F n Fluxo z 1 k yz y dx dy 1 A 2 z 0 k yz A 0 dx dy 0 x 1 i xy A y dy dz 1 2 x 0 i xy A 0 dy dz 0 y 1 j 4yz2 4z2 dx dy 4 A 3 y 0 j 4yz2 A 0 dx dy 0 y z z x x y x y Capıtulo 15 Os Teoremas de Gauss e Stokes 151 O Divergente e o Rotacional Consideremos um campo de vetores Definicao 1511 Seja F A1i A2j A3k um campo vetorial de classe C1 em Ω R3 O divergente de F em P Ω e definido por div F P A1 P A2 P A3 P x y z Exemplo 1511 Se F x y z x2ixyjxyk entao div F x y z xxy x y z IR3 Exemplo 1512 Se F x y z yi xj entao div F x y z 0 x y z IR3 Exemplo 1513 Se F x y z xi yj zk entao div F x y z 3 x y z IR3 Definicao 1512 Dado um campo vetorial F A1i A2j A3k de classe C1 em Ω R3 definimos o rotacional de F em P Ω como sendo rot F P A3 P A2 P i A1 P A3 P j A2 P A1 P k Observemos que rot F nante pode ser calculado simbolicamente atraves do seguinte determi i j k No caso bidimensional A1 A2 A3 entao F x y A1x yi A2x yj rot F x y A2 x y A1 x y k 153 z y x rot F P CAPITULO 15 OS TEOREMAS DE GAUSS E STOKES 154 rot F P y z x z x y y z x z x y Exemplo 1514 Se F x y z yi xj entao i j k y x 0 0 x i 0 y j x y k 2k Observemos que o campo e uma rotacao Exemplo 1515 Seja F x y z xi yj zk Entao i j k x y z z y i z x j y x k 0 Note que o campo acima nao e uma rotacao Exercıcio 1511 Considere Φx y z xy z e F x y z xi yj zk x y z IR3 Calcular a φ b div F c rot F d divφF e rotφF Exercıcio 1512 Prove que divrot F 0 onde F parciais de segunda ordem contınuas A1i A2j A3k tem derivadas Exercıcio 1513 Prove que rotf 0 se f e de classe C2 O seguinte teorema e uma consequˆencia e uma reformulacao em termos do rotacional teorema 1243 capıtulo de Integrais de Linha juntamente com a equivalˆencia entre inde pendˆencia de caminho e integral zero sobre todas as curvas fechadas Teorema 1511 Seja F A1i A2j A3k com derivadas parciais contınuas em R a b c d e f As seguintes afirmacoes sao equivalentes 1 F e conservativo em R 2 rot F 0 em R 3 a integral de F 4 a integral de F independe do caminho ao longo de qualquer curva fechada e zero Observacao 1511 Vale um teorema analogo ao anterior para retˆangulos em R2 z y x rot F P z y x 152 O TEOREMA DE GAUSS 155 x y D S 152 O Teorema de Gauss Suponhamos que A B Γ e D sejam como no enunciado do teorema de Green Suponha que a parametrizacao de Γ seja tal que ΓJt 0 Entao temos Bdx A dy A B dxdy Se colocarmos F tornarsea Bx yi Ax yj e vx y Ax yi Bx yj a equacao anterior Lembre que I F dr div v dxdy I F dr I F T ds onde T e o vetor tangente unitario a Γ que deixa a regiao D a sua esquerda Observemos que F T v n De fato se denotarmos n a b o vetor normal unitario apontando para fora da regiao D teremos T b a pois T deixa D a sua esquerda T e uma rotacao de 90o de n no sentido antihorario Agora como F seguese que B A e v A B Com isto obtemos F T B A b a Bb Aa v n I v n ds div v dxdy Vejamos como a formula acima se aplica tambem no R3 Seja B um compacto de R3 cuja fronteira S possa ser descrita da seguinte maneira Sejam σj Aj R3 j 1 m sao superfıcies parametrizadas regulares Suponha que Aj seja um compacto cuja fronteira e uma reuniao finita de conjuntos suaves e que σiintAiσjintAj onde intA representa o interior do conjunto A Coloque Sj σjAj entao S S1 Sm Teorema 1521 Divergˆencia Gauss Sejam B e S como acima Seja nj o vetor nor mal unitario a Sj que aponta para fora de B Coloque nP nP se P σjintAj Se F e um campo de classe C1 definido num aberto que contem B entao div F dxdydz F n dS 151 Observacao 1521 Note que o lado esquerdo de 151 representa o fluxo de F normal exterior de S atraves da Γ D CAPITULO 15 OS TEOREMAS DE GAUSS E STOKES 156 div F Pє c volBє div F P lim div F Pє lim c f a b IR for contınua entao existe c a b tal que f x dx f cb a Sc Bc є0 1521 Interpretacao Fısica do Divergente Lembremos que o Teorema do Valor Medio para Integrais do Calculo 1 nos diz