Magnetostática para Engenharia - Exemplos de Aplicação e Exercícios Resolvidos

DISCIPLINA ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHARIA CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA EXEMPLOS DE APLICAÇÃO Prof Dr Vilson Luiz Coelho CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 1 INTRODUÇÃO 2 ANÁLISE VETORIAL Revisão 3 EQUAÇÕES DE MAXWELL 4 ELETROSTÁTICA 5 MAGNETOSTÁTICA 6 MAGNETODINÂMICA 7 FORÇAS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS 5 MAGNETOSTÁTICA 51 Introdução 52 Equações de Maxwell para a Magnetostática 53 Lei de Ampère 54 Lei de BiotSavart 55 Refração do Campo Magnético 56 Campo Magnético no Interior de um Condutor 57 Indutância e Indutância Mútua 58 Exemplos de Aplicação e Exercícios 2 CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 58 Exemplos de Aplicação e Exercícios 581 Indutância de um Solenoide Longo Considere o solenoide mostrado na Fig 581 onde l3R o que caracteriza o solenoide como sendo longo segundo cálculos feitos com o apoio do sistema EFCAD GRUCADUFSC Admitese que Hint no interior do solenoide e Hext no seu exterior sejam constantes Para cálculo de H utilizase a lei de Ampère Onde n é o número de espiras Figura 581 Desenho Esquemático Solenoide Longo I I 2R l dl nI cH CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA EXEMPLOS DE APLICAÇÃO I Hext Hint 581 Indutância de um Solenoide Longo A Figura 582 representa um corte longitudinal do solenoide Escolhendo como L um caminho coincidente com H e separando o mesmo em Li interior do solenoide e Le exterior do mesmo temse Considerando que o fluxo interno deve ser igual ao externo É fácil perceber que por difusão SextSint Figura 582 Desenho Esquemático Solenoide Longo int int ext ext dl nI H l H l nI cH in ext o in in o ext ext H S H S Sext Sint ext in ext in ext in S H H H H S CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 581 Indutância de um solenoide longo Então Sabendose que int int int int int int int e H l ext ext nI H l H l nI H l l l 2 0 int int onde int H S L n n S S R I I I 2 0 nI R L n I l 2 2 0 H 581 n R L l Figura 581 Desenho Esquemático Solenoide Longo I I 2R l CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 582 Indutância de um Cabo Coaxial Sabese que L I portanto utilizando a Figura 583 podese calcular inicialmente o fluxo concatenado no interior do cabo na parte isolante e no interior do condutor central Posteriormente obtémse então a indutância para cada uma das partes e para o condutor total Considerase que a espessura da camada externa do cabo e é desprezível e o comprimento l muito longo Cálculo do indutância interna ao condutor r a Neste caso conforme visto no item 56 o campo magnético interno ao condutor é Figura 583 Desenho Esquemático Cabo Coaxial dS e H z 2 2 r a I r H a 561 CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 582 Indutância de um Cabo Coaxial Conhecendose o campo interno podese então calcular o fluxo magnético no interior do condutor Porém para cálculo de L considerase o fluxo concatenado para isto devese considerar apenas a corrente Ir interna ao campo Figura 583 Desenho Esquemático Cabo Coaxial dS e H z 0 0 2 0 0 2 l a S S I r ds ds dr dz a B H 2 2 2 2 2 I r I r J r r I a a 2 3 0 0 0 2 2 4 0 0 0 0 2 2 8 l a l a I I r I r dr dz r dr dz l a a a CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 582 Indutância de um Cabo Coaxial Então Cálculo da indutância externa b r a O campo externo pode ser obtido utilizando a equação obtida para o fio infinito Figura 583 Desenho Esquemático Cabo Coaxial dS e H z 0 0 H 8 8 l I l L I I 0 ou int Hm 8 L 582 Am 532 2 r I H r CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 582 Indutância de um Cabo Coaxial Neste caso já que a corrente está totalmente confinada no condutor central Então Figura 583 Desenho Esquemático Cabo Coaxial dS e H z 0 0 0 0 0 2 2 l b l b S a a I I dr ds dr dz dz r r H 0 ln Hm 2 ext b L a 583 0 0 ln ou ln 2 2 I I b b l a l a 0 0 int ln Hm 8 2 CCtotal ext b L L L a 584 CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 583 Indutância de uma Linha Bifilar Para uma linha bifilar o procedimento de cálculo é similar ao utilizado para o cabo coaxial porém devese considerar neste caso que e os