Lista de Exercícios de Física Básica - Lei de Gauss

LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 Exercıcios Resolvidos de Fısica Basica Jason Alfredo Carlson Gallas professor titular de fısica teorica Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique Alemanha Universidade Federal da Paraıba Joao Pessoa Brasil Departamento de Fısica Baseados na SEXTA edicao do Fundamentos de Fısica Halliday Resnick e Walker Esta e outras listas encontramse em httpwwwfisicaufpbbrjgallas Contents 25 Lei de Gauss 2 251 Questoes 2 252 Problemas e Exercıcios 3 2521 Fluxo do campo eletrico 3 2522 Lei de Gauss 3 2523 Um condutor carregado isolado 4 2524 Lei de Gauss simetria cilındrica 5 2525 Lei de Gauss simetria plana 6 2526 Lei de Gauss simetria esferica 8 ComentariosSugestoes e Erros favor enviar para jasongallas yahoocom sem br no final listaq3tex httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 1 de 11 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 25 Lei de Gauss c Nao O fluxo total s6 depende da carga total no in terior da superficie gaussiana considerada A posiao das cargas nao altera o valor do fluxo total através da superficie gaussiana considerada desde que o o valor 251 Questoes desta carga total nao seja modificado dd Sim Neste caso como a carga total no interior da su perficie gaussiana considerada é nula o fluxo total sera igual a zero e Nao O fluxo total s6 depende da carga total no inte Considere uma superficie gaussiana envolvendo parte rior da superficie gaussiana considerada Colocandose da distribuigao de cargas mostrada na Fig 2522 a4 uma segunda carga fora da superficie gaussiana con Qual das cargas contribui para o campo elétrico no siderada ndo ocorreré nenhuma variagao do fluxo total ponto P b O valor obtido para o fluxo através da su que é determinado apenas pelas cargas internas As perficie circulada usandose apenas os campos elétricos cargas externas produzem um fluxo nulo através da su devidos a qi qz2 seria maior igual ou menor que 0 perficie gaussiana considerada valor obtido usandose 0 campo total Lo f Sim Neste caso como a carga total no interior da superficie gaussiana considerada passa a ser igual a qi Go 0 fluxo total é igual a q q2o Suponha que a carga liquida contida em uma superficie gaussiana seja nula Podemos concluir da lei de Gauss que E é igual a zero em todos os pontos sobre a su a Todas as cargas contribuem para 0 campo Ou perficie E verdadeira a reciproca ou seja se o campo seja o campo devido a todas as cargas b O fluxo to elétrico E em todos os pontos sobre a superficie for tal sempre o mesmo Por estarem fora da gaussiana as Uo a lei de Gauss requer que a carga liquida dentro cargas q3 q4 nao contribuem efetivamente para o fluxo 44 superficie seja nula total uma vez que todo fluxo individual a elas devido p Se a carga total for nula podemos conlcuir que o fluxo entra porém também sai da superficie total sobre a gaussiana zero mas ndo podemos con TTT cluir nada sobre 0 valor de E em cada ponto individual da superficie Para convencerse disto estude o campo gerado por um dipolo sobre uma gaussiana que o en Uma carga puntiforme colocada no centro de uma su yolva O campo E sobre a gaussiana nao precisa ser perficie gaussiana esférica O valor do fluxo mudara homogéneo para a integral sobre a superficie dar zero se a a esfera for substituida por um cubo de mesmo A reciproca é verdadeira pois neste caso a integral sera volume b a superficie for substituida por um cubo de calculada sobre o produto de dois vetores um dois quais volume dez vezes menor c a carga for afastada do identicamente nulo sobre toda a gaussiana centro da esfera original permanecendo entretanto 90 2222AA A A TI seu interior d a carga for removida para fora da esfera original e uma segunda carga for colocada préxima e fora da esfera original f uma segunda carga for Na lei de Gauss colocada dentro da superficie gaussiana 0 EdA4q a Nao O fluxo total s6 depende da carga total no interior da superficie gaussiana considerada A forma 06 campo E é necessariamente devido A carga q da