Lista de Exercícios de Física Básica - Potencial Elétrico

LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 Exercıcios Resolvidos de Fısica Basica Jason Alfredo Carlson Gallas professor titular de fısica teorica Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique Alemanha Universidade Federal da Paraıba Joao Pessoa Brasil Departamento de Fısica Baseados na SEXTA edicao do Fundamentos de Fısica Halliday Resnick e Walker Esta e outras listas encontramse em httpwwwfisicaufpbbrjgallas Contents 26 Potencial Eletrico 2 261 Questoes 2 262 Problemas e Exercıcios 3 2621 O potencial eletrico 3 2622 Calculo do potencial a partir do campo 3 2623 Potencial criado por uma carga puntiforme 6 2624 Potencial criado por um dipolo eletrico 7 2625 Potencial criado por distribuicao contınua de cargas 8 2626 Calculo do campo a partir do potencial 8 2627 Energia potencial eletrica de um sistema de cargas puntiformes 10 2628 Um condutor isolado 12 2629 O acelerador de van de Graaff 13 26210 Problemas da terceira edicao do livrotexto 13 ComentariosSugestoes e Erros favor enviar para jasongallas yahoocom sem br no final listaq3tex httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 1 de 14 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 26 Potencial Eletrico 261 Questoes Q 261 Podemos considerar o potencial da Terra igual a 100 Volts em vez de igual a zero Que efeito tera esta es colha nos valores medidos para a potenciais e b diferencas de potencial Sim O potencial eletrico num ponto pode assumir qualquer valor Somente a diferenca de potencial e que possui sentido fısico determinado Por razoes de como didade podemos admitir que o potencial da Terra ou de qualquer outro referencial equipotencial seja igual a zero Qualquer outro valor escolhido tambem serve pois o que sera fisicamente relevante e a diferenca de potencial Q 262 O que aconteceria a uma pessoa de pe sobre uma plataforma isolada se o seu potencial fosse aumentado 10 000 Volts em relacao a Terra Nao aconteceria nada de grave como a pessoa esta isolada ela apenas teria seu potencial aumentado em 10000 Volts Mas caso a pessoa resolvesse descer da tal plataforma deveria fazelo com muito cuidado Q 263 Por que o eletronvolt e frequentemente uma unidade mais convencional para energia do que o joule Espaco reservado para a SUA resposta Q 2613 O fato de so conhecermos E num dado ponto torna possıvel o calculo de V neste mesmo ponto Se nao que informacoes adicionais sao necessarias Nao De acordo com a Eq 268 para se calcular uma diferenca de potencial tornase necessario o conheci mento de E ao longo de um dado percurso ligando os dois pontos tomados para o calculo desta diferenca de potencial Q 2614 Na Fig 262 do Halliday o campo eletrico E e maior do lado esquerdo ou do lado direito O modulo do campo eletrico pode ser estimado da a razao Vd onde d e a distˆancia entre duas superfıcies equipotenciais Note que do lado es querdo da figura 262 a distˆancia entre duas superfıcies equipotenciais e menor do que a distˆancia entre duas su perfıcies equipotenciais do lado direito Sendo assim concluımos que o valor de E na extremidade esquerda da figura 262 e maior do que E na extremidade direita da figura 262 Lembre que E e proporcional a densi dade de linhas de forca as quais sao ortogonais as su perfıcies equipotenciais em cada um dos pontos destas superfıcies equipotenciais Q 2624 Vimos na secao 2610 que o potencial no interior de um condutor e o mesmo que o da sua superfıcie a E no caso de um condutor com uma cavidade irregular no seu interior b E no caso da cavidade ter uma pequena brecha ligandoa com o lado de fora c E no caso da cavidade estar fechada mas possuir uma carga pun tiforme suspensa no seu interior Discuta o potencial no interior do material condutor e em diferentes pontos dentro das cavidades a Teria o mesmo valor V 1 4πϵ0 q R b Se o condutor esta isolado e carregado terıamos igualmente E 0 e V constante no interior e na superfıcie mas nao poderıamos determinar o valor numerico da constante c Idem ao item b inclusive dentro da cavidade irreg ular A carga puntiforme ira induzir cargas de sinal contrario e de mesmo valor absoluto na superfıcie da cavidade e consequentemente de mesmo valor na superfıcie ex terna do solido irregular No solido neste caso devido a presenca da carga q o potencial mudara de valor mas ainda sera constante e o campo eletrico nulo pois trata se de um condutor carregado e isolado httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 