Lista de Exercícios de Capacitância - Prof. Jason Gallas

LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1819 Exercıcios Resolvidos de Fısica Basica Jason Alfredo Carlson Gallas professor titular de fısica teorica Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique Alemanha Universidade Federal da Paraıba Joao Pessoa Brasil Departamento de Fısica Baseados na SEXTA edicao do Fundamentos de Fısica Halliday Resnick e Walker Esta e outras listas encontramse em httpwwwfisicaufpbbrjgallas Contents 27 Capacitˆancia 2 271 Questoes 2 272 Problemas e Exercıcios 3 2721 Capacitˆancia 3 2722 Calculo da capacitˆancia 4 2723 Capacitores em paralelo e em serie 5 2724 Armazenamento de energia num campo eletrico 8 2725 Capacitor com um dieletrico 10 2726 Os dieletricos e a lei de Gauss 11 ComentariosSugestoes e Erros favor enviar para jasongallas yahoocom sem br no final listaq3tex httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 1 de 12 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1819 27 Capacitˆancia 271 Questoes Q 273 Uma folha de alumınio de espessura desprezıvel e colo cada entre as placas de um capacitor como mostra a Fig 2718 Que efeito ela produzira sobre a ca pacitˆancia se a a folha estiver eletricamente isolada e b a folha estiver ligada a placa superior a Como a folha e metalica aparecerao cargas in duzidas em ambos lados dela transformando assim o capacitor original em uma associacao em serie de dois capacitores cuja distˆancia entre as placas e a metade da distˆancia original d Ccfolha 1 1 ϵ0Ad2 1 ϵ0Ad2 ϵ0A d2 d2 ϵ0A d Esta capacitˆancia coincide com a capacitˆancia origi nal Logo nao existe alteracao da capacitˆancia pela introducao da folha metalica a meia distˆancia b O efeito e reduzir a distˆancia d entre as placas pela metade Ou seja duplicar a capacitˆancia original Q 276 Considere um capacitor de placas paralelas com placas quadradas de area A e separacao d no vacuo Qual e o efeito qualitativo sobre sua capacitˆancia de cada uma das seguinte operacoes a Reduzir d b Introduzir uma placa de cobre entre as placas sem tocalas c Du plicar a area de ambas as placas d Duplicar a area de apenas uma das placas e Deslizar as placas paralela mente uma a outra de modo que a area de superposicao seja digamos 50 do seu valor original f Duplicar a diferenca de potencial entre as placas g Inclinar uma das placas de modo que a separacao permaneca d numa das extremidades mas passe a d2 na outra a A capacitˆancia aumenta Para verificar isto use a relacao C ε0Ad b A capacitˆancia aumenta Para verificar esta afirmacao note que a nova capacitˆancia dada pela relacao C ε0Ad t onde d e a distˆancia entre as placas e t e a espessura da placa introduzida O efeito e pequeno quando t for muito menor que d Tudo se passa como se a nova distˆancia entre as placas fosse d t c A capacitˆancia dobra d A carga sobre a placa maior se distribuira numa area maior Portanto a densidade de carga sobre a placa maior e σ2 onde σ e a densidade de carga sobre a placa menor O campo eletrico deixara de ser uniforme e como as linhas de forca ficam afastadas concluımos que o campo eletrico tornase menor e a diferenca de poten cial tambem diminui Como C qV concluımos que a capacitˆancia aumenta Contudo este efeito e muito pequeno e Como a area tornase igual A2 sendo A a area inicial concluımos que a capacitˆancia se reduz aprox imadamente a 50 do valor inicial a capacitˆancia nao se reduz exatamente a 50 do valor inicial devido ao efeito de borda f O valor de C permanece inalterado A carga tambem dobra g A capacitˆancia aumenta Pense numa associacao em paralelo de capacitores sendo que para cada capacitor a distˆancia entre as placas vai diminuindo de d ate d2 Ao diminuir a distˆancia entre as placas a capacitˆancia de cada capacitor vai aumentando