campos entre os condutores se somam Assim para um dos condutores a equação é idêntica à equação 584 porém para a linha total Figura 584 Desenho Esquemático Linha Bifilar 0 0 2 ln Hm 8 2 Bif total D L a 585 S D I I a b r z CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 584 Exercício 2 No cabo coaxial da Figura circula a corrente I no cabo interno r a e I no externo b r c No espaço entre os dois cabos existe um isolante Calcule e elabore um gráfico de Hr para os seguintes casos a r a b a r b c b r c d r c Comente o resultado informando qual a importância deste tipo de cabo Considerar a 1 mm b 10 mm e c 11 mm e uma corrente de 1 A Figura 585 Desenho Esquemático Cabo Coaxial a b e I I c CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 584 Exercício 2 a r a Conforme visto em 56 Para r 0 H 0 Para r a Figura 586 Desenho Esquemático Cabo Coaxial Detalhe 1 1mm 2 2 3 1 15915 kAm 2 2 10 r I r r H r a 1mm 2 3 1 15915 Am 2 2 10 r I a H a a b I I c r CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 584 Exercício 2 b a r b Neste caso Figura 587 Desenho Esquemático Cabo Coaxial Detalhe 2 1 015915 Am 2 2 a r b I H r r r a b I I c 3 015915 P 15915 Am 10 r a r a H 3 015915 P 15915 Am 10 10 r b r b H CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 584 Exercício 2 c b r c No condutor externo 2 temse que Figura 588 Desenho Esquemático Cabo Coaxial Detalhe 3 2 2 2 2 2 Am b r c I I J c b c b a b e I I c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r I r b I r b I c b c b 2 total r b r c I H r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 total r r I r b r b I I I I I c b c b CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 584 Exercício 2 c b r c c r c Figura 588 Desenho Esquemático Cabo Coaxial Detalhe 3 a b e I I c 2 total r b r c I H r 2 2 2 2 1 total r r b I I c b 3 1 P 15915 Am 2 2 10 10 total r total r r b I r b I I H r 0 P 0 0 2 total r r c r c I H r P 0 0 total r r b r c I H CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 584 Exercício 2 e Comentários O campo magnético no exterior do cabo é nulo O que significa dizer que este cabo possui uma blindagem própria Figura 589 Cabo Coaxial Gráfico de Distribuição de H CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 585 Exercício 3 Considerando um fio muito fino conforme figura abaixo calcule o campo magnético no ponto A Considerar I10A L 100mm Solução O campo produzido pela corrente nos quatro lados possui o mesmo sentido e direção Portanto basta calcular um dos lados Figura 5810 Exercício 2 A I L L sin 2 sin 1 4 I H R 2 2 2 2 005 sin 1 0707 005 005 a a R 2 2 sin 2 0707 b b R 1 10 0707 0707 225 Am 4 005 H L e 4 225 Am 90 Am T H CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 585 Exercício 4 O fio muito fino indicado na figura abaixo transporta uma corrente de 50A a Calcule o campo magnético no ponto A b Calcule o campo magnético no ponto B Solução a Figura 5811 Exercício 3 b No ponto B o campo magnético é zero sin 2 sin 1 4 I H R 2 2 sin 1 sin 1 0 a a R 2 2 2 2 2 sin 2 0894 2 1 b b R 1 m 2 m I 50A 1 m A B 50 0894 0 356 Am 4 1 H CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 585 Exercício 5 O fio muito fino indicado na figura abaixo transporta uma corrente de 100A Pergunta Qual o campo magnético no ponto A Considerar R 2m Solução Segmentos retilíneos Figura 5812 Exercício 4 sin 2 sin 1 4 I H R 2 2 sin 1 sin 1 0 a a R 2 2 2 sin 2 1 b b R R 1 2 100 398 Am 4 2 L L H H I A R H CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 585 Exercício 5 Arco Total Figura 5812 Exercício 4 I A R 90 dl r 2 sin 542 4 I dl dH r 1 2 sin e 4 4 I dl I d dH dl R d dH R R 0 100 Então 125 Am 4 4 4 2 arco I I H d H R R 1 2 2 398 125 2046 Am T L L arco H H H H H CAPÍTULO 5 MAGNETOSTÁTICA EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 585 Exercício 6 Identifique com o número da equação o texto que corretamente a identifica 1 SV Q E ds e Equação de Maxwell que em sua forma integral representa a lei de Faraday 2 0 B Equação de Maxwell que corresponde à lei de Ampère para a magnetostática 3 t B E Equação de Maxwell que mostra que o campo magnético é conservativo 4 ld NI cH Equação de Maxwell conhecida como lei ou equação de Gauss CENTRO UNIVERSITÁRIO UNISATC