Linhas de Transmissao - Equacoes e Conceitos Essenciais

DISCIPLINA ONDAS GUIADAS CAPÍTULO 3 LINHAS DE TRANSMISSÃO MÓDULO 2 Prof Dr Vilson Luiz Coelho Disciplina Ondas Guiadas ApresentaçãoIntrodução Capítulo 1 Revisão de Conceitos Capítulo 2 Propagação de Ondas EM Capítulo 3 Linhas de Transmissão Módulo 1 31 Conceitos Básicos Módulo 2 32 Equações das Linhas de Transmissão Módulo 3 33 Dimensões Elétricas 34 Parâmetros das Linhas de Transmissão 35 Casos especiais Módulo 4 36 Casamento de Impedância Módulo 5 Exemplos de Aplicação e Exercícios 32 Equações das Linhas de Transmissão Considerando lD a e Regime Permanente Harmônico l comprimento da linha D espaçamento entre condutores a raio do condutor 3 Dz z S Meio μ Condutor μ H El ED 𝐸𝐷 𝑄 2𝜋𝜀 𝑟𝑧 onde Q é a carga em Coulomb C 𝐻 𝐼 2𝜋 𝑟 El z t V z t z t V V z z D l J I E S 32 Equações das Linhas de Transmissão Aplicando Lei de Faraday considerando LI onde L é a indutância cte 4 Dz z z t z t V V z z D z t V S Meio μ Condutor μ H El ED El z t l l z t z t z t z t V V E z V z E z z t D D D onde fluxo concatenado d t cE l 2 z t z t l z z t V I E z z L z t D D D 2 2 z R z t l z t l z t l z t I I z E E E z I S S S D D D 32 Equações das Linhas de Transmissão Então Dividindo todos os termos por Dz Portanto 5 Dz z z t z t V V z z D z t V S Meio μ Condutor μ H El ED El z t z t z t V I R I L z t 321 R m Resistência série por unidade de comprimento L Hm Indutância série por unidade de comprimento z t z t z z z t V I I R z L z t D D D m m R L H z t z t z z z t V I R L z I z z z z t D D D D D D Dz 2a D 32 Equações das Linhas de Transmissão Considerando lDa Equação da continuidade Elétrica Considerandose que existe um campo Elétrico divergente no dielétrico podese considerar também uma corrente elétrica pelo meio dielétrico 6 z t I z t z t I I z z D ED D D D D D D D D D D J I E I S E S Meio μ D D a V d E l 1 ou onde G condutância D D G R D D D S I V D z D z t z t I G V D De forma simplificada ou D D V V E D E D S V dQ ds dt J 32 Equações das Linhas de Transmissão Aplicando a equação da continuidade elétrica Considerando Qzt CVzt e dividindo todos os termos por Dz 7 z t I z t z t I I z z D z t z t z z t z t z t I Q I G V I z z t D D S V dQ ds dt J C Fm Capacitância em paralelo por unidade de comprimento G Sm Condutância em paralelo por unidade de comprimento z t I Dz 322 z t z t z t I V G V C z t z t z t z z t I Q G V z z t D D Sm Fm G C z t z t z z z t I V G C V z z z t D D D D 32 Equações das Linhas de Transmissão Modelo de Linha de Transmissão Supondo variação harmônica no tempo 8 Dz L R G C 321 z t z t z t V I R I L z t 322 z t z t z t I V G V C z t t j S t j S e z I z t I e z V z t V Re Re Acoplados Função de z S S S S S S dV R j L I dz I eV dI G j C V dz 323 324 Modelo de linhas de Transmissão 9 l L R G C AC Rg Zc R m Resistência série por unidade de comprimento representativa das perdas nos condutores da linha L Hm Indutância série por unidade de comprimento representativa da energia na linha C Fm Capacitância em paralelo por unidade de comprimento representativa da energia na linha G Sm Condutância em paralelo por unidade de comprimento representativa das perdas no dielétrico da linha 32 Equações das Linhas de Transmissão Solução das equações diferenciais 10 S S V j C G j L R dz d V 2 2 2 2 2 0 S S d V V dz 325a 2 2 2 0 S S d I I dz 325b j R j L G j C 326 2 v f Idem para Equações de onda para a tensão e corrente O comprimento e a velocidade da onda 𝑑𝑉𝑆 𝑑𝑧 𝑅 𝑗𝜔𝐿 𝐼𝑆 𝑑𝐼𝑆 𝑑𝑧 𝐺 𝑗𝜔𝐶 𝑉𝑆 2 2 S S d V dI R j L dz dz 32 Equações das Linhas de Transmissão Solução das equações diferenciais 0 2 2 2 S S V dz d V 0 2 2 2 S S I dz d I Idem para 0 0 Z Z z z VS z V e V e 327a 0 0 Z Z z z SI z I e I e 327b 0 0 0 0 z I I z V V S S 0 0 0 0 0 0 V V V I I I 0 0 Considerando e z z S S S dV V z V e V e R j L I dz 0 0 0 0 z z z z R j L V e V e I e I e 0 0 0 0 Então e z z z z R j L R j