2 de 14 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 262 Problemas e Exercicios U qV 30x 10J 2621 O potencial elétrico b Igualando a energia solicitada no item a com a en ergia cinética do carro encontramos U K mv2 E 261 e portanto A diferenga de potencial elétrico entre pontos de oK descarga durante uma determinada tempestade é de v 14 775 x 10 ms 12 x 10 V Qual é o médulo da variagdo na energia m potencial elétrica de um elétron que se move entre estes A energia U fornece o calor necessario para fundir pontos uma certa massa de gelo Fazendo Q L e usando a Eq 5 do Cap 20 encontramos o seguinte valor para a p Use 0 conceito de potencial e subseqiientemente jyacca uma conversdo de unidades de Joules para eV con forme o Apéndice F para obter a resposta do livro U 30 x 10J P P P M Ik 910 x 10kg AU eAV os S 16x 10 C12 x 10 V 192x107J P 265 10 18 192 x 0 J6242 x 10 eWiS Quando um elétron se move de A até B ao longo da 1198 x 10 eV 12 GeV linha de campo elétrico mostrado na Fig 2624 pg 82 0 campo elétrico realiza um trabalho de 394 x 10719 J sobre ele Quais sao as diferengas de potencial elétrico E 262 a Ve Va b Vo Va e c Vo Vea Uma bateria de carro de 12 Volts é capaz de fornecer p a uma carga de 84 Ampéreshora a Quantos Coulombs de carga isto representa b Se toda esta carga yy Was 394 x 107 246V for descarregada a 12 Volts quanta energia estara do 16 x 1019 disponivel a Como 1 A 1 Cs encontramos Nota qo uma cargateste positiva e W 48 0 trabalho feito pelo campo elétrico Observe das linhas de campo q it 843600 3024 x 10C na figura que o ponto A estd mais préximo de cargas negativas do que o ponto B O vetor campo E aponta b Usando a Eq 4 encontramos para a energia solici para as cargas negativas tada o seguinte valor b A ddp é a mesma que a do item anterior 5 c Zero pois os pontos B e C estao sobre uma equipo W qV 3024 x 10 x 12 362M J tenci encial P 263 2622 Calculo do potencial a partir do campo Em um relampago tfpico a diferenga de potencial entre pontos de descarga é cerca de 10 V e a quantidade de EF 269 carga transferida é cerca de 30 C a Quanta energia é oY liberada b Se toda a carga que foi liberada pudesse A densidade de ye de um plano infinito carregado ser usada para acelerar um carro de 1000 kg a partirdo 7 010 uCim Qual é a distancia entre as superficies repouso qual seria a sua velocidade final c Que quan eqliipotenciais cuja diferenca de potencial é de 50 Volts tidade de gelo a 0 C seria possivel derreter se todaaen p De acordo com a Tabela 1 para um plano infinito ergia liberada pudesse ser usada para este fim O calor yniformemente carregado podemos escrever a seguinte de fusdo do gelo é L 33 x 10 Jkg relacio a Usando a Eq 4 encontramos o seguinte valor para oz a energia VV 2o httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 3 de 14 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 Donde se conclui que para duas superficies eixo um fio de 13 x 10 cm de didmetro Se apli eqiiipotenciais separadas por uma distancia Az a carmos 850 V entre eles calcule o campo elétrico na diferenga de energia potencial é dada por superficie a do fio e b do cilindro Sugestdo Use o o resultado do Problema 24 Cap 25 AV 29 Az Usando o resultado do problema 2524 pag 58 en Portanto considerando apenas o médulo de Az encon contramos P ara 0 campo eletrico entre 0 fio 0 cilin dro a expresso E 27e9r Usando a Eq 2611 tramos a resposta pag 68 encontramos para a diferenga de potencial entre Ie 0 fio e o cilindro a seguinte expressao Az 204 3 95mm o ry Tey av vv Edr dr re ry 2TEOT c P 2611 5 n 279 rf O campo elétrico dentro de uma esfera naocondutora de raio R com carga espalhada com uniformidade por todo onde rpere representam os Palos do fio e do cilindro re seu volume esté radialmente direcionado e tem médulo Spectivamente Desta equacao obtemos facilmente que dado por Qneg AV Ea2 A dre R3 Inrer 5 Nesta expresso q positiva ou negativa é a carga to Portanto que tal da esfera e R é a distancia ao centro da esfera a Tomando V 0 no centro da esfera determine o po Elr A AV 88164 Volts tencial Vr dentro da esfera b Qual é a diferenga 7 Qnegr rlnrerf r de potencial elétrico entre um ponto da superficie e o centro da esfera c Sendo q positiva qual destes dois Portanto a Na superficie do fio temos pontos tem maior potencial 88164 Volt B Oe 136M Vim a Como a expressdo do campo é dada para 65 x 107 m determinarse o potencial basta calcular a integral b Na superficie do cilindro qf 88164 Volts Vr V0 Edr