superficie gaussiana considerada nao é relevante Nao O fluxo total através da gaussiana depende b Nao O fluxo total s6 depende da carga total no in do excesso de carga ie da carga naobalanceada nela terior da superficie gaussiana considerada O volume contida O campo elétrico E em cada ponto da su englobado pela superficie gaussiana considerada nao é perficie gaussiana depende de todas as cargas exis relevante tentes internas ou nao O que ocorre é que como httpwww fisicaufpbbrjgallas Pagina 2 de 11 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 demonstrado no Exemplo 251 do livro texto o fluxo p Usando a Eq 9 encontramos o fluxo através da su total devido a qualquer carga externa sera sempre zero perficie gaussiana fechada considerada que no caso pois todo campo que entra na gaussiana também ira deste exercicio um cubo sair da gaussiana Reveja os dois paragrafos abaixo da Eq 258 EE br EdA 1 0 252 Problemas e Exercicios 18 x 10 885 x 1012 C2N m 203 x 10NmC 2521 Fluxo do campo elétrico A superficie quadrada da Fig 2524 tem 32 mm de Determinouse experimentalmente que o campo elétri lado Ela esta imersa num campo elétrico uniforme com o numa certa regido da atmosfera terrestre esta dirigido E 1800 NC As linhas do campo formam um angulo yerticalmente para baixo Numa altitude de 300 m o de 35 com a normal apontando para fora como campo tem mddulo de 60 NC enquanto que a 200 o mostrado Calcular o fluxo através da superficie campo vale 100 NC Determine a carga liquida contida num cubo de 100 m de aresta com as faces horizontais Em todos os pontos da superficie o médulo do campo nas altitudes de 200 e 300 m Despreze a curvatura da elétrico vale 1800 NC e 0 angulo 0 entre Ee anormal Terra da superficie dA é dado por 0 180 35 145 Note que o fluxo est4 definido tanto para superficies Chamemos de A a d4rea de uma face do cubo EF abertas quanto fechadas Seja a superficie como for a a magnitude do campo na face superior e EH a magni integral deve ser sempre computada sobre ela Portanto tude na face inferior Como o campo aponta para baixo o fluxo através da face superior é negativo pois en op EdA tra no cubo enquanto que o fluxo na face inferior é EO we positivo O fluxo através das outras faces é zero de modo que o fluxo total através da superficie do cubo Je cos 6 dA é AE E A carga liquida pode agora ser determinada facilmente com a lei de Gauss EAcosé 1800 NC00032 m cos 145 qeo AE Es 354x 107C Note que o objetivo desta questao é relembrar como 354 fazer corretamente um produto escalar antes de medir o angulo entre os vetores é preciso que certificarse que ambos estejam aplicados ao mesmo ponto ou seja que ambas flechas partam de um mesmo ponto no espaco e nao que um vetor parta da ponta do outro como quando fazemos sua soma Uma carga puntiforme g é colocada em um dos vértices de um cubo de aresta a Qual é o valor do fluxo através de cada uma das faces do cubo Sugestdo Use a lei de 2522 Lei de Gauss Gauss e os argumentos de simetria Considere um sistema de referéncia Cartesiano X Y Z no espago centrado na carga q e sobre tal sistema Uma carga puntiforme de 18 jC encontrase no centro coloque o cubo de modo a ter trés de suas arestas al de uma superficie gaussiana cubica de 55 cm de aresta inhadas com os eixos indo de 000 até os pontos Calcule o valor através desta superficie a 00 0 a 0 e 00 a httpwww fisicaufpbbrjgallas Pagina 3 de 11 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 Usando a lei de Gauss O fluxo elétrico sobre cada uma Devido a simetria percebemos que o fluxo sobre cada das trés faces que esto sobre os planos XY XZe YZ um dos 8 cubos é sempre 0 mesmo e que portanto o é igual a zero pois sobre elas os vetores E e dA sao fluxo sobre um cubo vale ortogonais ie seu produto escalar é nulo o Como se pode perceber da simetria do problema o fluxo total 1 elétrico sobre cada uma das trés faces restantes é exata 8 Seo mente o mesmo Portanto para determinar o fluxo to que em particular é 0 fluxo sobre o cubo do problema tal basta calcular o fluxo sobre uma qualquer destas trés em questio Simples e