Calculo III - Trabalho 01 - Resolucao de Questoes sobre Integrais e Campos Vetoriais

CURSO ENGENHARIA Disciplina CÁLCULO III Professor Cecília Montibeller Oliveira Orientação O presente trabalho consta com 10 atividades totalizando assim 1000 pontos Todas as questões possuem o mesmo valor O Exercício deve ser realizado e entregue de forma individual pelo portal acadêmico NOME TRABALHO 01 202102 QUESTÃO 2 QUESTÃO 3 Dada uma curva C constituída pelos segmentos de reta de 0 0 a 1 0 de 1 0 a 0 1 e de 0 1 a 0 0 conforme representado na figura abaixo O valor de 𝑥4 𝑑𝑥 𝑥𝑦 𝑑𝑦 é 𝐶 O rotacional e o divergente da função 𝑭𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑦𝑧 𝒊 𝑥2𝑦 𝒌 são respectivamente a 3 0 b 0 3 c x i y j z k 5 d x i y j z k 0 e xyz i x2y k 3 O trabalho realizado para mover uma partícula de um ponto a outro no espaço é dado por 𝑊 𝐶 𝑭 𝑑𝒓 Assim o trabalho realizado pelo campo de força 𝑭𝑥 𝑦 2𝑥32𝒊 3𝑥𝑦𝒋 ao mover um objeto do ponto P 11 para o ponto Q 24 é QUESTÃO 5 Calculando 𝑭 do campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑒𝑥𝑧 𝒊 3𝑥𝑒𝑦 𝒋 𝑒𝑦𝑧 𝒌 obtemse a 10 b 5 c 0 d 2 e 1 Baseado nas afirmações abaixo sobre divergente e rotacional assinale a alternativa correta I Se f é uma função de três variáveis que tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas então 𝑟𝑜𝑡 𝑓 0 II Se F for um campo vetorial definido sobre todo ℝ3 cujas funções componentes tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas e 𝑟𝑜𝑡 𝑭 0 F será um campo vetorial conservativo III Se 𝑭 𝑃 𝒊 𝑄 𝒋 𝑅 𝒌 é um campo vetorial sobre ℝ3 e P Q e R têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas então 𝑑𝑖𝑣 𝑟𝑜𝑡 𝑭 0 a Está correta apenas I b Está correta apenas II c Está correta apenas II e III d Estão corretas apenas I e III e Estão corretas I II e III QUESTÃO 4 QUESTÃO 7 O fluxo do campo vetorial 𝑭𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝒊 𝑦 𝒋 𝑧 𝒌 através da esfera 𝑥2 𝑦2 𝑧2 1 é de a 2π3 b 4π3 c 8π3 d 16π3 e 32π3 A figura mostra uma curva C e um mapa de contorno de uma função f cujo gradiente é contínuo O valor de 𝑓 𝑑𝒓 é 𝐶 QUESTÃO 6 QUESTÃO 9 QUESTÃO 10 Calcule O operador de Laplace ou laplaciano de uma função de três variáveis é dado por 𝑑𝑖𝑣 𝑓 ou 2𝑓 Assim o laplaciano da função 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑥3𝑦𝑧 2𝑥𝑧 cos 𝑦 O rotacional e o divergente da função 𝑭𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2𝑦𝑧 𝒊 𝑥𝑦2𝑧 𝒋 𝑥𝑦𝑧2 𝒌 são respectivamente a xyz3y 2x i xyz3z 2y j xyz3x 2z k y2z3 x3z2 x2y3 b x2yz3y 2x i xy2z3z 2y