que se b Este resultado continua valido para integrais triplas isto e se g E IR e contınua na bola B entao existe P0 E tal que B gx y z dxdy dz gP0volB Sejam F um campo de classe C1 definido em Ω R3 e PinΩ Sejam Bє a bola fechada de centro em P e raio ϵ contida em Ω e Sє a superfıcie de Bє Suponha que F x y z represente a velocidade de escoamento de um a fluido no ponto x y z Ω O Teorema da divergˆencia nos diz que F n dS div F dxdydz Logo Bc div F dxdydz fluxo para fora de Sє Aplicando o Teorema do Valor Medio para Integrais para o segundo membro da igualdade acima obtemos onde Pє Bє Assim Sc F n dS divF PєvolBє S F n dS Fazendo ϵ 0 temos que Pє P e assim S F n dS Portanto div F P e o valor limite do fluxo por unidade de volume sobre uma esfera de centro em P quando o raio da esfera tende a zero ou ainda volume do fluido para fora por unidade de tempo div F P volume da esfera Logo se div F P 0 entao o fluido se afastade P isto e P e uma fonte Se div F P J 0 entao o fluido se aproximade P isto e P e uma sorvedouro Se div F 0 dizemos que o fluido e incompressıvel Observacao 1522 O raciocınio acima pode ser repetido para um fluxo magnetico ou eletrico є0 a volBє 152 O TEOREMA DE GAUSS 157 8 Exemplo 1521 Comprove o teorema da divergˆencia para o caso em que B e um tetraedro limitado pelos planos coordenados e por x y z 1 F x y z 3x2i xyj zk Resolucao Neste caso div F x y z 6x x 1 7x 1 Assim div F dxdydz 1 1x 1xy 1 7x 1 dz dy dx 8 B 0 0 0 Por outro lado se colocarmos S1 como a face do tetraedro contida no plano z 0 S2 como a face contida no plano x 0 S3 como a face contida no plano y 0 e S2 como a face contida no plano x y z 1 obtemos S1 F n dS 3x2i xyj 0k k dS 0 S2 F n dS 0i 0j zk i dS 0 S3 F n dS S1 3x2i 0j zk j dS 0 Como S4 x y 1 x y x y S1 entao S4 F n dS 1 1x 3x2i xyj 1 x yk ij k dxdy 1 Logo 3x2 xy 1 x y dy dx S F n dS div F dxdydz Exemplo 1522 Sejam B o solido limitado por x2 y2 4 z 0 z 3 e F x y z xi yj zk Utilizar o teorema da divergˆencia para calcular o fluxo de F exterior da superfıcie S que delimita B atraves da normal Resolucao Temos F n dS 3 dxdydz 3volB 36π Exemplo 1523 Idem para F x y z yi xj Resolucao Temos S F n dS 0 dxdydz 0 S B 0 0 S1 S1 S1 A B CAPITULO 15 OS TEOREMAS DE GAUSS E STOKES 158 x y x y Γ D Γ D Γ S 153 O Teorema de Stokes Voltemos a examinar o Teorema de Green Suponhamos que A B Γ e D satisfazem as condicoes do teorema do teorema de Green Temos A dx B dy B A dxdy 152 Lembremos que se F x y Ax yi Bx yj entao rot F B A k Deste modo podemos reescrever a formula 152 como I F dr rot F k dxdy Vejamos como este resultado pode ser visto no R3 Seja K R2 um conjunto compacto cuja fronteira pode ser descrita por uma curva γ fechada suave por partes sem autointerseccao Seja σ K R3 uma superfıcie parametri zada injetora tal que σ σ 0 Diremos que o bordo de S σK dado pela curva Γ σ γ esta no orientado no sentido positivo com relacao a σ σ n v u σ σ ǁ v u ǁ quando γ estiver orientada no sentido antihorario Teorema 1531 Stokes Sejam K γ σ S Γ e n como acima Se F e um campo de classe C1 definido num aberto que contem S entao F dr rot F n dS Exemplo 1531 Comprove o teorema de Stokes para o caso em que S x2 y2 z2 1 z 0 F xi yj zk Resolucao Neste caso sabemos que rot F 0 Logo S rot F n dS 0 dS 0 Por outro lado como o bordo de S pode ser descrito por Γt cost sent 0 0 t 2π seguese que F dr x dx y dy z dz γ 2π cos t sen t sen t cos t dt 0 2π 0 dt 0 0 Γ S v u є ǁ ǁ є0 є є0 πϵ2 c 153 O TEOREMA DE STOKES 159 1531 Interpretacao Fısica do Rotacional Seja F um campo de classe C1 definido em Ω R3 Suponha que F x y z represente a velocidade de escoamento de um a fluido no ponto x y z Ω A integral Γ F T ds sera denominada circulacao de F ao longo de Γ onde T e o vetor unitario tangente a Γ Observacao 1531 Note que se F T 0 temos contribuicao para um movimento circu