Donde se conclui que a capacitˆancia total e bastante maior do que a ca pacitˆancia do capacitor de placas paralelas Q 2714 Um objeto dieletrico experimenta uma forca lıquida quando e submetido a um campo eletrico naouniforme Por que nao ha uma forca lıquida quando o campo e uni forme Num campo eletrico uniforme a polarizacao tambem e uniforme de modo que o dieletrico funciona como se fosse um corpo carregado apenas na sua superfıcie ex terna A carga total e nula ou seja as cargas superficiais sao iguais e contrarias Portanto a forca total que age sobre o dieletrico e igual a zero Q 2717 Um capacitor de placas paralelas e carregado por meio de uma bateria que logo a seguir e retirada Uma httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 2 de 12 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1819 lamina dielétrica é entéo introduzida entre as placas A carga q livre nas placas aumenta pois a bateria do capacitor Descreva qualitativamente 0 que acontece esta ligada a capaciténcia aumenta para C KCo a com a carga a capacitancia a diferenga de potencialo diferenga de potencial nao muda pois é mantida con campo elétrico a energia armazenadae coma lamina stante pela bateria O campo elétrico E resultante também permanece constante pois V EB dé A carga q nas placas permanece inalterada quandoa 4 seja V Ed onde V e d que é a distancia bateria removida Lei da Conservagao da Carga constante entre as placas so constantes A energia Sendo Co o valor da capacitancia antes de se introduzir y 2C CV22 qV2 aumenta pois V é o dielétrico 0 novo valor da capacitancia seré dado por constante mas Ce gq aumentam C ko Sek 1 entdo a capacitancia ira aumentar 4 forca externa realiza um trabalho para introduzir 0 Se 1 entao a capacitancia ira diminuir dielétrico com velocidade constante Como q permanece constante apés a retirada da bate ria e devemos sempre satisfazer a relagao q CV ve W Fex d Fex dl cos180 0 mos que uma alteragéo para C KCo da capacitancia T implica na necessidade da nova diferenga de potencial passar a ser V Vok onde Vo representa 0 valor do de modo que potencial antes de introduzirse o dielétrico Somente assim iremos garantir que o produto CV permanega AEnergiatotal AU capacitor We ext 0 constante Note que o potencial podera tanto aumen 0 0 tar quanto diminuir dependendo se 1 our 1 too principio da conservacao da energia respectivamente O campo elétrico resultante E entre as placas diminui E EoE onde E 0 campo oposto a Eo produzido 57 Problemas e Exercicios pelas cargas superficiais q induzidas no dielétrico O dielétrico fica polarizado O livrotexto discute bem 2721 Capacitancia Isto Dito de outro modo As cargas de polarizac4o na su perficie do dielétrico s4o negativas para a superficie préxima da placa positiva Sendo assim concluimos Um eletrémetro é um instrumento usado para medir que campo eletrico entre as placas diminui Como carga estatica uma carga desconhecida é colocada so a diferenga de potencial igual Ed a diferenca de bre as placas do capacitor do medidor e a diferenga de potencial também diminui Como C qV ea potencial é medida Que carga minima pode ser medida carga q permanece constante concluimos que a ca por um eletrémetro com uma capacitancia de 50 pF e pacitancia C aumenta Conforme sabemos a energia uma sensibilidade voltagem de 015 V elétrica armazenada entre as placas de um capacitor é dada por U q2C Portanto concluimos que a energia elétrica armazenada entre as placas do ca qCV 50x 1072 x 015 75x102C pacitor diminui Para entender qualitativamente esta diminuigao de energia faga o seguinte raciocinio a 75 pC placa é atraida para o interior do capacitor de modo que Como a magnitude da carga elementar é e 16x 10719 0 agente externo precisa realizar um trabalho negativo C vemos que a carga minima acima corresponde