bonito néo faces multiplicandose tal resultado por trés Para tanto consideremos a face superior do cubo paralela ao plano XY e sobre ela um elemento de area dA daxdy Para 2523 Um condutor carregado isolado qualquer ponto P sobre esta face o médulo do campo elétrico é l gq 1 q Uma esfera condutora uniformemente carregada de 12 E 4no pr 4no taety m de diametro possui uma densidade superficial de carga de 81 jsCm a Determine a carga sobre a es Chamando de o Angulo que a direcéo do campo fera b Qual é 0 valor do fluxo elétrico total que esté elétrico em P faz com 0 eixo Z percebemos que este deixando a superficie da esfera angulo coincide com o angulo entre a normal A e Ee 2 eee a A carga sobre a esfera sera ainda que cos 6 ar Portanto o fluxo elétrico é dado pela seguinte integral qo0Ao Arr 366 x 10 C 366 LC Pface fe dA b De acordo com a lei de Gauss o fluxo é dado por Be080 ae dy op 414x 10 Nm 0 aq a e daxdy Oe Ameg Jo Jo a2 2 y32 Observe que a integral é sobre uma superficie aberta Um condutor isolado de forma arbitraria possui uma pois corresponde ao fluxo parcial devido a uma das carga total de 10 x 107 C Dentro do condutor ex arestas apenas Integrando em relagao aze depois in iste uma cavidade oca no interior da qual ha uma carga tegrando em relacao a y com auxilio das integrais dadas puntiforme g 3 x 10 C Qual é a carga a sobre no Apéndice G encontramos o fluxo elétrico sobre a parede da cavidade e b sobre a superficie externa da face em questaéo como sendo dado por condutor q a O desenho abaixo ilustra a situacdo proposta no face Men problema Portanto o fluxo total sobre todo 0 cubo é q 30face 8e0 Usando argumentos de simetria E a maneira mais simples de obter a resposta pois prescinde da necessi dade da calcular a integral dupla Porém requer maior maturidade na matéria Observando a figura do prob lema vemos que colocandose 8 cubos idénticos ao re id ici 5 Ivend dor da carga q poderemos usar a lei de Gauss para de Consi ere uma superticie Baussiana 2 envorvence 3 terminar que o fluxo total através dos 8 cubos é dado cavidade do condutor A carga q encontrase no inte por rior da cavidade e seja Q a carga induzida na superficie q interna da cavidade do condutor Lembre que o campo total 0 elétrico F no interior da parte macia de um condutor é httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 4 de 11 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 sempre igual a zero Aplicando a lei de Gauss encon SSS tramos P 2524 on EdA qQ1 0 Como E 0 devemos ter Qie9 0 ou seja Use uma superficie Gaussiana A cilindrica de raio r que e comprimento unitdrio concéntrica com ambos cilin Q1 q 30 nC dros Entao a lei de Gauss fornecenos b Como a carga total do condutor é de 10 wC vemos que a carga Q2 sobre a superficie externa da condutor EdA 2nrE dentro devera ser de A E0 Q2 10Q 10 3 18 HC de onde obtemos 2524 Lei de Gauss simetria cilindrica E dentro ee 2TE0r E 2521 Uma linha infinita de cargas produz um campo de 45 x 4 eA 10 NC a uma distancia de 2 m Calcule a densidade a Para r a acarga dentro é zero e portanto E 0 linear de carga sobre a linha Usando a expresso para 0 campo devido auma linha b Paraa r bacarga dentro é A de modo que de cargas FE X2me9r Eq 2514 encontramos facilmente que d E IF 2TEor A 2ne9rE 501 pCm P 2523 Use uma superficie Gaussiana A cilfndrica de raio re comprimento unitario concéntrica com o tubo metalico P 2526 Entao por simetria EdA 2rrE dentro A Fig 2532 mostra um contador de Geiger dispos A Eo itivo usado para detectar radiagAo ionizante radiagao que causa a ionizacgao de atomos O contador consiste a Parar R temos dgentro A de modo que em um fio central fino carregado positivamente cir r cundado por um cilindro condutor circular concéntrico B Qnreo com uma carga igual negativa Desse modo um forte oo campo elétrico radial é criado no interior do cilindro O b Para r FR a carga dentro zero o que implica Gijindro contém um gas inerte a baixa pressao Quando termos uma particula de radiacdo entra no dispositivo através B0 da parede do cilindro ioniza alguns atomos do gas Os elétrons livres