latorio Se F T 0 nao havera contribuicao para um movimento circulatorio Consideremos P um ponto em Ω Dє um disco de centro em P e raio ϵ 0 Sejam Γє a circunferˆencia de Dє T vetor tangente unitario a Γє Utilizando o Teorema de Stokes e o Teorema do Valor Medio para Integrais temos Γc F T ds Γc F dr T Stokes rot F n dS TV Medio rot F P nπϵ2 Portanto rot F P n 1 F T ds є Fazendo ϵ 0 temos que Pє P e assim πϵ2 Γ rot F P n lim rot F P n lim 1 F T ds Logo em cada ponto P a componente de rot F P em qualquer direcao n e o valor limite da circulacao de F por unidade de area no plano normal a n Em particular rot F P n tem maximo quando n e paralelo a rot F P Assim a dire ao de rot F P e a direcao para o qual a circulacao ao longo da fronteira de um disco perpendicular a rot F P atinge seu valor maximo quando o disco tende a um ponto Uma outra relacao entre rotacional e aspectos rotacionais do movimento pode ser obtida da seguinte forma Consideremos um fluido em rotacao uniforme em torno de um eixo Definimos o vetor velocidade angular denotado por ω como sendo o vetor que satisfaz i ω tem a direcao do eixo de rotacao ii tem sentido positivo em relacao a rotacao regra da mao direita iii ω ǁF ǁ ǁrǁ Note que F ω r pois ǁF ǁ ǁω ǁǁrǁ Logo se ω ω1i ω2j ω3k P x y z P0 x0 y0 z0 entao i j k F ω1 ω2 ω3 x x0 y y0 z z0 Dc Γc CAPITULO 15 OS TEOREMAS DE GAUSS E STOKES 160 y x x y γ B S ω2z z0 ω3y y0i ω3x x0 ω1z z0j ω1y y0 ω2x x0k Calculando rot F teremos 2ω1i 2ω2j 2ω3k Portanto rot F 2ω Observacao 1532 Se temos o movimento de um fluido F Ai Bj incompressıvel divergente igual a zero e irrotacional rotacional igual a zero no plano entao div F A B 0 x y e rot F A B k 0 nos dao as Equacoes de CauchyRiemann de grande importancia na teoria de funcoes de variaveis complexas 154 Resumo Temos os seguintes resultados relacionados 1 Teorema Fundamental do Calculo b F Jx dx F b F a a 2 Teorema Fundamental para Campos Conservativos f dr f γb f γa 3 Teorema de Green B A dxdy A dx B dy 3 Teorema da Divergˆencia ou de Gauss div F dxdydz F n dS 3 Teorema da Stokes S rot F n dS dr Exercıcio 1541 Prove que se F e um campo de quadrado inverso entao F e incompressıvel e irrotacional Exemplo 1541 Seja S uma superfıcie fechada que e fronteira de uma regiao B com a origem sendo um ponto interior de B Se o campo de quadrado inverso e dado por F x y z q ǁrǁ r onde rx y z xi yj zk prove que o fluxo de F sobre S e 4πq independente da forma de B Γ D Γ ǁ ǁ B1 S S1 154 RESUMO 161 Resolucao Vale observar que nao podemos aplicar diretamente o teorema da divergˆencia em B pois F nao e de classe C1 em B Para resolver esta situacao consideremos a bola E de centro na origem e raio a 0 contida em B Denotemos a superfıcie de E por S1 Como F e de classe C1 na regiao B1 B E podemos aplicar o teorema da divergˆencia nesta regiao e obter div F dv F n dS F n dS Sabemos que div F 0 logo F n dS F n dS Mas a normal exterior a S1 pode ser dada por n 1 r com r a Assim ǁrǁ F n dS q 1 r r dS S S1 ǁrǁ3 ǁrǁ q r r dS q dS q dS q dS 4πq S1 ǁrǁ4 S1 ǁrǁ2 S1 a2 a2 S1 Exercıcio 1542 Seja F x y z x2i y2 j z2 k Encontre S rot F n dS onde S e a porcao do paraboloide z x2 y2 delimitada pelos planos z 1 e z 2 e n aponta para fora de S S 1S CAPITULO 15 OS TEOREMAS DE GAUSS E STOKES 162 4 4 9 Capıtulo 16 Listas de Exercıcios 161 Lista Preliminar de Exercıcios Exercıcio 1611 Esboce as seguintes regioes no plano a x y R2 0 x 1 x y x b x y R2 1 x2 y2 4 c x y R2 x2 y2 1 1 x2 y 1 x2 d x y R2 x2 y2 1 1 x2 y2 Exercıcio 1612 Esboce as seguintes regioes no espaco e x y z R3 x2 y2 1 0 z x2 y2 f x y z R3 1 x2 y2 4 0 z 2 x2 y2 g x y z R3 x2 y2 z x2 y2 z2 1 h x y z R3 x2 2x y2 0 0 z 1 Exercıcio 1613 Faca um esboco do grafico da equacao e denomine a superfıcie em cada um dos itens abaixo 2 2 2 x2 y2 2 2 2 a 4x 9y 36 z b 36 4 25 c x y z 163 a x y z R3 0 x 1 