a ter sobre a placa para introduzila no interior do capacitor mos com velocidade constante 75 x 101 16x 109 46x 10 Enquanto um capacitor permanece ligado a uma bateria 46 milhGes de cargas elementares uma lamina dielétrica é introduzida entre as placas De screva qualitativamente 0 que acontece com a carga a sobre as Placas do capacitor Mesmo sendo um valor capacitancia a diferenca de potencial o campo elétrico minimo o nliimero de cargas ainda enorme e a energia armazenada E necessario a realizagao de trabalho para introduzir a lamina httpwww fisicaufpbbrjgallas Pagina 3 de 12 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1819 O capacitor da Fig 2722 tem uma capacitancia de 25 quando x 1 veja o Apéndice G mostre que ela pF e esta inicialmente sem carga A bateria fornece uma se aproxima da capacitancia de um capacitor de placas diferenga de potencial de 120 V Apés a chave S ter paralelas quando o espagamento entre os dois cilindros ficado fechada por um longo tempo quanta carga tera pequeno Z 9 passado através da bateria A capacitancia em questao é dada por Da relacdo entre carga e ddp Eq 1 encontramos L C 279 in qCV 25x10 x 120 3x 10 C3 mC Chamandose de d 0 espacamento entre os dois cilin dros temos que b ad 2 sya L 2722 Calculo da capacitancia C Qmeg In E 275 L 2T70 7 atd Um capacitor de placas paralelas possui placas circu In 4 lares de raio 82 cm e separagao 13 mm a Calcule a L capacitancia b Que carga aparecera sobre as placas se 2TE9 mids a ddp aplicada for de 120 V n1 L 27aL A a 2 TE da 0 d 0 ad A 49 7 82 x 1077 C6 a 885 x 10 T3x103 onde A 2naL éa 4rea das placas e a aproximacio foi feita supondose que a d 144x107 144 pF P 2713 6 Suponha que as duas cascas esféricas de um capacitor gCV 144x 107 x 120 173 1078 esférico tenham aproximadamente raios iguais Sob tais 173nC condicées tal dispositivo se aproxima de um capacitor vom de placas paralelas com ba d Mostre que a Eq 27 YYY 17 se reduz de fato a Eq 279 nesse caso E 277 A capacitancia do capacitor esférico em questao é A placa e 0 catodo de um diodo a vacuo tém a forma Ca4 ab de dois cilindros concéntricos com a catodo sendo o 79 ba cilindro central O diametro do catodo é de 16 mm an e o diametro da placa é de 18 mm os dois elementos Chamandose de r os dois raios supostos aproximada tém comprimento de 24 cm Calcular a capacitancia do mente iguais segue que ab r Por outro lado bad Portanto diodo Para um capacitor cilindrico com a b temos da C 4rep ab Amr con Eq 2714 ou da Tabela 1 ba d d L 13 onde A 4rr a 4rea das placas C 2769 551 10 F Inba 0551 pF P 2714 S11 Um capacitor foi construido para operar com uma P 2712 capacitancia constante em meio a uma temperatura variavel Como se demonstra na Fig 2723 0 capaci Calculamos na Secao 273 a capacitancia de um capac tor é do tipo de placas paralelas com separadores de itor cilindrico Usando a aproximagao In1 2 x pldstico para manter as placas alinhadas a Mostre que httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 4 de 12 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1819 a taxa de variacao da capaciténcia Ccom a temperatura onde a ja representa agora o valor do coeficiente de T é dada por expansao térmica do separador Analogamente veja o Exercicio 1937 a variagao AA dc C dA Jt de uma drea A em funcdo de uma variagio AT de tem aT AdT xdT peratura pode ser escrita como onde A é a area de cada placa e x a separagao entre as i AA 0 placas b Se as placas forem de aluminio qual devera AAT ser 0 coeficiente de expansao térmica dos separadores a onde Qs 46 x 107 C representa o coeficiente de fim de que a capacitancia nao varie com a temperatura expansado térmica do aluminio veja a Tabela 193 de Ignore o efeito dos separadores sobre a capacitancia que sao feitas as placas e o fator 2 leva em conta a bidi a A capacitaéncia