resultantes sao atraidos para o fio Para podermos fixar a escala vertical da figura pre positivo Entretanto o campo elétrico é téo intenso cisamos determinar o valor numérico do campo no que entre as colisOes com outros atomos do gas os ponto de transicao R 3 cm elétrons livres ganham energia suficiente para ioniza d los também Criamse assim mais elétrons livres pro E cesso que se repete até os elétrons alcangarem o fio A 2TrEg 66 A 4 20x 108 avalanche de elétrons é coletada pelo fio gerando um sinal usado para registrar a passagem da particula de 2m 0030 885 x LO radiagado Suponha que o raio do fio central seja de 25 12x 10NC jum 0 raio do cilindro seja de 14 cm o comprimento do httpwww fisicaufpbbrjgallas Pagina 5 de 11 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 tubo seja de 16 cm Se o campo eletrico na parede in terna do cilindro for de 29 104 NC qual sera a carga total positiva sobre o fio central O campo eletrico e radial e aponta para fora do fio central Desejamos descobrir sua magnitude na regiao entre o fio e o cilindro em funcao da distˆancia r a par tir do fio Para tanto usamos uma superfıcia Gaussiana com a forma de um cilindro com raio r e comprimento ℓ concˆentrica com o fio O raio e maior do que o raio do fio e menor do que o raio interno da parede cilındrica Apenas a carga sobre o fio esta localizada dentro da su perfıcie Gaussiana Chamemola de q A area da superfıcie arredondada da Gaussiana cilındrica e 2πrℓ e o fluxo atraves dela e Φ 2πrℓE Se desprezarmos o fluxo atraves das extremidades do cilindro entao o Φ sera o fluxo total e a lei de Gauss nos fornece q 2πϵ0rℓE Como a magnitude do campo na parede do cilindro e conhecida suponha que a superfıcie Gaussiana seja coincidente com a parede Neste caso r e o raio da parede e q 2π885 1012001401629 104 36 109 C P 2530 Uma carga esta uniformemente distribuida atraves do volume de um cilindro infinitamente longo de raio R a Mostre que E a uma distˆancia r do eixo do cilindro r R e dado por E ρr 2ϵ0 onde ρ e a densidade volumetrica de carga b Escreva uma expressao para E a uma distˆancia r R a O cırculo cheio no diagrama abaixo mostra a seccao reta do cilindro carregado enquanto que o cırculo tracejado corresponde a seccao reta de uma su perfıcie Gaussiana de forma cilındrica concˆentrica com o cilindro de carga e tendo raio r e comprimento ℓ Queremos usar a lei de Gauss para encontrar uma ex pressao para a magnitude do campo eletrico sobre a su perfıcie Gaussiana A carga dentro da Gaussiana cilındrica e q ρV ρ πr2ℓ onde V πr2ℓ e o volume do cilindro Se ρ e positivo as linhas de campo eletrico apontam radialmente para fora sao normais a superfıcie arredondada do cilindro e estao distribuidas uniformemente sobre ela Nenhum fluxo atravessa as bases da Gaussiana Portanto o fluxo total atraves da Gaussiana e Φ E A 2πRℓE onde A aπrℓ e a area da porcao arredondada da Gaussiana A lei de Gauss ϵ0Φ q nos fornece entao 2πϵ0rℓE πr2ℓρ de onde tirase facilmente que E ρr 2ϵ0 b neste caso consideramos a Gaussiana como sendo um cilindro de comprimento ℓ e com raio r maior que R O fluxo e novamente Φ 2πrℓE A carga dentro da Gaussiana e a carga total numa seccao do cilindro car regado com comprimento ℓ Ou seja q πR2ℓρ A lei de Gauss nos fornece entao 2πϵ0rℓE πR2ℓρ de modo que o campo desejado e dado por E R2ρ 2ϵ0r Observe que os valores dados pelas duas expressoes co incidem para r R como era de se esperar Um grafico da variacao de E em funcao de r e bastante semelhante ao mostrado na Fig 2521 porem apresen tando para r R um decaimento proporcional a 1r em vez de 1r2 como na Fig 2521 2525 Lei de Gauss simetria plana E 2532 Uma placa metalica quadrada de 8 cm de lado e espes sura desprezıvel tem uma carga total de de 6 106 C a Estime o modulo de E do campo eletrico localizado imediatamente fora do centro da placa a uma distˆancia digamos de 05 mm supondo que a carga esteja uni formemente distribuida sobre as duas faces da placa b Estime o valor do campo a uma distˆancia de 30 m rel ativamente grande comparada ao tamanho da placa supondo que a