d E 882kVm r 0 4regR8 me 001 m m 4g 7 87E9 RB P 2613 Como V 0 0 temos Uma carga q esta uniformemente distribuida através de um volume esférico de raio R a Fazendo V 0 no q Pr infinito mostre que o potencial a uma distancia r do Vr B3 centro onde r R é dado 87éo RS r por 2 72 b Na superficie r R a diferenga de potencial é V q3Rr 87eR3 1 AV VR V0 R Sugestao Ver o exemplo 257 b Por que este resul 9 tado difere daquele do item a do Problema 11 c c Como a diferenca acima é negativa 0 centro tem Qual a diferenga de potencial entre um ponto da su potencial maior perficie e o centro da esfera d Por que este resultado a no difere daquele do item b do Problema 11 P 2612 2612 a Fora da distribuicdao de cargas a magnitude do campo elétrico E q4meor e o potencial é m contador Geiger possui um cilindro metalico com q4meor onde r é a distancia a partir do cen U dor Geiger p i ilind Ali V 4 de r é a distancia a partir d 20 cm de didmetro tendo estendido ao longo do seu tro da distribuigdo de cargas httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 4 de 14 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 Dentro da distribuigao usamos uma superficie Gaus Uma casca esférica espessa de carga Q e densidade siana esférica de raio r concéntrica com a distribuigéo volumétrica de carga p esta limitada pelos raios r e de cargas O campo é normal a superficie e sua magni rg onde rg 71 Com V 0 no infinito determine o tude é uniforme sobre ela de modo que o fluxo através potencial elétrico V em funa4o da distancia r ao centro da superficie 47rE A carga dentro da Gaussiana é da distribuicdo considerando as regides a r ra b qrR ry r 7 ec r r d Estas solugdes concordam Com isto a lei de Gauss fornecenos emr r er r Sugestao Ver o exemplo 257 5 gr a Para r re 0 campo é como o de uma carga Anegr E Re puntiforme e o potencial é er 1 Q que simplificando mostra ser 0 campo fora da Gaus V Tnear siana dado por meq Pr E onde o zero do potencial foi tomado no infinito Arey R b Para determinar o potencial no intervalo r r Se chamarmos de V 0 potencial sobre a superficie da 72 usamos a lei de Gauss para calcular 0 campo elétrico distribuigdo de cargas ento 0 potencial num ponto in integrandoo posteriormente ao longo de uma trajetéria terno localizado a uma distancia r do centro sera radial de ro até r A melhor Gaussiana uma su r perficie esférica concéntrica com a casca em questao V V E dr O campo é radial normal a superficie com magnitude R uniforme sobre a superficie de modo que o fluxo através Tr V xe r dr da superficie é AnrB O volume da casca é dre R Jr 4xr3 r3 de modo que a densidade de carga é 2 qr qd v 41 3 3 8reoR 8reoR p 4nr3 r3 O valor de V pode ser encontrado colocandose r R Assim a carga englobada pela Gaussiana de raio r é na expressao do potencial em pontos fora da distribuigao 3 3 de cargas o que fornecenos V q47 9 Portanto 47 3 ay mati q r r p Q 3 3 3 m5 T7 V q nm q 3R A lei de Gauss fornecenos 4 55 r 4neg R 2R3 2k 87eqR3 dreor2e Qt b No Problema 11 potencial elétrico foi tomado mer BQ rs r3 como sendo zero no centro da esfera enquanto que aqui a 0 zero esté no infinito donde obtemos a magnitude do campo elétrico De acordo com a expressfo derivada na parte a 0 po Q rr tencial no centro da esfera 6 V 3q87e0R Por B Amey r2r3 73 tanto V Ve gqr8eoR que 0 resultado encontrado no Problema 11 Sendo V 0 potencial elétrico na superficie externa da c A diferenca de potencial é casca r 12 entao o potencial a uma distancia r do centro é dado por 2q 3q q r AV V V 8reoR 8regR 8reoR Vo V E dr r2 Este valor 6 mesmo dado pela expressao obtida no Prob lema 11 como nao poderia deixar de ser Vv Q 1 r 1 dr a Vs 73 3 7 d Moral da hist6ria toda apenas as diferengas de po A4meg 73 17 Sry r2 tencial tem significado fisico nao importando qual o valor do potencial num sé ponto Analogamente ao caso vy Q 1 é r3 4 re rt gravitacional mudarse 0 ponto de referéncia de lugar Aregr3 r3 2 2 ro fg nado altera as diferencas de potencial g P O valor da constante V na superficie externa é encon trado substituindose r rg na expressao para 0 po P 2614 tencial que foi determinada no item a acima ou seja httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 5 de 14 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 V Q4mepr2 Substituindose este valor na ex Um campo elétrico de aproximadamente 100 Vm pressdo acima e simplificandoa obtemos é freqiientemente observado proximo 4 superficie da 9 5 3 Terra Se este campo fosse realmente constante sobre Ve Q 1 