j xyz23x 2z k y2z2 x2z2 x2y2 c x2y2z23y 2x i x2y2z23z 2y j x2y2z23x 2z k y2z3 x3z2 x2y3 d x2yz3y 2x i xy2z3z 2y j xyz23x 2z k y2z3 x3z2 x2y3 e xyz3y 2x i xyz3z 2y j xyz3x 2z k y2z2 x2z2 x2y2 Sabendo que a função 𝐅𝑥 𝑦 𝑧 𝑦2𝑧3 𝒊 2𝑥𝑦𝑧3 𝒋 3𝑥𝑦2𝑧2 𝒌 é conservativa uma função f tal que 𝑭 𝑓 é QUESTÃO 8 Questão 1 Pelo Teorema de Green temos 𝐹 𝑑𝑟 𝑃𝑑𝑥 𝑄𝑑𝑦 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦𝑑𝐴 Logo a integral vale 𝑥𝑦 𝑥 𝑥4 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑦 0𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑦𝑑𝑦 1𝑥 0 𝑑𝑥 1 0 𝑦2 2 1𝑥 𝑑𝑥 1 0 1 𝑥2 2 𝑑𝑥 1 0 1 𝑥3 6 0 1 1 13 1 03 6 0 13 6 𝟏 𝟔 Questão 2 rotacional 𝑋𝐹 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧 𝐹𝑧 𝑦 𝐹𝑦 𝑧 𝐹𝑥 𝑧 𝐹𝑧 𝑥 𝐹𝑦 𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑥2𝑦 𝑦 0 𝑧 𝑥𝑦𝑧 𝑧 𝑥2𝑦 𝑥 0 𝑥 𝑥𝑦𝑧 𝑦 𝑥2 0 𝑥𝑦 2𝑥𝑦 0 𝑥𝑧 𝑥2 𝑥𝑦 2𝑥𝑦 𝑥𝑧 𝒙𝟐𝟑𝒙𝒚𝒙𝒛 divergente 𝑑𝑖𝑣 𝐹 𝐹𝑥 𝑥 𝐹𝑦 𝑦 𝐹𝑧 𝑧 𝑥𝑦𝑧 𝑥 0 𝑦 𝑥2𝑦 𝑧 𝑥𝑦 0 0 𝒙𝒚 Questão 3 Temse o seguinte campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥32𝑖 3𝑥𝑦 𝑗 A curva é dada por 𝑟𝑡 11 24 11𝑡 𝑟𝑡 11 13𝑡 𝑟𝑡 1 𝑡 1 3𝑡 A derivada da curva é dada por 𝑟𝑡 13 O campo vetorial avaliado ao longo da curva é dado por 𝐹𝑟 21 𝑡32𝑖 31 𝑡1 3𝑡 𝑗 A integral de linha é calculada como segue 𝐹𝑟 𝑑𝑟 1 0 𝐹𝑟 𝑟𝑡𝑑𝑡 1 0 21 𝑡32 3𝑥1 𝑡1 3𝑡 13𝑑𝑡 1 0 21 𝑡32 91 𝑡1 3𝑡𝑑𝑡 1 0 2 1 𝑡32𝑑𝑡 1 0 9 1 𝑡1 3𝑡𝑑𝑡 1 0 Seja 𝑢 1 3𝑡 𝑑𝑢 3𝑑𝑡 Assim temos 2 2 5 1 𝑡52 0 1 9 1 𝑢 1 3 𝑢 𝑑𝑢 3 4 1 2 2 5 1 152 2 5 1 052 3 𝑢 3 2 3 𝑢12𝑑𝑢 4 1 2 2 5 252 2 5 𝑢32 2𝑢12𝑑𝑢 4 1 4 5 252 1 2 5𝑢 5 2 4 3 𝑢 3 2 1 4 4 5 252 1 2 54 5 2 4 3 4 3 2 2 5 4 3 4 252 5 4 5 2 5 25 4 3 23 2 5 4 3 4 42 5 4 5 64 5 32 3 2 5 4 3 162 5 58 5 28 3 482 15 174 15 140 15 314 482 15 Questão 4 O divergente do rotacional sempre é zero Questão 5 I falso o rotacional não e obrigado a ser zero II correto pois se F for conservativo temos 𝐹 𝑓 e o rotacional do gradiente é sempre zero III correto o divergente do rotacional é sempre zero Questão 6 Pelo teorema da divergência de Gauss temos 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝐹 𝑛𝑑𝑆 𝑑𝑖𝑣𝐹𝑑𝑉 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 𝑧𝑑𝑉 1 1 1𝑑𝑉 3 𝑑𝑉 3𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 3 4 3 𝜋13 4𝜋 Questão 7 Aqui temos 𝑓 𝑑𝑡 𝑓 𝑓𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 50 10 40 Questão 8 Temos 𝐿 2𝑥3𝑦𝑧 2𝑥𝑧 cos 𝑦 𝑥2 2𝑥3𝑦𝑧 2𝑥𝑧 cos 𝑦 𝑦2 2𝑥3𝑦𝑧 2𝑥𝑧 cos 𝑦 𝑧2 3𝑥2𝑦𝑧 2𝑧 cos 𝑦 𝑥 𝑥3𝑧 2𝑥𝑧 sin 𝑦 𝑦 𝑥3𝑦 2𝑥 cos 𝑦 𝑧 6𝑥𝑦𝑧 0 0 2𝑥𝑧 cos 𝑦 0 0 6𝑥𝑦𝑧 2𝑥𝑧 cos 𝑦 Questão 9 rotacional 𝑋𝐹 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧 𝐹𝑧 𝑦 𝐹𝑦 𝑧 𝐹𝑥 𝑧 𝐹𝑧 𝑥 