0 y 1 0 z x 2y b x y z R3 0 x 1 0 y 1 0 z x2 y2 c x y z R3 x2 y2 1 x2 y2 z 2 d x y z R3 x2 y2 1 1 x2 y2 z x2 y2 CAPITULO 16 LISTAS DE EXERCICIOS 164 x2 y2 c 0 1 2 d f x y x y c 0 1 2 x y q 1 64 c f x y 4 Exercıcio 1614 Determine o domınio de f nos seguintes casos xy a f x y x 2y b f u v 1 u euv c f x y xy x2 y3 Exercıcio 1615 Seja f x y x2 2xy a Encontre as curvas de nıvel c da funcao f para c 0 e c 0 b Encontre a interseccao da superfıcie definida por f com o plano y mx m R c Faca um esboco do grafico de f Exercıcio 1616 Faca um esboco das curvas ou superfıcies de nıvel das funcoes abaixo nos nıveis indicados a f x y x y c 0 1 2 b f x y ex c 12 0 12 2y e f x y z x y c 0 1 2 f f x y z q x2 y2 z2 c 0 1 2 g f x y z x2 y2 z2 c 1 0 2 h f x y xy c 0 1 2 Exercıcio 1617 Determinar os pontos x y onde f x y f x y 0 das funcoes x y abaixo a f x y x 12 2y2 b f x y x2 xy y2 2x y c f x y x2 y2ex2y2 d f x y 8 x y x 0 y 0 x y 162 Primeira Lista de Exercıcios 1 Encontre o polinˆomio de Taylor de f em torno do ponto x0 y0 em cada um dos itens abaixo a f x y sen x cos y x0 y0 0 0 b f x y x2y y3x x4 x0 y0 0 0 c f x y cosx2 y2 x0 y0 0 0 d f x y x2 cos y x0 y0 1 0 2 Calcular os pontos extremos da funcao z f x y x y6 y 22 3 Determine os valores maximos e mınimos de f x y x3y33xy na regiao 0 x 2 1 y 2 4 Verifique se existem pontos crıticos nas seguintes equacoes e analiseos se existirem a z 18x2 32y2 36x 128y 110 b z sen x y sen x sen y c z xy d z x2 cos y 9 4 163 SEGUNDA LISTA DE EXERCICIOS 165 5 Dividir 120 em trˆes partes de modo que a soma dos produtos das partes tomadas duas a duas seja maxima 6 Representar um numero positivo A em forma de produto de quatro fatores positivos cuja soma seja a menor possıvel 7 Determine a reta tangente a curva x2 y 4 eixos um triˆangulo de area mınima 1 x 0 e y 0 que forma com os 8 Usando o metodo dos multiplicadores de Lagrange determinar os extremos condicio nados das funcoes a z xy quando x y 1 b u x2 y2 z2 quando a b c 0 x2 y2 a2 b2 z2 c2 1 c z x2 y2 quando 3x 2y 6 d u xyz quando x y z 5 e xy yz zx 8 9 Os leitos de dois rios sao aproximadamente representados pela parabola y x2 e pela reta x y 2 0 Desejase reunir os dois cursos por um canal retilıneo de tal maneira que o comprimento seja mınimo Quais sao os pontos pelos quais deve passar tal canal 10 Achar o comprimento dos eixos da elipse 5x2 8xy 5y2 9 y z 11 Achar a distˆancia mais curta do ponto P 1 2 3 a reta x 3 2 12 Qual o volume do maior paralelepıpedo retangular inscritıvel no elipsoide x2 y2 z2 1 9 16 36 13 A temperatura T em qualquer ponto x y z e T x y z 100x2yz Encontre as temperaturas maximas e mınimas dentro da regiao x2 y2 z2 4 14 Determine um ponto P na elipse x2 2y2 6 e Q na reta x y 4 de modo que a distˆancia de P a Q seja a menor possıvel 15 Achar a menor distˆancia da origem a superfıcie x2 2y2 z2 1 O que se pode falar dos pontos 1 0 0 e 1 0 0 163 Segunda Lista de Exercıcios 1 Sejam f R2 R2 e g R3 R2 dadas por f x y ex2y seny 2x e gu v w w2 2v u a Encontre as matrizes jacobianas de f e g b Encontre a matriz jacobiana da composta hu v w f gu v w 2 CAPITULO 16 LISTAS DE EXERCICIOS 166 y z x2y2 x2y2 2 Sejam f R3 R2 e g R3 R3 dadas por f x y z x2 y z 2x y z2 e gu v w w2 sen v eu2 a Encontre as matrizes jacobianas de f e g b Encontre a matriz jacobiana da composta hu v w f gu v w 3 Considere a transformacao T x y 2x y Qual a imagem cırculo x2 y2 1 pela transformacao T Faca um esboco da imagem 4 Considere a transformacao T x y x y definida para todo x y 0 0 a Mostre que T leva cırculos centrados na origem de raio r em cırculos centrados na origem de raio 1r b Mostre que T leva a semireta x y tx0 y0 t 0 x0 y0 c Mostre que a inversa de T e a propria T 0 0 nela mesma 5 Verifique que as transformacoes abaixo sao localmente inversıveis em torno do ponto dado a T x y senx y sen x sen