3rp TF 1 a superficie total qual seria o valor do potencial elétrico 4neg 73 rp 2 2 r num ponto sobre a superficie Veja Exemplo 265 suponha V 0 no infinito Como p 3Q42r3 r 0 potencial pode ser es crito de uma maneira mais simples e elegante como Usando o resultado do Exemplo 265 encontramos p 3rg or orf para o potencial da esfera a seguinte expressio V Ve ga 2 q4meor Usando a Eq 2516 verificamos que o campo elétrico de uma esfera é dado por c O campo elétrico anulase na cavidade de modo que 0 potencial seré sempre 0 mesmo em qualquer ponto da cavidade tendo o mesmo valor que o potencial de E Ll o um ponto qualquer sobre a superficie interna da casca A4reg 12 Escolhendose r 7 no resultado do item b e simpli ficando encontramos Portanto usandose o valor para 0 raio médio da terra 637 x 10 m dado no Apéndice C temos vy 2303 19 Ameo 2r3 r3 0273 ri V Er 637MV ou ainda em termos da densidade de carga p Pp 2 2 mm V r3 717 Dp 72 17 d As solug6es concordam parar ry er 72 P 2626 2623 Potencial criado por uma carga puntiforme Uma gota esférica de 4gua tem uma carga de 30 pC e t S 0 potencial na sua superficie é de 500 V a Calcule o E 2619 raio da gota b Se duas gotas iguais a esta com mesma carga e O mesmo raio se juntarem para constituir uma Grande parte do material compreendido pelos anéis de Unica gota esférica qual sera 0 potencial na superficie Saturno Fig 2627 na terceira edicéo do Halliday desta nova gota ou Fig 2628 na quarta tem a forma de mintsculas particulas de poeira cujos raios sao da ordem de 10 M p a Usando a Eq 2612 temos V q4me9R Estes pequenos graos estao numa regiao que contémum 599 V ou seja gas ionizado e diluido e adquirem elétrons em excesso Se o potencial elétrico na superficie de um grao for de q 400 V quantos elétrons em excesso foram adquiridos R AneoV 0539 mm Usando o resultado do Exemplo 263 encontramos para o potencial da esfera a seguinte expressao b O raio r da nova gota esférica pode ser obtido da ex q pressio 4rr 247R3 ou seja r 2R A carga V treoR total sobre a nova gota é dada por 2g 6 x 107C Sendo n o ntimero de elétrons em excesso temos g SUPOndo que haja uma distribuicao uniforme vemos ne e portanto que o potencial V procurado é dado por 4negVR n aneor t 278 x 10 elétrons V 2g ag 7OAV e Anregr Arr 213 RR P 2624 httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 6 de 14 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 2624 Potencial criado por um dipolo elétrico Kq P 2632 Uma carga puntiforme g 6e esta fixa na origem de Kt KL um sistema de coordenadas retangulares e uma segunda rd rtd carga puntiforme qo 10e estd fixaem x 86 nm Kq tdrtd K 2qd y 0 O lugar geométrico de todos os pontos no plano r a r a xy com V 0 é um circulo centrado sobre 0 eixo 2 como mostra a Fig 2631 Determine a a posicao x q 2Qqd do centro do circulo e b 0 raio R do circulo c A VaVV2 K4 r2 a2 secao transversal no plano xy da superficie equipoten cial de 5 V também é um circulo Para r d temos finalmente a e b As equacées que determinam x e R sao as q 2qd seguintes chamando de A 0 pontoem R2ede Bo V K4 ponto em R 2 onde o circulo intersecta 0 eixo x vel q2 oo 4 V 0 mo VA Ra2 R2 71 q2 Aten Vz 0 E 2634 70 VB Ra wRa Resolvendo este sistema de equagdes para R e x en Temos que uma carga 84 esta auma distancia 2d de P uma carga 5q esta a uma distancia d de P e duas contramos eA cargas 5q estao cada uma a uma distancia d de P de Garg 6e86 modo que o potencial elétrico em P é B56 Say os 4 aM Mm 9 6e 10e q 5 5 5 OS 5q qiq2t2 Ge10e86 V 2 424 4 R SWF Ds 8 om G 6e2 10e nm AT EQ 2d d d d 87E0 d c Nao A tinica equipotencial que um circulo é O zero do potencial foi tomado como estando no in aquela para V 0 finito P 2635 E 2639 Para a configuragao de cargas da Fig 2632 abaixo mostre que Vr para os pontos sobre 0 eixo vertical a Toda carga esta a mesma distancia R de C de supondo que r d é dado por modo que o potencial elétrico em C é va 21474 y 2 2 deg r r 4neg LR OR 4meoR Sugestdo A configuragéo de cargas pode ser vista como a soma de uma carga isolada e um dipolo onde o zero do potencial foi tomado no infinito b Toda a carga esté a mesma distancia VR z de P de modo que o potencial elétrico é vy QQ Areg lJR2 22 VJWR24 22 5Q Are VR 22 V V4 V2 onde Vi potencial da carga do centro e V2 potencial do dipolo httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 7 de 14 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 2625 Potencial criado por distribuicéo continua o 2 de cargas B 1 Oe 20 VV R2 Z2 E 2640 dVir r