placa seja uma carga puntiforme a Para calcular o campo eletrico num ponto muito perto do centro de uma placa condutora uniformemente carregada e razoavel substituirmos a placa finita por httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 6 de 11 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 uma placa infinita contendo a mesma densidade su perficial de carga e considerar a magnitude do campo como sendo E σϵ0 onde σ e a densidade de carga da superfıcie sob o ponto considerado A carga esta distribuida uniformemente sobre ambas faces da placa original metade dela estando perto do ponto consider ado Portanto σ q 2A 6 106 20082 469 104 Cm2 A magnitude do campo e E σ ϵ0 469 104 885 1012 530 107 NC b Para uma distˆancia grande da placa o campo eletrico sera aproximadamente o mesmo que o produzido por uma partıcula puntiforme com carga igual a carga to tal sobre a placa A magnitude de tal campo e E q4πϵ0r2 onde r e a distˆancia a placa Portanto E 9 1096 106 302 60 NC P 2534 Na Fig 2536 uma pequena bola naocondutora de massa 1 mg e carga q 2 108 C uniformemente distribuida esta suspensa por um fio isolante que faz um ˆangulo θ 30o com uma chapa naocondutora ver tical uniformemente carregada Considerando o peso da bola e supondo a chapa extensa calcule a densidade superficial de carga σ da chapa Trˆes forcas atuam na pequena bola i uma forca gravitacional de magnitude mg onde m e a massa da bola atua na vertical de cima para baixo ii uma forca eletrica de magnitude qE atua perpendicularmente ao plano afastandose dele e iii e a tensao T no fio at uando ao longo dele apontando para cima e fazendo um ˆangulo θ 30o com a vertical Como a bola esta em equilıbrio a forca total resul tante sobre ela deve ser nula fornecendonos duas equacoes soma das componentes verticais e horizontais das forcas respectivamente T cos θ mg 0 Σ vertical qE Tsen θ 0 Σ horizontal Substituindose T qEsen θ tirado da segunda equacao na primeira obtemos qE mg tan θ O campo eletrico por um plano grande e uniforme de cargas e dado por E σ2ϵ0 onde σ e a densidade superficial de carga Portanto temos qσ 2ϵ0 mg tan θ de onde se extrai facilmente que σ 2ϵ0mg tan θ q 2885 10121 10698 tan 30o 2 108 C 50 109 Cm2 P 2535 Um eletron e projetado diretamente sobre o centro de uma grande placa metalica carregada negativamente com uma densidade superficial de carga de modulo 2106 Cm2 Sabendose que a energia cinetica inicial do eletron e de 100 eV e que ele para devido a repulsao eletrostatica imediatamente antes de alcancar a placa a que distˆancia da placa ele foi lancado A carga negativa sobre a placa metalica exerce uma forca de repulsao sobre o eletron desacelerandoo e parandoo imediatamente antes dele tocar na superfıcie da placa Primeiramente vamos determinar uma expressao para a aceleracao do eletron usando entao a cinematica para determinar a distˆancia de paragem Consideremos a direcao inicial do movimento do eltron como sendo pos itiva Neste caso o campo eletrico e dado por E σϵ0 onde σ e a densidade superficial de carga na placa A forca sobre o eletron e F eE eσϵ0 e a aceleracao e a F m eσ ϵ0m onde m e a massa do eletron A forca e constante de modo que podemos usar as formulas para aceleracao constante Chamando de v0 a velocidade inicial do eletron v sua velocidade final e x a distˆancia viajada entre as posicoes inicial e final temos que v2 v2 0 2ax Substituindose v 0 e a eσϵ0m nesta expressao e resolvendoa para x encontramos x v2 0 2a ϵ0mv2 0 2eσ ϵ0K0 eσ onde K0 mv2 02 e a energia cinetica inicial Antes de aplicar a formula e preciso converter o valor dado de K0 para joules Do apˆendice F do livro tiramos httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 7 de 11 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 que leV 160 x 10 J donde 100 eV 160 x Portanto aplicando a lei de Gauss para a superficie con 107 J Portanto siderada encontramos facilmente a seguinte resposta 885 x 1071160 x 10717 pa OO 160 x 10192 x 10 0 44x 1074 m b Construa novamente uma superficie gaussiana cilin SCs rics conten toda a chapa isto é construa