C é uma fungao de duas varaveis prensionalidade das areas i da drea A das placas e ii da distancia x entre as ara que a cap acitancla nao varie com temperatura placas preciso que dCdT 0 ou seja que A 1dA 1l1dz e 2 a 0 C 0 x AdT dT Oni As 0 Portanto a disciplina de Cdlculo nos ensina que as Onde consideramos variagdes AA e AT infinitesimais variacdes da capacitancia C com a temperatura T so Da igualdade mais a direita vemos que para evitar determinadas pela equaciio variagdes de C com T coeficiente de expansio térmica dos separadores devera ser escolhido tal que dC OCdA OC dz OS OE a a 2ay 92 x 107 C di AdT du dT Os 20 Calculandose as derivadas parciais encontramos 2723 Capacitores em paralelo e em série OC 0 C a TFC E 2715 OA x A Quantos capacitores de 1 4F devem ser ligados em par oc eoA ma alelo para acumularem uma carga de 1 C com um po Ox x x tencial de 110 V através dos capacitores que substituidas da expresséo para dCdT acima nos Para poder armazenar 1 C a 110 V a capacitancia fornecem equivalente do arranjo a ser construido devera ser dC OC dA OC dz q 1 en Ceg 9091 UF dP OAdT Ox dT 7 Vv 110 Para uma conex4o em paralelo sabemos que Ceg n C Cc dA Cc dx onde C é a capacitancia individual de cada capacitor a AdT dT ser usado Portanto o nimero total de capacitores sera 1dA 1d que é 0 resultado pedido E 2716 b Da Eq 199 sabemos que a variagéo AL de um com oo primento L qualquer quando submetido a uma variaciio Na Fig 2724 determine a capacitancia equivalente da AT de temperatura é dado pela equaciio combinagao Suponha C 10 WF C2 5 uF e C3 4 LF AL LaAT Os capacitores C e C2 estéo em paralelo formando um capacitor equivalente C12 que por sua vez esta em onde a o chamado coeficiente de expansdo térmica série com C3 Portanto a capacitancia equivalente total do material em questao Esta equacdo pode também ser 6 dada por reescrita como LAL c Cp x Cy 045 x4 6034 LAT 1 GaC3 04544 19 OP httpwww fisicaufpbbrjgallas Pagina 5 de 12 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1819 E 2717 Na Fig 2725 determine a capacitˆancia equivalente da combinacao Suponha C1 10 µF C2 5 µF e C3 4 µF Os capacitores C1 e C2 estao em serie Portanto C12 1 1 10 1 5 10 3 µF O capacitor equivalente total e dado pela ligacao em par alelo de C12 e C3 Ceq 10 3 4 10 3 12 3 22 3 733 µF E 2718 Cada um dos capacitores descarregados na Fig 2726 tem uma capacitˆancia de 25 µF Uma diferenca de po tencial de 4200 V e estabelecida quando a chave e fechada Quantos coulombs de carga passam entao atraves do amperımetro A Basta usar a formula q Ceq V onde Ceq e o ca pacitor equivalente da ligacao em paralelo Ceq 3C onde C 25 µF e V 4200 Volts Portanto a carga total medida e q 3 25 106 4200 315 mC P 2719 Uma capacitˆancia C1 6 µF e ligada em serie com uma capacitˆancia C2 4 µF e uma diferenca de po tencial de 200 V e aplicada atraves do par a Calcule a capacitˆancia equivalente b Qual e a carga em cada capacitor c Qual a diferenca de potencial atraves de cada capacitor a A capacitˆancia equivalente e Ceq 1 16 14 24 4 6 12 5 µ F b A carga no capacitor equivalente e q Ceq V 12 106 5 200 048 103 C Como os capacitores estao em serie este valor e o modulo da carga que esta sobre cada uma das placas dos dois capacitores Ou seja q1 q2 048 mC c V1 q1 C1 048 103 6 106 80 Volts e V2 q2 C2 048 103 4 106 120 Volts P 2726 A Fig 2728 mostra dois capacitores em serie cuja secao central de comprimento b pode ser deslocada verticalmente Mostre que a capacitˆancia equivalente dessa combinacao em serie e independente da posicao da secao central e e dada por C ϵ0A a b Chamandose de d a distˆancia entre as placas da parte superior da figura obtemos as seguintes expressoes para as capacitˆancias individuais de cada um dos dois capac itores C1 ϵ0A d C2 ϵ0A a b d Ligandoos em serie obtemos Ceq 1 