Um disco de plastico carregado sobre um lado com Ep dr lA uma densidade superficial de carga o e a seguir trés o d quadrantes do disco sfo retirados O quadrante que P 17 7 resta é mostrado na Fig 2639 pg 85 Com V 0 29 dr no infinito qual é o potencial criado por esse quadrante 2 5 a r 12 or 1 no ponto P que esta sobre o eixo central do disco orig 29 12 inal a uma distancia z do centro original 2 1 y wo Ie a2 r212 Como o disco foi uniformemente carregado isto im 0 plica que quando o disco completo estava presente cada Portanto quadrante contribuia de modo igual para 0 potencial em q 5 P de modo que o potencial em P devido a um tinico Se ra E Ko onde qo7a quadrante é igual a um quarto do potencial devido ao o disco todo Se ra E 29 Vamos portanto determinar o potencial devido ao disco completo Consideremos um anel de carga com raio r e largura P 2648 dr Sua area 2nr dre ele contem uma carga dq a Mostre calculando diretamente a partir da Eq 26 2ror dr Toda esta carga esté a uma distancia Vr z cyt 25 que o potencial elétrico num ponto do eixo de um de P de modo que o potencial devido a tal anel é Z anel carregado de raio R dado por dV 1 2nordr or dr 1 q ATE9 Vr2 22 QegVr 22 V Ineo Ved Re O potencial totalem P é a soma dos potenciais de todos b Partindo deste resultado obtenha uma expressao anéis correspondente para E nos pontos axiais e compare R com 0 resultado do calculo direto de E apresentado na voz r dr J Vrr Al seao 246 do Cap 24 269 Jo Vir 2 29 a Seja dé um elemento de linha do anel A densi 5VR222 dade de carga linear do anel q27R O po Qe g Pp tencial dV produzido por um elemento infinitesimal de O potencial V devido a meio quadrante em P é carga dq Adé é dado por 1 od V q Ving y ge VRP 2 2 WV tar 0 1 q2nRde Amey R24 212 2626 Calculo do campo a partir do potencial O potencial no ponto P considerado é dado pela integral 1 dé vw 5 E 2645 4reg 2nR R 21 Na secio 268 vimos que o potencial para um ponto Note que R e z permanecem constantes ao longo do sobre 0 eixo central de um disco carregado era anel fazendo com que a integral se reduza a o 1 q27R v VR 422 va ee a 29 Arey R2 2212 Use a Eq 2634 e a simetria para mostrar que E para Como a integral de dé é igual a 27R 0 compri um tal ponto é dado por mento do anel obtemos httpwww fisicaufpbbrjgallas Pagina 8 de 14 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 c Considere dois pontos a iguais distancias de ambos V 1 g lados de P ao longo da linha que é perpendicular ao Amey R 21 eixo x A diferenga no potencial elétrico dividida pela separacao dos dois pontos dé a componente transversal b Analisando a simetria do problema concluimos que do campo elétrico Como os dois pontos estao situados 0 campo elétrico nao possui nenhuma componente Of simetricamente em relacao a barra seus potenciais co togonal ao eixo do anel Portanto o campo elétrico jncidem sendo portanto zero a diferenca de potencial orientado ao longo do eixo do anel para fora do anel Consequentemente a componente transversal do campo sendo dado por elétrico também é zero pv v P 2650 dz 4meq R2 4 232 Na Fig 2643 uma barra fina de comprimento L car aoe regada positivamente colocada ao longo do eixo com uma extremidade na origem x 0 tem uma P 2649 distribuigéo de carga linear dada por A ka onde k A barra fina com carga positiva da Fig 2642 tem uma é constante a Considerando o potencial no infinito densidade linear de carga uniforme e se encontra ao igual a zero calcule valor de V no ponto P sobre 0 longo de um eixo x como é mostrado a Com V 0 X0 dos y b Determine a componente vertical F da no infinito determine o potencial devido a barra no intensidade do campo elétrico em P a partir do resul ponto P sobre o eixo x b Use o resultado do item tado do itema bem como através de um calculo direto anterior para calcular a componente do campo elétrico c Por que nao podemos calcular 0 componente hori em P ao longo do eixo x c Use a simetria para de zontal E do campo elétrico em P usando o resultado terminar a componente do campo elétrico em P numa 40 item a diregdo perpendicular ao eixo x a Temos que dg Adz e portanto que a Suponha a origem dos x como sendo a extremi dq Lon VdV K dade direita da barra e considere um elemento infinites r imal da barra localizado numa coordenada negativa x L Nd x com um comprimento dz e contendo uma carga K dq Adz Sua distancia de P é x x 0 potencial o 9 que tal elemento cria em P é L ade Kk 2 4 ypy2 1 dq 1 Ade o a y v Arey x x Anég x 2 Sabendo que u x y du 2xdzx e que f