Atividade Prática: Potencial Eletrostático e Campo Elétrico

7 Potencial eletrostático Atividade prática 71 Potencial e campo elétrico Resolução a Para demonstrar que o campo é conservativo basta calcular as derivadas parciais cruzadas das três componentes do campo e conferir que são iguais Exy 4x Eyx Exz 0 Ezx Eyz 24y2z Exy b O potencial no ponto xyz é igual a menos o integral de linha do campo desde a origem onde arbitramos V 0 até esse ponto Como o campo é conservativo o integral pode ser calculado ao longo de qualquer percurso e o resultado será o mesmo Escolhemos um percurso formado pelos três segmentos de reta que unem os pontos 000 x00 xy0 e xyz Vxyz 0x Exx00dx 0y Eyxy0dy 0z Ezxyzdz 0x 0dx 2x20y dy 12y20z z2dz 2y2x2 4y2z3 72 Potencial de cargas pontuais Em duas dimensões o campo elétrico produzido por um sistema de n cargas pontuais q1 q2 qn é dado pela equação 63 do capítulo anterior O potencial é a função de x e y com derivadas parciais iguais às duas componentes do campo Assim o potencial é V i1n kqixxi2yyi22 Onde xi e yi são as coordenadas da posição da partícula i Este resultado pode ser generalizado para o caso de 3 dimensões O resultado é V i1n kqixxi2yyi2zzi2 Um exemplo é o sistema de duas cargas de 1 nC e 4 nC referido na atividade prática do início do capítulo Se nos limitarmos ao potencial no plano xy pode ser representado em função das variáveis x e y como a terceira coordenada num gráfico em três dimensões no espaço xyV Por exemplo para desenhar o potencial do exemplo da atividade prática no plano xy figura 72 usaremos os seguintes comandos no Maxima i11 V 900x24y212 3600x302y212 i12 plot3dVx1040y2525z02000legendfalse A opção z02000 foi usada para limitar o valor máximo de V a ser apresentado já que nos pontos onde se encontram as cargas pontuais positivas o potencial cresce até infinito figura 72 Os pontos do espaço onde o potencial tem um valor determinado formam superfícies contínuas designadas de superfícies equipotenciais Por exemplo a figura 73 mostra a interseção do plano xy com as superfícies equipotenciais de 05 V 066 V e 1 V Em qualquer direção ao longo de uma superfície equipotencial o produto escalar E dr deverá ser nulo já que dV 0 Isso implica que o campo elétrico será perpendicular às superfícies equipotenciais figura 74 Em duas dimensões as superfícies equipotenciais aparecem como uma família de curvas perpendiculares às linhas de campo elétrico Por exemplo a figura 75 apresenta as superfícies equipotenciais e as linhas de campo elétrico de um dipolo elétrico com uma carga positiva de 1 nC no lado esquerdo e uma carga negativa de 1 nC no lado direito e foi obtida com os seguintes comandos no Maxima i13 V 900x12y212900x122y212 i14 ploteqVx22y22 74 Pontos críticos do potencial As linhas de campo elétrico apontam na direção em que o potencial decrese Consequentemente num ponto onde o potencial tiver um valor máximo local existirão linhas a apontar para fora desse ponto não repulsivo o fluxo numa superfície fechada à volta desse ponto será positivo Isso implica que na região onde o potencial é máximo deverá existir carga positiva Num ponto onde o potencial tiver um valor mínimo local as linhas de campo apontarão na direção desse ponto não atrativo O fluxo numa superfície fechada à volta do ponto será negativo Assim deverá existir carga negativa nesse ponto Os pontos máximos e mínimos do potencial podem ser pontos onde o potencial aproximase de ou no caso de cargas pontuais ou pontos de equilíbrio onde as derivadas do potencial são todas nulas Existe um terceiro tipo de ponto crítico ponto de sela em que o potencial é máximo em algumas direções e mínimo em outras Portanto em algumas direções entram linhas de campo e em outras direções saem o fluxo numa superfície fechada à volta do ponto deverá ser nulo e assim nesse ponto o campo será nulo Os pontos de sela são pontos de equilíbrio instável A figura 76 mostra um exemplo as superfícies equipotenciais de um sistema de três cargas positivas Nesse desenho existem três famílias de esferas fechadas que se aproximam das três cargas positivas onde o potencial tem um valor máximo local Existem também quatro pontos de sela onde o campo elétrico é nulo e as superfícies equipotenciais cruzamse três deles são evidentes no desenho formando um pequeno triângulo perto do centro O quarto ponto de sela está no centro do desenho no plano xy esse ponto aparece como se fosse um mínimo do potencial mas no espaço xz é um ponto de sela há linhas de campo a afastaremse desse ponto no sentido do eixo dos z e o fluxo à volta deste ponto é nulo 76 Potencial nos condutores Dentro de um condutor isolado o campo elétrico é nulo Se assim não fosse existiria movimento das cargas livres criando um campo interno que contraria o campo externo o movimento das cargas livres só para quando o campo total for nulo O tempo que demoram as cargas livres a redistribuiremse para que o campo no condutor seja nulo é bastante pequeno e pode ser considerado nulo Como o campo elétrico é nulo dentro do condutor isolado não existem linhas de campo elétrico e o potencial em todos os pontos dentro do condutor é o mesmo O fluxo em qualquer parte dentro do condutor também é nulo e assim de acordo com a lei de Gauss não pode existir carga em nenhuma parte dentro do condutor Toda a carga elétrica acumulase na superfície do condutor A própria superfície do condutor é uma superfície equipotencial já que todos os pontos do condutor têm o mesmo potencial assim as linhas de campo elétrico fora do condutor são perpendiculares à sua superfície Um exemplo é um automóvel que é um condutor isolado pelos pneus que são isoladores A terra é um condutor assim se o automóvel tiver carga positiva as linhas de campo saem Como o campo elétrico é inversamente proporcional à distância entre as linhas de campo o campo produzido pelos três condutores é como mostra a figura 79 V frackQr quad se r a quad 712