novamente uma superficie semelhante a gaussiana cilindrica S indi cada na figura da solugao deste problema onde agora Uma chapa plana de espessura d tem uma densidade grea da base A esta situada a uma distancia x d2 volumétrica de carga igual a p Determine 0 médulo go plano central x 0 De acordo com a figura vemos do campo elétrico em todos os pontos do espago tanto facijmente que neste caso temos a dentro como b fora da chapa em termos de x a distancia medida a partir do plano central da chapa dint pAd Suponha que a carga total esteja uniformemente portanto aplicando a lei de Gauss para a superficie distribuida ao longo da chapa Considerando uma area gayssiana cilindrica considerada encontramos facil muito grande ou melhor para pontos proximos do cen mente a seguinte resposta tro da chapa podemos imaginar que o campo elétrico possua uma direAo ortogonal ao plano da superficie ex E pa terna da placa a simetria desta chapa uniformemente 20 carregada indica que o médulo do campo varia com a distancia x No centro da chapa a simetria do prob lema indica que o campo elétrico deve ser nulo ou seja 2526 Lei de Gauss simetria esférica E 0 para x 0 Na figura da solugao deste prob 2427HYNYSNLWHY lema mostramos uma superficie gaussiana cilindrica S cujas bases sao paralelas as faces da chapa Uma esfera condutora de 10 cm da raio possui uma carga de valor desconhecido Sabendose que 0 campo elétrico 4 distancia de 15 cm do centro da esfera tem modulo igual a 3 x 10 NC e aponta radialmente para dentro qual é carga liquida sobre a esfera A carga esta distribuida uniformemente sobre a su perficie da esfera e 0 campo elétrico que ela produz em pontos fora da esfera como o campo de uma particula puntiforme com carga igual a carga total so Seja A a area da base desta superficie gaussiana S bre a esfera Ou seja a magnitude do campo é dado por Como as duas bases da superficie gaussiana cilindrica fF q4neor2 onde q é magnitude da carga sobre a S estado igualmente afastadas do plano central x Oe egfera e r é a distancia a partir do centro da esfera ao lembrando que o vetor E é ortogonal ao vetor dA na su ponto onde o campo é medido Portanto temos perficie lateral da superficie gaussiana cilindrica 5S con cluimos que 0 fluxo total através da superficie gaussiana q4neor E 0153 x 10 75x10C cilindrica S é dado por 9 x 109 Como campo aponta para dentro em direcAo a esfera a PE fe dA 2HA carga sobre a estera é nepativa 75 x 109 C onde E é 0 mdédulo do campo elétrico a uma distancia x do plano central x 0 A carga q englobada no inte rior da superficie gaussiana cilindrica S é dada pelainte a O fluxo continuaria a ser 750 NmC pois ele gral de p dV no volume situado no interior da superficie depende apenas da carga contida na Gaussiana gaussiana cilindrica S Como a densidade de carga p b A carga lfquida é constante a carga total no interior da superficie S é dada por q 0 dint p2aA 885 x 107750 664 x 107C httpwwwfisicaufpbbrjgallas Pagina 8 de 11 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 Cr a OUtra de raio R a carga negativa dentro da Gaus FE 2542 siana nada mais é do que Ze r R Com isto tudo a carga total dentro da Gaussiana é Ze ZerR a Parar R temos E 0 veja Eq 2518 A lei de Gauss nos fornece entéo sem problemas que b Para r um pouco maior de Ff temos 3 r pe lq 4neorB Ze1 3 Anegr2 ss Arreg R de onde tiramos facilmente que realmente 899 x 10920 x 107 4 7 025 pa Ze 1 oor 29x 10NIC dnegr RB c Para r R temos aproveitando o calculo do item anterior P 2547 E loq Uma casca esférica fina e descarregada tem uma carga Areg r puntiforme qg no centro Deduza expressdes para o 0252 campo elétrico a no interior da casca e b fora da 29x 104 casca usando a lei de Gauss c A casca tem algum efeito sobre o campo criado por q d A presenca da 20NIC carga q tem alguma influéncia sobre a distribuiao de sSsSsSsSsSsSsmsFsFSFSFSFSFSFSFSSSSCcargas sobre a casca e Se uma segunda carga pun E 2545 tiforme for colocada do lado de fora da casca ela sofrera a acao de alguma forca f A carga interna sofre a acao Num trabalho escrito em 191 1 Ernest