y P0 0 0 b T x y x f x y em torno de qualquer ponto x0 y0 onde f x0 y0 0 c T x y z x y f x y z em torno de qualquer ponto P0 x0 y0 z0 onde f P0 0 6 Seja T u v u v uv uma transformacao definida para v 0 a Calcule T u u b Mostre que T admite inversa local em torno de qualquer ponto u0 v0 com u0 v0 e v0 0 7 Seja T x y x2 y2 2xy a Mostre que T e localmente inversıvel em torno de qualquer ponto x0 y0 0 0 b T admite inversa se restringirmos seu domınio a todos os pontos de R2 exceto o 0 0 Justifique c Mostre que o arco de circunferˆencia dado por r cos θ r sen θ onde 0 θ π e levado por T na circunferˆencia centrada na origem e raio r2 8 Mostre que a equacao f x y 0 define uma funcao implıcita y gx em torno do ponto x0 y0 e calcule gJx nos seguintes casos af x y x2 xy y2 3 x0 y0 1 2 b f x y 2exy x y x0 y0 1 1 c f x y xy 1 x0 y0 1 1 Calcule tambem g1 9 Seja f R R uma funcao com derivada contınua Apresente uma condicao que imposta a f possibilitara que a equacao 2f xy f x f y defina implicitamente y como uma funcao de x em torno de 1 1 164 TERCEIRA LISTA DE EXERCICIOS 167 10 Se xo 0 e xo 1 mostre que se x y esta suficientemente proximo a xo 0 a equacao senx2y xy 0 e equivalente a y 0 11 Qual e o lugar geometrico dos pontos x y que satisfazem a equacao a y2 x2ey 0 b esen x 12 sen y 12 0 c Estude as equacoes anteriores de acordo com o Teorema das Funcoes Implıcitas e veja se esta tudo bem 12 Se F x y x2 y2 x3 ache a solucao y f x de F x y 0 a em uma vizinhanca de 5 10 b em uma vizinhanca de 10 30 c Observe que y2 x3 x2 0 Logo existe uma regiao do plano onde esta equacao nao tem solucao Qual e ela d Em que pontos xo yo do lugar geometrico F x y 0 nos nao temos um inter valo I contendo xo tal que F x yx 0 para todo x I 164 Terceira Lista de Exercıcios 1 Dado 4 y dy 2 1 f x y dx D f x y dx dy caracterizar D 2 Escreva a integral dupla equivalente invertendo a ordem de integracao para cada um dos problemas abaixo Verifique o resultado calculando ambas as integrais 2 ex a dy dx b 1 1 dx dy c 2 42 y2 y dx dy 1 3x2 dy dx 0 1 0 y 0 42 y2 2 x24x 3 Calcule utilizando integral dupla a area da regiao compreendida entre a o grafico das funcoes y x e y x2 x 1 com 1 x 1 b o grafico das funcoes y sen x e y 1 cos x com 0 x π2 c o grafico das funcoes y x e y ex com 0 x 1 4 Calcule o volume de cada um dos solidos e faca os graficos desses solidos a solido delimitado pelos planos x 0 y 0 z 0 x y 1 e pela superfıcie cilındrica z 1 x2 b solido delimitado pelos planos x 0 y 0 z 0 x y e pela superfıcie cilındrica z 4 y2 c solido delimitado pelos planos x 0 y 0 z 0 x y e pelo cilindro x2 z2 1 CAPITULO 16 LISTAS DE EXERCICIOS 168 9 D D 5 Determinar a area no primeiro quadrante limitada pela parabola x y x y2 1 e pela reta x y 4 Sugestao Faca u x y e v x y 6 Calcular x y2 sen2x y dx dy onde D e o paralelogramo de vertices π 0 2π π π 2π e 0 π Sugestao Usar a transformacao u x y e v x y 7 Determinar a area do anel dado por dois cırculos concˆentricos de raios a e b b a 8 Achar o volume do solido S limitado pelo paraboloide x2 y2 4z e pelo cilindro x2 y2 8y e pelo plano z 0 9 Determinar o volume V do solido constituıdo pelo cone z 32 x2 y2 0 z 2 e pelo cilindro x2 y2 1 2 z 5 10 Determinar os intervalos de variacao das coordenadas de um ponto pertencente a regiao R a Quando se abre um furo de raio a numa esfera de raio 2a sendo o eixo do furo um diˆametro da esfera b limitado pelos cilindros x2 y2 16 e x2 z2 16 c limitado pelo paraboloide r2 9 z e pelo plano z 0 11 Determinar o volume interno ao cilindro x2 y2 9 0 z 6 e externo ao cone x2 y2 1 z2 z 0 12 Dada a integral z dx dy dz onde D e o solido definido pelas desigualdades x2y2 z x2 y2 z2 2 z 0 Determine os extremos de integracao e escreva as integrais iteradas usando a coordenadas cartesianas b coordenadas cilındricas c coordenadas esfericas