1 C1 1 C2 1 d ϵ0A abd ϵ0A ϵ0A a b Desta expressao vemos que a capacitˆancia equivalente nao depende de d ou seja nao depende da posicao da secao reta central P 2728 Na Fig 2729 os capacitores C1 1 µF e C2 3 µF sao ambos carregados a um potencial V 100 V mas com polaridades opostas como e mostrado As chaves S1 e S2 sao entao fechadas a Qual e a diferenca de potencial entre os pontos a e b b Qual e a carga sobre C1 c Qual e a carga sobre C2 a Apos as chaves serem fechadas as diferencas de potencial sao as mesmas e os dois capacitores estao em paralelo A ddp de a ate b e Vab QCeq one Q e a carga lıquida na combinacao e Ceq e a capacitˆancia equivalente A capacitˆancia equivalente e Ceq C1 C2 4 106 F A carga total na combinacao e a carga lıquida sobre cada par de placa conectadas A carga sobre o capacitor 1 e q1 C1V 1 106100 V 1 104 C httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 6 de 12 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1819 e a carga sobre o capacitor 2 e q2 C2V 3 106100 V 3 104 C de modo que a carga lıquida sobre a combinacao e 3 1 104 C 2 104 C Portanto a diferenca de potencial pedida e Vab 2 104 C 4 106 F 50 V b A carga no capacitor 1 e agora q1 C1Vab 1 10650 5 105 C c A carga no capacitor 2 e agora q2 C2Vab 3 10650 15 104 C P 2729 Quando a chave S na Fig 2730 e girada para a esquerda as placas do capacitor C adquirem uma diferenca de potencial V0 Os capacitores C1 e C2 estao inicialmente descarregados A chave e agora girada para a direita Quais sao as cargas finais q1 q2 e q sobre os capacitores correspondentes As cargas nos capacitores 2 e 3 sao as mesmas de modo que eles podem ser substituidos por um capacitor equivalente dado por 1 Ceq 1 C2 1 C3 C2 C3 C2C3 Portanto Ceq C2C3C2 C3 A carga no capacitor equivalente e a mesma que em qualquer um dos capac itores da combinacao A diferenca de potencial atraves do capacitor equivalente e q2Ceq A diferenca de po tencial atraves do capacitor 1 e q1C1 onde q1 e a carga em C1 A diferenca de potencia atraves da combinacao dos ca pacitores 2 e 3 tem que ser a mesma diferenca de poten cial atraves do capacitor 1 de modo que q1 C1 q2 Ceq a Quando fechamos a chave pela segunda vez parte da carga originalmente no capacitor 1 flui para a combinacao de 2 e 3 Sendo q0 e a carga original a lei da conservacao da carga nos fornece q1 q2 q0 C1V0 b onde V0 e a diferenca de potencial original atraves do capacitor 1 Da Eqs b tiramos que q2 C1V0 q1 que quando substituida na Eq a fornece q1 C1 C1V0 q1 Ceq que finalmente nos fornece q1 q1 C2 1 V0 Ceq C1 C1 1 V0 C2C3 C2C3 C1 C2 1C2 C3V0 C1C2 C1C3 C2C3 As cargas nos capacitores 2 e 3 sao q2 q3 C1V0 q1 C1V0 C2 1C2 C3V0 C1C2 C1C3 C2C3 C1C2C3V0 C1C2 C1C3 C2C3 Segunda solucao Considere a figura abaixo As cargas iniciais estao indicadas a esquerda de cada ca pacitor As cargas finais estao indicadas a direita de cada capacitor Inicialmente podemos escrever a seguinte relacao q C1V0 De acordo com a Lei da Conservacao da Carga ao conectarmos os capacitores C2 e C3 a carga total q no condutor X indicado na figura da solucao deste prob lema deve permanecer constante Logo q q1 q3 Donde se conclui que httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 7 de 12 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1819 A energia total é a soma das energias armazenadas em am 43 C1Vo cada capacitor Com eles estao conectados em paralelo Aplicando a Lei da Conservaciio da Carga no condutor a diferenca de potencial V a que estao submetidos é a P g 8 mesma A energia total é portanto Y indicado na figura de solugao deste problema encon tramos 0 2 qs Donde se conclui que q2 qs U la C2V Aplicando a Lei da Conservagao da Carga para 0 con 2 dutor Z indicado na figura do problema nao conduz 52 x 1078 4 x 10 3008 a nenhuma equacdo nova Sabemos que o