L V e I e V e I e 0 0 0 0 o R j L V V R j L Z I I G j C 328 Zo Impedância característica da linha 0 0 z z S S dV V e V e R j L I dz 32 Equações das Linhas de Transmissão 32 Equações das Linhas de Transmissão Solução das equações diferenciais Considerando e temse Fazendose as substituições De forma similar considerandose l o comprimento da linha Temse 0 0 0 0 o V V Z I I 0 0 0 0 0 V V I Z Z 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 V V Z I V V Z I 329a 329b 0 0 0 0 S O O S O O V V z V V I I z I I e C S C S V V z l I I z l 0 0 0 0 1 2 1 2 l C C l C C V V Z I e V V Z I e 3210a 3210b 32 Equações das Linhas de Transmissão Forma hiperbólica das equações Considerando e temse Fazendose as substituições Considerandose z l temse Isolandose V0 e I0 nas equações anteriores Impedância de entrada e C S C S V V z l I I z l x x e x x e x x sinh cosh sinh cosh 1 2 1 2 cosh sinh A x A A x A A x 0 0 0 0 cosh sinh VS z V V z V V z 0 0 0 0 cosh sinh SI z I I z I I z 0 0 0 0 0 0 cosh sinh sinh cosh S S V z V z I Z z V I z z I z Z 3211 3212 Tensão e corrente em qualquer ponto da linha 0 0 0 0 cosh sinh sinh cosh C C C C V V l I Z l V I l I l Z 3213 3214 Tensão e corrente na fonte em função da carga da linha 0 0 0 0 0 0 tanh ou tanh S C in in S C z V z V Z Z l Z Z Z I z I Z Z l 3215 Identidade de Euler relaciona função trigonométrica com exponencial 32 Equações das Linhas de Transmissão Coeficiente de Reflexão na Carga O coeficiente de reflexão de tensão na carga é a razão entre a onda refletida e a onda incidente Considerando as equações 329 e 3210 e que a tensão na carga é igual ao produto de ZC por IC O coeficiente de reflexão de corrente é igual ao coeficiente de reflexão de tensão porém com sinal negativo Potência Média a uma distância qualquer As linhas de transmissão são utilizadas para transmitir potência entre uma fonte e uma carga Da mesma forma que para as ondas planas uniformes a equação da potência média é Atenção especial deve ser dada ao fator ½ Isto ocorre porque neste caso consideramse os valores de pico ao invés dos valores eficazes rms A potência média em função do coeficiente de reflexão é 0 0 3216 C C C Z Z Z Z 1 Re 3217a 2 médio S S P z V z I z 0 0 l C l V e V e 2 2 0 0 1 1 3217b 2 médio V P Z 32 Equações das Linhas de Transmissão radm j R j L G j C 𝑍𝑜 𝑅 𝑗𝜔𝐿 𝐺 𝑗𝜔𝐶 Ω 𝑍𝑖𝑛 𝑍0 𝑍𝐶𝑍0tanh𝛾𝑙 𝑍0𝑍𝐶tanh𝛾𝑙 2 m ms v f 0 0 0 0 0 0 cosh sinh sinh cosh S S V z V z I Z z V I z z I z Z Tensão e corrente em qualquer ponto da linha 0 0 0 0 cosh sinh sinh cosh C C C C V V l I Z l V I l I l Z Tensão e corrente na fonte em função da carga da linha VG ZC ZG IC Io Vo VC Zo Zin z l 0 0 0 3218 3219 in G in G G in G Z V V Z Z V I Z Z 32 Equações das Linhas de Transmissão Exemplo 32 O circuito ao lado representa uma antena externa de TV fornecendo um sinal 100 MHz a um aparelho televisor através de uma linha de transmissão de 2 m A impedância de entrada do televisor é de 300 e a impedância da linha de transmissão é de 300 A velocidade de propagação na linha é 25 x 108 ms Considerando a linha sem perdas calcule a tensão e a corrente no televisor 060 mV 100MHz Zg 300 Zo 300 Zc 300 Vo Io 2m 32 Equações das Linhas de Transmissão Exemplo 31 Solução 060 mV 100MHz Zg 300 Zo 300 Zc 300 Vo Io 2m 8 300 0 25 10 ms Zo j v 8 8 2 10 se 2513 radm 25 10 v 0 0 3218 3219 in G in G G in G Z V V Z Z V I Z Z 0 0 0 tanh 300 300tanh 300 300 tanh 300 300tanh C in C Z Z l l Z Z Z Z l l 3 0 300 06 10 03 300 300 V mV 3 0 06 10 1 300 300 I A 32 Equações das Linhas de Transmissão Exemplo 31 Solução Considerando Vo 03 mV Io 1A 060 mV 100MHz Zg 300 Zo 300 Zc 300 Vo Io 2m 0 0 0 0 0 0 cosh sinh sinh cosh S S V z V z I Z z V I z z I z Z 3 6 2 03 10 cosh 2 2513 1 10 300sinh 2 2513 VS z j j 5 4 2 92668 10 285533 10 03 72 mV VS z j 3 6 03 10 2 1 10 cosh 50264 sinh 50264 300 SI z j j 7 7 2 308876 10 951102 10 1 72 A SI z j CENTRO UNIVERSITÁRIO UNISATC