Calcule esta integral usando o sistema de coordenadas que achar mais conveniente 13 Calcule o volume do solido definido pelas desigualdades x2 y2 9 3 z 6 x2 y2 z2 0 z 3 e x2 y2 1 Sugestao usar coordenadas cilındricas 14 Calcular o volume do solido constituıdo pelo cilindro x2 y2 4 0 z 2 e pelo cone x2 y2 z2 2 z 5 15 Seja R a regiao limitada pelo paraboloide z 2x2 y2 1 pelo plano x y 1 e pelos planos coordenados Calcule o volume de R 164 TERCEIRA LISTA DE EXERCICIOS 169 a2 Observacao Se µx y constante x y e chamado centroide 2 b2 16 Calcule as integrais abaixo usando a sistema de coordenadas mais conveniente a 4 3 9x 2 x2 y2 dy dx dz 0 0 0 b 1 1x2 1x2y2 z2dz dx dy 0 0 0 c Seja S a regiao limitada pelo tetraedro formado pelo plano 12 x 20 y 15 z 60 e os planos coordenados Calcule a y dV b x2 y2 dV Seja µ B R2 R uma funcao contınua sobre B Se µx y indicar a densidade de massa no ponto x y entao definese a Massa de B M µx y dx dy b Centro de massa de B e o ponto x y B com x My y Mx onde Mx My B B M M y µx y dx dy momento de B em relacao ao eixo x xµx y dx dy momento de B em relacao ao eixo y c momento de inercia com relacao ao eixo x Ix y2 µx y dx dy momento de B inercia com relacao ao eixo y Iy x2 µx y dx dy momento de inercia polar ou em B Baseado nas definicoes acima resolver 1 Uma lˆamina plana e limitada pelos graficos de y x2 e x 4 Ache o centro de massa sabendose que a densidade no ponto P x y e diretamente proporcional a distˆancia de P ao eixo y 2 Seja a elipse x2 y 1 a forma de uma placa Seccionandose a placa segundo o segmento que liga o ponto 0 b ao ponto a 0 pedese o centroide da porcao seccionada da placa 3 Encontre o momento de inercia de uma placa semicircular de raio a sabendose que a densidade em P x y e diretamente proporcional a distˆancia de P ao diˆametro da placa 4 Calcule Ix Iy e I0 para a lˆamina que tem a forma da regiao limitada pelos graficos de y 3 x x 8 y 0 cuja densidade e µx y y2 B x2 y2 µx y dx dy relacao a origem I0 S S B CAPITULO 16 LISTAS DE EXERCICIOS 170 3 3 2 γ 32 2 γ 4x2y2 4x2y2 5 Uma lˆamina homogˆenea tem a forma de um quadrado de lado a Determine o momento de inercia em relacao a a um lado b uma diagonal c o centro de massa 165 Quarta Lista de Exercıcios 1 Calcule γ F dr sendo dados a b c d F x y z xi yj zk e γt cos t sen t t 0 t 2π Resp 2π2 F x y x2j e γt t2 3 1 t 1 Resp 0 F x y x2i x yj e γt t sen t 0 t π Resp π3 2 F x y z x2i y2j z2k e γt 2 cos t 3 sen t t 0 t 2π Resp 8π3 2 Uma partıcula deslocase em um campo de forcas dado por F x y z y x z Calcule o trabalho realizado por F no deslocamento da partıcula de γa ate γb sendo dados a γt cos t sen t t a 0 e b 2π Resp 2ππ 1 b γt 2t 1 t 1 t a 1 e b 2 Resp 92 c γt cos t 0 sen t a 0 e b 2π Resp 0 3 Calcule x dx y dy sendo γ dada por x t2 e y sen t 0 t π2 Resp π4 1 4 Calcule γ x dx y dy sendo γ o segmento de extremidades 1 1 e 2 3 percorrido no sentido de 1 1 para 2 3 Resp 11 5 Calcule γ x dx y dy z dz sendo γ o segmento de retas de extremidades 0 0 0 e 1 2 1 percorrido no sentido de 0 0 0 para 1 2 1 Resp 3 6 Calcule γ x dx dy 2 dz sendo γ a interseccao do paraboloide z x y com o 2 2 plano z 2x 2y 1 o sentido de percurso deve ser escolhido de modo que a projecao de γt no plano xy caminhe no sentido antihorario Resp 0 7 Calcule γ 2x dx dy onde γ tem por imagem x y 4 x 0 e y 0 o sentido 2 2 de percurso e de 2 0 para 0 2 Resp 6 8 Calcule y dx x dy onde γ tem por imagem 4x2 y2 9 o sentido de percurso e antihorario Resp π 9 Seja γt R cos t R sen t 0 t 2π Mostre que y dx x dy nao depende de R 0 γ x2 y2 x2 y2 12 1y2 165 QUARTA LISTA DE EXERCICIOS 171 10 Calcule γ x dx onde γ e o quadrado centrado na origem e lado 2 percorrido 3 dy no sentido antihorario Resp 0 11 Calcule γ 12 Calcule γ F dr onde F x y 0 x y2 e γ e a curva do exercıcio anterior Resp 4 x y dx exy dy onde γ e a fronteira