Rutherford disse go alguma forca g Existe alguma contradicdo com a Para se ter alguma idéia das forgas necessarias para tercejra lei de Newton Justifique sua resposta desviar uma particula a através de um grande Angulo considere um atomo contendo uma carga puntiforme positive Ze no seu centroo e circundada por uma COMPLETAR distribuigdo de eletricidade negativa Ze uniforme mente distribuida dentro de uma esfera de raio R O P 2548 campo elétrico E a uma distancia r do centro para P P A Fig 2538 mostra uma esfera de raio a e carga um ponto dentro do atmo é ve q uniformemente distribuida através de seu volume Ze 1 ry concéntrica com uma casca esférica condutora de raio B Are S a interno be raio externo c A casca tem uma carga liquida de q Determine express6es para 0 campo elétrico em Verifique esta expressao funcao do raio r nas seguintes localizagées a den Usamos primeiramente a lei de Gauss para encontrar tro da esfera r a b entre a esfera e a casca uma expressio para a magnitude do campo elétricoa 7 b cnointeriordacascabjrjc d fora uma distancia r do centro do dtomo O campo aponta 4a casca r c Quais sao as cargas sobre as su radialmente para fora e é uniforme sobre qualquer es perficies interna e externa da casca fera concéntrica com o atomo Escolha uma superficie p Para comegar em todos pontos onde existe campo Gaussiana esférica de raio r com seu centro no centro cpa elétrico ele aponta radialmente para fora Em cada parte do atomo d es o problema escolheremos uma superficie Gaussiana Chamandose de a magnitude do campo entao o ot Aan tact 5 esférica e concéntrica com a esfera de carga q e que fluxo total através da Gaussiana é 4rrL A carga a passe pelo ponto onde desejamos determinar 0 campo contida na Gaussiana é a soma da carga positiva no cen cpa Zoe elétrico Como o campo é uniforme sobre toda a su tro com e parte da carga negativa que esta dentro da ys perficie das Gaussianas temos sempre que qualquer Gaussiana Uma vez que a carga negativa é suposta estar oo que seja o raio r da Gaussiana em questao uniformemente distribuida numa esfera de raio R pode mos computar a carga negativa dentro da Gaussiana us 5 EdA 4nregrE ando a razao dos volumes das duas esferas uma de raio 0 httpwww fisicaufpbbrjgallas Pagina 9 de 11 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 a Aqui temos r ae a carga dentro da superficie uma esfera carregada de raio r 1 cm Calcule o valor Gaussiana é qra A lei de Gauss fornecenos da carga sobre a esfera a q r 3 O proton esta em movimento circular uniforme man 9 a tido pela forga elétrica da carga na esfera que funciona como forga centripeta De acordo com a segunda lei donde tiramos que de Newton para um movimento circular uniforme sabe qr mos que F mv r onde F é a magnitude da forga B Arey a3 v a velocidade do préton e r 0 raio da sua 6rbita essencialmente 0 mesmo que 0 raio da esfera b Agora temos a r 6 com a carga dentro da A magnitude da forga elétrica sobre 0 préton é F Gaussiana sendo q Portanto a lei de Gauss aqui nos eq47e9r7 onde q é a magnitude da carga sobre a es diz que fera Portanto quando F F temos An r EB 4 0 1 qe mv de modo que Areo re Pp Arey r de modo que a carga procurada sera dada por c Como a casca é condutora é muito facil saberse o 2 vas Anegmur campo elétrico dentro dela q E0 167 x 102 kg3 x 10 ms001 m 7 9 x 109 N mC160 x 1019 C d Fora da casca ie para rr c a carga total dentro da 104nC superficie Gaussiana é zero e conseqiientemente neste caso a lei de Gauss nos diz que ae Na Fig 2541 uma casca esférica néocondutora com e Tomemos uma superficie Gaussiana localizada den raio interno a e raio externo b tem uma densidade tro da casca condutora Como 0 campo elétrico zero volumétrica de carga dada por p Ar onde A é con sobre toda suprficie temos que stante e r a dist4ncia ao centro da casca Além disso uma carga puntiforme q esta localizada no centro Qual 6 EdA0 deve ser 0 valor de A para que 0 campo elétrico na casca a r b tenha médulo constante Sugestao A de e de acordo com a lei de Gauss a carga liquida dentro Pende de a mas nao de b da superficie