campo elet 2 rostatico é conservativo Entaéo as somas de diferenga 027 de potencial ao longo da malha fechada deve ser muda 2A OOs Lei das Malhas Portanto P 2747 0 Ge B Um capacitor cilindrico tem raio interno a e raio externo C2 C3 C1 b como indicado na Fig 276 pag 95 Mostre que As relagées 1 2 e 3 formam um sistema de trés metade da energia potencial elétrica armazenada esta equacoes e trés incégnitas qi g2 e q3 A solucdo deste dentro de um cilindro cujo raio sistema fornece a resposta r Vab C1 Cz C1 C3 a C1Co C1C3 CoC CiVo A energia acumulada num campo elétrico que ocupa um volume Y é obtida integrandose sobre todo o vol C2C3 CV ume V a densidade de energia ug do campo elétrico 2 3 C1Ce C1C3 C2C3 tro Portanto 0 r 2 ur fuvav9 Edy 2724 ama zenamento de energia num campo onde dV 2arLdr é 0 elemento de volume da gaus eretrico siana cilindrica de raio r considerada ver Fig 276 Usando a Eq 2712 encontramos que o campo elétrico E 2734 entre as placas de um capacitor cilindrico de compri ceo a mento L contendo uma carga q e de raio r é dado por Que capacitancia é necessdria para armazenar uma ener gia de 10 kWh sob uma diferenga de potencial de 1000 Er a Vv 2reqLr Como sabemos que a energia armazenada num capac Substituindose este valor na equacao para Ur acima itor é U CV22 a dificuldade do problema consiste encontramos a seguinte relagéo para a energia acumu lada no campo elétrico dentro do volume compreendido apenas em determinar quantos Joules correspondem a 10 kWh entre o cilindro de raio a e 0 cilindro de raio r Lembrando que 1J 1Wattsegundo simplesmente Ur 0 q 2m Lrdr precisamos multiplicar 10 WkW3600 sh para 2 J 2neqLr obter que 10 kWh 36 x 107 J Portanto g dr ou 2U 286 x10 og Arnel Jy V2 10002 9 am a 4néeg L a 2737 A energia potencial maxima Uj é obtida para r b 2 Dois capacitores de capacitancia 2uUF e 4uF sao liga Uy Ub fon dos em paralelo através de uma diferenga de potencial AneoL a de 300 V Calcular a energia total armazenada nos ca Para obter o valor de r pedido precisamos simples pacitores mente determinar o valor de r para o qual tenhamos httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 8 de 12 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1819 Ur Uj 2 Substituindose nesta equacao os val de qualquer formato com um campo elétrico E na sua ores de Ur e Uy acima encontramos sem nenhuma superficie dificuldade que Sab m De acordo com o problema 2749 a forga em cada me vae placa do capacitor é dada por F q2e9A onde q é a carga sobre a placa e A é a drea da placa O campo P 2749 elétrico entre as placas 6 FE q9A de modo que qeAEe Mostre que as placas de um capacitor de placas paralelas se atraem mutuamente com uma forca dada por GAB 1 15 P 69E 269A 269A 2 Bs 269A Assim sendo a forga por unidade de area é Obtenha o resultado calculando o trabalho necessario fe 1 E2 para aumentar a separacao das placas de x para x dx A 2 com a carga g permanecendo constante O trabalho feit létrico é definid rabalho feito num campo elétrico é definido por P2751 dw Fdz Uma carga q colocada lentamente na superficie de uma qdV qkEdz bolha de sabo de raio Ro Devido a repulséo mititua Portanto por comparacio destas férmulas obtemos a existente entre as cargas superficiais o raio aumenta nO P P sae ligeiramente para R Por causa da expansao a pressao magnitude da forga éFe8 do ar dentro da bolha cai para VopV onde p é a pressio Para um cap acitor de P lacas paralelas sabemos que a atmosférica Vo o volume inicial e V é 0 volume final magnitude do campo é dada por E a2e9 onde Mostre que o qA Portanto q 32reopRR R2 4 4 20 4 269A 269A Sugestdo Considere forgas que atuam sobre uma pe Modo alternativo nao supondo q constante Con quena area da bolha carregada Forgas decorrentes de i sidere uma carga infinitesimal dq sobre uma das placas pressdo do