Exercícios Resolvidos de Cálculo - Sequências, Limites e Séries

① Mostre que xn cos πn não tem limite Expandindo a sequência temos cos 2π cos 2π cos 3π cos 4π 1 1 1 1 Note que para esta sequência temos duas subsequências na qual cosnπ 1 se n for ímpar cosnπ 1 se n for par Podemos escrevêlas de seguinte forma x2n1 12n1 x2n 12n A subsequência x2n1 12n1 converge para 1 pois temos x2n1 1 1 1 1 1 Já a subsequência x2n 12n converge para 1 pois temos x2n 1 1 1 1 1 Pelo teste da subsequência que diz que qualquer sequência que possui duas subsequências com limites diferentes será divergente Logo a sequência xn cos πn 1n não tem limite pois uma subsequência converge para 1 e outra para 1 ⑤ a an n2n2 a1 1212 13 a2 2222 44 1 a3 3232 95 a4 4242 166 83 an 13 1 95 83 Aplicando o limite na sequência temos lim n n2n2 lim n n2n 2 lim n n1 2n 10 Como lim n an logo a sequência é divergente b xn 1n1 en x1 111 e1 12 e e x2 121 e2 13 e2 e2 x3 131 e3 14 e3 e3 x4 141 e4 15 e4 e4 xn e e2 e3 e4 Observando na sequência notamos que há duas subsequências x2n1 12n1 e2n e2 e4 e2k x2n 12n e3m1 e e3 e5 e7 Como uma subsequência converge para e a outra para logo o limite da sequência xn não existe e a sequência é divergente 1 Mostre que xn cosπn nao tem limite 5 Determine os quatro primeiros termos de cada sequência analise a sua convergência e encontre o limite caso exista a an n2n2 b xn 1n1 en c b nn d yn 1n2n e cn en2en2n f tn sen2n1n2n1 10 Obtenha o valor usando séries geométricas a π 122n7 n3 b 25 31 31 15 Encontre a série de potência de a arctanx2 sabendo que arctanx 11x2 b arcsenx usando arcsenx 11x2 e a série binomial 1xk 1kxkk12x2kk1k23x3 20 Encontre a série de Taylor de cos x em torno de π2 24 Encontre o limite da sequência convergente an tal que a0 1 e an1 an 12n1 para n 1 c bm nn b1 11 1 b2 22 22 b3 33 36 b4 44 224 112 bm 1 22 36 112 Aplicando o limite na sequência temos lim n nn lim n nn² lim n nn² Aplicando a regra de Hopital vem que lim n ddnn ddnn² lim n 1 2nΓn1ψ⁰n1 12 lim n 1n lim n 1Γn1 lim n 1ψ⁰n1 12 0 0 0 0 Voltando para a raiz quadrada segue que lim n nn² 0 0 Como lim n bn 0 logo a sequência é convergente d yn 1ⁿ2n y1 1¹21 12 12 y2 1²22 14 124 y3 1³23 16 1720 y4 1⁴24 18 140320 yn 12 124 1720 140320 Observando a sequência notamos que ela oscila porém os valores do denominador estão ficando maiores o que indica que esta sequência convergirá para zero Assim lim n 1ⁿ2n 0 A sequência é convergente e cn eⁿ n²e²ⁿ 2n c1 e¹ 1²e²¹ 21 e1e² 2 c2 e² 2²e⁴ 22 e² 4e⁴ 4 c3 e³ 3²e⁶ 23 e³ 9e⁶ 6 c4 e⁴ 4²e⁸ 24 e⁴ 16e⁸ 8 cn e1e²2 e²4e⁴4 e³9e⁶6 e⁴16e⁸8 Aplicando o limite nesta sequência temos lim n eⁿ n²e²ⁿ 2n lim n eⁿe²ⁿ n²e²ⁿ e²ⁿe²ⁿ 2ne²ⁿ lim n eⁿ n²e²ⁿ 1 2ne²ⁿ As expressões eⁿ n²e²ⁿ e 2ne²ⁿ tendem a zero quando