do triˆangulo de vertices 0 0 0 1 e 1 2 orientada no sentido antihorario Resp e3 e 5 13 a Demonstrar que 346xy2 y3 dx6x2y 3xy2 dy e independente do caminho de 1 2 a 3 4 b Calcule a integral do item anterior Resp 236 14 Provar que F 2xz3 6yi 6x 2yzj 3x2z2 y2k e um campo conservativo isto e F provem de um potencial 15 Calcular γ F dr onde γ e um caminho entre 1 1 1 e 2 1 1 6 2 6 CAPITULO 16 LISTAS DE EXERCICIOS 172 3 H π x y γ K 16 Mostre que γ F dr independe do caminho determinando uma funcao potencial f para F a F x y 3x2y 2i x3 4y3j b F x y 2x sen y 4exi x2 cos y 2j c F x y 2y3 sen xi 6y2 cos x 5j 17 Comprovar o Teorema de Green nos casos abaixo isto e verifique que I P dx Q dy Q P dxdy a H γ 2xy x2 dx x y2 dy sendo γ a curva fechada do domınio limitado entre b c d y x2 e y2 x F xyi 2xyj D e o retˆangulo 1 x 2 0 y 3 F ex sen yi ex cos yj D e 0 x 1 0 y π2 F 2 xy3 x2yi x2y2j D e o triˆangulo de vertices 0 0 1 0 1 1 18 Usando o Teorema de Green calcular a ex sen y dx ex cos y dy sobre o retˆangulo de vertices 0 0 1 0 1 π2 e 0 π2 b H γ 2x y dx 3xy dy onde γ e o cırculo x y 1 2 3 2 2 19 Usando integral de linha calcule a area da regiao delimitada pelas curvas y x 2 e y x2 20 Usando integral de linha calcule a area da regiao no primeiro quadrante delimitada pelas curvas 4y x y 4x e xy 4 21 Calcule H C x dxy dy onde C e o arco de parabola y x 1 1 x 2 seguido pelo 2 segmento de 2 3 a 1 0 Aplicar o Teorema de Green 22 Calcule a γ b γ x2 y2 ds onde γt t t 1 t 1 Resp 4 23 2xy y2 ds onde γt t 1 t 1 0 t 1 Resp 2 c γ xyz ds onde γt cos t sen t t 0 t 2π Resp π 22 d γ x y z ds onde γt t 2t 3t 0 t 1 Resp 3 14 23 Calcule C F T ds onde T e o vetor unitario tangente a curva C nos seguintes casos a b F xyi yj k C e o segmento de reta de 0 0 0 a 1 1 1 F xi yj zk C e dada por x cos θ y sen θ z θ 0 θ 2π x2y2 166 QUINTA LISTA DE EXERCICIOS 173 x2y2z2 3 u2 2 v 1 Resp 3 3 2 24 S a2 a2 b2 Resp 2πa2 a2b2 3 166 Quinta Lista de Exercıcios OBS Nos exercıcios exercıcios abaixo utilize a orientacao positiva caso nao seja especificado nada em contrario 1 Verifique se o campo F 1 xi yj zk e o gradiente de alguma funcao escalar no paralelepıpedo 1 x 2 1 y 3 2 z 4 2 Calcule a area do paraboloide hiperbolico z xy que fica dentro do cilindro x2y2 1 Resp 2 π2 2 1 3 Calcule as seguintes integrais de superfıcie a S x2 y2 dS onde S e a esfera de centro na origem e raio a Resp 8 πa4 b x2 y2 dS onde S e a superfıcie lateral do cone x2 y2 z2 0 0 z b c S 1 y2 dS onde S e dada por z y22 0 x 1 e 0 y 1 Resp 43 4 Calcule S f x y z dS onde a f x y z 1 S e a porcao do plano x y z 1 0 no primeiro octante b f x y z x2 S e a parte do plano z x interior ao cilindro x2 y2 1 c f x y z x2 S e o hemisferio superior z a2 x2 y2 d f x y z x y S e a porcao do plano 2x 3y z 6 situada no primeiro octante e f x y z x e S e dada na forma parametrica σu v u v u2 v 0 u 1 e 10 f f x y z xy e S e dada na forma parametrica σu v u v u v 2u v 1 0 u 1 e 0 v uResp 146 g f x y z y e S e dada na forma parametrica σu v u v 1 u2 0 u 1 e 1 0 v uResp 5 5 1 5 Calcule S F n dS nos seguintes casos a F x 1i 2y 1j zk e S e o triˆangulo de vertices 1 0 0 0 1 0 e 0 0 1 b F x2i y2j z2k e S e a parte do cone z2 x2 y2 para z entre 1 e 2 c F xyi xzj yzk e S e a parte do cilindro y2 2 x cortado pelos cilindros y2 z e y z3 6 Aplicando o teorema de Stokes achar as integrais abaixo a γ y z dx z x dy x y dz onde γ e a circunferˆencia x y z a 2 2 2 2 x y z 0 Resp 0 b γ y z dx z x dy x y dz onde γ e a elipse x y 1 x z 0 2 2 Resp 4π 3 CAPITULO 16 LISTAS DE EXERCICIOS 174 5 a2 a2 b2 2 c γ y dx z dy x dz onde γ e o triˆangulo de vertices a 0 0 0 a 0 e 0 0 a 2 2 2 a 0 Resp a3 d F 3z sen xi x2 eyj y3 cos zk e C a curva x cos t y sen t z 1 0 t 2π e F yzi xyj xzk e C o quadrado de vertices 0 0 2 1 0 2 1 1 2 e 0 1 2 f S F n dS onde F 2yi e j arctan xk e S e a parte