udu a temos Para encontrar o potencial total em P integramos sobre toda a barra a Qed Vo Kk 2 12 dr 0 dz r 0 2 0 x Yy V 1 Inx 2 L ATED x a AT E9 nx 2 L Kha x y22t a net 7 2 1 0 Ate x KRa y715 b Encontramos a componente x do campo elétrico 2 212 através da derivada do potencial elétrico com respeito Kk L ty u ax b OV XN O tL Ey Ss 1 d Ox Anteg Ox x Ey ay yd r x 1 oat 1 4negxnLza x Kk 50 aPt ay 1 7 A 4 2 212 7 Aney aa L KklyL y i httpwww fisicaufpbbrjgallas Pagina 9 de 14 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 O calculo direto do médulo da componente FE pode ser feito da seguinte maneira 6 6 W U3 q3Ve 2 x 107 254 x 10 508J E Kk xcos0 dx Alternativamente usando a técnica indicada no Exem Y 0 yr ta plo 2610 encontramos para a energia potencial do con junto das trés cargas a seguinte relacao c Quando calculamos o potencial Vy no item a a varidvel x foi integrada Assim nao podemos usar 2 2 2 a relagéo dada por eg IVT para calcular E Up 4 e Oe Greg Ld Isto seria possivel somente se soubéssemos o potencial 70 dv2 dv2 Via y Lo F v2 v2 Aneg ld d d 2 2627 Energia potencial elétrica de um sistema de 7 q 4 2V2 6884 J cargas puntiformes Aregd aT Anite de trazer do infinito a terceira carga a energia po tencial inicial do conjunto das duas cargas é dado por E 2652 1 2 Duas cargas q 20 x 10 C esto fixas no espaco U Te separadas pela distancia d 20 cm como esta indi 4reo n cado na figura abaixo a Qual é 0 potencial elétrico no Substituindo os dados numéricos obtemos para a en ponto C b Uma terceira carga g 20 x 108 C ergia potencial inicial U 1798J O trabalho que é trazida lentamente do infinito até 0 ponto C Quanto agente externo deve realizar para deslocar a terceira trabalho foi realizado c Qual a energia potencial U Ctsa do infinito ate oO ponto Cé numericamente igual a da configuracio quando a terceira carga est4 no lugar Vatiaao da energia potencial do sistema ou seja desejado W Uy U 6884 1798 5086 J c A energia potencial do conjunto das trés cargas ja foi calculada no item b ou seja Uy 6884 J E 2656 Determine uma expressdo para o trabalho necessario a A distancia r entre 0 ponto Ce qualquer uma das para colocarmos as quatro cargas reunidas como esta in dicado na figura abaixo duas cargas é dada por r 2 2 J2 Como as cargas estaéo a mesma distancia de acordo com o Principio de Superposicao basta calcular 0 potencial devido a qualquer uma delas e multiplicar por dois Por tanto o potencial em C é lq Ve 2x 4 254M volts Aneg r b Sabendose 0 potencial no ponto C fica facil calcular A energia total da configuragao é a soma das energias o trabalho para deslocar a carga q3 q até tal ponto correspondentes a cada par de cargas a saber httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 10 de 14 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 ser realizado por um agente externo sobre a segunda particula a fim de aumentar o raio deste circulo para r2 US Ort Uis Ura Vas Una U4 em Seja W o trabalho realizado contra as forgas elet 9 9 9 9 9 9 rostaticas Entéo sendo V Q47éor num ponto Ki 4 4 42 r devido a carga Q temos a af2 a a avy2 a 2 2 Vy V 24 E KG 44 v2 o214 We aV2 Vi 4reg try rod a 9a Como o movimento é circular uniforme igualando a Ss forga centripeta com a forga eletrostatica obtemos uma relagio que nos fornece mv e portanto a energia cinética a Seja 015 m 0 comprimento do reténgulo 1 Qq mv e w 0050 m sua largura A carga q esta a uma P a distancia do ponto A e a carga q2 esté a uma distancia w de modo que o potencial elétrico em A é Com isto a energia cinética da carga q mv 1 i Va z F 2 60 x 10 vot K ao S b Analogamente A variagao da energia cinética entre as 6rbitas de raios Tr Te Ve 2 Bl 78 x 10 vot Ky Kp Uf 1 24reglry 12 c Como a energia cinética é zero no inicio e no fim da viagem o trabalho feito pelo agente externo é igual a variagao da energia potencial do sistema A energia potencial é dada pelo produto da carga q3 e 0 potencial Uma particula de carga q é mantida fixa num ponto P e elétrico Sendo Uy a energia potencial quando q3 est4 uma segunda particula de massa m com a mesma carga em A e Ug quando esta em B o trabalho feito para q estd inicialmente em repouso a uma distancia r de P moverse q3 de B para A é A segunda particula é entao liberada sendo repelida pela primeira Determine sua velocidade no instante em W UaUp que ela se encontra a uma distancia rg de P Dados q3Va Vp q 31 pC m 20 mg r 090 mme rg 25 mm 30x 10 60 x 104 78 x 10 925 Pela lei da conservacao da energia temos 2 2 2 d O