é zero Em outras palavras chamando de O probl d determi a carga sobre a superficie interna da casca a lei de Pro on Pees para Ceremminar una EXPressao para o campo elétrico dentro da casca em termos de A e Gauss nos diz que devemos ter q Qi 0 ou seja da distancia ao centro da casca e a seguir determinar Q 4 o valor de A de modo que tal campo nao dependa da distancia Chamando agora de Q a carga na superficie externa da Para comecar vamos escolher uma Gaussiana esférica casca e sabendo que a casca tem uma carga liquida de de raio r concéntrica com a casca esférica e localizada gq dado do problema vemos que é necessfrio terse dentro da casca ie coma rg 6b Usando a lei que Q Qe gq 0 que implica termos de Gauss podemos determinar a magnitude do campo elétrico a uma distancia r a partir do centro Qe qQi q q 9 A carga contida somente sobre a casca dentro da Gaus siana é obtida através da integral g p dV calculada sobre a porgao da casca carregada que esta dentro da Gaussiana Um proton descreve um movimento circular com veloci Como a distribuigéo de carga tem simetria esférica dade v 3 x 10 ms ao redor e imediatamente fora de podemos escolher dV como sendo o volume de uma httpwww fisicaufpbbrjgallas Pagina 10 de 11 LISTA 3 Prof Jason Gallas DFUFPB 10 de Junho de 2013 as 1820 casca esférica de raio r e largura infinitesimal dr o que Suponha que uma carga q fique em equilfbrio estavel dos fornece dV 4rrdr Portanto temos ao ser colocada num certo ponto P num campo elétrico rg E Desenhe uma superficie Gaussiana esférica em torno de 4 pr dr de P imagine como E deve estar apontando sobre esta a superficie e aplique a lei de Gauss para mostrar que a Ay suposiao de equilibrio estdvel leva a uma contradigao 4n 7 dr Esse resultado conhecido pelo nome de Teorema de rg Earnshaw 4A r dr Suponha que nao exista carga na vizinhaa mais ime Qn Ars a diata de q mas que a carga q esteja em equilibrio de vido a resultante de forgas provenientes de cargas em Assim a carga total dentro da superficie Gaussiana é outras posicdes O campo elétrico na posicaio P de g d4deq2n Ar a zero mas q ira sentir uma forga elétrica caso ela venha a afastarse do ponto P O que precisamos mostrar é O campo elétrico é radial de modo que o fluxo através que impossivel construirse em torno de P um campo da superficie Gaussiana é 4nr E onde Eéamag elétrico resultante que em todas diregdes do espago nitude do campo Aplicando agora a lei de Gauss obte Consiga empurrar q de volta para o ponto P quando mos ela deste ponto afastarse 4negEr qr 2 Ars a Suponha que gq esteja em P e envolvaa com uma su de onde tiramos perficie Gaussiana esférica extremamente pequena cen trada em P Desloque entaéo gq de P para algum ponto E 27A nfo sobre a esfera Gaussiana Se uma forca elétrica con Are re r2 seguir empurrar q de volta devera existir um campo i elétrico apontando para dentro da superficie Se um Para que 0 campo seja indep endente de rg devemos es campo elétrico empurrar q em diregéo a P nao impor colher A de modo a que 0 primeiro e o ultimo termo tando onde isto ocorra sobre a superficie entéo devera entre colchetes se cancelem Isto ocorre se tivermos ay ictir um campo elétrico que aponte para dentro em to q 2Aa 0 ou seja para dos pontos da superficie O fluxo liquido através da su A qd perficie nao sera zero e de acordo com alei de Gauss Ona deve existir carga dentro da superficie Gaussiana 0 que é uma contradigao Concluimos pois que 0 campo at quando entao teremos para a magnitude do campo uando numa carga nao pode empurrala de volta a P A q para todos deslocamentos possiveis e que portanto a B 29 Area carga nao pode estar em equilibrio estavel Se existirem locais sobre a superficie Gaussiana onde o x campo elétrico aponte para dentro e empurre gq de volta para sua posicao original entao deverao existir sobre a Mostre que 0 equilibrio estavel é impossivel se as Gnicas superficie outros pontos onde o campo aponte para fora forcas atuantes forem forgas eletrostaticas Sugestdo e empurre gq para fora da sua posicAo original httpwww fisicaufpbbrjgallas Pagina 11 de 11