𝐹𝑦 𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑥𝑦𝑧2 𝑦 𝑥𝑦2𝑧 𝑧 𝑥2𝑦𝑧 𝑧 𝑥𝑦𝑧2 𝑥 𝑥𝑦2𝑧 𝑥 𝑥2𝑦𝑧 𝑦 𝑥𝑧2 𝑥𝑦2 𝑥2𝑦 𝑦𝑧2 𝑦2𝑧 𝑥2𝑧 divergente 𝑑𝑖𝑣 𝐹 𝐹𝑥 𝑥 𝐹𝑦 𝑦 𝐹𝑧 𝑧 𝑥2𝑦𝑧 𝑥 𝑥𝑦2𝑧 𝑦 𝑥𝑦𝑧2 𝑧 2𝑥𝑦𝑧 2𝑥𝑦𝑧 2𝑥𝑦𝑧 6𝑥𝑦𝑧 Questão 10 Devemos ter 𝑓 𝑥 𝑦2𝑧3 𝑓 𝑦 2𝑥𝑦𝑧3 𝑓 𝑧 3𝑥𝑦2𝑧2 Integrando as equações obtemos 𝑓 𝑥𝑦2𝑧3 𝑔𝑦 𝑧 𝑓 𝑥𝑦2𝑧3 ℎ𝑧 𝑥 𝑓 𝑥𝑦2𝑧3 𝑖𝑥 𝑦 Comparando equações obtemos 𝑔𝑦 𝑧 ℎ𝑧 𝑥 𝑖𝑥 𝑦 0 𝒇 𝒙𝒚𝟐𝒛𝟑 Questão 1 Pelo Teorema de Green temos F d r PdxQdy Q x P ydA Logo a integral vale xy x x 4 y dydx y 0dydx 0 1 0 1x ydydx 0 1 y 2 2 1x dx 0 1 1x 2 2 dx 1x 3 6 0 1 11 310 3 6 01 3 6 1 6 Questão 2 rotacional X F i j k x y z Fx F y Fz Fz y F y z Fx z Fz x F y x Fx y x 2 y y 0 z xyz z x 2 y x 0 x xyz y x 20 xy2 xy 0xz x 2xy2 xy xz x 23 xy xz divergente FF x x F y y Fz z xyz x 0 y x 2 y z xy00 xy Questão 3 Temse o seguinte campo vetorial F x y z 2 x 32 i3 x y j A curva é dada por r t 1124 11t r t 1113t r t 1t 13t A derivada da curva é dada por r t13 O campo vetorial avaliado ao longo da curva é dado por F r 2 1t 32 i3 1t 13t j A integral de linha é calculada como segue 0 1 F r d r 0 1 F r r t dt 0 1 2 1t 323x 1t 13t 13dt 0 1 2 1t 329 1t 13t dt 2 0 1 1t 32dt9 0 1 1t13t dt Seja u13t du3dt Assim temos 2 2 5 1t 520 1 9 1 4 1 u1 3 u du 3 2 2 5 11 522 5 10 523 1 4 u 3 2 3u 12du 2 2 5 2 522 5 1 4 u 322u 12du 4 5 2 521 2 5 u 5 2 4 3 u 3 2 1 4 4 5 2 521 2 5 4 5 2 4 3 4 3 2 2 5 4 3 42 52 5 4 5 2 5 2 5 4 3 2 3 2 5 4 3 442 5 4 5 64 5 32 3 2 5 4 3 162 5 58 5 28 3 482 15 174 15 140 15 314482 15 Questão 4 O divergente do rotacional sempre é zero Questão 5 I falso o rotacional não e obrigado a ser zero II correto pois se F for conservativo temos F f e o rotacional do gradiente é sempre zero III correto o divergente do rotacional é sempre zero Questão 6 Pelo teorema da divergência de Gauss temos fluxo F n dS F dV x x y y z zdV 111dV 3 dV 3V esfera 3 4 3 π 1 3 4 π Questão 7 Aqui temos f dtf f finalf inicial 5010 40 Questão 8 Temos L 2 x 3 yz2 xzcos y x 2 2 x 3 yz2 xzcos y y 2 2 x 3 yz2xz cos y z 2 3x 2 yz2z cos y x x 3z2xz sin y y x 3 y2 x cos y z 6 xyz002xz cos y 00 6 xyz2 xz cos y Questão 9 rotacional X F i j k x y z Fx F y Fz Fz y F y z Fx z Fz x F y x Fx y xy z 2 y x y 2 z z x 2 yz z xy z 2 x x y 2 z x x 2 yz y x z 2x y 2x 2 yy z 2 y 2zx 2 z divergente FF x x F y y Fz z x 2 yz x x y 2 z y xy z 2 z 2 xyz2xyz2 xyz 6 xyz Questão 10 Devemos ter f xy 2 z 3 f y 2xy z 3 f z3 x y 2z 2 Integrando as equações obtemos f x y 2z 3g y z f x y 2z 3h z x f x y 2z 3ix y Comparando equações obtemos g y z h z x ix y 0 f x y 2z 3