trabalho feito pelo agente externo é positivo e tg 0 tt uu Anm9 11 AT 9 T2 2 portanto a energia do sistema de trés cargas aumenta e e f A forca eletrostatica é conservativa Portantoo Donde se conclui que trabalho é sempre o mesmo independentemente da tra 9 jetoria percorrida y 2 oF E ee m4neglry Te Substituindo os dados numéricos obtemos a seguinte resposta Uma particula de carga positiva é mantida num ponto P fixo Uma segunda particula de massa m v 248 x 10 ms e carga negativa q movese com velocidade con stante num circulo de raio r cujo centro é o ponto P Obtenha uma express4o para o trabalho W que deve httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 11 de 14 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 Duas pequenas esferas de metal de massam 5 ge elétrons fixos e use o principio de conservacao da ener massa m2 10 g tém cargas positivas iguais q 5 gia uC As esferas estao ligadas por uma corda de massa A energia potencial final é Ur 2e74meod onde d desprezivel e de comprimento d 1 m que é muito éa metade da distdncia entre os elétrons maior que 0 raio das esferas a Calcule a energia po A energia cinética inicial K mv2 onde v é a tencial eletrostatica do sistema b Qual a aceleragdo velocidade inicial e m a massa do elétron que se move de cada uma das esferas no instante em que cortamos 0 A nergia cinética final é zero fio c Determine a velocidade de cada uma das esferas Portanto K Uy ou isto é mv2 2 2e2 47ed de muito tempo depois do fio ter sido cortado onde se obtém a A energia potencial inicial é dada por 12 v 32 x 10 més l gq 4tregmd b A forca F existente depois do fio ser cortado é dada pela forca de interagéo Coulombiana Portanto 2628 Um condutor isolado p o2075N dren P 2675 De acordo com a Terceira Lei de Newton esta forgaé a Qual é a carga sobre uma esfera condutora de raio mesma em modulo para as duas esferas Portanto as r 015 m sabendose que seu potencial é 1500 V e magnitudes das aceleragdes sao dadas por que V 0 no infinito F 9 Sendo zero o potencial no infinito o potencial na su a1 mi 450 ms perficie da esferaé V q4meor onde g é a carga F sobre a esfera e r 0 seu raio Portanto 225 ms 02 mg 015 m1500 V s q 4ne9V oo 25x 10 C 90 x 109 N mC c Muito tempo depois do fio ser cortado as esferas estao suficientemente afastadas de modo que a ener gia potencial é igual a zero Neste caso pela Lei da Conservacao de energia temos P 2679 U 1 2 1 2 Duas esferas metdlicas tém raio de 3 cm e cargas de final 9 M201 9 IN202 1 x 108 Ce 3 x 1078 C Suponha que estas car Da conservaciio do momento linear sabemos que 0 88S estejam distribuidas de maneira uniforme e que os MV Mgv2 e Como temos m m22 segue que centros das esferas estejam afastados 2 metros um do V1 2v2 Substituindose este valores de vj em na CUO Sendo assim calcule a potencial do ponto expressio da energia final Ugna acima encontramos fi situado a meia distancia entre os centros das esferas e nalmente que b o potencial de cada esfera 3 a No ponto situado a meia distancia o potencial é Ufinal gim2v2 Vinicial 9225 dado por Portanto yu 2 x lo 4 3x 0 vy 3873ms vy vy 7746 mis Ameo tm tm 9x 10 x 2 x 108 180V ito mai 670 b Como d é muito maior que r para calcular o po Considere a energia potencial como sendo zero tencial de cada esfera podemos desprezar a influéncia quando o elétron que se move estiver muito distante dos miutua entre as esferas Portanto httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 12 de 14 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 O potencial da esfera é dado por V q47epr e 0 s campo elétrico nas vizinhangas da superficie externa da Vi ta 9 x 109 1 x 10 esfera é dado por E q47eor7 Portanto E Vr dreg 7 3 x 10 Para um valor E 10 Vm é necessdrio que 3000V 1 3 x 108 rave 9 x 10108 009 m 9cm Ve2 9x19 E 4neg 7 3 x 102 9000V b O trabalho realizado pela forga externa para carregar a esfera com uma carga total Q é dado por W QV Portanto a poténcia P fornecida para o gerador elet rostatico deve ser dada por 2629 O acelerador de van de Graaff P aw yi 2700 W 27kW dt dt c Sendo o a densidade superficial de cargas e x 0 com a primento da correia encontramos Q oA owez K2AV 216x 107 C10 x 108 Vv Comisto dQ dx 32x10 J do dt Donde se conclui que dQdt 5 2 2 KaAV 16x 1079C10 x 10 V 7 yy 2 LO Chim 20 Ci 16x10 c Como K mv22 temos 26210 Problemas da terceira edido do livrotexto 2K 2qgAV v4 1 m m Duas esferas condutoras idénticas de raio r 015 Como a particula a tem o dobro da carga de um préton cm estado afastadas por uma