gas ii a pressdo atmosférica iii a tensao do capacitor O médulo dF da forga infinitesimal dev eletrostatica Ver o Problema 50 ida ao campo elétrico E existente no capacitor 6 dada Conforme o Problema 2750 a forca eletrostatica que por atua numa pequena area AA é FP egEAA2 O campo elétrico na superficie é E q4me9R onde dF E dq q é a carga na bolha Portanto A Eq 277 nos diz que mdédulo do campo elétrico E 1 AA GAA existente no capacitor é Fe 90 1672e2R4 32n2e2 RY B apontando para fora A forca do gas dentro é o produto da pressao dentro pela area ou seja Portanto 4 p3 3 rfarra a Fy pypAA p BAA pita 0 cal sar an apontando para fora A forga do ar fora é Fk pAA apontando para dentro P 2750 Como a superficie da bolha esta em equilibrio a soma Usando o resultado do Problema 2749 mostre que a Cas tres worgas deve anularse Fe By Fa 0 Esta forga por unidade de 4rea a tensdo eletrostdtica at qnag uando sobre cada placa é dada por 9E2 Na real R3 idade este resultado é geral valendo para condutores 32726 R4 p RR p0 httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 9 de 12 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1819 de onde tiramos facilmente que Portanto 5 oA RS 5 3 3 2U 2 74 x 10 47 KO ooops A q 32neR pl a 32ne9pRR Rp CoV 74 x 1026522 Em outras palavras Da Tabela 272 vemos que poderiamos usar pirex para As forgas que atuam sobre o elemento de area da bolha preencher a lacuna do capacitor carregada sao causadas pelas seguintes presses a A pressdo do gas pg do interior da bolha atuando de den E 2756 tro para fora b A pressao atmosferica p atuando de Um cabo coaxial usado numa linha de transmissio tem fora para dentro c A tensao eletrostatica mencionada ym raio interno de 01 mm e um raio externo de 06 mm no P roblema 2712 atuando de dentro para fora No Calcular a capacitdncia por metro de cabo Suponha que equilibrio como a soma das forgas igual a zero can 9 espaco entre os condutores seja preenchido compolie celando a 4rea comum considerada podemos escrever gtireno 9E m Usando as Egs 2714 e 2730 encontramos que a ca Pg 3 P pacitancia do cabo é 2TegL De acordo com o enunciado do problema temos CKC k Inba 4 p3 3 Pg Vo p amo p Ro D Portanto por unidade de comprimento temos Y a7 R3 R3 C CC reg O campo elétrico da distribuigéo de cargas esferica C LT In61 807 pFm mente simétrica existente na superficie da bolha é dado Lo or onde usamos 26 que corresponde ao poliestireno P Lg veja Tabela 272 pag 101 E nw sing Are R Substituindose p e Ena Eq acima obtemos P 2757 3 5 Uma certa substancia tem uma constante dielétrica de Ro 0 1 Gy 28 e uma rigidez dielétrica de 18 MVm Se a usar gD 272 pa P rr R 2 167eG R mos como material dielétrico num capacitor de placas 4 paralelas qual devera ser a area minima das placas para de onde se tira facilmente que o valor pedido é que a capacitancia seja de 7 x 102 pF e para que o 2 2 3 ps capacitor seja capaz de resistir a uma diferenga de po q 32m copRR Ro tencial de 4 kV A capacitancia é C KCo Ken Ad onde Cp é a a capacitancia sem o dielétrico é a constante dielétrica 2725 Capacitor com um dielétrico do meio A a drea de uma placa e d a separacao das pla cas O campo elétrico entre as placas é EF Vd onde E 2753 V adiferencga de potencial entre as placas Portanto d VEe C keg AEV donde tiramos Dado um capacitor de 74 pF cheio de ar pedimos convertélo num capacitor que armazene 74 uJ com A CV uma diferenga de potencial maxima de 652 V Qual dos Keok dielétricos listados na Tabela 272 poderia ser usado Para que esta area seja minima o campo elétrico deve para preencher a lacuna de ar do capacitor ser 0 maior possivel sem que rompa o dielétrico Com o dielétrico dentro a capacitancia é dada por 7 x 108 F4 x 103 V C Co onde Cp representa a capacitancia antes do A 28 885 x 102 Fm18 x 10 Vm dielétrico ser inserido A