do paraboloide z z 4 x2 y2 acima do plano z 0 e n e a normal superior Obs F rot F 7 Comprove o teorema de Stokes nos casos em que o campo F x y z e a superfıcie S sao dados por a F x y z e S e a parte superior da esfera unitaria centrada na origem b F 3z 4x 2y e S e a porcao do paraboloide z 10 x2 y2 compreendida entre os planos z 1 e z 9 c F x4 xy z4 e S e o triˆangulo de vertices 2 0 0 0 2 0 e 0 0 2 Resp 43 d F zi xj yk e S e a parte do paraboloide z 1 x2 y2 com z 0 e F y2i xyj 2xzk e S e x2 y2 z2 a2 z 0 f F zi xk e S e a parte do cilindro r 2 cos θ acima do plano xy e abaixo do cone z2 x2 y2 8 Usando o teorema de Gauss calcule o fluxo dos campos abaixo atraves na direcao da normal exterior das respectivas superfıcies a F x2 y2 z2 e S e a face do cubo 0 a 0 a 0 a Resp 3a4 b F x y z e S e a face da pirˆamide limitada pelos planos x y z a x 0 y 0 e z 0 Resp a32 c F x3 y3 z3 e S e a esfera x2 y2 z2 a2 Resp 12 πa5 d F x2 y2 z2 e S e o cone x2 y2 z2 0 0 z bResp πa2b2 e F y sen xi y2zj x 3zk S a superficie da regiao limitada pelos planos x 1 y 1 z 1 f F y3ezi xyj x arctan yk S a superficie da regiao limitada pelos planos coordenados e pelo plano x y z 1 g F yezi y zexj xey zk S o toro x2 y2 b2 z2 a2 0 b a h F x3i y3j zk S e formada por x2 y2 1 z 0 z x 2 9 Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo do campo F x y z 2x 5y z que atravessa a superfıcie S sabendose que S e uma luva com volume de 15 cm3 e que sua abertura e a circunferˆencia x y 0 x2 y2 8 166 QUINTA LISTA DE EXERCICIOS 175 I x2y2z2 10 Calcule o fluxo do campo F x y z z cos y7 z3ex2 z sobre o paraboloide sem tampa z x2 y2 0 z 1 11 Verifique o Teorema de Gauss sendo F xi 2yj 3zk e S a superfıcie da regiao Q limitada por y x2 e z2 4 x 12 Usando o Teorema de Gauss calcule S F n dS onde n e o vetor unitario normal exterior a S e a F y sen xi y2zj x 3zk S a superfıcie da regiao limitada pelos planos x 1 y 1 z 1 b F y3ezi xyj x arctan yk S a superfıcie da regiao limitada pelos planos coordenados e pelo plano x y z 1 c F yezi y zexj xey zk S o toro x2 y2 b2 z2 a2 0 b a d F x3i y3j zk S e formada por x2 y2 1 z 0 z x 2 13 Verifique o Teorema de Stokes a F zi xj yk e S e a parte do paraboloide z 1 x2 y2 com z 0 b F y2i xyj 2xzk e S e x2 y2 z2 a2 z 0 c F zi xk e S e a parte do cilindro r 2 cos θ acima do plano xy e abaixo do cone z2 x2 y2 14 Use o Teorema de Stokes para calcular γ F dR sendo a F 3z sen xi x2 eyj y3 cos zk e C a curva x cos t y sen t z 1 0 t 2π b F yzi xyj xzk e C o quadrado de vertices 0 0 2 1 0 2 1 1 2 e 0 1 2 15 Use o Teorema de Stokes para calcular S F n dS onde F 2yie j arctan xk z e S e a parte do paraboloide z 4 x2 y2 acima do plano z 0 e n e a normal superior 16 Verifique se o campo F 1 xi yj zk e o gradiente de alguma funcao escalar no paralelepıpedo 1 x 2 1 y 3 2 z 4 Indice Remissivo campo conservativo 123 fluxo de um 149 gradiente 106 vetorial 106 conjunto conexo 121 simplesmente conexo 127 suave 70 volume de um 74 coordenadas cilındricas 42 esfericas 42 polares 41 divergente 153 formula de Taylor 16 hessiano 15 teste do caso bidimensional 16 teste do caso geral 18 independˆencia do caminho 118 integral 69 de linha 113 de linha relativa ao comprimento de ar co 110 de superfıcie 144 iterada 65 mudanca de variaveis na 83 lista de exercıcios prelimininar 163 primeira 164 quarta 170 quinta 173 segunda 165 terceira 167 matriz hessiana 15 jacobiana 41 multiplicador de Lagrange 31 polinˆomio de Taylor 5 ponto crıtico 15 de maximo 13 de maximo local 13 de mınimo 13 de mınimo local 13 de sela 7 regiao 121 rotacional 153 superfıcie 141 area de uma 144 parametrizacao de uma 141 parametrizada 141 regular 142 teorema de Gauss 155 da divergˆencia 155 da funcao inversa 52 das funcoes implıcitas 60 de Green 133 de Stokes 158 transformacao 39 inversa 39 inversa local de uma 52 vınculo 29 176