distancia a 10 m Qual e 4 vezes mais massa a razdo das velocidades finais 6 a carga de cada esfera se 0 potencial de uma delas é UpVa V2 Para AV 10 Volts temos 1500 V e o da outra 1500 V Que suposicdes foram feitas bp 14 x 10 mis Ya 98 x 10 mis Comor a podemos supor que as duas esferas pos suem uma distribuigdo uniforme de cargas uma vez que podemos desprezar a agao do campo elétrico de uma das esferas sobre a outra esfera Portanto Um eletrodo de alta voltagem de um acelerador elet 1 q rostatico é uma casca esférica metdlica carregada que Ve dren r 1500 V possui um potencial V 90 MV a Descargas Donde se conclui que para r 015 m as cargas valem elétricas ocorrem no gas desta maquina num campo 95 nc qd 100 MVm Que restrigo a respeito do rato r da casca deve ser feita para evitar que tais descar gas acontecam b Uma longa correia de borracha em movimento transporta cargas para a casca a 300 yCs Uma grossa camada esférica com densidade de carga e 0 potencial da casca permanece constante devido ao uniforme é limitada pelos raios r e re onde rg 14 escoamento Qual é a poténcia minima necessaria para Calcule o potencial elétrico V em funcAo da distancia r transportar a carga c A correia tem largura w 050 ao centro da distribuigdo considerando as regides onde m e se movimenta com velocidade v 30 ms Deter a r ra b r2 r r1 ec rT 11 d Estas mine a densidade superficial de carga sobre a correia solugd6es concordam se r rg eser 11 httpwww fisicaufpbbrjgallas Pagina 13 de 14 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 a Seja Q a carga total contida na camada esférica Para integrar V V2 Sr Eds note que 0 campo Para r re é claro que o potencial V é dado pelo po elétrico E é orientado para fora enquanto que 0 percurso tencial de uma carga puntiforme portanto escolhido de rz até r esta orientado para dentro Note também que ds dr porque quando s aumenta a V QQ distancia até o centro r diminui Portanto levando em 4reor conta a relacao tirada da Eq 8 e a acima citada temos A carga total também pode ser expressa em fungao da densidade de cargas p de seguinte modo Y tan f fafa Q pdV p x volume da camada esférica pir 73 gl Via sala 2 ric 4 3 3 PX gl Substituindo o resultado encontrado anteriormente para Sobre a superficie da camada esférica 0 potencial V V2 na relagao acima encontramos a seguinte resposta calculado acima fornece para o potencial V em fungao de r para a regiao entre T1 e792 Vin 2 F fig 71 2 2 3 Ategr2 3 i v 2 2 TF 3e9 L 2 2 ri b Para determinar o potencial V na regiao entre r e rg conveniente utilizar a Eq 268 Caso vocé deseje obter V em termos da carga total Q da camada esférica basta substituir p por Q usando a Vp Vi J Eds relacdo encontrada entre estas grandezas no item a c Em todos os pontos da cavidade como nao existe Considere um caminho retilineo ligado a um ponto da penhuma carga nesta regido e levando em conta a sime superficie a um ponto situado a uma distancia r do cen tia esférica concluimos que o potencial é constante e tro da esfera Logo integrando a Eq 268 entre estes joual ao potencial na superficie esférica de raio r Em limites encontramos outras palavras concluimos que todo o volume delim r itado pela superficie esférica de raio r é um volume V Vry Eds eqtiipotencial Este potencial comum é igual ao poten r2 cial na superficie esférica de raio r ou seja fazendo Para determinar 0 campo elétrico entre r e rg conve r rj na relacdo encontrada para V encontramos a niente utilizar a Lei de Gauss Construa uma superficie resposta gaussiana esférica de raio igual a r De acordo com a figura indicada na solugao deste problema vemos que Vv Po E existe uma carga total no interior desta superficie Qe L gaussiana esférica Portanto aplicando a Lei de Gauss Caso voce deseje obter V em termos da carga total Q podemos escrever a seguinte relacao ois da camada esférica basta usar a relacgao para ela encon E4nr2 Qi P 5 Voss trada no item a 0 0 d Faga r r2 na expressao para V item b e vocé onde Vesna fepresenta 0 volume da camada esférica que encontrard o potencial na superficie esférica de raio ra contém a carga 1 ou seja vocé encontrara o potencial na superficie ex Portanto podemos escrever a seguinte relagéo para O terna da camada esférica pela relacaio V2 item a Faca modulo do campo eletrico r 11 ha expressdo para V e vocé encontrard o po p 3 3 tencial na superficie esférica de raio 71 ou seja vocé E Beqr2 17 encontrar o resultado Vj item c httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 14 de 14