energia armazenada é dada por 1 1 3 063 m httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 10 de 12 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1819 P 2764 2726 Os dielétricos e a lei de Gauss Um capacitor de placas paralelas de area A é preenchido com dois dielétricos como mostra a Fig 27 E 2766 35 na pag 111 Mostre que neste caso a capacitancia é a dada por Um capacitor de placas paralelas tem uma capacitancia de 100 pF placas de 4rea igual a 100 cm e usa mica O valor pedido corresponde a capacitancia C do ca COMO dielétrico x 54 Pra uma diferenga de po pacitor equivalente da ligacdio em de tencial de 50 V calcule a FE na mica b o mdédulo da carga livre sobre as placas e c o médulo da carga A A superficial induzida Clme75 Cyk2E05 d2 d2 a O campo elétrico na regiao entre as placas é E Vd onde V é a diferenga de potencial entre as cuja unica diferenga é o dielétrico placas e d a separacao das placas Como C Keg Ad onde A é a area de uma placa e a constante dielétrica i d2 d2 d2 Ki Ke temos que d Key AC e portanto que C K1E9A K2E9A Eo A Ky iK2 BE Vive Portanto d KegA C Zoek mse 50 100 x 10712 d ki ke 54 885 x 102100 x 104 1x 10 Vm Solugao alternativa O campo elétrico uniforme para cada uma das ca b A carga livre nas placas madas dielétricas entre as placas do capacitor é dada por ae VC 100 x 107250 5 x 107C E gA e E gA c O campo elétrico é produzido por ambas cargas livre K10 K20 e induzida Como campo devido a uma camada grande e uniforme de carga é q2e9 A 0 campo entre as placas Sabemos que C qV onde é i pay HG V A Vo a 4 By 269A 269A 269A 269A 2 2 O primeiro termo devese Carga livre positiva em uma Portanto das placas o segundo devese a carga livre negativa na outra placa o terceiro devese 4 carga induzida positiva C q em uma das superficies do dielétrico 0 quarto devese a E Ea carga induzida negativa na outra superficie do dielétrico 2q Observe que 0 campo devido a carga induzida é oposto 77a aAy ao campo devido a carga livre de modo que eles tendem d 24 we a cancelarse A carga induzida é portanto eo tite G woAE dri Re 5x10C 12 4 4 Note que no caso de um capacitor no ar sem os 885 x 107 100 x 101 x 10 C dielétricos temos kj Kg 1 e a relacdo acima se 41x10C reduz a C Ad conforme esperado Quando os 41nc dois dielétricos forem iguais isto é para ky Ko kK a relagdo anterior também fornece o resultado esperado23 i C Keg Ad P 2771 httpwww fisicaufpbbrjgallas Pagina 11 de 12 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1819 Uma lamina dielétrica de espessura b é introduzida en Como sabemos que E qAeq veja Eq 277 segue tre as placas de um capacitor de placas paralelas de que separacgdo d Mostre que a capacitancia é dada por pass ae ee P V 4 na 108 Keg A Aeok C kd K1b donde tiramos sem dificuldades que realmente Sugestdo Deduza a férmula seguindo o modelo do Exemplo 2710 Esta férmula prevé o resultado q Keg A numérico correto do Exemplo 2710 Verifique que a C Vv kd k1b férmula esta de acordo com os casos especiais quando bOnK1ebd Note que este resultado ndo depende da posigao exata Seja um campo elétrico na regiao vaziae Eq 0 da lamina dentro do dielétrico A lamina tanto podera campo elétrico no interior do dielétrico Da Eq 27 estar tocando qualquer uma das placas como estar no 32 sabemos que Ey Ek Portanto observando a meio delas sem que se altere o valor acima Fig 2717 que corresponde a situagao deste problema Tanto para b 0 quanto para 1 a relacdo anterior vemos que a diferenga de potencial através do capacitor fornece corretamente a capacitancia no vacuo ou seja é dada por CeAd VcEbEqdb2E Quando b d situagéo em que o dielétrico preenche ou seja totalmente o espaco entre as placas do capacitor a ex J b pressao acima também fornece o resultado correto a Vdb aE saber C KAed httpwww fisicaufpbbrjgallas Pagina 12 de 12