lim n Assim lim n eⁿ lim n n²e²ⁿ lim n 1 lim n 2ne²ⁿ 00 10 0 Como lim n cn 0 logo a sequência é convergente 7 tn sen2n1 n 2n1 t1 sen21 1 1 21 1 sen3 1 3 t2 sen22 1 2 22 1 sen5 2 5 t3 sen23 1 3 23 1 sen7 3 7 t4 sen24 1 4 24 1 sen9 4 9 tn sen3 1 3 sen5 2 5 sen7 3 7 sen9 4 9 Aplicando o limite na sequência temos limn sen2n1 n 2n1 limn sen2n1 2n1 limn n 2n1 0 limn n 2n1 limn nn 2nn 1n limn 1 2 1n 1 2 0 12 Como limn tn 12 logo a sequência é convergente 10 a Σn3 π 122n7 Reescrevendo o somatório temos Σn3 π 122n 127 Σn3 π 14n 217 27 π Σn3 14n 128 π Σn3 14n Σn3 14n é uma série geométrica na qual o primeiro termo é a 143 164 e a razão r 14 Logo Sm a 1r 164 1 14 164 34 164 43 116 13 148 Assim a soma é 128 π Σn3 14n 128 π 148 8 π 3 b 253131 A dízima periódica pode ser representada por 253131 25 0031 000031 253131 2510 31 11000 31 1105 31 1107 O termo entre parênteses pode ser representado por uma série geométrica cujo primeiro termo é a 311000 e a razão será r 1105 1103 1102 1100 Assim Σn0 311000 1102n a 1 r 311000 1 1100 311000 99100 311000 10099 31990 Portanto 253131 2510 31990 2475 31 990 2506990 a arctanx² valendo que arctanx 1 1 x² Sabemos que 1 1 x xⁿ n0 to e arctanx 1 1 x² Assim 1 1 x² 1 1 x² x²ⁿ n0 to 1ⁿ x²ⁿ n0 to Agora integrando arctanx temos arctanx dx 1 1 x² dx 1ⁿ x²ⁿ dx n0 to arctanx 1ⁿ x2n1 2n1 n0 to Portanto arctanx² 1ⁿ x²2n1 2n1 n0 to arctanx² 1ⁿ x4n2 2n1 n0 to b arcsen x usando arcsenx 1 1 x² e a série binomial 1 xk 1 kx kk12 x² kk1k23 x³ Sabemos que arcsenx 1 1 x² 1 x²12 Escrevendo 1 x²12 como uma série binomial temos 1 x²12 1 12x²1 1232x²²2 123252x²³3 1 x²12 1 x²2 12322 x⁴ 1232523 x⁶ 1 x²12 1 x²2 3 x⁴ 42 135 x⁶ 2² 3 1 x²12 1 1 x² 2 13 x⁴ 24 135 x⁶ 246 1357 x⁸ 2468 1 x²12 1 135 2n1 246 2n x2n n1 to Assim integrando arcsenx temos arcsen x dx 1 x²12 dx 1 135 2n1 246 2n x2n dx n1 to arcsenx x 135 2n1 246 2n x2n1 2n2n1 n1 to 20 Encontre a série de Taylor de cos x em torno de π2 A série de Taylor de uma função fx é dada por fx fa fa1 x a fa2 x a² fa3 x a³ Aplicando π2 em cos x temos fπ2 cosπ2 0 Determinando as derivadas de cosx e aplicando no ponto temos fx cosx senx cosπ2 senπ2 1 fx cosx cosx cosπ2 cosπ2 0 fx cosx senx cosπ2 senπ2 1 f⁴x cos⁴x cosx cos⁴π2 cosπ2 0 f¹⁵x cos¹⁵x senx cos¹⁵π2 senπ2 1 Assim fx fπ2 fπ2x π2 fπ2x π2²2 fπ2x π2³3 f⁴π2x π2⁴4 f¹⁵π2x π2⁵5 fx 0 1x π2 0x π2²4 1x π2³6 0x π2⁴24 1x π2⁵120 fx x π2 16 x π2³ 1120 x π2⁵ a0 1 an1 an 12n1 Como queremos o limite de an então a01 a0 1201 a1 1 12 a1 32 a11 a1 1211 a2 32 122 a2 74 a21 a2 1221 a3 74 123 a3 158 a31 a3 1231 a4 158 124 a4 3116 1 32 74 158 3116 A sequência pode ser escrita da seguinte forma an 2n1 12n Aplicando o limite em an segue que limn 2n1 12n limn 2n 22n 12n2n2n limn 2 12n1 2 01 2 Portanto limn an 2